N2+1

关于形如N 2

+1的素数问题

摘要：本文建立了一种筛法,用这种筛法证明了形如12

+N 的素数是无穷多的. 关键词：素数 剩余类 筛法

予备知识

要讨论形如12

+N 的素数问题,除1以外,只须对N 是偶数的情况加以研究. 引理一:形如14+k 的素数可以表为一偶一奇两数的平方和, 并且表法是唯一的.

2214t s k p +=+= <1>

其中s 表示偶数,t 表示奇数,[1]

引理二:若12

+N 为合数,则它能表为一偶一奇两数的平方和.

2221v u N +=+ <2>

其中u 表示偶数,v 表示奇数,并且v>1.

因为这里只讨论N 是偶数的情况,由引理一极易推得.

引理三:若<2>成立,则12

+N (没有)4(mod 3的素因子)由纯)4(mod 1的素因子组成.[2]

引理四:若<2>成立,则18±=h v ,即2

22)18(1±+=+h u N <3>

证明:见[3].

引理五:若12

+N 含有素因子2214t s k p +=+=,则12

+N 除以P 所得的商也能表为一偶一奇两数的平方和.即

))(()18(12222222y x t s h u N ++=±+=+ <4>

其中x 表示偶数,y 表示奇数. 证明:见[1],[4].

一个基本定理

由 ))(()18(12

2

2

2

2

2

2

y x t s h u N ++=±+=+ <4> 将上面等式的第三部分展开得:

222222)()())((ty sx tx sy y x t s ±+±=++ <5>

比较<4>,<5>得:

tx sy N += <6>

即满足<6>的N 的12

+N 的数必含素因子P.为了确定N ,我们将<6>化简, 继续比较<4>,<5>得到以下四个一次方程组,并加以讨论.

⎩⎨

⎧=-+=+1

1

8ty sx h ty sx 从这个方程组解得: 14+=h sx , 此与s,x 为偶数相矛盾, 即这种情况是不存在的.

⎩

⎨

⎧-=-+=+11

8ty sx h ty sx 从这个方程组解得: 14,4+==h ty h sx .

从这个方程组解得: 14,4-==h ty h sx ,.

⎩⎨

⎧-=--=+1

1

8ty sx h ty sx 从这个方程组解得: 14-=h sx , 此与s,x 为偶数相矛盾, 即这种情况也是不存在的.所以得到:

1

44±==h ty h

sx

即 s h

x 4=

t

h y 14±= <7>

将<7>代入<6>得:

st

s hp st s t s h s h t t h s tx sy N 2

2224)(44.14.±=±+=+±=+= <8>

<8>式说明:对于任意给定的形如14+k 的素数,总有满足<8> 的两类N ,这样的N 使12

+N 为含有

素因子14+=k p 的合数. 于是我们得到基本定理.

定理一:对于任意给定的形如14+k 的素数P,总存在这样的N ,即以P 为模的两个剩余类的N ,对于如此的N ,它的平方加1为含有素因子14+=k p 的合数. 即11,-≤≤±=P R R Pm N . 有下式成立 PQ N =+12

. <9>

计算方法

以下我们给出满足<9>的两类N 的计算方法.

st

s hp N 2

4±= <8>

取以P 为模, 由于h 的任意性, 不妨设4h 含有因子s, 则<8>变为:

t

s

p N ±=

λ <10>

由于λ的任意性, t 可以整除λp,但是1),(=t s ,除t=1以外, t 不能整除s.所以,除t=1以外,不能用<10>求出满足<9>的两类N . 为此需要加以变换.

由于λ的任意性,不妨设μλλ±=t 0,并且设

t r r t P <<+=0,δ一并代入<10>得

⎩⎨⎧=--=+1

18ty sx h ty sx

t

s

r p N +±

±=μμδλ0 <11>

由μ任意性,取适当的μ使

)(mod 0t s r ≡+μ.

则)(0t

s

r p N ++

±=μμδλ <11>.

这样以来.公式<11>就给出了求满足<9>的两类N 的具体计算方法. 我们还可以给出求满足<9>的另外一种具体计算方法. 将<8>加以变形

st

t p h st t p hp st

t t s hp st s hp N 2

22

222)14(444 ±=

±=±±=

±= <12> 取以p 为模,由于h 任意性,不妨设14±h 含有因子t,则<12>变为

s

t

p N ±'=

λ <13>

由λ

＇

的任意性,不妨设μλλ±='s ,0＇

设s r r s P <'<'±'

=0,δ ,将这两个式子同时代入<13>得: s

t

r p N +''±''±'=μδμλ0

<14>

由于μ＇的任意性,取适当的μ＇使)(mod 0s t r ≡+''μ 得

)(0s

t r p N +''+''±'

=μδμλ <14>

公式<14>就又给出了满足<9>的两类N 的又一种方法.

例1:对P =5.求出两类N ,使12

+N 含有因子5.

解: ∵1,2,1252

2=-+==t s p .可以用公式<10>直接计算. 25±=λN .

因为120+N 为素数, 它也是14+k 的素数,所以对于形如12

0+N 的素数.求出两类N , 使12

+N 含有

素因子12

0+N ,可利用公式<10> 直接计算.

例2:对P =193.求出两类N ,使12

+N 含有因子193. 解:

1

,16,112161934,27,47271937,12,71219322='='+⨯-==+⨯===+==r r t s p δδ 方法一:利用公式<11>将4,27,7,12====r t s δ代入<11>得:

4...........112193)4108(193)7

12

427(193)(0000=±=+±=++

±=++

±=μλλμμλμμδλt s

r p N 方法二:利用公式<14>,将1,16,7,12='='==r t s δ 代入<14>得