一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性
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一
（ ） ＥＣ ［ ，］［ ， ）且不恒为零． Ｈ２ ａ （Ｏ １ ，Ｏ ＋∞ ）
提的是 ， 不仅获得边值问题 （ ， ） １ ２ 正解（ 非平凡的
１ 预备 引理
引理 １ ３ 设 ａ ≠ １ 则对于 任意给定 的 ｈ ［ ６ ， ∈ ｃ ｏ１ ， ［ ，３ 边值问题
、
ｑ ａ ｉｎ ｗａ ｔ ｄｅ ｙ ｕ ｉｇ ｍ ｏ ｏ ｏ ｉ ｔｒ ｔ ｎ ｍｅ ｈ ｄ Ｎｏ ｎｙ ｔ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｏ ｉ ｖ ｏｕ ｉｎ ｗａ ｕ ｔ ｓｓｕ ｉｄ ｂ ｓ ｎ ｔｎ ｃｉｅａ ｉ ｔ ｏ ． ｏ ｎ ｏ ｔｏ ｌ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｓ ｉ ｏ
ｎ） ａ
Ａｂ ｔａ ｔ ｌｓ ｆ ｏ ｌ ｅｒｔｒｅｐ ｉｔ ｏ ｎ ａｙ ｖｌｅｐ ｏ ｌｍ ｆ ｈｒ－ｒ ｅ ｒｉａｙ￣ｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｓｒ ｃ ：Ａ ｃａｓｏ ｎｉ ａ ｈ ｅ －ｏｎ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂｅ ｏ ｉ ｏ ｄ ｒｏｄｎ ｒ ｌｆｒ ｎ ｉ ＿ ｎ ｎ ｂ ｔ ｄ ｉ ａ
一
类非线性三阶三点边值 问题正解 的存在性
孙建平 ，曹
（． １ 兰州理工大学 理学院， 甘肃 兰州
珂
７０ １ ） ３ ０ ０
７０５ ； ． ３ ０ ０ ２ 甘肃联合大学 师范学院 ， 甘肃 兰州
摘要： 运用单调迭代 法研 究一类非线性三 阶常微分方程三点边值问题， 不仅获得其正解 的存在性， 还给 出正解的两
工具的． 譬如 ， ６考虑如下三阶三点边值问题 文［］
（） ￡ ＋口（）厂 （） ＝０ ｔ （ ￡） （） Ｏ 一 （ ） ０ 一Ｏ ｔ （ １ Ｅ Ｏ， ） （） １ （） ２ Ｕ （ ） 口 （） ｔ １ ＝ １ ７
式 中 ： ＜ ｒ １ １ ａ １ 通 过 运 用 Ｇｕ ０ ／ ，＜ ＜ ／ ＜ Ｋｒｓ ａ—
｛）。 （ ）。 与 分别收敛 于 Ｔ 的不动点 口 ｗＥ ，
， ｏ． ｗ］ 全文 假设 下述条 件成 立 ：
（ ）ｆ （Ｏ ＋ｏ）［ ， ｏ） Ｈ１ ∈Ｃ ［ ， ｏ ，０ ＋ｏ） ；
ｎ ｓｌ ｉ ｏｅ ｋｉ ｓ 不动点定理 ， 在非线性项满足超线性或次 线性的条件下得到边值问题 （ ， ） １２ 至少一个正解 的 存在性结果． 本文运用单调迭代法研究边值 问题 （ ，）值得 １２．
ｉｅａ ｉｅｓ ｑ ｅ ｃ ｓｗａ ｅ ｏ ｆ ｎ ｔ ｎｏ ｉｅ ｒｆ ｎ ｔｏ ． ｔｒ ｔｖ ｅ ｕ ｎ ｅ ｓｚ ｒ ｕ ｃ ｉ ｒｌ ａ ｕ ｃｉｎ ｏ ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌｅｐ ｏ ｌｍ ；ｐ ｓｔ ｅｓ ｌ ｔ ｎ ｘｓｅ ｃ ；ｍｏ ｏ ｏ ｉ ｔｒ ｔｏ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ：ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂ ｅ ｏ ｉｉ ｏｕ ｉ ；ｅ ｔ ｎ ｅ ｖ ｏ ｉ ｎ ｔ ｎｃｉｅａ ｉｎ ｍｅｈ ｄ
三阶微分方程起源于应用数学和物理学 的各种 不同领域， 例如， 带有固定或变化横截面的屈 曲梁 的 挠度 ， 三层梁 ， 电磁波 ， 地球引力吹积的涨潮等［． ¨ 近 来， 三阶三点边值问题正解 的存在性受到人们 的高 度重视［ 但现有文献大多是以各种不动点定理为 ２ － 引，
工具是下面的定理 ： 定理 ｌ。 设 Ｋ 是 Ｂ ｎｃ 间 Ｅ 的一 个 正规 ［ ］ ａａｈ空 锥且 ≤ ． 。 假定下述条件满足： （１ ａ）Ｔ： ， ］ Ｅ是 全连续 的； ａ）Ｔ在 ［ 一 （ｚ ［ ， ］ 上是单调递增的；ａ）Ｏ 是 的下解 ；ａ） （３ ＂ ０ （ ４ Ｗｏ Ｔ的上解 ． 是 若 构造 一 Ｔ ～ ，Ｏ — Ｔ 一 ，ｔ ｌ ２ ３ … １＂ｎ ｗ．１７ ， ， ， Ｃ ＂ — 则 有 ≤ ≤ … ≤ ≤ …≤ ≤ … ≤ ≤ ＷＯ且
ｏ ｔ ｉｅ ｕ ｗｏｉｅａ ｉｅｓ ｑ ｅ ｃ ｓｏ ｏ ｉｉｅｓ ｌ ｔ ｎ ｗｅ ｅａｓ ｉｅ ．Ｍｏ ｅ ｖ ｒ ｈ ｉｉｌ ａｕ ｆ ｈ ｂ ａｎ ｄｂ ｔ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｕ ｎ ｅ ｆｐ ｓｔ ｏｕ ｉ ｒ ｌｏ ｇｖ ｎ ｔ ｖ ｏ ｒｏ ｅ ，ｔ ｅｉ ｔ ｌ ｅｏ ｅ ｎ ａｖ ｔ
个迭代序列， 并且迭代序列的初值是零 函数或 一次 函数． 关键词 ：边值 问题 ；正解 ； 存在性 ；单调迭代 法
中图分类号 ： ７ Ｏ１ ５ 文献标识码 ： Ａ
Ｅｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｎ ｎｌ ａ ｈ ｒ － ｒ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉ ｅｓ ｌ ｔｏ ｆ ｒ ａ ｃａ ｓｏ ｏ ｉ ｒ ｔ ｉｄ ｏ ｄ ｒ ｎｅ
第３ ６卷 第 ２ 期 ２１ ０ ０年 ４月
兰州理源自工大学学
报
Ｖｏ ６ Ｌ３ Ｎｏ ２ ．
Ａｐ ． ０ ０ ｒ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｚ ｏ ｉｅ ｓ ｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒａ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｏＬ ｔ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ
文章 编 号 ：１ ７－１ ６２ １） ２ １ ３ ２ ６ ３５ ９ （０ ００ － ２ － Ｏ ０
ｔ ｅ － ｏ ｎ ｏ ｎ ｒ ａ ｕ ｏ ｌｍ ｓ ｈｒ ｅ ｐ ｉ ｔ ｂ ｕ ｄａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐｒ ｂ ｅ
Ｓ ＵＮ ｉｎｐｎ ＡＯ Ｊａ － ｉｇ ，Ｃ Ｋｅ＇
（ ．Ｓ ｈ ｏ ｆ ｉ ｃ ， ｍｈ ｕ Ｕｎｖ ｆ ｅ ｈ ，Ｌ ｎ ｈ ｕ ７ ０ ５ ， ｉａ ．Ｎ ｒ ｌ ｏｌｇ ， ｎ ｕ Ｌａ ｈ ｉ． ￣ ｈ ｕ ７ ０ １ ， ． １ ｃ ｏ ｌ ｅ ｅ Ｌａ ｏ ｉ．ｏ ｃ ． ａ ｚ ｏ ３ ０ ０ Ｃｈｎ ；２ ｏ ｍａ ｌ ｅ Ｇａ ｓ ｉ ｅ ｏＳ ｎ ｃ Ｔ Ｃ ｅ ｎ Ｕｎ ｖ ，Ｌ ｏ ３ ０ ０ ａ
（ ） ＥＣ ［ ，］［ ， ）且不恒为零． Ｈ２ ａ （Ｏ １ ，Ｏ ＋∞ ）
提的是 ， 不仅获得边值问题 （ ， ） １ ２ 正解（ 非平凡的
１ 预备 引理
引理 １ ３ 设 ａ ≠ １ 则对于 任意给定 的 ｈ ［ ６ ， ∈ ｃ ｏ１ ， ［ ，３ 边值问题
、
ｑ ａ ｉｎ ｗａ ｔ ｄｅ ｙ ｕ ｉｇ ｍ ｏ ｏ ｏ ｉ ｔｒ ｔ ｎ ｍｅ ｈ ｄ Ｎｏ ｎｙ ｔ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｏ ｉ ｖ ｏｕ ｉｎ ｗａ ｕ ｔ ｓｓｕ ｉｄ ｂ ｓ ｎ ｔｎ ｃｉｅａ ｉ ｔ ｏ ． ｏ ｎ ｏ ｔｏ ｌ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｓ ｉ ｏ
ｎ） ａ
Ａｂ ｔａ ｔ ｌｓ ｆ ｏ ｌ ｅｒｔｒｅｐ ｉｔ ｏ ｎ ａｙ ｖｌｅｐ ｏ ｌｍ ｆ ｈｒ－ｒ ｅ ｒｉａｙ￣ｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｓｒ ｃ ：Ａ ｃａｓｏ ｎｉ ａ ｈ ｅ －ｏｎ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂｅ ｏ ｉ ｏ ｄ ｒｏｄｎ ｒ ｌｆｒ ｎ ｉ ＿ ｎ ｎ ｂ ｔ ｄ ｉ ａ
一
类非线性三阶三点边值 问题正解 的存在性
孙建平 ，曹
（． １ 兰州理工大学 理学院， 甘肃 兰州
珂
７０ １ ） ３ ０ ０
７０５ ； ． ３ ０ ０ ２ 甘肃联合大学 师范学院 ， 甘肃 兰州
摘要： 运用单调迭代 法研 究一类非线性三 阶常微分方程三点边值问题， 不仅获得其正解 的存在性， 还给 出正解的两
工具的． 譬如 ， ６考虑如下三阶三点边值问题 文［］
（） ￡ ＋口（）厂 （） ＝０ ｔ （ ￡） （） Ｏ 一 （ ） ０ 一Ｏ ｔ （ １ Ｅ Ｏ， ） （） １ （） ２ Ｕ （ ） 口 （） ｔ １ ＝ １ ７
式 中 ： ＜ ｒ １ １ ａ １ 通 过 运 用 Ｇｕ ０ ／ ，＜ ＜ ／ ＜ Ｋｒｓ ａ—
｛）。 （ ）。 与 分别收敛 于 Ｔ 的不动点 口 ｗＥ ，
， ｏ． ｗ］ 全文 假设 下述条 件成 立 ：
（ ）ｆ （Ｏ ＋ｏ）［ ， ｏ） Ｈ１ ∈Ｃ ［ ， ｏ ，０ ＋ｏ） ；
ｎ ｓｌ ｉ ｏｅ ｋｉ ｓ 不动点定理 ， 在非线性项满足超线性或次 线性的条件下得到边值问题 （ ， ） １２ 至少一个正解 的 存在性结果． 本文运用单调迭代法研究边值 问题 （ ，）值得 １２．
ｉｅａ ｉｅｓ ｑ ｅ ｃ ｓｗａ ｅ ｏ ｆ ｎ ｔ ｎｏ ｉｅ ｒｆ ｎ ｔｏ ． ｔｒ ｔｖ ｅ ｕ ｎ ｅ ｓｚ ｒ ｕ ｃ ｉ ｒｌ ａ ｕ ｃｉｎ ｏ ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌｅｐ ｏ ｌｍ ；ｐ ｓｔ ｅｓ ｌ ｔ ｎ ｘｓｅ ｃ ；ｍｏ ｏ ｏ ｉ ｔｒ ｔｏ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ：ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂ ｅ ｏ ｉｉ ｏｕ ｉ ；ｅ ｔ ｎ ｅ ｖ ｏ ｉ ｎ ｔ ｎｃｉｅａ ｉｎ ｍｅｈ ｄ
三阶微分方程起源于应用数学和物理学 的各种 不同领域， 例如， 带有固定或变化横截面的屈 曲梁 的 挠度 ， 三层梁 ， 电磁波 ， 地球引力吹积的涨潮等［． ¨ 近 来， 三阶三点边值问题正解 的存在性受到人们 的高 度重视［ 但现有文献大多是以各种不动点定理为 ２ － 引，
工具是下面的定理 ： 定理 ｌ。 设 Ｋ 是 Ｂ ｎｃ 间 Ｅ 的一 个 正规 ［ ］ ａａｈ空 锥且 ≤ ． 。 假定下述条件满足： （１ ａ）Ｔ： ， ］ Ｅ是 全连续 的； ａ）Ｔ在 ［ 一 （ｚ ［ ， ］ 上是单调递增的；ａ）Ｏ 是 的下解 ；ａ） （３ ＂ ０ （ ４ Ｗｏ Ｔ的上解 ． 是 若 构造 一 Ｔ ～ ，Ｏ — Ｔ 一 ，ｔ ｌ ２ ３ … １＂ｎ ｗ．１７ ， ， ， Ｃ ＂ — 则 有 ≤ ≤ … ≤ ≤ …≤ ≤ … ≤ ≤ ＷＯ且
ｏ ｔ ｉｅ ｕ ｗｏｉｅａ ｉｅｓ ｑ ｅ ｃ ｓｏ ｏ ｉｉｅｓ ｌ ｔ ｎ ｗｅ ｅａｓ ｉｅ ．Ｍｏ ｅ ｖ ｒ ｈ ｉｉｌ ａｕ ｆ ｈ ｂ ａｎ ｄｂ ｔ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｕ ｎ ｅ ｆｐ ｓｔ ｏｕ ｉ ｒ ｌｏ ｇｖ ｎ ｔ ｖ ｏ ｒｏ ｅ ，ｔ ｅｉ ｔ ｌ ｅｏ ｅ ｎ ａｖ ｔ
个迭代序列， 并且迭代序列的初值是零 函数或 一次 函数． 关键词 ：边值 问题 ；正解 ； 存在性 ；单调迭代 法
中图分类号 ： ７ Ｏ１ ５ 文献标识码 ： Ａ
Ｅｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｎ ｎｌ ａ ｈ ｒ － ｒ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉ ｅｓ ｌ ｔｏ ｆ ｒ ａ ｃａ ｓｏ ｏ ｉ ｒ ｔ ｉｄ ｏ ｄ ｒ ｎｅ
第３ ６卷 第 ２ 期 ２１ ０ ０年 ４月
兰州理源自工大学学
报
Ｖｏ ６ Ｌ３ Ｎｏ ２ ．
Ａｐ ． ０ ０ ｒ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｚ ｏ ｉｅ ｓ ｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒａ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｏＬ ｔ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ
文章 编 号 ：１ ７－１ ６２ １） ２ １ ３ ２ ６ ３５ ９ （０ ００ － ２ － Ｏ ０
ｔ ｅ － ｏ ｎ ｏ ｎ ｒ ａ ｕ ｏ ｌｍ ｓ ｈｒ ｅ ｐ ｉ ｔ ｂ ｕ ｄａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐｒ ｂ ｅ
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