线段中的动点问题
数学线段动点问题解题技巧
数学线段动点问题解题技巧
数学线段动点问题是数学中常见的一类问题，也是许多考试中必考的内容。
这类问题通常涉及到线段上的一个点在不同条件下的运动情况，需要通过数学方法来解决。
下面介绍一些数学线段动点问题的解题技巧。
一、确定问题类型
数学线段动点问题有很多不同的类型，如点在线段上的匀速直线运动、点在线段上的变速直线运动、点在线段上的折线运动等。
在解题之前，首先需要确定问题的类型，然后再选择相应的解题方法。
二、建立坐标系
建立坐标系是解决数学线段动点问题的关键步骤之一。
通过建立坐标系，可以将线段上的点转化为坐标系中的点，从而方便进行计算和分析。
建立坐标系时需要注意，选择合适的坐标轴方向和坐标轴单位，以便于后续计算。
三、确定参数
在解决数学线段动点问题时，需要确定一些参数，如点的初始位置、速度、加速度等。
这些参数通常可以通过题目中提供的信息来确定。
在确定参数时需要注意，要根据问题类型选择相应的参数。
四、列方程求解
通过建立坐标系和确定参数，可以将数学线段动点问题转化为一个数学模型。
然后通过列方程求解，可以得到问题的解答。
在列方程时需要注意，要根据问题类型选择相应的方程，并且要注意方程的正确性和完整性。
五、检验答案
在解决数学线段动点问题后，需要对答案进行检验。
检验答案的方法有很多种，如代入原方程检验、画图检验等。
通过检验答案可以避免计算错误和解题错误。
总之，数学线段动点问题是数学中常见的一类问题，需要掌握一定的解题技巧。
通过建立坐标系、确定参数、列方程求解和检验答案等步骤，可以有效地解决这类问题。
七年级线段动点问题解题技巧
七年级线段动点问题解题技巧七年级数学中，线段动点问题是一个经典的问题，我们需要掌握一定的技巧来解决这类问题。
一、线段、直线的基本概念在解决线段动点问题之前，我们需要掌握线段、直线的基本概念。
线段是由两个端点和这两个端点之间所有的点组成的，端点用大写字母表示，如AB。
直线是一个无限延伸的线段，可以用一条箭头表示，如AB。
二、线段动点问题的基本思路线段动点问题的基本思路是：将线段AB固定在平面上，把点C看做是在此线段上来回移动的点，根据题意得出点C的运动规律，进而解决问题。
三、线段动点问题的求解步骤1. 确定线段的起点和终点，用大写字母表示。
2. 将点C看做是在线段上来回移动的点，用小写字母表示。
3. 根据题意得出点C在线段上的运动规律，列出代数式。
4. 解题并求出答案。
四、线段动点问题的解题技巧1. 判断直角三角形在解决线段动点问题中，经常会涉及到判断直角三角形的情况。
如果我们能够判断出直角三角形，那么就能够应用毕达哥拉斯定理来解决问题。
2. 利用相似三角形在解决线段动点问题中，我们可以根据相似三角形的性质解决问题。
相似三角形的特点是对应角度相等，对应边的长度成比例。
3. 利用比例关系在解决线段动点问题中，我们可以利用线段上的任意一点到两个端点的距离成比例的关系来解决问题。
4. 利用重心性质在解决线段动点问题中，我们可以利用重心的性质来解决问题。
重心是三角形三条中线的交点，它具有重要的几何性质。
五、线段动点问题的注意事项1. 注意画图在解决线段动点问题中，我们需要注意画图，把线段图形画出来，并标出点的位置，以便更好地了解问题。
2. 注意运动规律在解决线段动点问题中，我们需要注意点在线段上的运动规律，根据题意列出代数式，进而解决问题。
3. 注意复杂问题在解决线段动点问题中，有些问题可能会比较复杂，需要耐心仔细地分析和推导，多思考多练习，掌握解题技巧。
初一数学专题四：线段动态问题(含详解答案)
线段的动态问题为各个学校期末考试的重难点，主要包括动点问题和动线段问题．模块一：线段的动点问题1．主要分析步骤：（1）数形结合，画图；（2）设元，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度；（3）根据题中的等量关系列方程，并解方程．2．动点问题求解的几个辅助工具：（1）数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值；②两点间的距离=右端点表示的数-左端点表示的数．例如：a ，b 两点的距离可表示为b a -，也可表示为||a b -或者||b a -．特别地，||a 可以看成a 和0两点的距离，||b 可以看成b 和0两点的距离，如果||||a b =，那么有a b =或a b =-．（2）点在数轴上运动时，满足左减右加一个点表示的数为a ，若向左运动b 个单位后表示的数为a b -；一个点表示的数为a ，若向右运动b 个单位后所表示的数为a b +．（3）数轴上线段中点公式：如图，线段ab 的中点所表示的数是a b +2．模块二：动线段问题模块一线段的动点问题已知数轴上A 、B 两点对应数分别为-2和4，P 为数轴上一动点，对应数为x.（1）若P 为线段AB 的三等分点，求P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使P 点到A 点、B 点距离和为10？若存在，求出x 值，若不存在，请说明理由．（3）若A 、B 点和P 点（P 点在原点）同时向左运动，它们的运动速度分别为1、2、1个单位长度/分，则第几分钟时，P 为线段AB 的中点？第几分钟的时候P 到A 和B 的距离相等？学习是件很有意思的事（1）∵点P 为线段AB 的三等分点，∴AP AB 1=3或BP AB 1=3①当AP AB 1=3时，得到2=2x+，得x =0②当BP AB 1=3时，得到x 4-=2，得x =2∴P 对应的数为0或2．（2）假设存在点P ，则PA =+2x ，PB x =-4，∴||||x x +2+-4=10解得，x =-4或x =6．（3）①设经过t 分钟后，P 为AB 的中点则A 表示的数为t -2-，B 表示的数为t 4-2，P 表示的数为t -，则由题意得，t t t -2-+4-2=-2，得到t =2.②设经过x 分钟后，P 到A 和B 的距离相等.则A 表示的数为x -2-，B 表示的数为x 4-2，P 表示的数为x -，∴PA x x =-2-+=2，PB x x x=4-2+=4-∴||x 4-=2解得x =2或x =6．已知数轴上顺次有A 、B 、C 三点，分别表示数a 、b 、c ，并且满足()2a +|b +|=+1250，b 与c 互为相反数．两只电子小蜗牛甲、乙分别从A ，C 两点同时相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒．（1）求A 、B 、C 三点分别表示的数，并在数轴上表示A 、B 、C 三点（2）运动多少秒时，甲、乙到点B 的距离相等？（3）当点B 以每分钟一个单位长度的速度向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点C 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后B 点到点A 、点C的距离相等？（1）∵()2a +|b +|=+1250，∴a +12=0，b +5=0，解得a =-12，b =-5.又∵b 与c 互为相反数，∴c =5，∴A 、B 、C 三点分别表示的数是-12，-5，5．表示在数轴上是：学习是件很有意思的事（2）设运动x 秒时，甲、乙到点B 的距离相等．则甲所表示的数为x -12+2，乙所表示的数为x5-3则依题意，得x x 72=10-3-，解得x =3或x 17=5．答：运动3s 或者s 175时，甲、乙到点B 的距离相等．（3）设t 分钟后点B 到点A 和点C 的距离相等．则点A 所表示的数为t -12-5，点B 所表示的数为t -5-，点C 所表示的数为t 5-20．则由题意得，t t t t5-20+5+=-5-+12+5解得：t 3=23或者t 17=15．如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点，点C 表示的数为6，BC =4，AB =12.（1）写出数轴上点A 、B 表示的数；（2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CN CQ 1=3，设运动时间为()t t >0秒.t 为何值时，OM=2BN．（1）C Q 表示的数为6，4BC =，OB ∴=6-4=2，∴B 点表示2.AB =12Q ，AO ∴=12-2=10，A ∴点表示-10；（2）由题意得，点P 表示的数为t -10+6，点Q 表示的数为t 6-3，则点M 表示的数为t t -10-10+6=-10+32，又∵CN CQ 1=3，∴点N 表示的数为t 6-，由题意可得t t -10+3=24-，即t t -10+3=8-2，解得t 18=5或t =2．如图，A 是数轴上表示-30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点A 、B 、C 在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A 运动的速度是6个单位长度每秒，点B 和C 运动的速度是3个单位长度每秒.设三个点运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，线段AC =6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求PM PN 2-=2时t的值．学习是件很有意思的事（1）A 表示的数为t -30+6，B 表示的数为t 10+3，C 表示的数为t18+3||AC t =48-3=6，解得t =18或t =14（2）P 表示的数为t -15+3，M 表示的数为t 35+2，N 表示的数为t 39+2则PM t 3=-202，PN t 3=-242由题意得，PM PN 2-||t t 3=3-40--24=22解得，t 28=3或443．如图5-1，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x ．（1）如果点P 是AB 的中点，则x =________；（2）如图5-2，点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位/s 的速度向左运动，点B 以20个单位/s 的速度向右运动，在运动过程中，M 、N 分别是AP 、OB 的中点，问：AB OP MN-的值是否发生变化？请说明理由.图5-1图5-2（1）x =1；（2）AB OP MN-的值不发生变化.由题意，O 为原点，设运动时间为t 分钟.则P 表示的数为t ，A 表示的数为t -1-5，B 表示的数为t 20+3，则M 表示的数为t -1-42，N 表示的数为t 20+32．则AB t =25+4，OP t =，MN t =12+2，则AB OP MN-=2为定值．如图，在射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足20cm OA =，60cm AB =，10cm BC =（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发.学习是件很有意思的事（1）当2PA PB =时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的速度；（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ？（3）当点P 运动到线段AB 上时，取OP 和AB 的中点E ，F ，求OB AP EF -的值．（1）设O 为原点，则A 表示的数为20，B 表示的数为80，C 表示的数为90，设经过的时间t 秒后，PA =2PB.则P 表示的数为t ，PA t =20-，PB t =-80，∴t t 20-=2-80，可得t =60或t =140当t =60秒时，可得Q 的速度为550÷60=6（cm/s ）或者130÷60=2（cm/s ）当t =140秒时，可得Q 的速度为550÷140=14（cm/s ）或者330÷140=14（cm/s ）（2）设经过t 秒，P 、Q 两点相距70cm ，则P 表示的数为t ，Q 表示的数为903t -，∴PQ t =90-4=70，解得t =5或t =40∴t =5或t =40时，满足P 、Q 两点相距70cm（3）P 表示的数为t ，E 表示的数为t 2，F 表示的数为50，EF 的长度为()t t 50-20<<802OB =80，AP t =-20，所以OB AP EF-=2．模块二动线段问题如图，数轴上线段2AB =（单位长度），4CD =（单位长度），点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16.若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.（1）问运动多少时8BC =（单位长度）；（2）当运动到8BC =（单位长度）时，点B 在数轴上表示的数是_________；（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式BD AP PC-=3，若存在，求线段PC 的长；若不存在，请说明理由．（1）A 表示的数为t -10+6，B 表示的数为t -8+6，C表示的数为t16-2，D表示的数为t20-2由BC=8得到t t t-8+6-16+2=8⇒=4或t=2.（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16.（3）存在关系式BD AP PC-=3.设运动时间为t秒，设P原来表示的数为x，A表示的数为t6-10，B表示的数为t6-8，C表示的数为t16-2，D表示的数为t20-2，P表示的数为x t+6BD t=28-8，AP x=+10，PC t x=8+-16代入BD APPC-=3，解得x t=15-8或者x t33=-82，所以PC t x=8+-16=1或12．模块一线段的动点问题已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为-20，B 点对应的数为100.（1）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；（2）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．（1）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20+4，由题得，t t 100-6=-20+4，可得t =12，此时C 对应的数为28（2）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20-4，由题得，t t 100-6=-20-4，可得t =60s ，此时D表示的数为-260．如图2-1，点A 、B 分别在数轴原点O 的左右两侧，且OA OB 1+50=3，点B 对应数是90．（1）求A 点对应的数；（2）如图2-2，动点M 、N 、P 分别从原点O 、A 、B 同时出发，其中M 、N 均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P 向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t 秒，问当t 为何值时，点M 、N 之间的距离等于P 、M 之间的距离；（3）如图2-3，将（2）中的三动点M 、N 、P 的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q 为线段MN 的中点，R 为线段OP 的中点，求RQ RO PN 22-28-5．图2-1图2-2图2-3（1）A 对应的数为-120．（2）M 表示的数为2t ，N 表示的数为t -120+7，P 表示的数为t90-8||MN t =-120+5||PM t t s =10-90⇒=14．（3）N 表示的数为t -120-7，M 表示的数为t -2，P 表示的数为t 90+8，Q 表示的数为t 9-60-2，R 表示的数为t 45+4(.)()()RQ RO PN t t t 22-28-5=105+85⨯22-2845+4-5210+15=0．如图3-1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB AC 1=2，点C 对应的数是200．（1）若300BC =，求点A 对应的数；（2）如图3-2，在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足4MR RN =（不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）；（3）如图3-3，在（1）的条件下，若点E 、D 对应的数分别为-800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点D 运动到点A 的过程中，32QC AM -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．图3-1图3-2图3-3（1）∵BC AC 1=300=2∴AC =600∵C 对应的数是200，则A 对应的数为200-600=-400（2）设t 秒时，MR RN =4则P 表示的数为t -400-10，R 表示的数为t -400+2，Q 表示的数为t 200-5，∵M 为PR 的中点，∴M 表示的数为t-400-4∵N 为RQ 的中点，∴N 表示的数为t 3-100-2()MR t t t =-400+2--400-4=6（M 在左，R 在右）()RN t t t 37=-100---400+2=300-22（N 在右，R 在左）MR RN t t t s 7⎛⎫=4⇒6=4⨯300-⇒=60 ⎪2⎝⎭.∴经过s 60时满足MR RN =4（3）设运动时间为t 秒，则P 表示的数为t -800-10，Q 表示的数为t -5.M 为PQ 的中点，则M 表示的数为t t t -800-10-515=-400-22.()QC t t =200--5=200+5，t AM 1515⎛⎫=-400--400-= ⎪22⎝⎭∴()QC AM t 3315-=200+5⨯-=300222为定值.模块二动线段问题如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点同时从P 、B 出发分别以1cm/s 和2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）．已知C 、D 运动到任一时刻时，总有PD AC =2．（1）线段AP 与线段AB 的数量关系是______________；（2）若Q 是线段AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求证：AP PQ =；（3）若C 、D 运动5秒后，恰好有CD AB 1=2，此时C 点停止运动，D 点在线段PB 上继续运动，M 、N 分别是CD 、PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MNAB 的值．（1）根据C 、D 的运动速度知：2BD PC =，PD AC =2Q ，∴()BD PD PC AC +=2+，即2PB AP =，∴点P 在线段AB 上的13处，即AB AP =3.故答案为：AB AP =3；（2）证明：如图1，由题意得AQ BQ >，AQ AP PQ ∴=+，又AQ BQ PQ -=Q ，AQ BQ PQ ∴=+，AP BQ ∴=.由（1）得，AP AB 1=3，PQ AB AP BQ AB 1∴=--=3.（3）运动5秒时，cm PC =5，cm BD =10.由（1）可知AP AB 1=3设AP x =，则AC AP PC x =-=-5，PB x =2，PD PB BD x =-=2-10.CD AB 1=2Q ，()x x x x 1∴+2-10=⨯3⇒=102则D 仍为动点，设A 为原点AB AP =3=30Q ∴B 表示的数为30，设运动了t 秒（t >5）则D 表示的数为t 30-2，因为M 为CD 的中点，所以M 表示的数为t 5+30-22因为N 为PD 的中点，所以N 表示的数为t 10+30-22t t MN 10+30-25+30-25=-=222MN AB 512∴==3012为定值.。
第22讲 线段中的动点问题
第二十二讲线段中的动点问题1.如图，C为线段AB上一点，AC＝20，BC＝10.(1)点P从A点出发，以1个单位长度/秒的速度在线段AB上向B点运动，设运动时间为t秒，D为PB 的中点，E为PC的中点，若DE＝5CD，试求点P运动时间的值；(2)若P从A点出发，以1个单位长度/秒的速度在线段AB上向B点运动，同时点Q从B点出发，以56个单位长度/秒的速度在AB的延长线上与P点同向运动，运动时间t＜30秒，D为PB的中点，F为DQ的中点，E在PB上且PE＝13PB，在P，Q两点运动过程中，请探究DE与DF的数量关系.2.如图，已知线段AB＝18，CD＝6，线段CD在直线AB上运动(A在B左侧，C在D左侧). （1）若M，N分别为线段AC，BD的中点，求MN；（2）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，求2PA PBPC的值.A E D C BPA E D F BP Q3.已知线段AB ＝12cm ，（1）点C 是直线AB 上一点，点D 是BC 的中点，点E 是AC 的中点，求DE 的长；（2）如图，点M 是线段AB 上一点，若动点P 从点M 出发，以2cm /s 的速度向点A 运动，同时动点口 从点B 出发，以3 cm /s 的速度向点M 运动(P 在线段AM 上，Q 在线段BM 上)，若P ，M 在运动的过程中，总有2MQ ＝3AP ，求AM BM的值； (3)若线段AB 在数轴上，且点A 在数轴上对应的数为m ，点B 在点A 右侧，点B 对应的数为n ，点F 是数轴上一点，点F 对应的数是x ，请你探索式子:①|x －m |－|x －n |的最大值和最小值分别为多少?②|x －m |＋|x －n |的最小值为多少?4.已知点A 表示的数是－8，点B 表示的数是12，点M ，N 分别从O ，B 出发同时向左匀速运动，M 的速度为1个单位长度每秒，N 的速度为3个单位长度每秒，若点P 为线段AM 的中点，Q 为线段BN 的中点，在M ，N 运动过程中，PQ ＋MN 的长度是否发生变化?若不变，请说明理由；若变化，当t 为何值时，PQ ＋ MN 有最小值?最小值是多少?B A P M Q5.已知数轴上，点O为原点，点A对应的数是13，长度为5的线段BC在数轴上移动(点B在点C的左边) (1)当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足AC＝OB，求此时点B所表示的数;(2)线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC－OB＝12AB?若存在，求此时点B所表示的数;若不存在，请说明理由6.直线l上从左到右依次有三点A、B，C，且AB＝10，BC＝24，点P为射线AB上一动点，在射线AP上取点E，F，使PE＝AP，PF＝BP(1)若CE＝3，则AP＝；(2)若点P在线段BC上运动，点M为线段EC的中点，求线段PM的长度.。
动点问题线段初一例题
动点问题线段初一例题1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在初中数学中超常见的主题——动点问题。
别担心，不会让你觉得无聊得像看干巴巴的教科书。
我们要用轻松幽默的方式，给你讲解这个看似复杂但其实挺简单的概念。
记住，动点问题就像你在操场上追逐朋友一样，充满了动感和乐趣！2. 动点的定义2.1 什么是动点？首先，什么是动点呢？简单来说，动点就是在某条线段上移动的小点。
就像你在水上漂浮的橡皮鸭子，慢慢地在水面上游动，不断改变位置。
它的位置是随着时间变化的，真是个灵活的小家伙，对吧？2.2 线段的概念再来聊聊线段。
线段就是两点之间的直线，比如说你在操场上画的那条线，起点是你，终点是你的好朋友。
动点在这条线段上游走，就像你们在操场上跑来跑去，乐此不疲。
这个过程其实充满了变化，让我们来看看动点在不同情况下会发生什么！3. 动点问题的例题解析3.1 例题设置好啦，既然聊到动点了，那我们来设定一个具体的例子。
假设有一条线段AB，A点在0，B点在10。
然后，有一个小动点P，它从A点出发，以每秒2单位的速度向B 点移动。
那么问题来了，经过多少时间P才能到达B点呢？3.2 解决问题这其实不难，动点P的速度是每秒2单位，线段AB的长度是10单位。
想要到达B点，我们只需要用总距离除以速度，听起来是不是很简单？所以我们来算一下：10 ÷ 2 = 5秒！哇，这个动点真是飞得快，五秒钟就到达了终点，跟闪电似的。
不过，动点问题不止于此哦！假如我们让这个动点在A点和B点之间来回跑呢？它的速度不变，还是每秒2单位，但我们加点戏剧性。
假设P到达B点后，不停地来回折返，像个小猴子一样，乐此不疲。
我们可以算算它在10秒内来回跑了多少次。
4. 小结与反思4.1 总结动点问题所以，动点问题其实是对变化和时间的一种探索，像是在玩一种有趣的游戏。
我们用简单的计算和思维，轻松地解决了动点的移动问题。
动点就像我们的生活，总在不断变化，偶尔让人摸不着头脑，但只要我们认真思考，总能找到解决的方法。
第4章 素养拓展专题 线段中的简单动点问题-2022-2023学年七年级上册初一数学(人教版)
第4章素养拓展专题线段中的简单动点问题-2022-2023学年七年级上册初一数学（人教版）一、引言在线段中的简单动点问题是数学中常见的问题之一，它涉及到线段的长短、动点的运动速度等概念。
通过解决这类问题，不仅可以增加学生对线段的理解，还可以培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
本文将针对线段中的简单动点问题展开讨论，以帮助初一学生更好地理解和应用相关知识。
二、线段的基本概念回顾在解决线段中的简单动点问题之前，我们首先需要回顾线段的基本概念。
线段是由两个端点确定的一段直线，用AB表示。
线段的长度可以用线段的两个端点坐标计算得到，即AB的长度等于|AB| = √( (x₁-x₂)² + (y₁-y₂)² )。
三、线段中的简单动点问题线段中的简单动点问题是指给定一个线段，并在线段上设定一个点，通过给定的条件求解动点的运动速度、运动时间等问题。
下面我们将介绍几个常见的线段中的简单动点问题及解决方法。
1. 动点在线段上匀速运动问题描述：一个长度为10米的线段AB，点C在线段AB上匀速运动，由A出发，10秒后到达B点，求点C的运动速度。
解决方法：根据题意可知点C在10秒内从A点运动到B点，所以点C的运动速度可表示为 v = (10m - 0m) / 10s = 1m/s。
2. 动点在线段上匀加速运动问题描述：一个长度为20米的线段CD，点E在线段CD上从静止开始做匀加速运动，经过4秒钟，点E的速度达到5m/s，请问点E此时离点C的距离是多少？解决方法：根据题意可知点E在4秒内速度从0m/s加速到5m/s，所以点E的加速度可表示为 a = (5m/s - 0m/s) / 4s = 1.25m/s²。
根据匀加速运动的规律可知，点E在4秒钟内的位移为 d = v₀t + (1/2)at² = 0m/s * 4s + (1/2) *1.25m/s² * (4s)² = 10m。
人教版数学七年级上学期专题08 线段上动点问题的三种考法(原卷版+解析版)(人教版)
专题08 线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A ，B ，C 三点，A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <，点C 在B 的右侧，2AC AB -=．(1)如图1，若多项式()371231mn x x x +--+-是关于x 的二次三项式，请直接写出m ，n 的值：(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A ，B 之间沿数轴水平滑动（不与A ，B 重合），点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点，在EF 滑动过程中，线段MN 的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m ，n 的式子表示）； ②若24AD BD +=，试求线段AB 的长．【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．【变式训练3】如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．类型二、证明定值问题例.如图，已知线段AB m =，CD n =，线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧），若()21260m n -+-=． （1）求线段AB ，CD 的长；（2）若点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =，求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段AB 的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PB PC -是定值，②PA PBPC+是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【变式训练2】如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【变式训练3】(1)如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PBPC+的值不变.类型三、数量关系例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8,CE =点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时，若1CF =，则AB =_________，点C 对应的数为________，BE =________；（2）如图2，当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时，画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝43 AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝_______；（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求ADCE的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．课后作业1.已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB ． （1）填空：a= ，b= ，c=（2）点D 从点A 开始，点E 从点B 开始， 点F 从点C 开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间为t 秒．试问： ①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F 在追上E 点前，是否存在常数k ，使得DF k EF +⋅的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由．2．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若18AB =，8DE =，线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；(2)点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，3AF AD =，3CE EF +=，求AD 的长．3.已知线段AB ，点C 在直线AB 上，D 为线段BC 的中点．(1)若8AB =，2AC =，求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点，请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由．4.已知：如图1，M 是定长线段AB 上一定点，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）(1)若AB ＝11cm ，当点C 、D 运动了1s ，求AC +MD 的值． (2)若点C 、D 运动时，总有MD ＝3AC ，直接填空：AM ＝ BM ． (3)在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求2MN3AB的值．5．如图，在数轴上A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ，C 点表示的数为c ，b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________，b =________，c =________．（2）点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，13PA PB PC ++=，求x 的值． （3）点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.（1）发现：C E F在线段AB上，当点,E F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为如图1，线段12AB ，点,,_________；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB，其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F点的理由.7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为（直接写出答案）．(2)当x＝1时，代数式a3x+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a3x+bx+2021的值．(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求ACAB的值；②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时ADAB的值．8．已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB ＝12cm ，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）（1）若AM ＝4cm ，当点C 、D 运动了2s ，此时AC ＝ ，DM ＝ ；（直接填空） （2）当点C 、D 运动了2s ，求AC +MD 的值．（3）若点C 、D 运动时，总有MD ＝2AC ，则AM ＝ （填空） （4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求MNAB的值．9．如图，数轴正半轴上的A ，B 两点分别表示有理数a ，b ，O 为原点，若3a =，线段5OB OA =.（1）=a ______，b =______；（2）若点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度向x 轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍；（3）数轴上还有一点C 表示的数为32，若点P 和点Q 同时从点A 和点B 出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C 点运动，P 点到达C 点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A ，求点P 和点Q 运动多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为4.10．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.（直接写出答案）11．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有1CD AB2，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．专题08 线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A ，B ，C 三点，A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <，点C 在B 的右侧，2AC AB -=．(1)如图1，若多项式()371231mn x x x +--+-是关于x 的二次三项式，请直接写出m ，n 的值： (2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A ，B 之间沿数轴水平滑动（不与A ，B 重合），点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点，在EF 滑动过程中，线段MN 的长度是否发生变化，请判断并说明理由； (3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m ，n 的式子表示）； ②若24AD BD +=，试求线段AB 的长．【答案】(1)5m =-，1n =；(2)不变化，理由见解析；(3)①12m n ++；②103【解析】(1)解：由题可知，n -1=0，7+m =2， ∠1n =，5m =-故答案为：5m =-，1n =(2)解：MN 的长不发生变化，理由如下： 由题意，得点C 表示的数为3，设点E 表示的数为x ，则点F 表示的数为1x +∠6AB = ，2BC = ，5AE x =+ ，6AF x =+ ，3EC x =- ，BF x =-， ∠点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点 ∠32x MC ME -==，2x NF -=，即311222x x MN ME EF FN --=--=--=(3)解：①∠A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <又点C 在B 的右侧，∠AB =n -m ∠2AC AB -=，∠AC = n -m +2∠点D 是AC 的中点，∠AD =12AC = 12（n -m +2）∠D 表示的数为：m +12（n -m +2）=12m n ++ ②依题意，点C 表示的数分别为2n + ∠AB n m =-，1122m n n mAD m +-=+-=+ ∠1122m n m n BD n +-=+-=+，22122m nBD m n -=+=-+ ∠24AD BD +=，即1242n mm n -++-+= 当20m n -+>时．()1242n mm n -++-+=，2m n -= ∠m n <，∠2m n -=不符合题意，舍去 当20m n -+<时．()1242n m m n -+--+=，103n m -= 综上所述，线段AB 的长为103.【变式训练1】如图1，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB ，AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB ＝15cm ．动点P 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BA 向点A 匀速运动，点P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t （s ），当t ＝__s 时，Q 为A ，P 的“巧点”．【答案】是 7.5或457【解析】（1）若线段中点为C 点，AB ＝2AC ，所以中点是这条线段“巧点”（2）设A 点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t 秒；t 最大＝7.5，A ：0，P ：0+2t ＝2t ，Q ：15﹣t ，①Q为AP中点，20152tt+-=，∠t＝7.5；②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，∠AQ＝2PQ，∠15﹣t＝2（3t﹣15），∠457t=；③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∠t＝9>7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或457．故答案为：（1）是；（2）7.5或457．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．【答案】(1)7cm；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∠AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∠AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∠AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∠BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∠AM=13 BM故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∠BM＝AB﹣AM∠AB﹣AM＝3AM，∠AM＝14 AB，①当点N在线段AB上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣AM ＝MN ，∠BN ＝AM ＝14AB ，∠MN ＝12AB ，即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣BN ＝AB ，∠MN ＝AB ，∠MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或23【变式训练3】如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．【答案】1或53【解析】设运动的时间为t 秒，点M 表示的数为m则OC=t ，BD=4t ，即点C 在数轴上表示的数为-t ，点D 在数轴上表示的数为b -4t ， ∠AC=-t -a ，OD=b -4t ，由OD=4AC 得，b -4t=4（-t -a ），即：b=-4a ， ①若点M 在点B 的右侧时，如图1所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（m -b ）=m ，即：m=b -a ； ∠=1b a B O mA m M m-== ②若点M 在线段BO 上时，如图2所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（b -m ）=m ，即：m=a+b ；∠=4543b a b a a a m a AB b a a OM ----===+- ③若点M 在线段OA 上时，如图3所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（b -m ）=-m ，即：433a b a am a +-===- ∠此时m ＜0，a ＜0，∠此种情况不符合题意舍去； ④若点M 在点A 的左侧时，如图4所示：由AM -BM=OM 得，a -m -（b -m ）=-m ，即：m=b -a=-5a ；而m ＜0，b -a ＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述，AB OM 的值为1或53． 类型二、证明定值问题例.如图，已知线段AB m =，CD n =，线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧），若()21260m n -+-=． （1）求线段AB ，CD 的长；（2）若点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =，求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段AB 的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PB PC -是定值，②PA PBPC+是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1）12AB =，6CD =；（2）9；（3）②正确，2PA PBPC+=，见解析 【解析】（1）由()21260m n -+-=，()212600m n ≥--≥，，12=06=0m n --，， 得12m =，6n =，所以12AB =，6CD =； （2）当点C 在点B 的右侧时，如图，因为点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =， 所以()()1124118222AM AC AB BC ==+⨯+==，()()111645222DN BD CD BC ===++=， 又因为124622AD AB BC CD =++=++=， 所以22859MN AD AM DN =--=--=， 当点C 在点B 的左侧时，如图，因为点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点， 所以()()1111244222AM MC AC AB BC ===--==，()()111641222BN ND BD CD BC ===--==， 所以126414AD AB CD BC =+-=+-= 所以14419MN AD AM DN =--=--=． 综上，线段MN 的长为9； （3）②正确，且2PA PBPC+=．理由如下： 因为点D 与点B 重合，所以BC DC =，所以6AC AB BC AB DC =-=-=，所以AC BC =， 所以()()222PC AC PC BC PA PB PC AC BC PCPC PC PC PC++-++-====．【变式训练1】已知线段AB ＝m ，CD ＝n ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧，C 在D 的左侧），且m ，n 满足|m －12|＋（n －4）2＝0. （1）m ＝ ，n ＝ ；（2）点D 与点B 重合时，线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C 在线段AB 上，若M 是线段AC 的中点，N 是线段BD 的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）∠|m－12|＋（n－4）2＝0，∠m－12=0，n－4=0，∠m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∠AB=12，CD=4，∠M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∠AM=CM=12AC ，DN=BN=12BD∠MN=CM+CD+DN=12AC +CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=12(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：81013231a a，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∠E是线段BC的中点，∠CE= BE=12BC=2+t；∠．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∠FC-5 DE =0；∠．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∠FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；∠．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∠FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【变式训练2】如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【答案】（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=4，NP=23BP=2，∠MN=MP+NP=6；若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=8，NP=23BP=2，∠MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．（2）MN的长不会发生改变，理由如下：设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=23（a+6），NP=23BP=23（3-a），∠MN=MP+NP=6；当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=23（a+6），NP=23BP=23（a-3），∠MN=MP-NP=6．综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．【变式训练3】(1)如图1，在直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PBPC+的值不变.【答案】（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由见解析；（2）见解析.【详解】解：（1）①∠关于x 的方程()46n x n -=-无解．∠4n -=0，解得：n=4．故AB=4． ②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由如下： ∠M 为线段PB 的中点，∠PM= 12PB ．同理：PN=12AP ．．∠MN=PN+PM= 12（PB+AP ）=12AB=12×4=2．∠线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关． （2）设AB=a ，BP=b ，则PA+PB=a+b+b=a+2b ． ∠C 是AB 的中点，1122BC AB a ∴== 12PC PB BC a b ∴=+=+，2212PA PB a bPC a b ++∴==+， 所以PA PBPC+的值不变.类型三、数量关系 例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8,CE =点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时，若1CF =，则AB =_________，点C 对应的数为________，BE =________；（2）如图2，当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时，画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【答案】（1）16；2；2；（2）2BE CF =，画图见解析． 【解析】（1）数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，12(4)16AB ∴=--=8,1CE CF ==7EF CE CF ∴=-=点F 是AE 的中点，7AF EF ∴==，6AC AF CF ∴=-=6AC AO CO =+=，2CO ∴=，C ∴对应的数是2，2BE AB AF EF ∴=--=故答案为：16；2；2； （2）,BE AB AE CF CE EF =-=-，点F 是AE 的中点，2AE EF ∴=162,8BE AB AE EF CF CE EF EF ∴=-=-=-=-，2BE CF ∴=故答案为：（1）16；2；2；（2）2BE CF =，画图见解析．【变式训练1】如图，已知线段AB ，延长线段BA 至C ，使CB ＝43AB ．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm ，点D 从点B 出发，点E 从点A 出发，分别以3cm/s ，1cm/s 的速度沿直线AB 向左运动．①当点D在线段AB 上运动，求ADCE的值； ②在点D ，E 沿直线AB 向左运动的过程中，M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．当点C 恰好为线段BD 的三等分点时，求MN 的长． 【答案】（1）13，（2）3，（3）12cm 或24cm ．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB ＝43AB ，∴CA ＝13BC AB AB -=，13AC AB =，故答案为：13； （2）①AB ＝ 9cm ，由（1）得，133CA AB ==（cm ），设运动的时间为t 秒， (93)DA t =-cm ，(3)CE t =-cm ，93=33AD tCE t-=-，②当3BD CD =时，∠AB ＝ 9cm ， 3CA =cm ，∠212CB CD ==cm ， ∠6CD =cm ，318BD CD ==cm ，运动时间为：18÷3=6（秒），则6AE =cm ，15BE BA AE =+=cm ，3ED BD BE =-=cm ，∠M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．∠ 1.5DM =cm ， 4.5BN =cm ， 12MN BD DM BN =--=cm ，当3BD CB =时，∠AB ＝ 9cm ， 3CA =cm ，∠12CB =cm ，∠336BD CB ==cm ，运动时间为：36÷3=12（秒），则12AE =cm ，21BE BA AE =+=cm ，15ED BD BE =-=cm ， ∠M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．∠7.5DM =cm ， 4.5BN =cm ，24MN BD DM BN =--=cm ，综上，MN 的长是12cm 或24cm ．【变式训练2】已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧，（1）若AB ＝18，DE ＝8，线段DE 在线段AB 上移动， ①如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长； ②当点C 是线段DE 的三等分点时，求AD 的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）1742或116【详解】解：（1）∠AC＝2BC，AB＝18，∠BC＝6，AC＝12，①∠E为BC中点，∠CE＝3，∠DE＝8，∠CD＝5，∠AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∠点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∠CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，∠CD＝163或CD＝83，∠AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=283；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∠AB＝3x，∠AB＝2DE，∠DE＝1.5x，设CE＝y，∠AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∠AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∠32AD ECBE+=，∠0.532x y yx y++=-，∠y＝27x，∠CD＝1.5x﹣27x＝1714x，∠171714342==xCDAB x；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∠DC＝EC+DE＝y+1.5x，∠AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∠32AD ECBE+=，BE＝EC+BC＝x+y，∠0.532y x yx y-+=+，∠y＝4x，∠CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∠AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∠5.51136==CD x AB x ， 当点E 在线段AC 上及点E 在点B 右侧时，无解， 综上所述CD AB 的值为1742或116． 故答案为：1742或116． 课后作业1.已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB ． （1）填空：a= ，b= ，c=（2）点D 从点A 开始，点E 从点B 开始， 点F 从点C 开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间为t 秒．试问：①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F 在追上E 点前，是否存在常数k ，使得DF k EF +⋅的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 【解析】（1）∠最小正数为1．最大的负整数为小-1，a 在最大的负整数左侧1个单位长度 ∠点A 表示的数a 为-1-1=-2，点B 表示的数b 为1， ∠AB=1-（-2）=3∠223=6BC AB ==⨯，∠点C 表示的数为c=1+6=7， 故答案为：-2，1，7；（2）①依题意，点F 的运动距离为4t ，点D 、E 运动的距离为t,∠点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t ，1-t ， 7-4t,当点F 追上点D 时，必将超过点B ， ∠存在两种情况，即DE=EF 和DF=EF ，如图，当DE=EF ，即E 为DF 的中点时，()21=274t t t ----+，解得，t=1，如图，当EF=DF ，即F 为DE 中点时，()74=21t t t ---+-2，解得t=52，综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝52时，满足题意． ②存在，理由：点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t ，1-t ，7-4t,如图，F 在追上E 点前， ()74-2=93DF t t t =----，()74-1=63EF t t t =---， ()()93639633DF k EF t k t k k t +⋅=-+-=+-+，当DF k EF +⋅与t 无关时，需满足3+3k=0， 即k=-1时，满足条件．故答案为：（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 2．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若18AB =，8DE =，线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；(2)点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，3AF AD =，3CE EF +=，求AD 的长． 【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)2AC BC =，18AB =，6BC ∴=，12AC =， 如图1，E 为BC 中点，3CE BE ∴==，8DE =，∴8311BD DE BE =+=+=，∴18117AD AB DB =-=-=，(2)Ⅰ、当点E 在点F 的左侧，如图2，或∵3CE EF +=，6BC =，∴点F 是BC 的中点， ∴3CF BF ==，∴18315AF AB BF =-=-=，∴153AD AF ==，∵3CE EF +=，故图2（b ）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点E 在点F 的右侧，或12AC ，3CE EF CF +==，∴9AF AC CF =-=， ∴39AF AD ==， 3AD ∴=．∵3CE EF +=，故图3（b ）这种情况求不出； 综上所述：AD 的长为3或5．3.已知线段AB ，点C 在直线AB 上，D 为线段BC 的中点．(1)若8AB =，2AC =，求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点，请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由． 【答案】(1)3或5(2)2AB DE =，理由见解析【解析】(1)解：如图1，当C 在点A 右侧时，∠8AB =，2AC =，∠6C AB C B A =-=， ∠D 是线段BC 的中点，：∠132CD BC ==； 如图2，当C 在点A 左侧时，∠8AB =，2AC =，∠10BC AB AC =+=， ∠D 是线段BC 的中点，∠152CD BC ==；综上所述，3CD =或5； (2)解：2AB DE =．理由是：如图3，当C 在点A 和点B 之间时，∠E 是AC 的中点，D 是BC 的中点，∠2AC EC =，2BC CD =， ∠222AB AC BC EC CD DE =+=+=； 如图4，当C 在点A 左侧时，同理可得：()2222AB BC AC CD CE CD CE DE =-=-=-=； 如图5，当C 在点B 右侧时，同理可得：()2222AB AC BC EC CD EC CD DE =-=-=-=．4.已知：如图1，M 是定长线段AB 上一定点，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）(1)若AB ＝11cm ，当点C 、D 运动了1s ，求AC +MD 的值． (2)若点C 、D 运动时，总有MD ＝3AC ，直接填空：AM ＝ BM ． (3)在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求2MN3AB的值． 【答案】(1)7cm ；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C 、D 运动了1s 时，CM ＝1cm ，BD ＝3cm ∠AB ＝11cm ，CM ＝1cm ，BD ＝3cm∠AC +MD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝11﹣1﹣3＝7cm ．(2)解：设运动时间为t ，则CM ＝t ，BD ＝3t ，∠AC ＝AM ﹣t ，MD ＝BM ﹣3t ， 又MD ＝3AC ，∠BM ﹣3t ＝3AM ﹣3t ，即BM ＝3AM ，∠AM =13BM ，故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∠BM ＝AB ﹣AM ，∠AB ﹣AM ＝3AM ，∠AM ＝14AB ，①当点N 在线段AB 上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣AM ＝MN ，∠BN ＝AM ＝14AB ，∠MN ＝12AB ，即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣BN ＝AB ，∠MN ＝AB ，，∠MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或235．如图，在数轴上A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ，C 点表示的数为c ，b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________，b =________，c =________．（2）点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，13PA PB PC ++=，求x 的值．（3）点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）3-，1-，9；（2）13x =或1x =或53x =或233x =；（3）167t =，1，2617，8，12【详解】解：（1）∠b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=， ∠b=-1，a+3=0，c -9=0， ∠a=-3，c=9．故答案为：-3；-1；9．（2）由题意知，此过程中，当点P 在AB 上时． ∠PA+PB=AB=b -a=-1-(-3)=2． ∠()13-=13-2=11PC PA PB =+．又∠BC=c-b=9-(-1)=10．∠PB=PC-BC=11-10=1．当P从B到A时，如图所示：∠PB=1，可以列方程为：3x=1，解得：x=1；当P从A到C时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示：可以列方程为：3x=3,解得：x=1，②当P在线段BC之间时，如图所示：∠PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∠PB+PC=10∠PA=13-10=3，∠PB=PA-AB=3-2=1，可列方程为：3x=5，解得：53x=．当P从C到B时，如图所示：可列方程为：3x=23，解得：233x=．综上所述，13x=或1x=或53x=或233x=．（3）当点从为PN中点时，当0<t<23时，点P向A运动，．此时，P=-1-3t，M=-3+4t，N=9-5t．（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t=78（舍去）．当23≤t≤43时，点P从A返回向B运动．此时，P=-3+3（t-23）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．当P为MN中点时，t>43．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t=167．当点N为PM中点时，t>43．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=2617．综上所述，t的值为1，167或2617．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.（1）发现：如图1，线段12AB=，点,,C E F在线段AB上，当点,E F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为_________；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB，其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F点的理由.【答案】（1）6；补图见解析，12EF AB=（2）①见解析（答案不唯一）②见解析.【详解】解：（1）点,,C E F在线段AB上时，因为点E是线段AC的中点，所以CE=12AC，因为点F是线段BC的中点，所以CF=12BC，所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB，又AB=12，所以EF=6．。
线段计算中的动点问题
线段计算中的动点问题
动点问题的关键是确定动点在给定线段上的位置，通常需要考虑动点的速度、加速度以及线段的长度和方向。
在实际应用中，动点问题可以用来描述物体在直线上的运动，比如汽车在公路上的行驶、物体在斜面上的滑动等等。
解决动点问题需要运用数学知识，比如利用微积分来描述动点的运动规律，利用向量来表示动点的位置和速度等等。
通过对动点问题的分析和计算，可以得到动点在给定线段上的轨迹和位置，从而更好地理解和描述物体的运动过程。
总的来说，线段计算中的动点问题是一个具有挑战性和实际应用价值的数学问题，通过对动点问题的研究和解决，可以更好地理解和描述物体的运动规律，为实际应用提供有力的支持。
初一线段动点问题解题技巧
初一线段动点问题解题技巧
初一线段动点问题是初中数学中的一个重要知识点，主要涉及
到线段的长度、位置等变化问题。
解题时，我们可以采用以下技巧：
1. 确定变量，首先，我们需要确定线段的两个端点的坐标，并
引入一个表示动点的变量，通常用字母表示。
例如，若线段的两个
端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，动点P的坐标为(x, y)，我们
就可以用变量(x, y)来表示动点P的位置。
2. 建立方程，根据题目所给条件，我们可以建立关于动点P的
方程。
例如，如果题目要求动点P到线段AB的距离为定值，我们可
以利用距离公式建立方程。
如果题目要求动点P满足某种条件，也
可以根据条件建立相应的方程。
3. 求解问题，根据建立的方程，我们可以利用代数运算、方程
组的解法等方法，求解动点P的坐标或满足条件的范围。
4. 分类讨论，有时候，线段动点问题可能会涉及到不同情况的
讨论，比如动点P在线段AB的延长线上的位置、线段AB的中点等
情况，我们需要根据具体情况进行分类讨论，分别建立方程并求解。
5. 检查答案，最后，我们需要将求得的动点坐标代入原题中，检查是否满足题意，确保答案的正确性。
总的来说，初一线段动点问题的解题技巧主要包括确定变量、建立方程、求解问题、分类讨论和检查答案等步骤。
通过灵活运用这些技巧，我们可以更好地解决线段动点问题。
七年级数学上册线段上动点问题的四种常见类型专题讲解
线段MN的长度不发生变化，其值为5.
分下面两种情况：
①当点P在A，B两点之间运动时(如图甲)，
MN＝MP＋NP＝ AP＋ BP＝ AB＝5；
1
1
1
2
2
2
②当点P在点A的左侧运动时(如图乙)，
MN＝NP－MP＝ 1 BP－ 1 AP＝ 1 AB＝5. 综上所述，线段M2N的长度2 不发生2变化，其值为5.
4．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于 有意义的方面．下面就两个情景作出评判．
情景一：如图①，从教学楼到图书馆，总有少数 同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试 用所学数学知识来说明这个问题．
两点之间，线段最短．
情景二：如图②，A，B是河流l两旁的两个村庄， 现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站 修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中 表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
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类型 3 线段和差倍分关系中的动点问题
3．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位 长度/s的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
(1)出发多少秒后，PB＝2AM?
解：设出发t s后，PB＝2AM， 则PA＝2t，PB＝24－2t，AM＝t. 所以24－2t＝2t，解得t＝6. 即出发6 s后，PB＝2AM.
设运动时间为y s. 因为PA＝2y，AM＝PM＝y，
PB＝2y－24，PN＝ 1 PB＝y－12， 所以①MN＝PM－PN2＝y－(y－12)＝12，
即MN的长度不变，为定值； ②MA＋PN＝y＋y－12＝2y－12， 所以MA＋PN的值是变化的． 综上所述，①正确，且MN的长度为12.
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完整版)初一上数学线段动点问题
完整版)初一上数学线段动点问题数学的动点问题1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1和3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
1) 若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数。
解：由于P到A和P到B的距离相等，因此P点在A和B的中垂线上，所以P对应的数为1.2) 数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，求出x的值。
若不存在，请说明理由。
解：存在。
点P到点A、点B的距离之和为5的点P在A和B的连线上，且距离A点1.5个单位长度，距离B点3.5个单位长度，所以x的值为-1.5或3.5.3) 当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？解：设P点向左运动t分钟，此时P点的坐标为-x，由于P点到A、B的距离相等，因此有方程|x+1|=|x-3|，解得x=-1.所以P点在数轴上的坐标为-1，此时P点到A、B的距离分别为2和4，距离B点的距离是距离A点的距离的两倍，因此P 点在B点的左侧，P点到B点的距离在不断减小，P点到A点的距离在不断增大。
设t分钟后P点到A、B的距离相等，此时P点的坐标为-x-t，解得t=2/23.2.数轴上点A对应的数是-1，B对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位长度的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒。
1) 求点C对应的数。
解：小虫甲从B到C再返回A的过程中，共经过的距离为4秒×4个单位长度=16个单位长度，因此C点对应的数为3.2) 若小虫甲返回到A点后作如下运动：第1次向右爬行2个单位长度，第2次向左爬行4个单位长度，第3次向右爬行6个单位长度，第4次向左爬行8个单位长度，…依次规律爬下去，求它第10次所停在点所对应的数。
解：小虫甲第1次向右爬行2个单位长度，到达点D，D点对应的数为3，第2次向左爬行4个单位长度回到点B，第3次向右爬行6个单位长度到达点E，E点对应的数为9，第4次向左爬行8个单位长度回到点A，第5次向右爬行10个单位长度到达点F，F点对应的数为21，以此类推，第10次停在点G，G点对应的数为-11.3) 若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度爬行，这时另一只小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位长度的速度爬行，设小虫甲爬行后对应的点为E，小虫乙爬行后对应的点为F。
专题09 线段上动点问题的两种考法(解析版)(北师大版)
（3）分 N 在线段 AB 上和点 N 在线段 AB 的延长线上两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：∵ CM 2 1 2 ， BD 23 6 ，
又∵点 A 表示 3 ，点 B 表示 7，
∴ AM 3 ， BM 7
∴ MD BM BD 7 6 1
∴ CD CM MD 2 1 3 ．
①当点 E 是线段 BC 的中点时，求 AD 的长；
②当点 C 是线段 DE 的三等分点时，求 AD 的长；
(2)若
AB
2DE
，点
E
在线段
AB
上移动，且满足关系式
AD EC BE
3 2
，则
CD AB
（直接写
出结果）．
【答案】(1)①4，② 32 ；(2) 17
3
42
【分析】（1）根据已知条件得到 BC 8，AC = 16 ，①由线段中点的定义得到 CE 4 ，求得
∴ AD AC CD 16 12 4 ；
②∵点 C 是线段 DE 的三等分点，DE＝16，
∴ CE 1 DE 16 或 CE 2 DE 32 8 BC （不合题意，舍去），
3
3
3
3
∴ CD DE CE 16 32 16 ， 33
∴ AD AC CD 16 16 32 ； 33
4
AB
【答案】(1) CD 3
(2)当
t
6 5
时点
D
是线段
BC
的中点
(3) MN 1 或 1 AB 2
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出 C、D 运行的路程，进而求出 MD 的值，根据
CD CM MD 可求；
（2）先表示出 BD 和 CD，再根据点 D 是线段 BC 的中点，列方程求解；
寒假作业13 线段中的动点问题(解析版)
寒假作业13 线段中的动点问题一、解题常用的数学思想分类讨论思想，数形结合思想，方程思想．二、解题方法：1．通过审题了解动点的运动起止位置、运动路径、速度、以及与其它点的相对位置关系，利用已知条件表示运动路径长.注意：动点与图形中的临界点的相对位置变化，可能引起表达式的变化．2．根据已知条件列方程、关系式即可．1．如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则点P为点A和B的黄金伴侣点，在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（ ）A．4次B．5次C．6次D．7次【答案】C【解析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，故选C．2．如图，线段AB的长为m，点C为AB上一动点（不与A，B重合），D为AC的中点，E为BC的中点，随着点C的运动，线段DE的长度（）A．随之变化B．不改变，且为2 3 mC．不改变，且为35m D．不改变，且为12m【答案】D【解析】∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=12AC，CE=12BC，∴DE=DC+CE=12AC+12BC=1 2AB=12m，故选D．3．如图所示，数轴上O ，A 两点的距离为8，一动点P 从点A 出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO 的中点A 1处，第2次从A 1点跳动到A 1O 的中点A 2处，第3次从A 2点跳动到A 2O 的中点A 3处，按照这样的规律继续跳动到点A 4，A 5，A 6，…，A n （n ≥3，n 是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A 1A 的中点的距离是（ ）A ．2020142-B ．2019162-C ．2019182-D ．2020162-【答案】D【解析】由题意可得，点A 1表示的数为8×12＝4，点A 2表示的数为8×12×12＝2，点A 3表示的数为8×12×1122´＝1，…，点A n 表示的数为18()2n ´，∵A 1A 的中点表示的数为（8+4）÷2＝6，∴2023次跳动后的点与A 1A 的中点的距离是：6﹣8×（12）2023＝6﹣（12）2020＝6﹣202012，故选D ．4．已知点M 是线段AB 上一点，若14AM AB =，点N 是直线AB 上的一动点，且AN BN MN -=，则MN AB= ．【答案】12或1【解析】分两种情况：①当点N 在线段AB 上，如图：AN BN MN -=Q ，AN AM MN -=，BN AM \=，14AM AB =Q ，14BN AB \=，12MN AB AM BN AB \=--=，12MN AB \=；②当点N 在线段AB 的延长线上，如图：AN BN MN -=Q ，AN BN AB -=，AB MN \=，1MN AB \=．综上所述，MN AB 的值为12或1．故答案为：12或1．5．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l ，在直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ＝BC ＝CD ．点P 沿直线l 从右向左移动，当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l 上会发出警报的点P 最多有 个．【答案】5【解析】根据题意可知：当点P 经过任意一条线段中点时会发出报警，∵图中共有线段DC ，DB ，DA ，CB ，CA ，BA ，且BC 和AD 的中点是同一个，∴发出警报的点P 最多有5个．故答案为：5．6．如图，10AB =，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，点C 是线段AB 上一动点，则MN = ．【答案】5【解析】∵M 是AC 的中点，N 是CB 的中点，∴MC=12AC ，CN=12CB ，∴MN=MC+CN=12AC+12CB=12（AC+CB ）=12×10=5．故答案为：5．7．如图，点C 是线段AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），点D ，E ，P 分别是线段AC ，BC ，DE 的中点，下列结论：①图中的点D ，P ，C ，E 都是动点；②AD >BE ；③AB =2DE ；④当AC =BC 时，点P 与点C 重合．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①③④【解析】①∵点C 是线段AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），点D ，E ，P 分别是线段AC ，BC ，DE 的中点，∴D ，E 随着C 的运动而运动，点P 随着D ，E 的运动而运动，因此，随着C 的运动，D ，P ，E 都在动，∴本选项正确；②∵1122AD AC BE BC ==，，∴当C 点在AB 中点左边（不含中点）运动时，由于AC<BC ，∴AD<BE ，本选项错误；③由题意可知：()111222DC AC EC BC DE DC EC AC BC ==\=+=+，，，∴12DE AB =，即AB=2DE ，∴本选项正确；④由③可知，当AC=BC 时，DC=EC ，所以C 为DE 的中点，又P 也为DE 的中点，∴点P 与点C 重合，∴本选项正确．故答案为①③④．8．如图，动点B 在线段AD 上，沿A D A ®®以2cm/s 的速度往返运动1次，C 是线段BD 的中点，10cm AD =，设点B 的运动时间为t 秒()010t ££．(1)当2t =时，①AB =________cm ；②求线段CD 的长度．(2)用含t 的代数式表示运动过程中线段AB 的长度．【解析】（1）①当2t =时，()2224cm AB t ==´=；故答案为：4；②∵10cm AD =，4cm AB =，∴()1046cm BD =-=．∵C 是线段BD 的中点，∴()1163cm 22CD BD ==´=．（2）∵B 是线段AD 上一动点，沿A D A ®®以2m/s 的速度往返运动1次，∴当点B 沿点A →D 运动时，2cm AB t =，点B 沿点D →A 运动时，()202cm AB t =-．综上所述，2cm AB t =（05t ££）或()202cm AB t =-（510t <£）．9．线段AB ＝16，C ，D 是线段AB 上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且CD ＝2，E 为BC 的中点．(1)如图1，当AC ＝4时，求DE 的长．(2)如图2，F 为AD 的中点．点C ，D 在线段AB 上移动的过程中，线段EF 的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF 的长．【解析】（1）∵AB ＝16，CD ＝2，AC ＝4，∴16412BC AB AC =-=-=，6AD AC CD =+=,∵E 为BC 的中点，∴162BE BC ==，∴16664DE AB AD BE =--=--=；（2）线段EF 的长度不会发生变化，7EF =，∵AB ＝16，CD ＝2，∴16218AD BC AB CD +=+=+=，∵F 为AD 的中点，E 为BC 的中点，∴()1118922FD CE AD BC +=+=´=，∴927EF FD CE CD =+-=-=．10．如图1，点C 在线段AB 上，2BC AC =．P ，Q 两点同时从点C ，B 出发，分别以1cm ，2cm s 的速度沿直线AB 向左运动，当点P 到达点A 时，两点立即停止运动．（1）AP CQ的值是______；（2）取PQ 的中点M ，CQ 的中点N ，求MN QB 的值．【解析】（1）∵P ，Q 两点同时从点C ，B 出发，分别以1cm ，2cm s 的速度沿直线AB 向左运动，设运动时间为t ，∴CP =t ，BQ =2t ，∴12PC QB =，∵2BC AC =，∴设BC =2a ，AC =a ，∴AP =AC -CP =a -t ，CQ =BC -BQ =2a -2t =2（a -t ），∴AP =12CQ ，∴AP CQ =12．故答案为：12；（2）如图，∵M 是PQ 的中点，N 是CQ 的中点，∴MQ =12PQ ，NQ =12CQ ，∴()11112222MN MQ NQ PQ CQ PQ CQ PC =-=-=-=，∵12PC QB=，∴111224MN QB QB=´=，∴14 MNQB=．11．电子跳蚤游戏盘（如图）为△ABC，AB＝6，AC＝7，BC＝8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3＝BP2；……；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为P n（n为正整数），则点P2013与P2016之间的距离为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根据规律：CP1=CP0=8-2=6，AP1=AP2=7-6=1，BP2=BP3=6-1=5，CP3=CP4=8-5=3，AP4=AP5=7-3=4，…由此可得P0P3=CP0-CP3=6-3=3，P1P4=AP4-AP1=4-1=3，P2P5=AP5-AP2=4-1=3，…∴P2013P2016=3．故选C．12．已知，B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，10cmAD=．在运动过程中，若线段AB的中点为E，则EC的长是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定【答案】B【解析】设运动时间为t，则AB=2t ，BD=10-2t ，∵C 是线段BD 的中点，E 为线段AB 的中点，∴EB=2AB =t ，BC=2BD =5-t ，∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm ，故选B ．13．已知多项式323382m n mn --中，多项式的项数为a ，四次项的系数为b ，常数项为c ，且a ，b ，c 的值分别是点A ，B ，C 在数轴上对应的数，点P 从B 点出发，沿数轴向右以1单位/s 的速度匀速运动，点Q 从点A 出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发．（1）a=__________，b=__________，c=__________；（2）若点Q 的运动速度为3单位/s ，经过多长时间P ，Q 两点相距9；（3）O 是数轴上的原点，当点P 运动在原点左侧上时，分别取OP 和AC 的中点E ，F ，试问AP OC EF -的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值．【解析】（1）∵多项式323382m n mn --中，多项式的项数为a ，四次项的系数为b ，常数项为c ，∴3,8,2a b c ==-=- ；（2）设经过t 秒P ，Q 两点相距9，根据题意得：,3BP t AQ t ==，当点P 在点Q 的左侧时，BP PQ AQ AB ++= ，即()9338t t ++=--，解得12t =．当点P 在点Q 的右侧时，BP AQ PQ AB +-=，即()3938t t +-=--，解得5t =．综上所述，经过12秒或5秒P ，Q 两点相距9；（3）设OP m = ，∴3AP m =+ ，∵点E 为OP 的中点，∴2m OE = ，∵A 对应的数为3，C 对应的数为-2，AC 的中点为F ，∴点F 对应的数为51222-+= ，OC =2，∴12OF = ，∴()111222m EF OE OF m =+=+=+ ，∴()()3212111122AP OC m m EF m m -+-+===++，∴AP OC EF-的值不变，为2．14．已知：如下图，点M 是线段AB 上一定点，12cm AB =，C ，D 两点分别从M ，B 出发以1cm/s ，2cm/s 的速度沿直线BA 向左同时运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）．（1）若4cm AM =，当点C ，D 运动了2s ，此时AC =___________，DM =____________；（直接填空）（2）若点C ，D 运动时，总有2MD AC =，求AM 的值．（3）在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN BN MN -=，求MNAB 的值．【解析】（1）根据题意知，2cm CM =，4cm BD =，∵12cm AB =，4cm AM =，∴8cm BM =，∴2cm AC AM CM =-=，4cm DM BM BD =-=，故答案为：2cm ，4cm ；（2）根据C ，D 的运动速度知：2BD MC =，∵2MD AC =，∴()2BD MD MC AC +=+，即2=MB AM ，∵AM BM AB +=，∴2AM AM AB +=，∴143AM AB ==cm ；（3）①当点N 在线段AB 上时，如图，∵AN BN MN -=，AN AM MN -=，∴4BN AM ==cm ，∴12444MN AB AM BN =--=--=（cm ），∴13MNAB =；②当点N 在线段AB的延长线上时，如图，∵AN BN MN -=，AN BN AB -=，∴12MN AB ==cm ，∴1MN AB=．综上所述，MN AB 的值为13或1．15．如图，点A,B 都在数轴上，O 为原点.（1）线段AB 的中点表示的数是__________；（2）若点B 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动了t 秒，当点B 在点O 左边时，OB =__________，当点B 在点O 右边时，OB =__________；（3）若点A,B 分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t 秒后，A B O ,,三个点中有一个点是以另外两个点为端点的线段的中点，求t 的值.【解析】（1）4212-+=-，故答案为-1；（2）点B 在点O 左边时，43OB t =-，点B 在点O 右边时，34OB t =-，故答案为43t -，34t -；（3）①当点O 是线段AB 的中点时，OB OA =，432t t -=+，0.5=t ；②当点B 是线段OA 的中点时，2OA OB =，22(34)t t +=-，2t =；③当点A 是线段OB 的中点时，2OB OA =，342(2)t t -=+，8t =．综上所述，符合条件的t 的值是0.5,2或8.16．在直角三角形ABC 中，8cm AB =，6cm AC =，10cm BC =，点P 从点A 开始以2cm/s 的速度沿A B C ®®的方向移动，点Q 从点C 开始以1cm/s 的速度沿C A B ®®的方向移动．如果点P Q ，同时出发，用()t s 表示移动时间，解答下列问题．(1)如图1，请用含t 的代数式表示（不用带单位）：①当点Q 在AC 上时，CQ =______；②当点Q 在AB 上时，AQ =______；③当点P 在AB 上时，BP =______；④当点P 在BC 上时，BP =______；(2)如图2，若点P 在线段AB 上运动，点Q 在线段CA 上运动，当QA AP =时，试求出t 的值；(3)P 点到达C 点时，P ，Q 两点都停止运动．请直接写出当AQ BP =时的t 值．【解析】（1）①当点Q 在AC 上时，CQ t =；②当点Q 在AB 上时，6AQ t =-；③当点P 在AB 上时，82BP t =-；④当点P 在BC 上时，28BP t =-；（2）由题意得，62t t -=，解得2t =；（3）∵AQ BP =，∴当点P 在线段AB 上运动，点Q 在线段CA 上运动时，682t t -=-，解得2t =；当点P 在线段BC 上运动，点Q 在线段CA 上运动时，628t t -=-，解得143t =；当点P 在线段BC 上运动，点Q 在线段AB 上运动时，628t t -=-，解得2t =（不合题意）．综上，2t =或143t =时AQ BP =．17．操作与探究：（1）如图，已知线段AB 长为5cm ，点P 从点A 以2cm/s 的速度向点B 运动，P 点运动时间为s t ，则AP =______，BP =______；（2）如图，已知在长方形ABCD 中，12cm AB =，16cm BC =，动点P 以2cm/s 的速度从A 点沿着A B C --运动，运动时间为s t ，用含t 的式子表示PB =______；拓展与延伸：（3）如图，在（2）的基础上，动点Q 从点B 出发，沿着线段BC 向点C 运动，速度为1cm/s ，P ，Q 同时出发，运动时间为s t ．其中一点到达终点C ，另一个点也停止运动．当点P 在BC 上运动，t 为何值时，1PQ =【解析】（1）Q 线段AB 长为5cm ，点P 从点A 以2cm/s 的速度向点B 运动，2cm AP t \=，()52cm BP t =-，故答案为：2cm t ，()52cm t -；（2）12cm AB =Q ，16cm BC =，动点P 以2cm/s 的速度从A 点沿着A B C --运动，\当点P 在AB 上时，()122cm PB t =-，当点P 在BC 上时，()212cm PB t =-．故答案为：()122cm t -或()212cm t -；（3）当点P 在点Q 的左边时，1BQ BP -=，即()2121t t --=，2121t t -+=，11t -=-，解得11t =．当点P 在点Q 的右侧时，1BP BQ -=，2121t t --=，解得13t =．故t 为11或13时，1PQ =．18．如图，AOB Ð的边OA 上有一动点P ，从距离O 点18cm 的点M 处出发，沿线段MO ，射线OB 运动，速度为3cm/s ．动点Q 从点O 出发，沿射线OB 运动，速度为2cm/s ，点P ，Q 同时出发，设运动时间是t （s ）．(1)当点P 在MO 上运动时，t 为何值时能使OP OQ =(2)若点Q 运动到距离O 点16cm 的点N 处停止，在点Q 停止运动前，点P 能否追上点Q ？如果能，求出t 的值；如果不能，请说出理由；(3)若P ，Q 两点不停止运动，当P 、Q 均在射线OB 上，t 为何值时，它们相距1cm ．【解析】（1）运动时间是t （s ）时，183,2OP t OQ t =-=，若OP OQ =，则1832t t -=，解得 3.6t =；（2）点Q 停止运动时，用的时间为1628¸=（秒），此时点P 运动的路程为2483=´，2418616-=<，∴点P 不能追上点Q ；（3）当P ，Q 均在射线OB 上，它们相距1cm 时，根据题意得：1PQ OP OQ =-=，即31821t t --=，解得17t =或19t =．19．已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB ．（1）填空：a= ，b= ，c= ；（2）点D 从点A 开始，点E 从点B 开始， 点F 从点C 开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止运动，设运动时间为t 秒．试问：①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F 在追上E 点前，是否存在常数k ，使得DF k EF +×的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵最小正整数为1，最大的负整数为-1，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，∴点A 表示的数a 为-1-1=-2，点B 表示的数b 为1，∴AB=1-（-2）=3．∵223=6BC AB ==´，∴点C 表示的数为c=1+6=7，故答案为：-2，1，7；（2）①依题意，点F 的运动距离为4t ，点D 、E 运动的距离为t,∴点D ，E ，F 表示的数分别为-2-t ，1-t ，7-4t,当点F 追上点D 时，必将超过点B ，∴存在两种情况，即DE=EF 和DF=EF.如图，当DE=EF ，即E 为DF 的中点时，()21=274t t t ----+，解得t=1.如图，当EF=DF ，即F 为DE 中点时，()74=21t t t ---+-2，解得t=52.综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝52秒时，满足题意．②存在.理由：点D ，E ，F 表示的数分别为-2-t ，1-t ，7-4t,如图，F 在追上E 点前， ()74-2=93DF t t t =----，()74-1=63EF t t t =---，()()93639633DF k EF t k t k k t +×=-+-=+-+，当DF k EF +×与t 无关时，需满足3+3k=0，即k=-1时，满足条件，此时DF k EF +×的定值为3.20．如图，点A ，点B 在数轴上分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离表示为AB b a =-．【探索新知】如图1，点C 将线段AB 分成AC 和BC 两部分，若BC AC p =，则称点C 是线段AB 的圆周率点，线段AC BC 、称作互为圆周率伴侣线段.(1)若2AC =，则AB =______（用含p 的代数式表示）；(2)若点D 也是图1中线段AB 的圆周率点（不同于C 点），则AC ______DB （填“<”、“=”、“>”）．【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C 的位置．(3)若点M ，N 均为线段OC 的圆周率点，求线段MN 的长度．【解析】（1）由题意得BC AC p =，∴()1AB AC BC AC p =+=+，∵2AC =，∴22AB p =+；（2）如图，∵BC AC p =，\当BD AC =时，BC AD =，\AD BD p =，即点D 也是图1中线段AB 的圆周率点，\AC 与DB 的数量关系是相等；故答案为：=；（3）由题意可知，点C 表示的数是1p +，∵点M 、N 均为线段OC 的圆周率点，不妨设M 点离O 点近，且OM x =，∴MC OM x p p ==，∴1OC OM MC x x p p =+=+=+，解得1x =，∴1OM CN ==，∴1MN OC OM CN p =--=-．21．定义：已知A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离的2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2，表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[],A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是[],A B 的美好点，但点D 是[],B A 的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 表示的数为7-，点N 表示的数为2．(1)点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[],M N 的美好点是________；写出[],N M 的美好点H 所表示的数是___________．(2)现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？【解析】（1）根据题意得∶()()()374,235EM EN =---==--=，此时2EM EN ¹，故点E 不是[,]M N 的美好点；()6.5713.5, 6.52 4.5FM FN =--==-=，此时2FM FN ¹，故点F 不是[,]M N 的美好点；()11718,1129GM GN =--==-=，此时2GM GN =，故点G 是[,]M N 的美好点；故答案是：G ．设点H 所表示的数是x ，则7,2HM x HN x =+=-，∵点H 为[],N M 的美好点，∴2HN HM =，∴227x x -=+，解得4x =-或16-；故答案是：4-或16-．（2）第一情况：当P 为[],M N 的美好点，点P 在M ，N 之间，如图1，∵2MP PN =，()279MN =--=，∴3PN =，∴3 1.52t ==（秒）；第二种情况，当P 为[],N M 的美好点，点P 在M ，N 之间，如图2，∵2PM PN =，()279MN =--=，∴6PN =，。
七年级数学线段动点问题
七年级数学线段动点问题
线段动点问题是一个常见的数学问题，它涉及到线段、点以及它们之间的运动关系。
下面是一个简单的七年级数学线段动点问题的例子，以及如何解决它。
问题：小明和小强在一条直线上跑步，他们的起点在同一位置。
小明每秒跑3米，小强每秒跑5米。
如果小明先出发3秒，那么多少秒后小强会追上小明？
首先，我们来用数学模型理解这个问题。
假设 t 秒后小强追上小明。
根据题目，我们可以建立以下方程：
1. 小明先出发3秒，所以当他开始跑的时候，他已经跑了3 × 3 = 9 米（因为小明每秒跑3米）。
2. 当小强追上小明的时候，小明已经跑了 t + 3 秒（因为小明先出发3秒）。
3. 小明在这 t + 3 秒内跑的距离是3 × (t + 3) 米。
4. 小强在这 t 秒内跑的距离是5 × t 米。
5. 当小强追上小明的时候，他们跑的距离是相同的，所以3 × (t + 3) = 5 × t。
现在我们要来解这个方程，找出 t 的值。
计算结果为：t = 秒
所以，小强会在秒后追上小明。
部编数学七年级上册专题10线段中的动点问题与数学思想专题讲练(解析版)含答案
专题10 线段中的动点问题与数学思想 专题讲练线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。
本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
1、知识储备考点1. 线段中点有关的动点问题考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题考点4. 阅读理解型（新定义）问题考点5. 分类讨论思想考点6. 数形结合思想考点7. 整体思想考点8. 方程思想2、经典基础题3、优选提升题1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设x 列方程；2.线段等量代换模型：若FG EH =，则HG FG HG EH ±=±，即FHEG =3.定和型中点模型：若M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则AB MN 21 线段的动点问题解题步骤：1.设入未知量t 表示动点运动的距离；2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3.根据题设条件建立方程求解；4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
考点1. 线段中点有关的动点问题变式1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC ＝10厘米，BC ＝6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．（1）求线段MN 的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC ＝a ，BC ＝b ，其他条件不变，求MN 的长度．（3）动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．当C 、P 、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t ．变式1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且14AB =，动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (0)t >秒：（1）写出数轴上点B 表示的数为______，点P 表示的数为______ （用含t 的代数式表示）；（2）动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q ？（3）若M 为AP 的中点，N 为PB 的中点，点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．【答案】（1）-6，84t -；（2）点P 运动7秒时追上点Q ；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为7【分析】（1）根据点A 表示的数和AB 的长度即可求解；（2）根据题意列出方程4214t t =+，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时，②当点P 运动到点B 的左侧时，根据中点的定义即可求解．【详解】（1）解：∵数轴上点A 表示的数为8，且14AB =，∴点B 表示的数为6-，点P 表示的数为84t -，故答案为：-6，84t -；（2）设点P 、Q 同时出发，点P 运动时间t 秒追上Q ，依题意得，4214t t =+，解得7t =，∴点P 运动7秒时追上点Q ；（3）线段MN 的长度没有发生变化都等于7；理由如下：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时：MN MP NP =+1122AP BP =+1()2AP BP =+12AB =1142=´7=，②当点P 运动到点B 的左侧时：MN MP NP=-1122AP BP=-1()2AP BP=-12AB=7=，∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题例1．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，线段28AB=厘米，点D和点C在线段AB上，且:5:2AC BC=，:1:4DC AB=．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当7PQ=厘米时，求t的值．变式1．（2022·天津和平·七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．变式2．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=13AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧．(1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长；(2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长；(3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求CDAC的值．考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题例1．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB 上，线段24AB =，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB 上运动．M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，设点P 的运动时间为t 秒．(1)若点P 在线段AB 上的运动，当10PM =时，PN = ；(2)若点P 在射线AB 上的运动，当2PM PN =时，求点P 的运动时间t 的值；(3)当点P 在线段AB 的反向延长线上运动时，线段AB 、PM 、PN 有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．变式1．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E 是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）m=12，n= 4；（2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=12AC ，DN=BN=12BD∴MN=CM+CD+DN=12AC+CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=1 2(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：81013231a a+++=++解得：a=2在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点∴CE= BE=12BC=2+t；Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．考点4. 阅读理解型（新定义）问题例1．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC 时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D 是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是；NM的内二倍分割点表示的数是．（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．①线段BP的长为；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．变式1．（2022·河南南阳·七年级期中）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）-和40，点C是线段AB的巧点，求点C在【问题解决】（2）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20数轴上表示的数。
线段中的动点问题专项训练(30道)
线段中的动点问题专项训练（30道）【类型1 一般性问题】1．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；①当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．2．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．（1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？（2）当P在线段AB上且P A＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；3．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米．①运动1秒后，求CD的长；①当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是厘米．4．如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s．（1）求AB的长；（2）设点P、Q出发时间为ts，①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值；①直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值．5．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB ＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长．6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【类型2 满足关系式问题】7．如图，点B在线段AC上，点M、N分别是AC、BC的中点．AC，则线段MN的长为（1）若线段AC＝15，BC=25（2）若B为线段AC上任一点，满足AC﹣BC＝m，其它条件不变，求MN的长；（3）若原题中改为点B在直线AC上，满足AC＝a，BC＝b，（a≠b），其它条件不变，求MN的长．8．如图，已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B 右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动．（1）当b＝5时，试求线段AC的长；AB，求此时（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB=12满足条件的b值．（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，则此时的b的取值范围是．9．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．（1）若BC＝30，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R 从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？10．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE =32，求CDBD的值．11．已知数轴上有A、B两个点．（1）如图1，若AB＝a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且ACCB =34，则AC＝，CB＝，MC＝（用含a的代数式表示）；（2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20．①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB＝3BN．①现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P 移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P 到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值．12．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．（1）求点C所表示的数；（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜7时，数轴上的2有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T 不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．【类型3 存在性问题】13．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs．（1）AC＝cm；（2）当x＝s时，P、Q重合；（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．14．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．（1）当t＝1时，求MN的长；（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．15．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）当t＝0秒时，AC的长为，当t＝2秒时，AC的长为．（2）用含有t的代数式表示AC的长为．（3）当t＝秒时AC﹣BD＝5，当t＝秒时AC+BD＝15．（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C 在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．【类型4 定值问题】17．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB＝12，CE＝6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF＝2，则BE＝，若CF＝m，BE与CF的数量关系是；（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD＝7，且DF＝3DE？若存在，请求出10DF值；若不存在，请说明理由．CF18．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；=3，若（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−APPC 存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．19．如图，已知线段AB＝15cm，CD＝3cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点．（1）若AC＝4cm，求线段EF的长；（2）当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长度；若变化，请说明理由．20．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，①AB＝cm，①此时线段CD的长度＝cm；（2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由．21．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM；（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；①MN+PN 的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数；（2）点P所表示的数；（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．23．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC．（1）线段AP与线段AB的数量关系是：；（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求证：AP＝PQ；AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=12的值是否发生变化？若变化，请说明理由；续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问MNAB的值．若不变，请求出MNAB24．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．（1）若BC＝30，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R 从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？（3）在（1）的条件下，O为原点，动点P、Q分别从A、C同时出发，P向左运动，Q 向右运动，P点的运动速度为8个单位长度/秒，Q点的运动速度为4个单位长度/秒，N 为OP的中点，M为BQ的中点，在P、Q运动的过程中，PQ﹣2MN的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【类型5 新定义问题】25．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B．两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；AB；（3）求当t为何值时，PQ=12（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．26．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．（2）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．①点M在运动的过程中表示的数为（用含t的代数式表示）．①求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．①同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．27．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图①，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由28．直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=1AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如2AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．图1，BC=12若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．（1）MP＝cm；（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．29．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的1，则称该点是其2BC，他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB=12此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．（1）A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有个，分别是；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．30．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．①若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．。
七年级数学上册线段上动点问题的四种常见类型专题讲解课件
情景一：如图①，从教学楼到图书馆，总有少数 同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试 用所学数学知识来说明这个问题．
两点之间，线段最短．
情景二：如图②，A，B是河流l两旁的两个村庄， 现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站 修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中 表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
2
2
2
综上所述，线段差倍分关系中的动点问题
3．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位 长度/s的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
(1)出发多少秒后，PB＝2AM?
解：设出发t s后，PB＝2AM， 则PA＝2t，PB＝24－2t，AM＝t. 所以24－2t＝2t，解得t＝6. 即出发6 s后，PB＝2AM.
线段上动点问题的四种常见类型
1
2
3
4
类型 1 线段上动点与中点的综合问题
1．(1)如图①，D是AB上任意一点，M，N分别是AD， DB的中点，若AB＝16，求MN的长；
解：MN＝DM＋DN
＝ AD1＋ BD1＝ (A1D＋BD)
＝ AB2＝8. 2
2
1
2
(2)如图②，AB＝16，点D是线段AB上一动点，M， N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？ 若能，求出其长，若不能，试说明理由；
两点之间，线段最短．
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服 务时应注意什么？
赞同情景二中运用知识的做法． 注意略．
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形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
线段MN的长度不产生变化，其值为5.
初一上数学线段动点问题
初一上数学线段动点问题1.这篇文章关于数学中的线段动点问题，涉及到数轴上的点和距离等概念。
首先，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1和3，点P为数轴上的动点，其对应的数为x。
第一个问题是如果点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数x。
第二个问题是数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？如果存在，请求出x的值。
如果不存在，请说明理由。
第三个问题是当点P以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发几分钟后P点到点A、点B的距离相等。
2.这篇文章讲述了数轴上的点A和点B，以及一只小虫甲从点B出发沿着数轴正方向以每秒4个单位长度的速度爬行至点C，再立即返回到点A，共用了4秒。
第一个问题是求点C对应的数。
第二个问题是如果小虫甲返回到A点后按照一定规律爬行，求它第10次停在的点所对应的数。
第三个问题是如果小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度爬行，这时另一只小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位长度的速度爬行，求|xAxExExFxFxB的值是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出其值。
3.这篇文章涉及到数轴上的点A、B和P，其中A和B对应的数为-2和4，P为数轴上的动点，对应的数为x。
问题是如果P为AB线段的三等分点，求P对应的数x。
2.数轴上是否存在点P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由。
存在。
设P点的坐标为x，则AP+BP=|x-(-3)|+|x-7|=10，解得x=2或8.因此，存在点P使得AP+BP=10.3.A点、B点和P点（P在原点）分别以速度比1：10：2（长度：单位/分），向右运动几分钟时，P为AB的中点。
设P点向右运动t分钟，则A点和B点分别向右运动10t 和2t分钟。
由于P为AB的中点，因此有AP=BP，即10t=2(3-t)，解得t=1.因此，A点、B点和P点向右运动1分钟时，P为AB的中点。
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线段中的动点问题专项练习
1、已知方程564m m -=的解也是关于x 的方程()234x n --=的解．
（1)求m 、n 的值;
(2)已知线段A Ｂ=m ，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP n PB =，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长. 2、如图，已知数轴上有三点Ａ、B 、C ，AB ＝12
AC ，点C 对应的数是200. (1）若BC=３00,求点Ａ对应的数; (2)在(1）的条件下,动点P 、Q 分别从Ａ、C 两点同时出发向左运动,同时动点Ｒ从A 点出发向右运动,点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、５单位长度每秒、２单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点,点N 为线段RQ 的中点,多少秒时恰好满足MR=4RN(不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形)； （3)在（１）的条件下，若点E 、D 对应的数分别为-８00、0,动点P 、Q 分别从E 、Ｄ两点同时出发向左运动，点Ｐ、Q 的速度分别为10单位长度每秒、５单位长度每秒，点
M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点Ｄ运动到点A 的过程中,
32
Q Ｃ－A Ｍ的值是否发生变化？若不变,求其值；若不变,请说明理由．
３、如图， 已知线段AB 上有两点Ｃ、D, 且ＡC=ＢD, M 、N 分别是线段ＡＣ、Ａ
D 的中点, 若ＡB=a cm , A Ｃ=B Ｄ＝b ｃm , 且ａ、b 满足2(10)|4|02
b a -+-=. (8分)
(1）求ＡB 、 ＡC 的长度(４分)。
（２）求线段ＭＮ的长度(4分)。
4、如图，点A 从原点出发沿数轴向左
运动，同时，点B 也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后,两点相距15个单位长度.已知点B 的速度是点Ａ的速度的4倍(速度单位：单位长度/秒).
（1）求出点A 、点B 运动的速度,并在数轴上标出Ａ、B 两点从原点出发运动3秒时的位置；（４分)
解:
（2）若A 、B 两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动,几秒时，原点恰好处在点A 、点B 的正中间？（4分)
B A C
Q
R Q P 200C
A D 200C 21题图
D N M C B A
解：
(3)若A、B两点从（1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时,另一点Ｃ同时从B点位置出发向A点运动,当遇到A点后，立即返回向Ｂ点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动,如此往返,直到B点追上A点时，C点立即停止运动.若点C一直以２0单位长度／秒的速度匀速运动,那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？（4分）
解:
－-。