《平面向量的基本定理及坐标表示》课件
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人教A版数学必修五 平面向量基本定理及坐标表示2 上课课件
故
a // b ( b 0 ) x1 y 2 x 2 y1 0
向量平行(共线)条件的两种形式:
(1)a / /b (b 0) a b ; (2)a / / b (b 0) x1 y2 x2 y1 0 (a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), ).
AB ( 1 （ 2）， 3 1） （1， 2） DC ( 3 x ,4 y )
由 AB DC，得
y C
B
D A 1 O 1 x
(1,2) (3 x,4 y )
1 3 x 2 4 y
x 2 y 2
顶点D的坐标为（ 2， 2）
例1. 如图，已知 ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标． 解2：如图,由向量加法则可知：
OD OB BD OB BA BC
(1 , 3) (2 (1),1 3) (3 (1),4 3) (1 , 3) ( 1 , 2) (4 ,1) (2 , 2) .
2.3平面向量基本定理及坐标表示 (2)
1.平面向量基本定理
如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不 共线向量， 那么对于这一平
面内的任一向量a ， 有且只有一对实数1 、 2 ， 使
a 1 e1 2 e2 .
基底.
其中不共线的向量e1 、 e 2 叫做表示这一平面内所 有向量的一组
例2. 已知 A( 1, 1), B (1, 3), C (2, 5),
试判断 A、 B、 C 三点之间的位置关系 .
解： 如图， 猜想A、B、C三点共线. 证明如下：
a // b ( b 0 ) x1 y 2 x 2 y1 0
向量平行(共线)条件的两种形式:
(1)a / /b (b 0) a b ; (2)a / / b (b 0) x1 y2 x2 y1 0 (a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), ).
AB ( 1 （ 2）， 3 1） （1， 2） DC ( 3 x ,4 y )
由 AB DC，得
y C
B
D A 1 O 1 x
(1,2) (3 x,4 y )
1 3 x 2 4 y
x 2 y 2
顶点D的坐标为（ 2， 2）
例1. 如图，已知 ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标． 解2：如图,由向量加法则可知：
OD OB BD OB BA BC
(1 , 3) (2 (1),1 3) (3 (1),4 3) (1 , 3) ( 1 , 2) (4 ,1) (2 , 2) .
2.3平面向量基本定理及坐标表示 (2)
1.平面向量基本定理
如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不 共线向量， 那么对于这一平
面内的任一向量a ， 有且只有一对实数1 、 2 ， 使
a 1 e1 2 e2 .
基底.
其中不共线的向量e1 、 e 2 叫做表示这一平面内所 有向量的一组
例2. 已知 A( 1, 1), B (1, 3), C (2, 5),
试判断 A、 B、 C 三点之间的位置关系 .
解： 如图， 猜想A、B、C三点共线. 证明如下：
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量的基本定理及坐标表示课件
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线． → → (2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值．
解析： (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)． a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－ . 2
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → (2)∵CA＝(－2，－4)，BC＝(1,1)， → → → → → ∴MN＝CN－CM＝－2BC－3CA ＝(－2，－2)－(－6，－12)＝(4,10)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， → → 则CM＝(x1－3，y1－2)，CN＝(x2－3，y2－2)， → → → → ∵CM＝3CA，CN＝－2BC， ∴(x1－3，y1－2)＝(－6，－12)．
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → → → 1 解析： ∵2DC＝AB，∴2DC＝e2，∴DC＝ e2. 2 → → → → 又∵BC＝BA＋AD＋DC， → 1 1 ∴BC＝－e2＋e1＋2e2＝e1－2e2. → → → → 又由MN＝MA＋AB＋BN得 → 1→ → 1→ MN＝2DA＋AB＋2BC 1 3 1 1 ＝－ e1＋e2＋ e1－2e2＝ e2. 2 2 4
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
(x2－3，y2－2)＝(－2，－2)，
x1－3＝－6 x2－3＝－2 ∴ ， ， y1－2＝－12 y2－2＝－2 x1＝－3 x2＝1 ∴ ， ， y1＝－10 y2＝0
【】《平面向量的坐标表示》-完整版PPT课件
1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
《平面向量及其应用——平面向量基本定理及坐标表示》数学教学PPT课件(5篇)
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，，
解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，，
解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
栏目 导引
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
人教版数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示课件
＝b，则 ＝( D )
1
1
A. a＋ b
2
4
2
2
C. a＋ b
3
3
B．
D．
1
a＋
3
1
a＋
2
5
b
6
3
b
4
因为DE＝EC.
所以
1
＝ (
2
1
2
1
＋)＝
3
4
＝ ＋ ＝ a＋ b.
1
)＝ (
2
1
＋
2
＋)
法二
2．已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝0，点P是OC上异于端点
即ቊ
1=6−
=1
解得ቊ
=5
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，
则
1
－
＝________．
2
由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
2−
得
4
=
3+2
所以 ＝. 因为DE＝EC，所以
1
2
1
3
a＋ b.
2
4
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
1
1
3
)＝ ＋
2
2
4
＝
1
1
＝ ＝ ，
2
2
1
＋ ( － )＝
2
1
2
＋ (－
法一
跟踪训练
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设 ＝a，
1
1
A. a＋ b
2
4
2
2
C. a＋ b
3
3
B．
D．
1
a＋
3
1
a＋
2
5
b
6
3
b
4
因为DE＝EC.
所以
1
＝ (
2
1
2
1
＋)＝
3
4
＝ ＋ ＝ a＋ b.
1
)＝ (
2
1
＋
2
＋)
法二
2．已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝0，点P是OC上异于端点
即ቊ
1=6−
=1
解得ቊ
=5
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，
则
1
－
＝________．
2
由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
2−
得
4
=
3+2
所以 ＝. 因为DE＝EC，所以
1
2
1
3
a＋ b.
2
4
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
1
1
3
)＝ ＋
2
2
4
＝
1
1
＝ ＝ ，
2
2
1
＋ ( － )＝
2
1
2
＋ (－
法一
跟踪训练
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设 ＝a，
《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》课件3
误区警示 考虑不全面而出错 【示例】 若向量 a＝(－1，x)与 b＝(－x,2)共线，求 x. [错解] ∵a， b 共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得 x＝－ 2(舍去) 或 x＝ 2，故 x＝ 2为所求． 舍去 x＝－ 2没有道理． [正解] ∵a，b 共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得 x＝± 2， 而 x＝ 2时，a＝(－1， 2)，b＝(－ 2，2)＝ 2(－1， 2)＝ 2 a，此时 a、b 同向共线； x＝－ 2时，b＝－ 2a，此时 a、b 异向共线． 故 x＝± 2为所求．
5 → 而CM＝x，y－4，
(8 分)
5 7 → CB＝4－0，3－4＝4，4.
∵C，M，B 三点共线， → → ∴CM与CB共线．
5 7 ∴4x－4y－4＝0，即 7x－16y＝－20.
(10 分) ②
12 由①②得 x＝ 7 ，y＝2.
规律方法
此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标
的条件进行判断， 特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时， 要注意坐标之间的搭配．
→ → → 【变式 1】 若OA＝(－1,2)，OB＝(1,0)，OC＝(5，－4)． 求证：A、B、C、三点共线． 证明 → ＝OB → －OA → ＝(2，－2)， AB
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
【课标要求】 1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量． 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线． 【核心扫描】 1．用坐标表示两向量共线．(重点) 2．根据平面向量的坐标判断向量共线．(难点) 3．两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)
共线的两个向量可以是同向共线，也可以是反向共 线．解答这类试题时，要认真审题，对求得的参数需进行讨论， 舍去不合题意的参数值．
《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
90°
，则称 a 与 b 垂直，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的． (2)平面向量基本定理中， 实数 λ1， λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦 选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
)．
1 C.4
1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN＝2AD＋AE＝24AB＋4AC＝8AB＋8AC，∴x＝y＝
1 1 1 1 ，即 x＋y＝ ＋ ＝ . 8 8 8 4 答案 C
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题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 → ＝a，OB → ＝b，M、N 分 【例 4】 如图所示，在△OAB 中，OA 1 1 → → → 与BM →交 别是边 OA、OB 上的点，且OM＝ a，ON＝ b，设AN 3 2 → 于点 P，试以 a、b 为基底表示OP.
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3→ → → → → → 又∵ OB ＝ 3， ＝1，故OD＝ 3OA，OE＝ OA 3 OB，
3→ → → ∴OC＝ 3OA＋ 3 OB， 3 m 3 此时 m＝ 3，n＝ ，∴ ＝ ＝3. 3 n 3 3
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【变式 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角． → ＝a，OB → ＝b， 解 如图，作OA 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， → ＝a＋b，BA → ＝OA → －OB → ＝a－b， 则OC → → BC＝OA＝a， ∴a＋b 与 a 夹角为∠AOC， a－b 与 a 夹角为∠ABC，a 与 b 夹角为∠AOB.
，则称 a 与 b 垂直，
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名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的． (2)平面向量基本定理中， 实数 λ1， λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦 选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
)．
1 C.4
1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN＝2AD＋AE＝24AB＋4AC＝8AB＋8AC，∴x＝y＝
1 1 1 1 ，即 x＋y＝ ＋ ＝ . 8 8 8 4 答案 C
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题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 → ＝a，OB → ＝b，M、N 分 【例 4】 如图所示，在△OAB 中，OA 1 1 → → → 与BM →交 别是边 OA、OB 上的点，且OM＝ a，ON＝ b，设AN 3 2 → 于点 P，试以 a、b 为基底表示OP.
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3→ → → → → → 又∵ OB ＝ 3， ＝1，故OD＝ 3OA，OE＝ OA 3 OB，
3→ → → ∴OC＝ 3OA＋ 3 OB， 3 m 3 此时 m＝ 3，n＝ ，∴ ＝ ＝3. 3 n 3 3
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【变式 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角． → ＝a，OB → ＝b， 解 如图，作OA 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， → ＝a＋b，BA → ＝OA → －OB → ＝a－b， 则OC → → BC＝OA＝a， ∴a＋b 与 a 夹角为∠AOC， a－b 与 a 夹角为∠ABC，a 与 b 夹角为∠AOB.
平面向量的基本定理及坐标表示.ppt
2011-1-9
新疆 王新敞
奎屯
»当堂达标，迁移拓展 当堂达标，迁移拓展
学案上的自我检测题目（必做） 学案上的自我检测题目（必做）
1.设 是同一平面内的两个向量，则有( 1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量 C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 不共线， D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知 ∈R)， 共线， 2.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= r r 不共线， uuu r uuu r r r 3.设 3.设 a , b 是两个不共线的非零向量，记OA = a, OB = tb(t ∈ R ) 是两个不共线的非零向量，
3、教学重点和难点
（1）重点 ）
平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示 平面向量基本定理的探究，
（2）难点 ）
对平面向量基本定理的理解及其应用
页面 5
平面向量的基本定理及坐标表示
2011-1-9
针对本节课的教学目标和学生的实际情况， 针对本节课的教学目标和学生的实际情况， 根据“先学后教，以学定教”原则， 根据“先学后教，以学定教”原则，本节课 采用由 “自学—探究—点拨—建构—拓展” 自学—探究—点拨—建构—拓展” 五个环节构成的诱导式学案导学方法。 五个环节构成的诱导式学案导学方法。
页面 6
平面向量的基本定理及坐标表示
2011-1-9
问题探究式学法
借助学案， 借助学案，在教师创设的问题情 境下，根据已有的知识和经验， 境下，根据已有的知识和经验， 主动探索，积极交流， 主动探索，积极交流，从而建立 新的认知结构。 新的认知结构。
《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
(x2－x1，y2－y1)
，
即一个向量的坐标等于该向量 终点 的坐标减去 标．
起点 的坐
想一想：相等向量的坐标有什么特点？ 提示 (1)相等向量 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)的坐标是相同的， 即 x1＝x2 且 y1＝y2. (2)相等向量的起点与终点可以不同，向量的坐标与表示该向量 的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有 关．
10 10 解得 m＝4，n＝ ，即 D 点的坐标为4， 3 . 3 10 11 → 故CD＝4， 3 －(－7,7)＝11，－ 3 .
题型三 向量坐标运算的综合应用 【例 3】 如图，正方形 ABCD 中， P 为对角线 BD 上的一点，四边形 PECF 是矩形，用向量法证明 PA＝EF. 审题指导 本题所给图形为正方形， 故可考虑建立平面直角坐标 → → 系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA和EF的坐标，证明 其模相等即可．
3．平面向量的坐标运算 (1)已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数 λ， 那么 a＋b＝ a－b＝ λa＝
(x1＋x2，y1＋y2)
， ，
(x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1)
．
(2)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 → → → AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝
.
因为点 P
5λ＋5<0 在第三象限，所以 7λ＋4<0
，解得 λ<－1.
故所求实数 λ 的取值范围是(－∞，－1)．
规律方法
向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵
或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改 变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条 件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．
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y A a
a x y
2 2
O
x
AB (x 2 x1 )2 (y2 y1 )2
探究（二）：平面向量共线的坐标表示
思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0）， 那么a，b满足什么关系？ a＝ λ b. 思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向 量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量 的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ 向量a，b（b≠0）共线 x1 y 2 x 2 y1
A
AB
y
B o x
AB＝(x2－x1，y2－y1).
任意一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
A
y B
o
x
P(x2-x1,y2-y1) 思考5：在上图中，如何确定坐标为 (x2－x1，y2－y1)的点P的位置？
思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计 算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 AB 如何计算？
思考3：如何用解析几何观点得出上述结 论？ 向量a，b（b≠0）共线 x1 y 2 x 2 y1
y
D O C
b
A
a
B
kA B = kCD
x
思考4：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点， 如何用向量方法求点P的坐标？
y
P P1 O P P P2
思考3：如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和（差）； 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
思考4：如图 ,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 AB 的坐标如何？一般地，一个 任意向量的坐标如何计算？
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
探究（一）：平面向量的坐标运算
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线 性运算性质，向量a＋b，a－b，λa （λ∈R）如何分别用基底i、j表示？ a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
x
思考5：一般地，若点P1(x1，y1)， ，y P2(x 2 2)，点P是直线P1P2上一点， PP1 PP2 且 ，那么点P的坐标有何计算 公式？ y
x + l x 2 y1 + l y 2 P( 1 , ) 1+ l 1+ l
P P1 O
P2
x
x1 x 2 y1 y2 P( , ) 1 1
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j. 思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？ a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
C D x
D （2 ，2 ）
例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y), 且a∥b，求y的值. y＝3
例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)， C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？
2 AB AC 3
，A、B、C三点共线.
小结作业
1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表 示和向量的线性运算律得出的结论，它 符合实数的运算规律，并使得向量的运 算完全代数化.
2.3
平面向量的坐标？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？ 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
理论迁移
例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标. a＋b＝(－1，5)， a－b＝(5，－3)， 3a＋4b＝(－6，19).
例2 如图，已知 ABCD的三个顶点的 坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、 C(3,4)，试求顶点D的坐标.
B A o y
2.对于两个非零向量共线的坐标表示， 可借助斜率相等来理解和记忆. 3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐 标，判断点共线等问题，这是一种向量 方法，体现了向量的工具作用.
作业：
P100练习：2，4. P101习题A组：1，3，4，5.
a x y
2 2
O
x
AB (x 2 x1 )2 (y2 y1 )2
探究（二）：平面向量共线的坐标表示
思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0）， 那么a，b满足什么关系？ a＝ λ b. 思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向 量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量 的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ 向量a，b（b≠0）共线 x1 y 2 x 2 y1
A
AB
y
B o x
AB＝(x2－x1，y2－y1).
任意一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
A
y B
o
x
P(x2-x1,y2-y1) 思考5：在上图中，如何确定坐标为 (x2－x1，y2－y1)的点P的位置？
思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计 算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 AB 如何计算？
思考3：如何用解析几何观点得出上述结 论？ 向量a，b（b≠0）共线 x1 y 2 x 2 y1
y
D O C
b
A
a
B
kA B = kCD
x
思考4：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点， 如何用向量方法求点P的坐标？
y
P P1 O P P P2
思考3：如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和（差）； 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
思考4：如图 ,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 AB 的坐标如何？一般地，一个 任意向量的坐标如何计算？
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
探究（一）：平面向量的坐标运算
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线 性运算性质，向量a＋b，a－b，λa （λ∈R）如何分别用基底i、j表示？ a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
x
思考5：一般地，若点P1(x1，y1)， ，y P2(x 2 2)，点P是直线P1P2上一点， PP1 PP2 且 ，那么点P的坐标有何计算 公式？ y
x + l x 2 y1 + l y 2 P( 1 , ) 1+ l 1+ l
P P1 O
P2
x
x1 x 2 y1 y2 P( , ) 1 1
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j. 思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？ a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
C D x
D （2 ，2 ）
例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y), 且a∥b，求y的值. y＝3
例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)， C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？
2 AB AC 3
，A、B、C三点共线.
小结作业
1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表 示和向量的线性运算律得出的结论，它 符合实数的运算规律，并使得向量的运 算完全代数化.
2.3
平面向量的坐标？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？ 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
理论迁移
例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标. a＋b＝(－1，5)， a－b＝(5，－3)， 3a＋4b＝(－6，19).
例2 如图，已知 ABCD的三个顶点的 坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、 C(3,4)，试求顶点D的坐标.
B A o y
2.对于两个非零向量共线的坐标表示， 可借助斜率相等来理解和记忆. 3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐 标，判断点共线等问题，这是一种向量 方法，体现了向量的工具作用.
作业：
P100练习：2，4. P101习题A组：1，3，4，5.