2020年江苏省高考数学试卷及答案

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

参考公式：

样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差

锥体体积公式

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=

-+-++-

1

3

V Sh =

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V Sh =

24πS R =，3

4π3

V R =

其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6

cos()(π

ω-

=x x f 最小正周期为

5

π

，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率

3.

),(11R b a bi a i

i

∈+-+表示为，则b a += 4.{}

73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为

120，,3,1==b a 则=-b a 5

6在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率

7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的 频率分布表。 序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率 （i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5

[8,9) 8.5 4 0.08

在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。

8.直线b x y +=

2

1

是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同

学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫

⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

。 。 。 。 。

按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为

11.的最小值xz y z y x R z y x 2

,032,,,=+-∈*

12. 在平面直角坐标系中，椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，

过点⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =

13.若BC AC AB 2,2=

=，则ABC S ∆的最大值

14.13)(3

+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,的横坐标分别为

5

52,102 （1）求)tan(βα+的值（2）求βα2+的值。

16．在四面体ABCD 中，BD AD CD CB ⊥=,，且F E ,分别是BD AB ,的中点， 求证：（1）直线⊥EF 面ACD

（2）面⊥EFC 面BCD

B F

y

x

O

A

B

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17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点B A ,及CD 的中点P 处，已知km CD km AB 10,20==，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且B A ,与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道OP BO AO ,,，设排污管道的总长为ykm （1）按下列要求写出函数关系式：

①设)(rad BAD θ=∠，将y 表示成θ的函数关系式

②设)(km x OP =，将y 表示成x 的函数关系式

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个

交点，经过这三个交点的圆记为C 。求： （1）求实数b 的取值范围 （2）求圆C 的方程

（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。

19．（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当4=n 时求d

a 1

的数值②求n 的所有可能值；

（2）求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列n b b b ,......,21，其中

任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

20.若为常数2121,,,3

2)(,3

)(2

1

p p R x x f x f p x p x ∈⋅==--，且⎩⎨

⎧>≤=)

()(),()

()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x f （1）求)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用21,p p 表示） （2）设b a ,为两实数，b a <且),(,21b a p p ∈若)()(b f a f =

求证：)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2

a

b -（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）。