一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性
一类非线性三点边值问题单调递增正解的存在性
２１ ０ ０年 ４月
德 州 学 院 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＤｅ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ
Ｖ０ ． ６， ． １ ２ Ｎｏ ２
Ａ ｐ ．， ０１ ｒ ２ ０
一
类 非 线 性 三 点 边 值 问题 单 调 递 增 正 解 的 存 在 性
其 中 ０ ＜ １ Ｏ ＜ ． ＜７ ，＜ａ
０ 引 言
文献 ［ ］ 一步 考 察 了 问题 （ ） ， 过 锥拉 伸 ３进 ３式 通
本文 的 目的是考 察下列 非线 性三点 边值 问题 的
正解存 在性
ｆＵ ｔ ＋ ｆ ｔ “ （） 一０， ｕ（） （， ￡） ０ ｆ １
子．
若 存 在 ｔ∈ Ｌ ， － 得 （ｏ ＞ ０ 则 ／ ￡ ＞ ０ ｔ ｏ １Ｊ 使 ｔ） ， ， ） ｔ （ ，
∈Ｅ ，］ ｏ １．
证明
根据 引理 ｌ及引 理 ２易 得 ｒ ｃ ｏ １ ） （ Ｅ ，］
证 经 单 证“） ｊ （ｓ（ｄ＋ 明 简 验 （ 一ｒ ）ｓｓ 。， ） １ Ｇ
２ ３
Ｉ ． ， ｆ ｆ＋ Ｓ Ｓ
１一
≤ １ （ ） ６
（ ） 的单 调 递增 正解 当且仅 当 “是 丁在 Ｃ ｏ １ １式 ＬＥ ， ］
中的不动 点．
Ｇ（ ， ｆ ）一 ｆ ｔ
【 一 １
０ Ｚ
≤１
引理 ３ Ｔ： Ｌ ， ］ Ｃ ｏ １ 是 全 连 续 算 Ｃ ｏ １ 一 Ｅ ， ］
郭 秋 生 ， 月亮。 梁
（．石 楼 中学 ，山 西 吕 梁 １ ０ ２ ０ ；．中 北 大 学理 学 院数 学 系 ，太 原 ３５０２ ００ ５ ） ３ ０ １
一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理
一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理武晨;王全祥【摘要】考虑了一个三阶三点边值问题正解的存在性,通过利用Leray-Schauder 不动点定理得到了一个新的正解存在性结果.方法进一步改进和推广了已有的结果.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)002【总页数】5页(P95-99)【关键词】Leray-Schauder不动点定理;三阶三点边值问题;正解【作者】武晨;王全祥【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院,基础课程教学部,江苏南京 210019;南京农业大学工学院,江苏南京 210095【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言由于非线性三阶边值问题在生物工程、物理等领域的广泛的应用,对非线性三阶边值问题的研究一直是众多学者关注的热点,由此得到了许多三阶边值问题正解的存在性结果[1-10]．其中文[4]研究了如下的一个三阶三点边值问题(1)其中假设函数f满足条件:(C1) f∈C([0,+∞),[0,+∞));(C2) a(t)∈C([0,1],[0,+∞)),且在[τ,1]上a(t)不恒为0,其中τ为区间[0,1]上的任意实数.记假设：(i) f0=0且f∞=∞(超线性)；(ii) f0=∞且f∞=0(次线性)成立;则边值问题(1)至少存在一个正解．本文将利用Leray-Schauder不动点定理,在弱化文[4]中的条件下,得到边值问题(1)正解的存在性．1 预备知识引理1[4] 设边值问题(1)有唯一解其中引理2[4] 对任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1],有0≤G(t,s)≤1-s.引理3[4] 令则对任意的(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有G(t,s)≥γ(1-s),其中为任意常数．由引理3易得引理4[11](Leray-Schauder不动点定理) 假设X是Banach空间,T:X→X是全连续算子,如果存在R>0,对于λ∈(0,1),满足u=λTu,都有‖u‖≤R恒成立,则T有一个不动点．2 主要结果考虑Banach空间X=C[0,1],赋予范数定义算子定理1 假设 (C1),(C2)成立,若f0=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f0=0可知存在常数R1>0,使得当0<u(t)≤R1时,有f(u)≤εu(t)成立．令则K1是X中的凸子集,对于任意的u∈K1,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R1.因此TK1⊂K1,容易验证T:K1→K1是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R1,所以‖u‖≤R1．从而根据引理4可知,T在K1中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注1 定理1相比文[4]中弱去了条件f∞=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理2 假设 (C1),(C2)成立,若f∞=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f∞=0可知存在常数N>0,使得当u(t)>N时,有f(u)≤εu(t)成立．取令则K2是X中的凸子集,对于任意的u∈K2,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知≤从而‖Tu‖≤R2.因此TK2⊂K2,容易验证T:K2→K2是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R2,所以‖u‖≤R2．从而根据引理4可知,T在K2中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注2 定理2相比文[4]中弱去了条件f0=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理3 假设(C1),(C2)成立,若存在常数R3>0,使得当0<u≤R3时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明令则K3是X中的凸子集,对于任意的u∈K3,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R3.因此TK3⊂K3,容易验证T:K3→K3是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R3,所以‖u‖≤R3．从而根据引理4可知,T在K3中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．定理4 假设 (C1),(C2)成立,若存在常数N>0,R4>0,使得当u≥N时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明取令则K4是X中的凸子集,对于任意的u∈K4,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知从而‖Tu‖≤d,因此TK4⊂K4,容易验证T:K4→K4是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤d,所以‖u‖≤d.从而根据引理4可知,T在K4中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．3 应用示例例1 考虑非线性三阶边值问题(2)易得所以根据定理1可知上述边值问题(2)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f∞=∞的情况,因此根据文[4]的结论并不能得出边值问题(2)正解的存在性结果．例2 考虑非线性三阶边值问题(3)易得所以根据定理2可知上述边值问题(3)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f0=∞的情况,根据文[4]的结论并不能得出边值问题(3)正解的存在性结果,因此本文的结论更具一般性．参考文献：【相关文献】[1] Du Z J, Ge W G, Lin X J. Existence of solutions for a class of third-order nonlinear boundary problems[J]. J Math Anal Appl, 2004, 294(1):104-112.[2] Feng Y Q, Liu S Y. Solvability of a third-order two-point boundary value problems[J].Appl Math Lett, 2005,18(9):1034-1040.[3] Yao Q L, Feng Y Q. The existence of solutions for a third-order two-point boundary problems[J]. Appl Math Lett, 2002, 15(2):227-232.[4] 郭丽君. 三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 兰州文理学院学报(自然科学版),2016,30(1):1-5.[5] Feng X F, Feng H, Bai D L. Eigenvalue for a singular third-order three-point boundary value problem[J]. Appl Math Comp, 2013,219(18): 9783-9790.[6] 刘瑞宽. 一类奇异三阶两点边值问题正解的存在[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(4):482-486.[7] 高婷,韩晓玲. 三阶无穷多点边值问题正解的存在性[J]. 四川大学学报(自然科学版),2016,53(1):35-41.[8] 武晨. 非线性二阶三点边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 淮阴师范学院学报(自然科学版),2015,14(4):1-4.[9] 武晨. 一类三阶边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 南通大学学报(自然科学版),2017,16(2):87-89.[10] 程德胜,武晨. 一类三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 华侨大学学报(自然科学版),2017,38(1):127-130.[11] 武晨. 限区间上p-Laplacian方程解的存在性[J]. 长春师范大学学报(自然科学版),2015,34(10)1-4.。
一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性
一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性王彩勋【摘要】利用乘积锥上的不动点指数定理,研究了一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性.【期刊名称】《产业与科技论坛》【年(卷),期】2016(015)015【总页数】2页(P58-59)【关键词】三阶微分方程组;乘积锥;不动点指数;正解【作者】王彩勋【作者单位】青海大学基础部【正文语种】中文三阶微分方程在应用数学和物理学的不同领域得到了广泛应用,但关于三阶微分方程组的研究并不多见。
文献[1]研究了当f是超线性或次线性的情况下, 三阶微分方程三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=(0),u′(1)=au′(η)至少存在一个正解。
本文进一步研究三阶微分方程组三点边值问题：正解的存在性。
文中总是假设下面条件成立：(H0)0<η<1，0<aη<1,ai∈C((0,1),R+)且满足:0<ai(t)dt<+∞,fi∈C([0,1]×R+×R+,R+),R+=[0，+∞),i=1,2方程组(1)中一个方程的非线性项是超线性的,另一个的是次线性的, 通过构造新的Green函数, 利用乘积锥上的不动点指数定理解决三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性。
由文献[2]中非线性项的定义得到启发, 给出如下定义。
定义1如果fi,i=1,2满足：关于v+∈R+一致成立,则称1关于u在原点是超线性的,2关于v在原点是次线性的。
定义2如果i=1,2满足:关于v∈R+一致成立,关于u∈R+一致成立,则称2关于u在无穷远处是超线性的,2关于v在无穷远处是次线性的。
若1关于u在原点和无穷远处均是超线性的, 称1是超线性的；若2关于在原点和无穷远处均是次线性的, 称2是次线性的。
记E=C[0，1],取‖u‖|u(t)|, 则E是Banach空间。
当k≥2时定义K为：则K是E中的锥。
一类非线性三点边值问题正解的存在性
｛∈
［ ，］ ｌ ｌ＜ ｄ） ０ １ ：ｌ ｌ ．
其中寺 ＜ 叩 １０ ａ １，满足： ＜ ，＜ ＜ ，
厶 。
１ 引理 设 定
引理 １ ［ 设 Ｘ为 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， ｎ为 Ｘ 的一 个
（ ） Ｈ。 ，∈ Ｃ ［ ，３× ［ ， 。 ） ［ ， Ｃ ） ； （０ １ Ｏ ＋ 。 ，Ｏ ＋ × ） 。
（ ）一 （ ） ￡ （ ）一 删 （ ） （ Ｏ １ ， ）一 ０， （ ）＝ ０ １ （） ３ （） ４
Ｂ （ ）２ ＶＰ １ （ ）存在惟 一 非平 凡正解 的充 分条 件．
本文所 研 究 的 空 间 为 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ｃ ｏ １ ， ［ ，３ 其 中范 数为 ｌ Ｉ＝ ｍａ （）Ｉ Ｉ ｌ Ｕ ｘｌ ￡ ．
（ ） 在ｔ Ｈ， 存 。∈ ［ ， ］ 使得 ｆ ｔ，）≠ ０ Ｏ１ ， （。 ０ ．
文献［— ］ １ ４ 以及其 中所 引用 参考 文献 对非 线性 边 值 问题正解 的存 在 性 作 了 大量 的研 究 ． 在文 献 ［ ３
—
有界 开子 集 ， 且 ∈ｎ， Ｆ： 若 ｎ— Ｘ 为一个 全连续 算 子 ， ： 么存在 Ｕ∈ 则 要 及 ＞ １ 使得 Ｆ（ 一 Ａ ， ） ｘ，
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｂｙ ｕｓｎｇ ｔ ｒ ｙ — Ｓｃ ａ ｅ ｏ ｉ ｅ ｒａ ｔ ｒ ａ ｉ ｅ ａ ｄ ｔ ｒ ｅ ｔｅ ｆＧｒ ｅ ｕ — ｉ ｈｅ Ｌｅ ａ ｈ ｕｄ ｒ ｎ ｎｌｎ ａ ｌｅ ｎ ｔｖ ｎ ｈｅ ｐ ｏｐ ｒ ｉｓ ｏ ｅ ｎ ｆ ｎｃ ｔｏ ｉ ｎ，ａ ｄ ｃ ｓｄｅ ｉ ｇ ｔ ｒ ｐｅ ｔ ｆｎ ｌｎｅ ｒｔ ｏ ｏｕ ａ ｙ ｓ ｔ ｕ ｆｃ ｅ ｏ ｉｉ ｏ ｎ ｏｎ ｉ ｒ ｎ ｈｅ ｐ ｏ ｒ ｙ ｏ ｏｎ ｉ ａ ｉｙ ｏｎ ｓ ｍｅ ｂ ｎｄ ｒ ｅ ，ａ ｓ ｆ ｉｉｎｔｃ ｎｄ ｔｏｎ ｆ ｒ
一类非线性三阶边值问题正解的存在性
（ ）ｏ４ ｆ＜ ２， ＨＥ ｆ ０， １ ＞ －
则ＢＰ １ Ｖ ０． 至少 存在一个正解 ． ）
由定理 １ 还可得到
取ｘｃ） 义Ａ — ＝Ｉ （定 ： 为Ａ＝。（ｆ （ ｓ ， ， Ｘ ｕＪ ｔ（ ｓ ， Ｘ则Ａ Ｃ，ｓ ） ｕ ｓ， ｌ ｅ ）ｕ ｄ
的不动点就是积分方程 的解． １（． 式， ￣ ２１ 易得 ｔ ） 引理 １Ｇ １） （ｓ有如下性质： ＇
【 （）ｕ（＝ ’）０ ｕ０ ’）ｕ（ ＝ ， ＝ ０ １
其 中， ： ×Ｒ＋ 为连续函数． ｆＩ ．Ｒ 受文［卜［】 ４ ５的启发， 应用指数 不动点定理代替锥拉伸与锥压缩不动点定理， 获得 了正解 的 存在性结果。 并且在非线性项的增 长限制上更加精确 ．
为了方便介绍， 先引入以下记号：
其 中 ｆ＋ ＝ｉ 。 （ ／ ， Ｂ Ｐ１２至少 存 在一 个正 （ ）ｌ ｍ ｆｕ ｕ 则 Ｖ （． ）） ）
解． ２ 准 备 工作 和 主 要 结 果证 明
ｆ ｌ ｉ ｍｉｔ ｌ 【ｕ／）ｏ］ ｓｐ ｍａｔ ｌ （ｕ／） ｏｉ ｎ ＝ ｍ Ｉｅ 】 ｔ ） ，－ｉ ｕ ｌｎ（ ’ ｕ ｆ ｍ ｆ ｘ ｎｌ ｔ ） ， ｓ （ ， ｕ ｆ
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第１ 第２ （０ ２ 卷 期 ２７ ０）
寸 Ｉ拒 青离 孑 牛
Ｖ１ ．２７ ｏ ２ｏ（０ ． Ｎ ２０ ） １
一
类非线性三 阶边值 问题 正解 的存在 性
魏 晋 滢
（ 西北师范大学 ， 甘肃兰州 ７ ０７ ） ３００
摘
要 ： 了三阶常微分方程边值 问题 讨论
把定理 １ 应用到问题
三阶微分方程在天文学 、 流体力学等学科 的研究 中有 着
广泛 的应用． 因此， 其解的存在性受到广泛 的关 注， 见文【卜【】 １ ３． 本文考察 了如 下的三阶常微分方程边值 问题： Ｉ［。 ， 设 ＝ｏ１ 】
三阶非线性方程三点边值问题的存在性
三 阶 非 线 性 方 程 三 点 边 值 问题 的存 在 性
王 国灿
（ 大连交通大学 理 学院， 辽宁 大连 １６ ２ ） １０ ８
摘
要： 研究 了三阶非线性方程的一类三点边值 问题 ， 利用 Ｖ ｌ ｒ 型积分算子和微分不等式理论 ， ｏｅ ａ ｔｒ 得到 了
解 的 存 在 性 和 唯 一性 ．
（ ） ｕ １ ＝ （ ） （） “ ｔ 一１ ， （ ） １ ， ｔ ≤ （）≤ 卢 ｔ （）的解
ｕｔ （）即为边值 问题 （ ） 一 （ ）的一个解 ． ３ ４
下面， 虑 Ｏ 考 ／ １ ＜ （一１ （一 ） ）的 情 形．让
ｔ
其中， Ｔ ］ｔ＝ （） ｔ ） （） ｓ ｔ ［ｕ （） ￡＋Ｊ（， “ｓ ｄ， ）∈ Ｓ （
到 “ｔ （）∈Ｑ（ 一１ ） 出 ｕ （ ）≤／ （ ）≤ （ ） 推 一１ ３ 一１
（ ）≤ （ ）所 以 ｈ ／（ ）“（ ） １ １， （Ｊ 一１ ， １ ）≤ ０ 类 ／ ． 似地 ， ／ ｔ （ 一１ ） 又推 出 ｕ（ ）≥ 对 ｄ ）∈ （ ） ， ， （ 一１
（ ） ， ｔ 是方程（ ） ３ （ ） （ ） ３ 的上下解 ， ０ 且 ［ ）≤ （ （） ，一１≤ ｔ≤ １ 同时 ， Ｏ 一１ ： （ ） （ ）＝ （ ） ／ （ ） １ ， 一１ １ ，
注ｎ ］本文考虑一类特殊的三点边值问题 ： ４．
＝
．
厂ｔ ，” （， ， ）
Ｉｔ ／ ）≤ ／ ￡ ，一１≤ ￡ １ ， （ ３ ） （ ≤ ．
利用 Ｖ ｌ ｒ 型 积分算 子 把 三 阶边值 问题 转 化 为 ｏｅｒ ｔ ａ 二 阶边值 问题来 处理 ， 到 了解 的存 在性 ． 得 这种技
一类三阶微分方程正解的存在性
（ ２ １
一
有唯一解， 其中：ｕ ） （ｓ （ｄ， （＝ｆ ｔ ） ｓ ｓ 而当０ ≤ 时，Ｇｆ ） ｔ ｉ｛， 一 ２ ｔ Ｇ ，ｙ ） ｔ １ （ ： ｍｎ， ｝ ｆ ；当０ ， ７ ／
ｔ 时， １
Ｇ ｔ ） ｍｉ｛，｝ ／ 一 ２ 注：通过计算，可直接得到０ （Ｓ≤ （，） ｔ ，０ ≤ ） （ Ｓ＝ｔ ｎｒＳ＋ ２ ｆ （ ， ／ ／ Ｇｔ ） Ｇ ，０ １ Ｓ １． ， 引理 ２ ：假设 ０ ＜／ ＜ １ ２，对任意的 ｙｔ ，］ （ｅＣ ［ １都有边值问题（） ） ０ ２的唯一解 甜ｆ满足 ｕｔ （ ） （ ０，并且 ）
关键 词 ：边值 问题 ；正解 ；不动 点定理 中图 分类 号 ：Ｏｌ５４ ７ ． 文 献标 志码 ：Ａ 文 章编 号 ： １ ７ — ３ ６２ １） ６ ０ ９ — ２ ６ ４ ３ ２ （０ １ ０ — ４ ６ ０
Ｅｘ ｓ ｅ ｃ ｆＰｏ ｉｉ ｅＳ ｌ ｔｏ ｆａ Ｔｈ ｒ ｒ ｒＤｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ｕａ ｉ ｎ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｉ ｄ Ｏ ｄｅ ｆｅ ｅ ｔａ Ｅｑ ｔｏ
并 得 ｊ 了正解 的存 在性 ，其 中 ＞０，，∈［ ２ １ ， ａ ｝ ｛ ７ １ ，） ／ ∈Ｃ（ ，）［，ｏ） （ １ ０ ｏ） 厂∈Ｃ（ ，］［，ｏ ． ０ ， ［ １ ０ ｏ） ０ ， ）
（ １ ） 一
１ 一 些 引 理
首先， 约定 本文使 用 的符 号 如下 ：Ｃ［ ， ］是 Ｂ ｎ ｃ 间 ， ０１ ａａｈ空 其上 的范 数 ｌ ａ ｌ （） ，Ｃ ０ １ ＝ ｌ “ ｆｌ ［ ， ］ ＝ｍ ， ｘ
ＬＩＣｈｕ — ａ ｎｙ ｎ
（ ｐ ｒ ｎ ｆ ａ ｅ ｔ ｓ Ｘｉｘａ ｇＵ ｉｅｓ ｙ Ｘ ｎ ｉｎ ５ ０ ３ Ｃｈｎ ） Ｄｅａｔ ｔ ｔ ｍａｉ ， ｎ ｉｎ ｎｖ ｒｉ ， ｉｘａ ｇ４ ３ ０ ， ｉａ ｍｅ ｏ Ｍ ｈ ｃ ｔ
非线性三阶三点边值问题系统的正解
女 Ⅱ 果（ ， ） ∈Ｃ ａ （ ［ ０ ， １ － １ ， Ｅ ０ ， ｏ ｏ ） ） ×Ｃ ａ （ Ｅ ０ ， １ ］ ， Ｅ ０ ， 。 。 ） ） 满足系统（ １ ） 中的微分方程 和边界条件 ， 则
称（ 甜 ， ） 为 系统 （ １ ） 的解．若 （ ， ） 为 系统 （ １ ） 的解 ，
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａｎ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｉ ｒ ｄ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ － ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ — —
非 线性 三阶三点边值 问题 系统，给 出其至少存在一个正解 的充分条件 ，所用 的主要工具是不动点指数理论．
关键词 ：三阶三点边 值 问题 ；系统；正解 ；存在 性；不动点指数
中图分类号 ： ０１ ７ ５ 文献标志码 ： Ａ
Ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ａ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ ｎｏ ｎｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ｔ ｈｉ ｒ ｄ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ
第４ ３ 卷 第 ４期 ２ ０ １ ７ 年 ８月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖｏ １ ． ４ ３ Ｎｏ ． ４ Ａｕ ｇ ． ２ ０１ ７
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ — ５ １ ９ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ — ０ １ ５ ０ — ０ ４
非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。
如y'=2xy。
2.非线性，就是除了线性的。
如y'=2xy^2。
若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。
线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。
这种方程的
函数图象为一条直线，所以称作线性方程。
可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。
比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。
微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线
性微分方程。
可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的
各阶导数也必须就是不少于一次的。
非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性杜金姬;秦闯亮;苑倩倩【摘要】研究三阶三点边值问题{u(")(t) + a(t)f(u(t)) =0 t ∈ (0,1)u(0) =u'(0)=0,u'(1)-au'(η) =λ,其中:0＜η＜1;0＜a＜1/η;λ∈(0,+∞).获得该线性边值问题解的形式,运用不动点指数理论建立该问题至少存在2个正解的存在性准则.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】4页(P6-9)【关键词】三阶三点边值问题;正解;不动点指数理论【作者】杜金姬;秦闯亮;苑倩倩【作者单位】信阳学院数学与信息学院,河南信阳464000;信阳学院数学与信息学院,河南信阳464000;信阳学院数学与信息学院,河南信阳464000【正文语种】中文【中图分类】O175.8近年来，三阶三点边值问题受到人们的关注[1-7]．本文运用不动点指数理论研究边值问题文献[1]中考虑了边值问题（1）中参数时的特殊情况，运用Guo-Krasonoselskii不动点定理，在非线性项满足超线性或次线性的条件下得到边值问题至少有1个正解的存在性结果．文献[2]通过运用不动点指数理论得到此特殊情况至少2个正解的存在性准则．本文进一步研究当参数时的边值问题（1），建立其解的表达式，借助格林函数的性质，运用不动点指数理论，在非线性项f满足一定条件的情况下得到了边值问题（1）至少有2个正解的存在性准则．【相关文献】[1] GUO L J，SUN J P，ZHAO Y H．Existence of positive solution for nonlinear third-order three-point boundary value problem[J]．Nonlinear Analysis，2008，68：3151-3158[2] 孙建平，彭俊国，郭丽君．非线性三阶三点边值问题的正解[J]．兰州理工大学学报，2009，35（1）：139-142[3] 郭丽君．非线性微分方程三阶三点边值问题两个正解的存在性[J]．北华大学学报：自然科学版，2016，17（5）：566-571[4] 姚志健．非线性三点边值问题正解的新的存在性[J]．数学杂志，2014，34（1）：173-178[5] 高永馨，汪风琴．三阶非线性微分方程三点边值问题解的存在性[J]．黑龙江大学自然科学学报，2015，32（4）：421-427[6] 吴红萍．一类非线性三阶三点边值问题的多个正解[J]．贵州大学学报：自然科学版，2014，31（2）：4-6[7] 张立新．三阶边值问题3个正解的存在性[J]．四川师范大学学报：自然科学版，2011，34（4）：466-470[8] GUO D．Lakshmikantham V．Nonlinear problems is abstract cones[M]．New York：Academic Press，1988。
非线性微分方程三阶三点边值问题一个正解的存在性
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ６ ． ０ １ ３
Ｕ ” （ ｔ ）＋Ｙ （ ｔ ） ＝０， ｔ∈ （ ０ ， １ ） ， 有 唯一 解
ｒ１
数， 且形式上较简单 ， 得 到了新的性质 ， 通 过 运 用
Ｇ ｕ ｏ—Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ 不 动点 定理 ， 在非 线性 项 厂 满 足
一
（ ３ ）
定 条件 的情 况下得 到 了边值 问题 （ １ ）和 （ ２ ）至少
个 正解 的存 在性 准则．
定理 １ 设 Ｅ是 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 ， Ｋ ｃ Ｅ是 锥．
“ （ ０ ） ＝Ｕ ” （ ０ ） ＝０ ， ｕ （ １ ）一 “ （ 叼）＝Ａ， （ ４ ）
一
“ （ ｔ ）＝ Ｉ Ｇ （ ｔ ， ｓ ） Ｙ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋
２ ０ １ ６年 １ １月 第３ ９卷 第 ６期
四川 师范大学 学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
ａ （ ｔ ）不 恒为零 ， 其 中 『为 （ ０， １ ） 上 的任 意常 数．
Ｗｉ ｌ ｌ ｉ ａ ｍｓ 不动 点定 理得 到 了边 值 问题 （ １ ）和 （ ２ ）
一类三阶三点边值问题正解的存在性
一类三阶三点边值问题正解的存在性程德胜;武晨【摘要】We study the existence of positive solution to the following third-order three-point boundary value problems u(t)+a(t)f(u(t))=0 ,t∈(0 ,1 ),u(0 )= u′(0 )= 0 ,u′(1 )-αu′(η)=λ,where 0<η<1 ,0<α<1/η,λ>0.By using fixed point theorem in cones,we obtain the existence of the positive solution if f is either superlinear or sublinear.Our results extend and improve some results made by Wu Hongping.%考虑一类三阶三点边值问题u（t）＋a（t）f（u（t））＝0，t∈（0，1），u（0）＝u′（0）＝0，u′（1）－αu′（η）＝λ，其中，0＜η＜1，0＜α＜1／η，λ＞0，f满足超线性或者次线性条件，利用锥上的不动点定理，得到上述边值问题解的存在性结果。
结果表明：文中方法进一步改进和推广了吴红萍的结果。
【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】4页(P127-130)【关键词】三阶三点边值问题;锥;格林函数;不动点定理【作者】程德胜;武晨【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院基础课程教学部，南京江苏210019;江苏联合职业技术学院南京分院基础课程教学部，南京江苏 210019【正文语种】中文【中图分类】O175.8三阶微分方程边值问题是研究奇数阶边值问题的基础,由于其广泛的物理背景和现实意义，三阶边值问题引起了许多学者的关注，并且取得了较多成果[1-10]. 吴红萍[2]考虑了三阶三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ.其中：0<η<1；0<α<1/η；λ>0.通过应用Leggett-Wilmlias不动点定理得到上述边值问题有3个正解的存在性.但作者仅考虑在上述条件下解的存在性，并没有考虑到当f满足超线性或次线性条件下,上述边值问题的解是否存在.本文研究一类三阶三点边值问题,即其中:0<η<1;0<α<1/η;λ>0.在f满足超线性或次线性条件下，上述边值问题解的存在性.假设以下条件成立：1)∞.引理1[7] 假设E是一个Banach空间，P是E中的锥，假设Ω1,Ω2是E中满足0∈Ω1⊂⊂Ω2的两个开子集，并且是一个全连续算子，满足ⅰ) ‖Tu‖≤‖u‖，u∈P∩∂Ω1,并且‖Tu‖≥‖u‖，u∈P∩∂Ω2，或者ⅱ) ‖Tu‖≥‖u‖，u∈P∩∂Ω1,且‖Tu‖≤‖u‖，u∈P∩∂Ω2，则T在中至少有一个不动点.引理2[3] 边值问题 u‴(t)+a(t)f(u(t))=0，t∈(0,1)，u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ,有唯一解，即式(2)中:G(t,s)引理3[3] 对任意(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有，且.引理4[3] 对任意(t,s)∈[0,1]×[0,1]，有0≤G1(t,s)≤s(1-s).引理5[3] 若u∈C+[0,1]，边值问题(1)的唯一解式(2)非负，且满足‖u‖.考虑Banach空间E=C[0,1]，赋予范数‖u‖|u(t)|，定义锥K={u∈：u(t)≥0,t∈[0,1]，且‖u‖}，对任意u∈K，定义算子,有由引理3可得则有当t∈[τ,1]时，由引理3和式(4),有因此，‖Tu(t)‖，这表明TK⊂K.更进一步容易验证T：K→K是全连续的，且T的不动点即边值问题(1)的解.记.定理1 假设f0=0，且f∞=∞(超线性)，则边值问题(1)至少存在一个正解.证明因为f0=0，所以存在R1>0，使0≤u≤R1时，有f(u)≤εu,t2≤ε‖u‖成立.其中，ε为大于0的常数，且满足当u∈K,‖u‖=R1时，由引理3和式(5)，有令Ω1={u∈E：‖u‖<R1}，则由式(6)可知：‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1.另一方面，由f∞=∞可知，存在R2>R1，使u≥τ2R2时，有f(u)≥ρu成立.其中，ρ>0，且满足令Ω2={u∈E：‖u‖<R2}，当u∈K,‖u‖=R2时，有u(t)≥τ2‖u‖=τ2R2,t∈[τ,1].因此，由式(7)可得因此，‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω2.由引理1可知：有一个不动点，即边值问题(1)的解. 定理2 假设f0=∞，且f∞=0(次线性)，则边值问题(1)至少存在一个正解.证明因为f0=∞，则存在R3>0，使0≤u≤R3时，有f(u)≥δu成立.其中，δ>0，且满足当u∈K,‖u‖=R3时，由式(8)可得令Ω3={u∈E：‖u‖<R3}，当‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω3.因为f∞=0，则存在R<0，使当u≥R时，f(u)≤γu.其中,γ>0，且满足下面分两种情况进行讨论.1) 如果f是有界的，即存在M>0，当u∈[0,+∞]时，有f(u)≤M成立，此时，令从而‖Tu‖≤‖u‖.2) 如果f是无界的，令},使f(u)≤f(R4)成立.其中,0≤u≤R4.当u∈K,‖u‖=R4时，由式(9)和f(u)≤f(R4)可得因此,‖Tu‖≤‖u‖.无论哪一种情况，都可以令Ω4={u∈E：‖u‖<R4}，从而对任意的u∈K∩∂Ω4.都有‖Tu‖≤‖u‖成立.由引理1可知:边值问题(1)至少有一个正解. 建立适当的格林函数，选择合适的锥，运用锥拉伸与压缩不动点定理，对一个含参数的三阶边值问题在满足超线性或者次线性条件下正解的存在性进行了探究，得到了一些新的推广的结果，也丰富了对锥拉伸压缩不动点定理的理论分析.【相关文献】[1] 杨春风.一类三阶三点边值问题正解的存在性和不存在性[J],山东大学学报(理学版),2012,47(10):109-115.[2] 吴红萍.一类三阶三点非齐次边值问题的两个正解[J].西北师范大学学报(自然科学版),2012,48(6):9-12.[3] SUN Yongping.Positive solutions for third-order three-point nonhomogeneous boundary value problems[J].Appl Math Letters,2009,22(1):45-51.[4] 王全义,邹黄辉.一类n阶非线性三点边值问题单调正解的存在性[J].华侨大学学报(自然科学版),2014,35(3):344-348.[5] 王全义,邹黄辉.非线性奇异三阶两点边值问题单调正解的存在性[J].华侨大学学报(自然科学版),2012,33(6):699-704.[6] 高婷,韩晓玲.三阶无穷多点边值问题正解的存在性[J].四川大学学报(自然科学版),2016,53(1):35-41.[7] 武晨.带有积分型边值条件的奇异的n阶边值问题无穷多正解的存在性[J].淮北师范大学学报(自然科学版),2015(3):14-17.[8] 孙建平,张小丽.非线性三阶三点边值问题正解的存在性[J].西北师范大学学报(自然科学版),2012,48(3):1-4.[9] 孙建平,彭俊国,郭丽君.非线性三阶三点边值问题的正解[J].兰州理工大学学报,2009,35(1):139-142.[10] 吕学哲,裴明鹤.一类三阶三点边值问题正解的存在性[J].北华大学学报(自然科学版),2014(5):577-580.。
一类非线性三阶三点边值问题单调正解的存在性
一类非线性三阶三点边值问题单调正解的存在性曹珂【摘要】考虑了一类非线性三阶常微分方程三点边值问题单调正解的存在性.通过运用迭代技巧,不仅得到其单调正解的存在性,还给出两个迭代序列,并且迭代序列的初值是简单的零函数和一次函数,从计算的角度来说是有用的和可行的.最后通过实例说明了所得结果的重要性.%This paper is concerned with the existence of monotone positive solutions for three-point boundary value problem of a class of nonlinear third-order ordinary differential equation. By applying iterative techniques, the existence of monotone positive solution is obtained and two iterative sequences of monotone positive solution are given. Moreover, the iterative scheme starts off with zero function or linear function,which is very useful and feasible for computational purpose. At last,an example is also included to illustrate the importance of the results obtained.【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2011(034)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】边值问题;单调正解;存在性;迭代法【作者】曹珂【作者单位】甘肃联合大学师范学院数学系,中国兰州730010【正文语种】中文【中图分类】O175三阶微分方程起源于应用数学和物理学的各种不同领域中, 例如, 带有固定或变化横截面的屈曲梁的挠度, 三层梁, 电磁波, 地球引力吹积的涨潮等[1]. 最近, 三阶三点边值问题正解的存在性受到了人们的高度重视[2-7], 但现有文献大多是以各种不动点定理为工具的. 譬如, 文献[6]考虑了如下三阶三点边值问题(1)其中通过运用Guo-Krasnosel’ skii不动点定理，在非线性项满足超线性或次线性的条件下得到了边值问题(1)至少一个正解的存在性结果．文[9]运用单调迭代法考虑了边值问题(1)正解的存在性结果．受以上文献的启发，本文将运用单调迭代法来研究下述边值问题(2)单调正解的存在性，其中值得一提的是, 我们不仅获得了边值问题(2)单调正解(非平凡的非负解)的存在性, 还给出了单调正解的两个迭代序列, 并且迭代序列的初值是很简单的零函数或一次函数, 这从计算的角度来说是非常有用和可行的.全文假设下述条件成立：(H1) f∈C([0,+∞)×[0,+∞),[0,+∞))；(H2) a∈C([0,1],[0,+∞))且不恒为零.1 预备引理引理1[6] 设αη≠1，则对于任意给定的h∈C[0,1]，边值问题有唯一解u(t)=G(t,s)h(s)ds，其中以下总是假定令引理2[6] 对于任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1]，0≤G(t,s)≤tg(s)，0≤Gt(t,s)≤g(s)．记E=C1[0,1],定义其中的范数为令K={u∈E|u(t)≥0,u′(t)≥0,t∈[0,1]}, 易知K为E 中的锥，而(E,K)为半序Banach空间．这样我们可以在E中定义半序：u≤v(u,v∈E)当且仅当v-u∈K.定义算子T:(Tu)(t)=G(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds,t∈[0,1].对于任意的u∈K, 由引理2及(H1)，(H2)可知，(Tu)(t)=G(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≥0,t∈[0,1]，(Tu)′(t)=Gt(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≥0,t∈[0,1],这表明T:K→K. 显然，T的不动点即为边值问题(2)的单调非负解.为方便起见, 记则由(H2)可知Λ>0.引理3 T:K→K是全连续的.证首先证明T为紧算子. 设D⊂K有界，则存在M1>0,使得对于任意的u∈D,‖u‖≤M1. 下证T(D)是K中的相对紧集．考虑任意点列⊂T(D), 则存在⊂D使得T(uk)=wk. 令M2=sup{f(x,y):(x,y)∈[0,M1]×[0,M1]}.则对于任意的自然数k由引理2可知则是一致有界的．类似地，Λ-1M2,t∈[0,1].可得是一致有界的，因此是等度连续的．由Arzela-Ascoli定理可知在C[0,1]中存在收敛子列．不失一般性，假设在C[0,1]中是收敛的．另外，由Gt(t,s)的一致连续性可知，对任给ε>0,存在一个δ>0,对任意t1,t2∈[0,1]且因此，即得是等度连续的．由Arzela-Ascoli定理可知在C[0,1]中有收敛子列．综上所述，在C1[0,1]有收敛子列．这就证明了T为紧算子.其次，我们证明T为连续算子. 假设um,u∈K且‖um-u‖→0(m→∞). 则存在M3>0，使得对于任意的自然数m，‖um‖≤M3. 令M4=sup{f(x,y):(x,y)∈[0,M3]×[0,M3]},则对于任意的自然数m，t∈[0,1]，由引理2，有，由勒贝格控制收敛定理可知，(Tu)(t),t∈[0,1]，(Tu)′(t),t∈[0,1].因此, T是连续算子. 综上所述，T:K→K是全连续算子．2 主要结果定理2 假设f(0,0)>0且存在常数R>0使得f(u1,v1)≤f(u2,v2)≤ΛR,0≤u1≤u2≤R,0≤v1≤v2≤R.(3)若构造迭代序列vn+1=Tvn,wn+1=Twn,n=0,1,2,3,…,其中v0(t)=0,w0(t)=Rt,t∈[0,1]. 则序列与分别收敛于T的不动点v,w∈C1[0,1], 这两个不动点即为边值问题(2)的单调解, 并且满足0<v(t)≤R,t∈(0,1] 且0≤v′(t)≤R,t∈(0,1],0<w(t)≤R,t∈(0,1] 且0≤w′(t)≤R,t∈(0,1].证令KR={u∈K:‖u‖≤R}, 则有T:KR→KR. 事实上，对于任意的u∈KR, 有由引理2及(3)可知(Tu)(t)=G(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≤tg(s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≤(Tu)′(t)=Gt(t,s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≤g(s)a(s)f(u(s),u′(s))ds≤这意味着T:KR→KR.下面证明如果序列在C1[0,1]中收敛于v，则其必为边值问题(2)的单调正解，且满足0<v(t)≤R,0≤v′(t)≤R,t∈[0,1].注意到v0∈KR 且T:KR→KR, 从而vn∈KR,n=1,2,…. 故有界，又因为T是全连续算子，因此是相对紧集.首先我们证明是单调的. 由引理2，有v1(t)-v0(t)=(Tv)0(t)=G(t,s)a(s)f(0,0)ds≥0,t∈[0,1]，(4)(5)由(4),(5)可知v1-v0∈K, 这表明v0≤v1. 假设vk-1≤vk，由引理2及(3)可知(6)(7)由(6),(7)可知vk+1-vk∈K, 即vk≤vk+1, 这样就证明了vn≤vn+1,n=0,1,2….因此存在v∈KR, 使得‖vn-v‖→0(n→∞). 由T的连续性及vn+1=Tvn,n=1,2,3,…，易知v=Tv. 又由于f(0,0)>0, 可知零函数不是边值问题(2)的解，故有‖v‖>0. 从而0<v(t)≤R,0≤v′(t)≤R,t∈[0,1].类似地，可以证明在C1[0,1]中收敛于w，w也是边值问题(2)的单调正解且满足0<w(t)≤R,0≤w′(t)≤R,t∈[0,1].3 应用实例例考虑边值问题(8)因为α=2和简单计算可知Λ=1. 选取R=2, 则定理2的所有假设均满足. 由定理2可知边值问题(8)存在单调正解v,w且满足：0<v(t)≤2,t∈(0,1] 且0≤v′(t)≤2,t∈(0,1],0<w(t)≤2,t∈(0,1] 且0≤w′(t)≤2,t∈(0,1].此外，两个迭代序列为：迭代序列的第一，第二和第三项分别如下：v0(t)=0,w0(t)=2t,参考文献：[1] GREGUS M. Third order linear differential equations [M]. Dordrecht: Reidel,1987.[2] ANDERSON D R, DAVIS J M. Multiple solutions and eigenvalues for three-order right focal boundary value problems[J]. J Math Anal Appl, 2002, 267(1): 135-157.[3] ANDERSON D R. Green’s function for a third-order generalized right focal problem[J]. J Math Anal Appl, 2003, 288(1): 1-14.[4] YAO Q. The existence and multiplicity of positive solutions for a third-order three-point boundary value problem[J]. Acta Math Appl Sinica, 2003, 19(1): 117-122.[5] SUN Y. Positive solutions of singular third-order three-point boundary value problem[J]. J Math Anal Appl, 2005, 306(2): 589-603.[6] GUO L J, SUN J P, ZHAO Y H. Existence of positive solution for nonlinear third-order three-point boundary value problem[J]. Nonlinear Analysis, 2008, 68(10): 3151-3158.[7] 孙建平, 彭俊国, 郭丽君. 非线性三阶三点边值问题的正解 [J]. 兰州理工大学学报, 2009, 35(1): 139-142.[8] AMANN H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problem in ordered Banach spaces[J]. SIAM Rev, 1976, 18(4): 620-709.[9] 孙建平, 曹珂. 一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性 [J]. 兰州理工大学学报,2010, 36(2): 123-124.。
时间尺度上一类半正三阶三点边值问题的解的存在性
Ｊ （ ） ＋ ｆ ， 札 （） ０ ｔ （ ， ｌ ｆ ） Ａ（钆） △ ）＝ ， ∈０ ） “ Ｖ （ ｔ （， ，
ｍ 一２ ｎ
１ｕ） 触△ ） ０ 札 ） ａ（ 【 （～ （＝ ， （ ∑ ｉ ， ｏ ａ ０ 札
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在这 里 （） ｐＬ ｐａｉｎ箅 子 ， ｉ ． （） ｌｌ ｓ Ｐ＞ １ ＞０是 一个参 数 ， ０＜∈ ｓ 是 －ａｌｃａ ． ， ｓ ＝ ， ｅ ｓ ， ｌ＜ ＜ 一 ２＜ｐ ） 们获得 当 属 于某一 区间时 ，边 值 问题 （． 的 非平 凡解 的存在 与 唯 （ ．他 １４ ） 陛的若干充分条件．他们的方法基 于 ＬｒｙＳｈｕ ｅ 非线性抉择 ．我们注意到 Ａ ｄｒ ｎ ｅａ—ｃａ ｄｒ ｎ ｅ ｏ ｓ 和 Ｓ ｒｓ 应用 相似 的方 法 来研 究 以下 时间尺 度上 三 阶三 点边值 问题 ｍｙｌ［ ｉ ］
由引理 ２４给 出．这 一假 ．
设蕴涵着边值问题 （． 是半正的．一些有关时间尺度的预备定义与定理参见文献 ｆ ４ 这 １） １ １ ］ ， 些文 献提 供 了时 间尺 度 的基本 计算 ． 近年来，时间尺度上高阶两点边值 问题正解的存在性受到了广泛的关注，参见 ｆ ７ 及 ５ ］ 所 附文 献 ．另一方面 ，时 间尺度上偶 数 阶多 点边值 问题 也获得 了深入 的研 究 ， 见 Ａｎ ｅｓｎ 参 ｄｒｏ 和 Ａ ｅｙ ］Ｙ ｓ ｎ９ ｖｒ［， ａｌ ［．三 阶方 程 出现于 应 用数 学和 物理 学 的诸 多领 域 之 中 ，例 如在 量子 流 ｓ ａ Ｊ 体 和重 力驱 动 流的研 究 中会 用 到此 类方 程 ．时 间尺 度 上三 阶三 点边 值 问题 的研 究参 见文 献
具 为锥拉伸与锥压缩型的 Ｋｒ ｓｏｅ’ ｉ 不动 点定理． ａｎ ｓｌｋｉ ｓ
三阶三点非齐次微分方程边值问题正解存在性研究
』 ） 口 ）（（ ｕ（ ＋ （ ，
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ｔ （ ）＝ ｕ （ ） ＝０ ｕ １ Ｍ 叼 ＝Ａ， ｕ０ ０ ， （ ）一 （ ）
收 稿 日期 ：０ ２０ －８ ２ １ －２２
基金项 目： 华北 电力大学 中央高校科研业务基金 （０ ３ ） １ＭＬ ８
边 值 问题受 到 了许 多学者 。 的关 注 。但是 ， 们发 现对 于三 阶三 点非 齐次 微分 方程 边值 问题 的研究 结 我 果 却不 是很 多 。文献 ［ ］ ５ 运用 不动 点定 理研 究 了下列 三 阶三点 非齐 次微 分方 程边值 问题 ：
『 ￡ ｕ （）＋ｎ ｆ （） （ ） ：０， ０ ＜ｔ＜ ｌ ｔ） ， 【 ０ ＝ｕ （ ） ＝０， “ （ ）一 ７ ＝Ａ， （ ） ０ １ Ｍ （１ ）
作者简介 ： 绍帅（９８ ）女 ， 刘 １８一 ， 山东省 烟 台市 人 ， 华北 电力 大学 硕 士生 ， 要研究 方 向为微 分方 程边 值 问题 ； 德香 主 马
（９ ２ ） 女 ， １７ 一 ， 山东省 日照市人 ， 华北 电力大学副 教授 ， 理学博士 ， 主要研究方向为微分方程边值问题 。
Ｖ０ ． ８ Ｎｏ ５ １２ ．
第２ ８卷第 ５期
［ 章编 号 ］６３— ９４ ２ １ ）５－ ０ ９—０ 文 １７ ２４ （０２ ０ ０ ４ ６
三阶三点非齐次微分方程边值问题正解存在性研究
刘 绍 帅 ， 马 德 香
（ 华北 电力 大学 数 理学 院 ， 北京 １２ ０ ） ０ ２６
・
４ ・ ９
陕西理工学院学报 （ 自然科学版 ）
第２ ８卷ｃ ｔｓ 口 ｓ ￡ （ ，） （
一类三阶三点边值问题的可解性
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收 稿 日期 ： ０ ０—１ —１ ； 回 日期 ：０ １ ０ —２ ２１ １ ２修 ２１ — ３ ８ 基 金 项 目 ： 南 省 教 育厅 自然科 学 基金 资 助 项 目（ ｏ ２ １ Ａｌ ０ ２ ） 河 Ｎ ． ０ ０ １ ０ ２
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文献 ［ ］ １ 研究 了含 有 一 阶导数 的非 线性 二 阶三
点 边 值 问题
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一
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非线性三阶三点边值问题正解的存在性(Ⅰ)
非线性三阶三点边值问题正解的存在性(Ⅰ)
李淑红
【期刊名称】《丽水学院学报》
【年(卷),期】2014(036)002
【摘要】借助于Krasnosel' skii锥拉伸与锥压缩不动点定理研究一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性.
【总页数】5页(P1-5)
【作者】李淑红
【作者单位】丽水学院理学院,浙江丽水323000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.5
【相关文献】
1.非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 杜金姬;秦闯亮;苑倩倩
2.非线性微分方程三阶三点边值问题两个正解的存在性 [J], 郭丽君
3.非线性微分方程三阶三点边值问题一个正解的存在性 [J], 郭丽君
4.一类非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 郭丽君
5.非线性三阶三点边值问题多个正解的存在性 [J], 张瑞燕
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（ ） ＥＣ ［ ，］［ ， ）且不恒为零． Ｈ２ ａ （Ｏ １ ，Ｏ ＋∞ ）
提的是 ， 不仅获得边值问题 （ ， ） １ ２ 正解（ 非平凡的
１ 预备 引理
引理 １ ３ 设 ａ ≠ １ 则对于 任意给定 的 ｈ ［ ６ ， ∈ ｃ ｏ１ ， ［ ，３ 边值问题
、
ｑ ａ ｉｎ ｗａ ｔ ｄｅ ｙ ｕ ｉｇ ｍ ｏ ｏ ｏ ｉ ｔｒ ｔ ｎ ｍｅ ｈ ｄ Ｎｏ ｎｙ ｔ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｏ ｉ ｖ ｏｕ ｉｎ ｗａ ｕ ｔ ｓｓｕ ｉｄ ｂ ｓ ｎ ｔｎ ｃｉｅａ ｉ ｔ ｏ ． ｏ ｎ ｏ ｔｏ ｌ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｓ ｉ ｏ
ｎ） ａ
Ａｂ ｔａ ｔ ｌｓ ｆ ｏ ｌ ｅｒｔｒｅｐ ｉｔ ｏ ｎ ａｙ ｖｌｅｐ ｏ ｌｍ ｆ ｈｒ－ｒ ｅ ｒｉａｙ￣ｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｓｒ ｃ ：Ａ ｃａｓｏ ｎｉ ａ ｈ ｅ －ｏｎ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂｅ ｏ ｉ ｏ ｄ ｒｏｄｎ ｒ ｌｆｒ ｎ ｉ ＿ ｎ ｎ ｂ ｔ ｄ ｉ ａ
一
类非线性三阶三点边值 问题正解 的存在性
孙建平 ，曹
（． １ 兰州理工大学 理学院， 甘肃 兰州
珂
７０ １ ） ３ ０ ０
７０５ ； ． ３ ０ ０ ２ 甘肃联合大学 师范学院 ， 甘肃 兰州
摘要： 运用单调迭代 法研 究一类非线性三 阶常微分方程三点边值问题， 不仅获得其正解 的存在性， 还给 出正解的两
工具的． 譬如 ， ６考虑如下三阶三点边值问题 文［］
（） ￡ ＋口（）厂 （） ＝０ ｔ （ ￡） （） Ｏ 一 （ ） ０ 一Ｏ ｔ （ １ Ｅ Ｏ， ） （） １ （） ２ Ｕ （ ） 口 （） ｔ １ ＝ １ ７
式 中 ： ＜ ｒ １ １ ａ １ 通 过 运 用 Ｇｕ ０ ／ ，＜ ＜ ／ ＜ Ｋｒｓ ａ—
｛）。 （ ）。 与 分别收敛 于 Ｔ 的不动点 口 ｗＥ ，
， ｏ． ｗ］ 全文 假设 下述条 件成 立 ：
（ ）ｆ （Ｏ ＋ｏ）［ ， ｏ） Ｈ１ ∈Ｃ ［ ， ｏ ，０ ＋ｏ） ；
ｎ ｓｌ ｉ ｏｅ ｋｉ ｓ 不动点定理 ， 在非线性项满足超线性或次 线性的条件下得到边值问题 （ ， ） １２ 至少一个正解 的 存在性结果． 本文运用单调迭代法研究边值 问题 （ ，）值得 １２．
ｉｅａ ｉｅｓ ｑ ｅ ｃ ｓｗａ ｅ ｏ ｆ ｎ ｔ ｎｏ ｉｅ ｒｆ ｎ ｔｏ ． ｔｒ ｔｖ ｅ ｕ ｎ ｅ ｓｚ ｒ ｕ ｃ ｉ ｒｌ ａ ｕ ｃｉｎ ｏ ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌｅｐ ｏ ｌｍ ；ｐ ｓｔ ｅｓ ｌ ｔ ｎ ｘｓｅ ｃ ；ｍｏ ｏ ｏ ｉ ｔｒ ｔｏ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ：ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂ ｅ ｏ ｉｉ ｏｕ ｉ ；ｅ ｔ ｎ ｅ ｖ ｏ ｉ ｎ ｔ ｎｃｉｅａ ｉｎ ｍｅｈ ｄ
三阶微分方程起源于应用数学和物理学 的各种 不同领域， 例如， 带有固定或变化横截面的屈 曲梁 的 挠度 ， 三层梁 ， 电磁波 ， 地球引力吹积的涨潮等［． ¨ 近 来， 三阶三点边值问题正解 的存在性受到人们 的高 度重视［ 但现有文献大多是以各种不动点定理为 ２ － 引，
工具是下面的定理 ： 定理 ｌ。 设 Ｋ 是 Ｂ ｎｃ 间 Ｅ 的一 个 正规 ［ ］ ａａｈ空 锥且 ≤ ． 。 假定下述条件满足： （１ ａ）Ｔ： ， ］ Ｅ是 全连续 的； ａ）Ｔ在 ［ 一 （ｚ ［ ， ］ 上是单调递增的；ａ）Ｏ 是 的下解 ；ａ） （３ ＂ ０ （ ４ Ｗｏ Ｔ的上解 ． 是 若 构造 一 Ｔ ～ ，Ｏ — Ｔ 一 ，ｔ ｌ ２ ３ … １＂ｎ ｗ．１７ ， ， ， Ｃ ＂ — 则 有 ≤ ≤ … ≤ ≤ …≤ ≤ … ≤ ≤ ＷＯ且
ｏ ｔ ｉｅ ｕ ｗｏｉｅａ ｉｅｓ ｑ ｅ ｃ ｓｏ ｏ ｉｉｅｓ ｌ ｔ ｎ ｗｅ ｅａｓ ｉｅ ．Ｍｏ ｅ ｖ ｒ ｈ ｉｉｌ ａｕ ｆ ｈ ｂ ａｎ ｄｂ ｔ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｕ ｎ ｅ ｆｐ ｓｔ ｏｕ ｉ ｒ ｌｏ ｇｖ ｎ ｔ ｖ ｏ ｒｏ ｅ ，ｔ ｅｉ ｔ ｌ ｅｏ ｅ ｎ ａｖ ｔ
个迭代序列， 并且迭代序列的初值是零 函数或 一次 函数． 关键词 ：边值 问题 ；正解 ； 存在性 ；单调迭代 法
中图分类号 ： ７ Ｏ１ ５ 文献标识码 ： Ａ
Ｅｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｎ ｎｌ ａ ｈ ｒ － ｒ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉ ｅｓ ｌ ｔｏ ｆ ｒ ａ ｃａ ｓｏ ｏ ｉ ｒ ｔ ｉｄ ｏ ｄ ｒ ｎｅ
第３ ６卷 第 ２ 期 ２１ ０ ０年 ４月
兰州理源自工大学学
报
Ｖｏ ６ Ｌ３ Ｎｏ ２ ．
Ａｐ ． ０ ０ ｒ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｚ ｏ ｉｅ ｓ ｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒａ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｏＬ ｔ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ
文章 编 号 ：１ ７－１ ６２ １） ２ １ ３ ２ ６ ３５ ９ （０ ００ － ２ － Ｏ ０
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