最速降线问题

最速降线问题
引言
在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直
线短
故宫屋顶科技馆里的最速降线模型
1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。

信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线
问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。

引起了数学家的极大兴趣。

之后
此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学
科——变分学。

2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。

3，建模
3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和
阻力。

3,2模型建立
设质点质量为m 重力加速度为g,质点的速度为v
根据能量守恒得： 12
mv 2=mgy 则 v =√2gy =ds dt
secθ=ds dx tan θ=dy dx
(sec θ)2−(tan θ)2=1
得 ds =√1+(ẏ)2dx
dt =ds v =√1+(y )
22gy dx
t =∫√1+(y )22gy dx a
性能泛函 J (t )=√2g ∫√1+(y )2
y dx a 0
即： L=√1+(y )2
y
由欧拉方程的：y (1+ẏ2)=c
令y =cot τ 得
y =c (sin τ)2=c
2(1-cos(2τ))
所以： dx=dy
y =2c sin τcos τ
cot τdτ
=c (1−cos (2τ))dτ
x(0)=0
所以： x =∫c(1−cos(2τ))τ
0dτ
=c
2
(2τ−sin(2τ))
令t=2τ得：
{x=
1
2
c(t−sin t) y=
1
2
c(1−cos t)
其中c可由y(a)=b 确定
因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。

总结
在我国古代建筑中就有最速降线原理的应用，但是一直没有此类问题的通俗解法。

欧拉求最速降线的问
题其意义大大超过了问题的本身，他所使用的变分思
想对导致了数学的一个分支——变分学的诞生。

对于
很多求极值的物理过程问题，他给我我们提供了一种
简单有效的通用方法。