欧拉方程推导

推导理想流体运动微分方程 即欧拉方程
dvx 1 p X x dt dv y 1 p Y y dt dv z 1 p Z z dt
以X轴为例，进行受力分析，微元体受的力 为表面力（压力）和质量力 a z
1 p pdx 2 x
f e
dz
b
n
dy
d
.A
dx
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.
p
h g x
1 p dx 2 x
c o y
左侧abcd面形心m点压力为
式中，
p x
1 p pdx 2 x
是压力p沿x轴的变化率。
1
同理，右侧efhg面形心n点的压力为
1 p p dx 2 x
2
此外，流体的单位质量力在x轴上的分量为X, 则微元体的质量力在x轴的分量为
Fx Xdxdydz
根据牛顿第二定律，在x方向上有：
3
F
x
max
4
1 p 1 p Xdxdydz p dx dydz- p dx dydz 2 x 2 x dvx dxdydz 5 dt
等式两边除以微元体质量 dxdydz得单位质量流体的 运动方程为
1 p dvx X x dt
在y、z轴上也可以得到同样的关系，即得到欧拉方程
dv x 1 p x dt dv y 1 p Y y dt dv z 1 p Z z dt X
欧拉方程由欧拉于1755年首次提出，是流体力学中的 一个重要方程：①建立了作用在理想流体上的力与流体运 动加速度之间的关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。 ②对可压缩及不可压缩理想流体的稳定流或非稳定流都是 适用的，在不可压缩流体中的密度ρ为常数：在可压缩流 体中密度是压力和温度的函数，即ρ=f（p , T）。