理论力学第三章习题

第三章习题

( 3.1;3.6;3.7;3.9;3.10;3.12;3.13;3.20;3.21,3.22)

3.1 半径为r 的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端

在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c ，试证棒的全长为

()

c

r c 2224-

3.1解 如题3.1.1图。

图

题1.3.1

均质棒受到碗的弹力分别为1N ，,2N 棒自身重力为G 。棒与水平方向的夹角为

θ。设棒的长度为l 。

由于棒处于平衡状态，所以棒沿x 轴和y 轴的和外力为零。沿过A 点且与

z 轴平行的合力矩为0。即：

0sin 2cos 2

1

=-=∑θθN N F x

① 0cos 2sin 2

1

=-+=∑G N N F y

θθ②

0cos 22=-=∑θl

G c N M i ③

由①②③式得：

()θ

θ2

2

cos 1cos 22-=c l ④ 又由于

,cos 2c r =θ

即

r

c 2cos =

θ⑤

将⑤代入④得：

()c

r c l 2224-=

3.6

把分子看作相互间距离不变的质点组，试决定以下两种

情况下分子的中心主转动惯量：

()a 二原子分子。它们的质量是1m ，2m ，距离是l 。

()b 形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是h ，底

边的长度为a 。底边上两个原子的质量为1m ，顶点上的为2m 。

∙

C

x y

h

a

1

m 2

m 1

m 第3.6（b)题图

3.6解 （a ）取二原子的连线为x 轴，而y 轴与z 轴通过质心。O 为质心，则Ox ，

Oy ，Oz 轴即为中心惯量主轴。

设1m 、2m 的坐标为()()0,0,,0,0,21l l ，因为O 为质心（如题3.6.2图）

故

02211=+l m l m ①

且

l l l =-12 ②

由①②得

2

1122121,m m l

m l m m l m l +=

+-=

所以中心惯量主轴：

()0221=+=∑i i i z y m I

()2

2

1212

2

2l m m m m x z m I i i i +=+=∑

()2

2

1212

2

3l m m m m y x m I i i i +=+=∑

（b ）如题3.6.3图所示，

图

题3.6.3

该原子由A 、B 、D 三个原子构成。C 为三个原子分子的质心。由对称性可知，图中Cx 、Cy 、Cz 轴即为中心惯量主轴。设A 、B 、D 三原子的坐标分别为

()

0,,0A y ，⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-

0,,2,0,,2D B y a y a 因为C 为分子的质心。所以

D

B A D

D B B A A C m m m y m y m y m y ++++=

=

01

12112=++++m m m y m y m y m D

B A ①

又由于

D

B y y =②

h y y B A =-③

由①②③得：

2

122112.22m m h m y y m m h m y D B A +-

==+=

故该分子的中心主转动惯量

()()D B A i h m m m m z y m I i i i ,,222

2

1212

2

1=+=+=∑

()()D B A i a

m x z m I i i i ,,2

21222==+=∑

()()D B A i a

m h m m m m y x m I i i i ,,2

222

1221212

2

3=+

+=+=∑

3.7如椭球方程为

12

2

2222=++c z b y a x 试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为

m ，并且密度ρ是常数。

3.7解 如题3.7.1图所示。

沿

y 轴平行于Oxy 平切椭球得切面为一椭圆，则

该椭圆方程为：

1

112222

2222

=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-b y c z b y a x

可求该切面的面积

()

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=221b y ac S y π 故积分

()c ab dy b y ac y dy S y dm y b

b b

b y 322

2221541πρρπρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=⋅=⎰⎰⎰-- 同理可求

,15

43

2

bc a dm x πρ=⎰32

154abc

dm z πρ=⎰

故中心主转动惯量：

()()222

2

115

4

c b abc dm z y I +=+=⎰πρ

()()222

2

215

4

c a abc dm z x I +=+=⎰πρ

()()222

2

315

4

b a ab

c dm y x I +=+=⎰πρ

又由于椭球体积

()abc dy b y ac dy S V b

b b

b y ππ34122

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==⎰⎰-- 故

abc

m

V m πρ43=

=