非线性信号处理-2.非线性动力学初步3
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线性系统的原点是唯一的不动点
不动点的稳定性
Lyapunov 稳定:对任意ε,存在δ>0，使得所有满足 ||x0-x*||<δ的x0，对于任意t≥0有||φ(t;x0)-x* ||<ε.
弱渐进稳定:若存在δ>0使得当t→∞时，所有满足 ||x0-x*||<δ的x0有||φ(t;x0)-x* ||→0，
非线性‘时间’信号处理
陶超
2010.3.17
第二章 非线性动力学初步
2.6 吸引子
吸引子是动力学系统 演化很长时间后到达 的一种状态
不动点(Fixed point)
不动点/平衡点
若x*满足F(x*)=0则称x*为不动点.从不动点出发的 解的速度为零，因此它会停留在该点而且对所有的t 都有φ(t; x*)=x*
-3
-4
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-1
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1
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x1/pi
极限环-孤立的周期轨 (附近的轨道不是周期)
吸引的 排斥的 半稳的
120 150 180
90 4 60 3
2
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210
330
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270
实际条件下， 我们能观察到什么样的信号？
L-稳定不动点？周期轨？
弱渐进稳定不动点？周期轨？
渐进稳定的不动点？周期轨？
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初始敏感依赖性
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5 0 -5 -10 -15 -20
0
40 30 20 10
点的初始值敏感依赖性：存在 r > 0,使得对任意的 δ>0，存在y0,满足||y0-x0||< δ ，及时间τ> 0,使得 ||φ(τ ;x0)-φ(τ ;y0) || ≥r
点集的初始值敏感依赖性：系统限制在不变集S上
具有对初值的敏感依赖性是指，存在 r>0,对任意的
x间0 τin>
S0以,使及得δ|>|φ0(，τ ;存x0)在-φy(τ0
in S,满足||y0-x0||< ;y0) || ≥r
δ
，及时
A is forward invariant under f: if a is an
element of A then so is f(t,a), for all t > 0.
举例
稳定不动点不具有初始敏感性 不稳定不动点具有初始敏感性 不动点点集不具有初始敏感性
渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳 定
周期轨(闭轨)
满足φ(T;x0)=x0, φ(t;x0)≠x0 (0<t<T)的点 称为周期为T的周期点。如果x0是这样的点，则 集合{φ(t;x0)：0≤t≤T}成为周期轨或者闭轨
周期轨的稳定性
Lyapunov 稳定:对于周期轨γ={φ(t;x0)：0≤t≤T}, 若对任意ε>0,存在δ>0，使得对于γ的δ邻域内的任一 点x0,都有φ(t;x0) t≥0 位于γ的ε邻域内,则称 γ为依 轨道L稳定 (钟摆的轨道)
稳定周期轨上的点不具有初始敏感性 不稳定周期轨上的点具有初始敏感性 周期轨点集不具有初始敏感性
准周期轨点集不具有初始敏感性
周期轨的初始敏感依耐性
稳定周期轨上的点不 120 具有初始敏感性
150
不稳定周期轨上的点 具有初始敏感性
180
90 2.5 60 2
rho=2.0001 rho=1.9999
弱渐进稳定:若存在δ>0使得当t→∞时，使得对于γ的δ 邻域内的任一点x0,都有φ(t;x0)与γ之间的距离趋于0， 则称 γ为依轨道弱渐进稳定。
渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳定 渐进稳定的周期轨又称为吸引的周期轨
钟摆的周期轨(周期轨族)
x2
5
4
32ຫໍສະໝຸດ 10-1-2
吸引子是指相空间上这样的一个集合A：在相空间上 存在一个俘获区B(trapping region)，当时间趋于无 穷大时，从其出发的所有轨道φ(t,B)都趋于集合A， 则集合A称为吸引子.
渐进稳定的不动点(吸引子)
渐进稳定的周期轨(吸引子)
Van der Pol oscillator
敏感依耐性!!!!!
1.5 30
1
0.5
0
周期轨点集不具有初
始敏感性
210
330
240
300
270
奇异(strange)吸引子
若某系统有吸引子A，且限制在A上具有对初始值的 敏感依赖性，则称集合A为混沌吸引子
x ( y x) y x( z) y z xy z 10, 8 / 3, 28
混沌吸引子
不稳定的不动点？周期轨？
吸引子-不可分的吸引集A
An attractor is a subset A of the phase space characterized by the following three conditions: 1. A is forward invariant under f: if a is an element of A then so is f(t,a), for all t > 0. 2. There exists a neighborhood of A, called the basin of attraction (trapping region) for A and denoted B(A), which consists of all points b that "enter A in the limit t → ∞". 3. There is no proper subset of A having the first two properties.
0 -10 -20 -30
0
500 500
1000 1000
1500 1500
2000
2500
3000
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Lorenz attractor
吸引子的类型
平庸的吸引子 不动点(Fixed Point) 极限环(Limit Cycle) 极限环面(Limit Tori)
奇异吸引子(Strange attractor)
不动点的稳定性
Lyapunov 稳定:对任意ε,存在δ>0，使得所有满足 ||x0-x*||<δ的x0，对于任意t≥0有||φ(t;x0)-x* ||<ε.
弱渐进稳定:若存在δ>0使得当t→∞时，所有满足 ||x0-x*||<δ的x0有||φ(t;x0)-x* ||→0，
非线性‘时间’信号处理
陶超
2010.3.17
第二章 非线性动力学初步
2.6 吸引子
吸引子是动力学系统 演化很长时间后到达 的一种状态
不动点(Fixed point)
不动点/平衡点
若x*满足F(x*)=0则称x*为不动点.从不动点出发的 解的速度为零，因此它会停留在该点而且对所有的t 都有φ(t; x*)=x*
-3
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x1/pi
极限环-孤立的周期轨 (附近的轨道不是周期)
吸引的 排斥的 半稳的
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实际条件下， 我们能观察到什么样的信号？
L-稳定不动点？周期轨？
弱渐进稳定不动点？周期轨？
渐进稳定的不动点？周期轨？
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初始敏感依赖性
15 10
5 0 -5 -10 -15 -20
0
40 30 20 10
点的初始值敏感依赖性：存在 r > 0,使得对任意的 δ>0，存在y0,满足||y0-x0||< δ ，及时间τ> 0,使得 ||φ(τ ;x0)-φ(τ ;y0) || ≥r
点集的初始值敏感依赖性：系统限制在不变集S上
具有对初值的敏感依赖性是指，存在 r>0,对任意的
x间0 τin>
S0以,使及得δ|>|φ0(，τ ;存x0)在-φy(τ0
in S,满足||y0-x0||< ;y0) || ≥r
δ
，及时
A is forward invariant under f: if a is an
element of A then so is f(t,a), for all t > 0.
举例
稳定不动点不具有初始敏感性 不稳定不动点具有初始敏感性 不动点点集不具有初始敏感性
渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳 定
周期轨(闭轨)
满足φ(T;x0)=x0, φ(t;x0)≠x0 (0<t<T)的点 称为周期为T的周期点。如果x0是这样的点，则 集合{φ(t;x0)：0≤t≤T}成为周期轨或者闭轨
周期轨的稳定性
Lyapunov 稳定:对于周期轨γ={φ(t;x0)：0≤t≤T}, 若对任意ε>0,存在δ>0，使得对于γ的δ邻域内的任一 点x0,都有φ(t;x0) t≥0 位于γ的ε邻域内,则称 γ为依 轨道L稳定 (钟摆的轨道)
稳定周期轨上的点不具有初始敏感性 不稳定周期轨上的点具有初始敏感性 周期轨点集不具有初始敏感性
准周期轨点集不具有初始敏感性
周期轨的初始敏感依耐性
稳定周期轨上的点不 120 具有初始敏感性
150
不稳定周期轨上的点 具有初始敏感性
180
90 2.5 60 2
rho=2.0001 rho=1.9999
弱渐进稳定:若存在δ>0使得当t→∞时，使得对于γ的δ 邻域内的任一点x0,都有φ(t;x0)与γ之间的距离趋于0， 则称 γ为依轨道弱渐进稳定。
渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳定 渐进稳定的周期轨又称为吸引的周期轨
钟摆的周期轨(周期轨族)
x2
5
4
32ຫໍສະໝຸດ 10-1-2
吸引子是指相空间上这样的一个集合A：在相空间上 存在一个俘获区B(trapping region)，当时间趋于无 穷大时，从其出发的所有轨道φ(t,B)都趋于集合A， 则集合A称为吸引子.
渐进稳定的不动点(吸引子)
渐进稳定的周期轨(吸引子)
Van der Pol oscillator
敏感依耐性!!!!!
1.5 30
1
0.5
0
周期轨点集不具有初
始敏感性
210
330
240
300
270
奇异(strange)吸引子
若某系统有吸引子A，且限制在A上具有对初始值的 敏感依赖性，则称集合A为混沌吸引子
x ( y x) y x( z) y z xy z 10, 8 / 3, 28
混沌吸引子
不稳定的不动点？周期轨？
吸引子-不可分的吸引集A
An attractor is a subset A of the phase space characterized by the following three conditions: 1. A is forward invariant under f: if a is an element of A then so is f(t,a), for all t > 0. 2. There exists a neighborhood of A, called the basin of attraction (trapping region) for A and denoted B(A), which consists of all points b that "enter A in the limit t → ∞". 3. There is no proper subset of A having the first two properties.
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Lorenz attractor
吸引子的类型
平庸的吸引子 不动点(Fixed Point) 极限环(Limit Cycle) 极限环面(Limit Tori)
奇异吸引子(Strange attractor)