弯桥计算理论

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a）为单跨静定 曲梁中心布置
b）为单跨静定 曲梁偏心布置
c）为单跨超静定 曲梁中心布置
d）为单跨超静定 曲梁偏心布置
a）两端点 均设抗扭支 座，中间跨 设铰支座
b）当跨数较多 ，两端点设抗 扭支座，中间 也设置一定数 量的抗扭支座 ，其余均为中 心铰支座
c）为减小扭 矩，两端设置 抗扭支座，中 间跨设置向外 侧有偏心的铰 支座
消去剪力项 Qn Qy 和轴向力 N 后，可得
1 ∂M y ∂qn ∂ m y q s m y + 2 = − − − 2 3 2 ∂s ∂s ∂s r ∂s r r 2 ∂ M x 1 ∂T ∂mn + = −q y − 2 r ∂s ∂s ∂s ∂T 1 − M x = − ms ∂s r dv u εs = − ds r （2）几何方程 2 d w θ κn = 2 − 铁 木 辛 柯 （ r ds S.Timoshenko ） 2 d u u 导出的几何方程 κy = 2 + 2 [4] 为 ds r dθ 1 dw κs = + ds r ds
∂M y
可以导得弯梁 的六个静力平衡 方程[2、3]为
ห้องสมุดไป่ตู้
+ Qn + m y = 0 ∂s ∂Qn N + + qn = 0 ∂s r ∂N Qn − + qs = 0 ∂s r ∂M n T + − Qy + mn = 0 ∂s r ∂T M n − + ms = 0 r ∂s ∂Qy + qy = 0 ∂s
v1
若 mn = 0 ms = m Heins等求得的闭合解为：
EI n + GI d Iω EI n + GI d Iω ′ ′ = qy − q ′y′ + mn − mn′′ rEI n rI n rEI n rI n 2 GI d Iω + r I n − 2 ms + m′′ s 2 r EI n r In
b p = r sin(ϕ 0 − ϕ pt )
简支超静定曲梁
简支超静定曲梁基本结构
a p = r[1 − cos(ϕ 0 − ϕ pt )] b p = r sin(ϕ 0 − ϕ pt )
c)
仅考查在P作用下，
静定简支曲梁时有
∑M = 0 ∑M = 0 ∑Y = 0
纯扭转时简支曲梁分析
对于截面剪切中心轴线与截面形心轴线相重合的， 两端均设抗扭支承的一次超静定简支曲梁，在平截面及刚 性截面假定成立情况下，可按结构力学方法推导其内力及 变形的表达式。 如下图a）所示的简支超静定曲梁，取其基本结构如图 b）所示。
1） 静定简支曲梁的内力 a p = r[1 − cos(ϕ 0 − ϕ pt )] 如图c)所示，有
3 2
∂ My
d 2 w θ M n = − EI nκ n = − EI n 2 − ds r d 2u u M y = EI yκ y = − EI y 2 + 2 ds （3）符拉索夫方程 r 弹性体材料本构关系 2 符合虎克定律，则有 T = − EI d κ s + GI κ ω d s 2 ds d 3θ 1 d 3 w = − EI ω 3 + 3 ds r ds dθ 1 dw + GI d + ds r ds dv u N = EAε s = EA − ds r
sin(ϕ 0 − ϕ pt ) = P 1 − sin ϕ 0 sin(ϕ 0 − ϕ pt ) =P sin ϕ 0
同理可分别 求得在m ， T 等
作用下的支反 力。并由静力 平衡条件可求 得任意截面的
内力
（1）集中荷载P 与集中扭矩T作用
(0 ≤ ϕ s ≤ ϕ pt ) ( P r + T ) S c sin ϕ s M s0 ( P + T ) = (ϕ pt ≤ ϕ s ≤ ϕ 0 ) ( P r + T ) S c sin ϕ pt (0 ≤ ϕ s ≤ ϕ pt ) ( P r + T ) S c (1 − cos ϕ s ) 0 Ts ( P + T ) = (ϕ pt ≤ ϕ s ≤ ϕ 0 ) ( P r + T ) S c S s sin ϕ pt − Pc Sc (0 ≤ ϕ s ≤ ϕ pt ) ( P r + T ) r ϕ s0 ( P + T ) = − ( P r + T ) S c + P (ϕ pt ≤ ϕ s ≤ ϕ 0 ) r
qy = q
s s s s s s θ = Ach + Bsh + C cos + Ds cos + E sin + Fs sin a a r r r r 2
r 1 3 1 q + m−r + GI EI n EI n d
a = EI ω / GI d
相应的 w(s ) 为
d）为增大全 桥抗侧倾稳 定性，两端 设置抗扭支 承，中间交 替布置偏心 铰支承
中间设置偏心铰支承的连续曲梁，不仅在造型上比较美 观，而且受力性能也比全抗扭支承或中间为中心铰支座具 有更大的优越性。中间铰支点在外侧方向预设一定的偏心 值，可以调整梁内的扭矩分布，有利于关心曲梁的扭矩 事实上，偏心点铰支承连续曲梁的内力，可以看成是由 中心支承时连续曲梁的内力和中心支承连续梁上作用的偏 心支承中扭矩的内力两部分组成。支承偏心只能调整曲梁 的扭矩，但绝对不能消除扭矩。
经整理有平面曲梁的符拉索夫方程。 由于平面弯梁的平面内变形与垂直水平面的变形相对 独立，若仅考查所关心的后者，则略去 mn ，并不计截面 翘曲作用，以 ds = rdϕ代入则有
d w EI n + GI d d 2θ EI n d w GI d − 4 − − q y = 0 4 4 2 3 2 r dϕ r dϕ r dϕ 2 2 EI n + GI d d w GI d d θ EI n − 2 + 2 θ − ms = 0 3 2 2 r dϕ r dϕ r
AC OA
0 0 T AP − Pa p + R BP r (1 − cos ϕ 0 ) = 0 0 PbP + RBP r sin ϕ 0 = 0 0 0 R AP + RBP − P = 0
整理得
R
0 AP
0 RBP
T
0 AP
ϕ0 = − P r tg sin(ϕ 0 − ϕ pt ) − 1 + cos(ϕ 0 − ϕ pt ) 2
2 EI n r b= EI ω + EI n r 2 + GI d r 2
常数A～H可由简支超静定弯梁两端的各四个边界条件[1]， 联立以上两式求得。另外： ①集中荷载作用时，不难补充集中载分界面上的内力及位 移连续条件进行求解。
4
②对于连续弯梁，一种方法是将其从支点处切开，分解为 多个简支曲梁，利用中支点的连续条件及边界条件进行求 解；另一种方法是将中支点多余约束解除，代之赘余力， 先利用上述方法求解两桥台支承的简支曲梁，再利用变形 连续条件列出赘余力方法联合求解
k
2） 荷载特点
除一般直桥的荷载特点处，主要表现在： （1）离心力是弯桥特有的与桥轴线垂直的水平荷载。 在曲率半径较小时（ r ≤ 250m），应计及其作用 （2）弯桥冲击力的研究还不够深入，目前多以与桥轴弧 线长相同的直桥计算，且对弯曲冲击和扭转的冲击不作区 分，略显粗糙。
3) 支承布置特点
支座布置如下图所示，
a2 a2 s s s w = A ch + B sh + C − r cos r r a a a
s s s + D − rs cos + b sin + E − r sin r r r
s s qr 2 2 + F − b cos − rs sin + G + Hs − s r r 2GI 2GI d
w
（3）圆心角与弯扭刚度比 k 对内力的影响。 分析两边抗扭支承的单根曲梁，可得跨中截面的挠度 影响线为 3
r η = (C10 + kC11 ) EI
w cp
式中： k = EI / EI d 进一步对扭转有关的系数 C11 分析表明，当圆心角 ϕ 0 ≤ 22.5° ~ 30°时， 11 极小，即可足够精确地用跨径 l = rϕ 0 C 的直梁来计算的纵向弯矩。 F.莱昂哈特将此范围扩大 止 ϕ 0 ≤ 50° 分析还发现， 值增加时，由曲率因素导致的扭转变形 显著增大，抗扭刚度 EI d 较大的箱形截面或低高度梁应为 首选
平面弯梁的符拉索夫方程及其解法 1） 符拉索夫方程的推导
在如后图所示的三维流动直角坐标系中，取一微段 ds = rdϕ其上作用的六种荷载及六种截面内力亦示于图a） 中，正号内力示于图b）中。 （1）静力平衡方程 利用六个空间平衡条件： Fi = 0, M i = 0(i = n, y, s )
∑
∑
微段弯梁的截面内力
a）为单跨静定曲梁中心布置， b）为单跨静定曲梁偏心布置； c）为单跨超静定曲梁中心布置， d）为单跨超静定曲梁偏心布置。
对于两端设抗扭支承的超静定曲梁，支承的偏心只能 改变支承处各个支座上的反力分布而绝不能改变梁的扭矩 分布。如果一侧支承斜向变化时，该支点截面随斜角的增 大而增加负弯矩。而斜角需到某一个负角内，该截面都有 正弯矩产生。此负角度将随弯扭刚度比值的增大而增大。 这里规定当曲梁半径顺时针转动与斜支承线重合时，所得 到的锐角为正角，反之则为负角，如图b）所示。另外， 对一般公路桥，支座偏心距 小于2m时，偏心距对预加 c 应力和活载所引起的扭矩影响不大。
弯梁及其坐标系
从第二、三式可以看出，必须联立求解才能得到竖向 变位 和扭角 θ ，这就是弯、扭耦合作用，即当外荷载 作用时，截面内产生弯矩（扭矩）的同时，必然地伴随着 产生耦合扭矩（弯矩），其变形亦如此，且无论是恒载还 是工作荷载作用 （2）受力不均匀现象 由于扭矩的存在，弯桥外边缘弯曲应力大于内边缘， 外边缘挠度大于内边缘，即使等截面主梁承受均匀荷载， 此现象依然存在，应引起设计重视。
4 2
注意到坐标轴方向不用，则上式在文献[5]中已给出
2) 简支超静定弯梁的汉斯（Heins）一斯贝特思（Spates）解
利用数学手段将符拉索夫方程式的后两式中的位移 量 w(s ) 消去，可得
GI d 2 EI ω 1v 1 EI ω EI ωθ + 2 − GI d θ + 2 2 − 2GI d θ ′′ − 4 θ r r r r
18讲 第18讲 弯桥计算理论
弯桥特征 平面弯梁的符拉索夫方程及其解法 纯扭转时简支曲梁分析 曲梁分析的能量原理 非径向支承弯梁计算 小结 本章参考文献
2011-8-6
弯桥特征 1) 力学特点
（1）弯、扭耦合作用 取如下图所示的坐标系，据文献[1]推导，等曲率平面 弯梁的基本微分方程（符拉索夫方程）为 ∂ 2my my 2 2 1 ∂qr qs EI y u + 2 u ′′′ + 4 u ′ = ∂s − r − ∂s 2 − r 2 r rr EI w IV EI n + GI d EI n IV w − w′′ + EI ωθ − GI dθ ′′ + 2 = ms r r r ∂mn EI ω IV GI d EI ω IV EI n + GI d θ − θ ′′ = q y + EI n + 2 w − 2 w′′ + r r r r ∂s 上式的第一式与二、三式相对独立，它表示弯梁平面内变 形与垂直于水平面的变形相对独立，前者相当于拱承受竖 向荷载作用，后者则反应了弯梁在竖向荷载作用下的特点