第三章_平面任意力系..

由直角三角形OAB 可知，B 点离0点的距离为:
a
- COSPt
第三章平面任意力系
[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成a 角，如图3-23所示。

设一力系在xy 平面内，对y
轴和x 轴上的A 、B 两点有送M jA =0，送M jB = 0 ,且送F iy =0, 2 F i
^ 0。

已知0A = a ，求B 点在x 轴上的位置。

解:
因为M A =2 M iA =0，但S F ix H 0 ,即卩F^Q ，根据平面力系简化结果的 讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的作 用线通过简化中心A 。

又因为M B =S M iB=0，但送F ix^O ，即卩F R HQ ，根据平面力系简化结果
的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：F R
是原力系的合力，合力F R
的 作用线通过简化中心B 0
一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。

因此，合力F R 的作用线同时能过A 、B 两点。

又因为F Ry =5： F iy =0，所以合力F R 与y 轴垂直。

即AB 与y 垂直。

图 3-23
500
［习题3-2］如图3-24所示，一平面力系（在oxy 平面内）中的各力在X 轴上投影之
代数
和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为 M A =12kN .m, M B =15kN ”m，A 、B 两 点的坐标分别为（2, 3）、（4, 8）,试求该力系的合力（坐标值的单位为m ）。

解：由公式（3-5）可知: M
O2 =M O1 中 M O2(F R ) M B =M A +M B (F R ) F R
M B =M A +M B (F RX )+ M B (F Ry ) 依题意F RX =0，故有: k*---- C(-6,3)
a =8m
M B =M A +M B (F Ry ) 15 =12+F Ry>q 4-2) 2F Ry =3
F Ry =1.5(kN) F R =F Ry =1.5kN
F R 1.5
故C 点的水平坐标为：X = -6m 。

F R
A
M B
厂、
F R .
M A !'
F A (2,3)
I
题3-24图
［习题3--3］某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力 F P = 250
kN,屋顶传来的力F Q = 30kN ，试将该两力向底面中心O
150150
F Q |H ^ n “
B(4,8
)
F P
简化。

图中长度单位是mm 。

200
题3-25图
解:主矢量：F R =F p + F Q =250+30 =280(kN) ( J )，作用在 O 点。

主矩:M O =-F p X0.15 + F Q X0.15 =(-250 + 30) x 0.15 = _33(kN -m) ［习题3--4］已知挡土墙自重W = 400kN , 土压力 F =320kN ，水压力F p =176kN ，如图3-26所示。

求 这些力向底面中心0简化的结果；如能简化为一合力, 试求出合力作用线的位置。

图中长度单位为 m 。

(1)求主矢量 F RX = F p -F COS400 =176 -320cos400
=-69.134(kN) F Ry
—Fsi n4 0° = V00-320si n4 0° =-605.692(kN) F R =』
F R X 2 + F Ry 2 = J(-69.134)2 +(-605.692)2 =609.625(kN) F R 与水平面之间的夹角： a = arctan^ =arcta n 凹5692
=83029'18" F R X -69.134 (2)求主矩
M O =400咒0.8 -176X2 +320cos400
咒3sin 600 -320sin40°x (3 — 3cos600
) = 296.321(kN -
m) (3)把主矢量与主矩合成一个力 d 壬 ^96^ 609.625 O F R =
0.486(m)
0.486 ~ 605.692 69.134 0.0555(m)
［习题3--5］某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力 F i = 1940kN, F 2 = 800kN
及制动力F T = 193kN 。

桥墩自重 W = 5280kN ，风力F P = 140kN 。

各力作用线 位置如图所示。

求将这些力向基底截面中心 0简化的结果；如能简化为一合力, 试求出合力作用线的位置。

(1) 求主矢量
F RX = -F p - F T = —140 -193 = —333(kN )
F Ry = -W — F j - F 2 = —5280 -1940 -800 = -8020(kN ) F R = J F RX 2 +F Ry 2 = J (-333)2 +(d020)2 F R 与水平面之间的夹角：
a = arcta n 电=arcta n"8020
=870
37,21
"
F
R X
一
333
(2) 求主矩
M O =140X10.7 +193X21.25—800X0.4+1940X0.4 =6055.25(kN -m)
(3) 把主矢量与主矩合成一个力
d =呱=6055.2
5 =0.75
)
8026.91
IM.
朽
= 8026.91(kN)
n
O
F R
［习题3--6］图示一平面力系，已知F i = 200N, 使力系的合力通过0点，问水平力之值应为若干
3
F RX = F - h cosQ = F -200X - = F -12O
5
4
F Ry = -F2 - F 1 sin 0 = —100 -200X - =—260(kN)
5
主矢量:
F R = J (F -12O)2 +(-26O)2 M^FJ =200X 3X 2+200X 4X 2 =560(kN m)
5 5
M O (F 2)=—100X2 = —200(kN 师) M O (F) = —1.5F 主矩:
M 0 =560 -200 -1.5F -300 =60 -1.5F 要使合力通过0点,必使:
M 0 =60-1.5F =0,即卩 F =40kN ［习题3--7］在刚架的A 、B 两点分别作用F I 、F 2两
力，已知F I = F 2 = lO kN 。

F RX =卩2-戸 COS600 =10 —10X 0.5 =5(kN)
F Ry = -F I sin6O 0
= -10X 0.866 = -8.66(kN) 主矢量:
F R = J 52
+(-8.66)2
=10(kN)
F
_ 8 66
方向「希如F X 希如于一 6O O
（\） M C
(F 1^ -lOsin 600x =-8.66X
(设 BC = x )
M C (F 2)=10天2 =20(kN -m)
F 2= 1OO N ，M= 300N ・m 。

以过C 点的一个力F 代替F I 、F 2，求F 的大小、
方向及B 、C 间的距离。

I
口
主矩:
M c = —8.66x +20 要使F 通过C 点,且与F I ,F 2两力等效，必使:
M e =—8.66x +20 =0,即 x=2.309(m) 当 x=2.309(m)时，F =F^10(kN)方向与 x 轴正
向成 600
((\).
［习题3--8］外伸梁AC 受集中力F p 及力偶（F , F '）的作用。

已知F p = 2 kN,
力偶矩M = 1.5kN ・m ，求支座A 、B 的反力。

2 M A (F i ) =0
R B 咒4-M —Fsin45° 咒 6 = 0
R B =(M +F sin450
x6)/4 =(1.5 + 2咒0.7071 x 6)/4 = 2.49(kN) 送 F ix
=0
R AX + F cos450
= 0 R AX = —2COS 450 = —1.41(kN)
2 F iy =0
R Ay +R B -Fsin450
= 0
R Ay = —R B +Fsi n4 5° = —2.5 + 2X 0.7071 = —1.08(N)
R AX A
B 45、
J R B m
B
. C 2m
(2) 以AC 为研究对象，画出其受力图如图所示。

因为AC 平衡，所以
(1) R Ay
解：图(a)
(1)以刚架ABCD为研究对象，画出其受力图如图所示。

(2)因为AC平衡，所以
① 2 M A（F i）=0
2R B +2.5+7.5—8 =0
R B =1（kN）
②乞F ix =0
3
R AX十3=0
［习题3-9］求图示刚架支座A、B的反力, 已知：图(a)中，M = 2.5kN-m，F = 5kN;图（b）中，q = lkN/m, F = 3 kN。

「G
・■■ ■Q—土 ==—
-A-
4
2.5m
3
= 5 X — =3(kN)
5
③ 2 F iy =0
4
R Ay+ R B -F X—=0
5
4
R Ay = —R B +F X—=—1+5x 0.8 = 3(kN) 解：图(b)
(1)以刚架ABCD为研究对象，画出其受力图如图所示。

2m
F —
3m
JA
ir R Ay R AX
4m R B
［习题3-10］弧形闸门自重W = 150kN,水压力F p = 3000kN,铰A 处摩擦力
偶的矩M = 60kN ・m 。

求开始启门时的拉力 F T 及铰A 的反力。

解: 开始打开闸门时，B 与地面脱开，N B =0。

因为此时闸门平衡，所以
①2： M A(F i
) =0
(2)因为AC 平衡，所以
Z M A (F i ) =0
RBX4-Fx3-q>c4 咒 2=0 4R B -3X3-1X4X2 =0 R B =(9 +8)/4 =4.25(kN)
S F ix =0
R AX +F =0
R AX = —F = -3(kN )
2 F iy =0
R Ay +R B -q%4 =0
RAy = —R B +q X 4 = —4.25 +1^4 = -0.25(kN)
M +W X4 -F p X0.1 —F T咒6 =0
60 +150^4 -3000% 0.1 -F T X 6 = 0
60 +600 —300 -F T咒6 =0
10 +100 -50 —F T =0
F T =60(kN)
②无F ix =0
R AX十 F p cos30 — 0
R AX = —3000 X 0.866 = —2598( kN) ③送F jy = 0
R Ay +F T+F P sin300-W =0
R Ay =—F T -F P sin300+W =-60-3000X0.5 + 150 = —1410(kN)
［习题3—11］图为一矩形进水闸门的计算简图。

设闸门宽（垂直于纸面）lm. AB=2m，重W= 15kN,上端用铰A支承。

若水面与A齐平后无水，求开启闸
门时绳的张力F T。

解:
AC =ABsi n300 =2 咒0.5 =1(m)
BC =ABcos300 =2X0.866 =1.732(m) 开启闸门时，N B =0，此时，因为AB平衡，所以Z M A(F i) =0
—F T x i +[[〈w X 1.73)x1.731 1.73 +W x 0.5 = 0
2 3
1 2
—F T x1 +—X9.8X1.73X1.73X —X 1.73+ 15X0.5=0
T 2 3
-F T X16.914 +7.5 =0
F T =24.414(kN)
［习题3—12］拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为辊轴支座，其支承面与水平面成倾角30°。

桁架重量W为lOO kN，风压力的合力F Q为20 kN，其方向平
行于AB。

求支座反力。

解：因为桁架平衡，所以
①5：M A(F i) =0
-R B COS300X 20 + W X10+F QX4=0
-17.32R B +1000 + 80 =0
R B =62.4(kN)
②送F ix =0
R AX +R B sin 30° - F Q = 0
R AX +62.36X0.5 —20 = 0
R AX =-11.2( kN)
③ 2 F iy =0
R Ay + R B COS300-W = 0
R Ay +62.4X0.866 -100 =0
R Ay =46(kN)
［习题3-13］悬管刚架受力如图。

已知q = 4kN/m, F2 = 5kN, F1 = 4kN, 求固定端A的约束反力。

解:
因为ABC平衡，所以①2：M A(F i) =0 pH 血H
M A M A
1 2
-F t X2.5-F2 X3-553 =0
1 2
-5^2.5-4咒3--天4天32 =0
2
M A-12.5 -12 —18 =0 M A= 42.5(kN m) M A
R AX -H
②送F ix =0
A
R
Ay
F1 +R AX =0
R AX =-F i =/(kN) ③ 2 F iy =0
R
Ay —卩2 -q%3 = 0
R Ay =5 +4x3 =17(kN)
［习题3—14］汽车前轮荷载为10kN,后轮荷载为40kN,前后轮间的距离为2.5 m,行驶在长10m的桥上。

试求：（1）当汽车后轮处在桥中点时，支座A、B的
反力；（2）当支座A、B的反力相等时，后轮到支座A的距离。

解：因为桥AB平衡，所以
①送M A(F i) =0
R B X10 -40x -10(x +2.5) =0
R B—4x—(X +2.5) =0
R B—4x —X —2.5 = 0
R B =5x +2.5 ②2 F ix =0
③送F iy =0
R A y +R B—10— 40 = 0
R Ay =50 —R B =50 —5X—2.5 =47.5—5X 当汽车后轮处在桥中点时，x=5m，此时, R AX =0
R Ay =47.5 -5咒5 =22.5(kN)
R B =5X+2.5 =5X5+2.5 =27.5(kN) 当R A =R B时，后轮的位置:
47.5-5X =5x +2.5 10x =45
X = 4.5(m)
［习题3—15］汽车起重机在图示位置保持平衡。

已知起重量W i = 10 kN，起重机自重W2 = 70 kN。

求A、B两处地面的反力。

起重机在这位置的最大起重量为多少？
解：因为起重机在图示位置时处于平衡，所以
①5：M A(F i) =0
R B X4.5 —10咒7.5-70咒2.5 =0
R B =(75 +175)/4.5 =55.6(kN) ② 2 F iy =0
R A +R B -10 -70 =0
R A =—R B +80 = —55.56 +80 = 24.4(kN )
设最大起重量为W max，则此时R A =0
Z M B(F i) =0
70 X 2 -W max X 3 = 0
W max =140/3 =46.7(kN)
［习题3-16］基础梁AB上作用集中力F i、F2，已知F i =200kN , F^ 400kN 。

假设梁下的地基反力呈直线变化，试求 A B两端分布力的集度q A、q B 。

图中长度单位为m。

解：因为基础梁AB平衡，所以
①5：M A(F i) =0
["“q B -q A)x2x6+q Ax6x3-F1 咒1-卩2咒5=0
2 3
12(q B -q A) +18q A -200 —2000 =0
6q B +3q A =1100 .(1) ②乞F iy =0
1 咒6%(q B -q A) +q AX6-F1 -F
2 =0
3q B 中3q A = 600 .......... .(2)
(1)-(2)得:
3q B =500
q B =167(kN/m)
q A =200 —q B =200 =166.7 =33(kN /m)
［习题3—17］将水箱的支承简化如图示。

已知水箱与水共重W= 320kN，侧面的风压力F =20kN，求三杆对水箱的约束力。

解：因为水箱平衡，所以
①2 M A(F i) =0
N BD X3.6 -320x1.8 -20x6 =0
N BD =(576 +120)/3.6 =193(kN)(压力)
②艺F ix =0
20 +N BC COS NBCD =0
20 + N Bc
3.6
r= 0
U3.62+4.82
20 +0.6N BC” =
N BC = —20/0.6 = -33( kN)(拉力)
③ 5：F iy
=0
N B C sinNBCD +N AC +N BD -W =0
-如尹“”
93-320“
N AC =153(kN)(压力)
［习题3 -18］图示冲压机构。

设曲柄OA长r, 连杆AB长l，平
<衡时OA与铅直线成a角，求冲压力F p与作用在曲柄上的力偶
M之间的关
系。

解:
以曲柄OA为研究对象，其受力图如图所示。

r _丨
sin P sin a
r-
r
sin P = -sina
cos
P = J l -sin2P 彳1 -(平)2 = "2
-「~2
<^
d = r sin(a + P ) = r(sin a cos P + cosa sin P )
1 j^~
2 2 2 r
d =r(sin a 寸I -r sin a + cosa ysin a ) .r sina p ---- 2 ■ 2 丄 、 d =—I ——(寸1 - r sin a +rcosa)
因为OA 平衡，所以 RA^M
R A 丿 s ；n a (J l 2
_r 2
sin 2
a +rcos a ) = M
R A = ------------- 亍
f 2
2
2
r si n ot (V I -r sin a +rcos a )
由滑块B 的平衡可知,
F p =R A cos P
F p
Ml 1 ^72 2~~2~
______ ■ __ -vl -r sin a rsina(V|2
-r 2
sin 2a +rcosa)
l
F p
2222
2
2
r sin a (p l - r sin a +r cosa)
2 2
F p rsin ctW -r sin a +r cos®
J l 2 -r 2sin 2a
L
从丄
r cos a
千
rsin
」(1
Ji 2_r2sin2j
［习题3—佃］图中半径为R 的扇形齿轮，可借助于轮O i 上的销钉A 而绕O 2转动,
从而带动齿条BC 在水平槽内运动。

已知O 1^r ，OQ 2 =73r 。

在图示位置O 1A 水平（O 1O 2铅直）。

今在圆轮上作用一力矩M ，齿条BC 上作用一水平力F ,使机 构平衡，试求力矩M 与水平力F 之间的关系。

设机构各部件自重不计，摩擦不计。

Ml
II Hr'
* B
因为轮O i 平衡，所以
Z M o i （F i ） =0
N A r sin a — M = 0
N A ——十
rsi n a r
r ”— 2r
以齿轮和齿条构成的物体系统为研究对象，其受力图如图所示。

因为物体系统平衡，所以 送 M o i （F i ） =0 2 M o 2（F i ） =0
FR -N A ”2r =0
FR-4M =0 M 旦
4
［习题3-20］图示一台秤。

空载时，台秤及其支架的重量与杠杆的重量恰好平衡;
当秤台上有重物时，在AO 上加一秤锤，设秤锤重量为 W, OB = a ,求AO 上的刻 度x 与重量P
之间的关系。

以轮O i 为研究对象，其受力图如图所示。

2M r If
第三章平面任意力系
解：以杠杆0A 为研究对象，其受力图如图所示。

‘ Wx R B a
以称台为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB 平衡，所以
S F ix =0
Rc =0 乏：F iy =0 R B -P =0 R B -P =0
Wx c c
——一P =0 a
Pa x = 一
W
［习题3-21］三铰拱桥，每一半拱自重P = 40 kN ，其重心分别在D 和E 点，桥上 有
因为AB 平衡，所以
Z M o (F i ) =0
-R B a +Wx = 0
x
1 a “
1 7 1
_|
b ■"- ▼
R B
A
W
R o
荷载W= 20kN，位置如图。

求铰A、B、C三处的约束力。

图中长度单位为m。

解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。

因为整体平衡，所以
Z M B (F i ) =0
V B XIO —P X 9—WX7.5 — Pxl=0
V B =(10 P +7.5W)/10 =(400 +7.5x20)/10 =55(kN)
Z F jy =0
V A +V B -2P -W =0
V A =-V B +2P +W = -55 +80 + 20 =45(kN) 以BC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BC 平衡，所以
2 M C (F i ) =0
H B 咒5 + PX4 -V B 咒5 =0 H B = (-P X 4+V B X5)/5
由整体的平衡条件得: H A +H B =0
H A = —H B
= T3(kN)
=V B -0.8P =45 -0.8X40 =13(kN) V B
H C
Z F ix =0
H B +H c =0
He = —H B = -29(kN)
Z F iy =0
V B +V C -P =0
V c =P -V B =40 -45 = —5(kN)(；)
［习题3-22］三铰拱式组合屋架如图所示，已知q=5kN/m ,求铰C 处的约束力 及拉杆AB 所受的力。

图中长度单位为m 。

解:
以整体为研究对象，其受力图 R B =4.5q =4.5 咒 5 =22.5(kN) 送 F ix =0 R AX =0
Z F iy =0
R A +R B -q" =0
R A = —R B +9q =—22.5+9x5 =22.5(kN) 以右半部分为研究对象，其受力图如图所示。

因为右半部分（局部）平衡，所以 送 M c (F i ) =0
如图所示。

因为整体平衡，所以
Z M A (F i ) =0
R B X9 -q X9X4.5 =0
I
f
-N AB X 1-5 +R B X 4.5 - 5x4.5x2.25 =0
N AB =(22.5x4.5-5x4.5x2.25)/1.5 =33.75(kN)
Z F ix =0
Z F iy =0
R cy + R B = 0
Rcy = —R B = —22.5(kN)
［习题3 — 23］剪钢筋用的设备如图所示。

欲使钢筋受力 12kN,问加在A 点的力
应多大？图中长度单位为mm 。

解:
因为BCD 平衡，所以 送 M c (F i ) =0 -R B
sin 4 5^1.2 + N D ".2=0
R B
=半= 2.828(kN)
3J2
— N AB = 0 R CX =N AB =33.75(kN)
R CX
1200
R
Cy
N D
以BCD 为研究对象，其受力图如图所示。

以0A 为研究对象，其受力图如图所示。

因为0A 平衡，所以
Z M o (F i ) =0
-F X1.5 +R B sin 45° 咒0.3 =0 F =(R B Sin450 x0.3)/1.5
F =(2.828x0.7071 x0.3)/1.5 =0.4(kN)
［习题3 - 24］图为某绳鼓式闸门启闭设备传动系统的简图。

已知各齿轮半径分
「3、r 4，绳鼓半径r ，闸门重W ,求最小的启门力M 。

设整个设备
的机械效率为n （即M 的有效部分与M 之比）。

日为压力角。

因为轮O i 平衡，所以
送 Mq(F i ) =0
F
_怖 1
r 1 co S
以轮02为研究对象，其受力图如图所示。

图中，F 2为轮03对轮02的啮合力。

0 为压力角。

因为轮O 2平衡，所以
别为r 1、 解：以轮01为研究对象，其受力图如图所示。

图中，F 1为轮02对轮01的啮合力。

-F 1coS X =0
1
1
M
r
2
r 1r 3rW
［习题3 — 25］图为一种气动夹具的简图，压缩空气推动活塞 E 向上，通过连杆E
C 推动曲臂AOB ，使其绕0点转动，从而在A 点将工件压紧。

在图示位置，a = 2 0°,已知活塞所受总压力F =3kN ，试求工件受的压力。

所有构件的重量
和各铰处的摩擦都不计。

图中长度单位为mm 。

Z M o 2(F i ) =0
F 2 cosQ 丁3 — F 1 COS&= 0
F 2CO S 9 巾 一 F I CO S 9 ,「2=0 r 2F 1 r 2 E M
F2 = --- =
... (1) r 3 r 3 r 1 cos0 以轮03为研究对象，其受力图如图所示。

因为轮03平衡，所以
Z M o 3(F i ) =0
F 2 COS0 订4 -Wr F 2 COS Q 才4 -Wr
F 2
rW
r 3 ……⑵
(1)、(2)得:
E M
rW
r i cos 日 “ cos 日
n
mo
=*亠w
H
解：以C铰为研究对象，其受力图如图所示。

因为C铰平衡，所以
Z F ix =0
N BC CO S200-N DC COS200 =0
N BC = N DC
Z F iy =0
-2N BC sin 200+ 3 =0
3
N BC =0 .\c0 =4.386(kN)
2si n20
以曲臂AOB为研究对象，其受力图如图所示。

因为曲臂AOB平衡，所以
Z M o (F i) =0
I _
N BC sin70帳0.25-心0.1 =0
N BC sin 70° X 2.5 —N A =0
N A = N BC sin 700 2.5 = 4.386 0.9397 2.5 = 10.3(kN) 根据作用与反作用公理，工件所受到压力为10.3kN。

［习题3-26］水平梁由AC 、BC 二部分组成，A 端插入墙内，B 端搁在辊轴支座上,
= R c y X4 =2.5x4 =10(kN E)
用铰连接，受F 、M 作用。

已知F =4kN, M =6kN- m, 求A 、B 两处的反
力。

解：以BC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BC 平衡，所以
Z M C (F i ) =0
R B X 4 —6 = 0 R cx
R cy
R B
R B =6/4 =1.5(kN)
Z F iy =0
R cy +R B -4 =0
R cy - R B +4 =-1.5 +4 =2.5(kN) 以AC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为AC 平衡，所以
R
Cy
S F iy =0 R Ay _Rcy =0
R Ay =R cy =2.5(kN)
2 M A (F i )=0 M A -R cy X 4 = 0
M A
［习题3-27］钢架ABC 和梁CD ，支承与荷载如图所示。

已知F =5kN, q =2 0
解：以CD 为研究对象，其受力图如图所示。

R D = —R C +5 = —2.5 +5=2.5(kN)
以刚架ABC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为ABC 平衡，所以
送 M A (F i )=0 -R B X2+2.5%2.5+1
X 0.2X 2.52+(1
%0.3X 2)X (1
>C 2)=0
B
2 2 3
-2R B +6.25+0.625 +0.2 =0 R B =7.075/2 =3.5375(kN) 送 F ix =0
B 的反力。

图中长度单位为 m 。

D
, C
I 1m 1m t r *
* *1
因为CD 平衡，所以
Z M D (F i ) =0
R c x2 -5X1 =0 R c =2.5(kN)
Z F iy =0
R D +Rc -5 =0
ON/m, q o = 3 0 0 N/m ，求支座 A 、
F =5kN
R D =2.5kN
R c =2.5kN
R AX =0.3(kN)
Z F iy =0
R Ay +R B -2.5 -0.2咒2.5 =0
RAy = —R B+3 = —3.5375 + 3 = -0.5375(kN)
［习题3-28］组合结构如图所示，已知q =2kN/m, 内力。

小屮1屮1丨屮H
I」丄Y"二11J
r T T
解：以整个组合结构为研究对象，其受力图如图所示。

因为CD平衡，所以
R B =6(kN)
乏：F iy =0
R B +R A—2^6 =0
R B =-R A+12 = —6+12 =6(kN)
过C铰和AD杆，把结构截断，取左半部分
为研究对象，其受力图如图所示。

因为左半部分平衡，所以
N CD sin 日X2 —6^2 +2X3X1.5 =0求AC、CD、BD三杆的q = 2kN /m
Z M A(F i )=0
R B X4-2X6X2 =0 A
J 1m fc=2
m
J
期!►PT —* 'll 2 M C(F i)=0
N AD sin 日-6 +4.5 =0 (压力)
1
N AD =-1.5=0
75
N AD =1.5J5 =3.354(kN)
根据结构的对称性可知,
N BD =N AD =3.354(kN)
以结点D为研究对象，其受力图如图所
示。

Z F iy =0
N CD +2N AD sin 8 =0
A
N CD=-2N AD sin0 = -2X1.575X〒=-3(kN)
V5
［习题3-29］在图示结构计算简图中，已知q= 15kN/m，求A、B、C处的约束力。

解：以整体为研究对象，其受力图如图所
示。

因为整体平衡，所以
Z M A(F i) =0
J』J
Lt
8R By -4R BX -15x8x4 =0
2R By -R BX =120 ......... (1) R B X
Z M B(F i) =0
R AX -8R A^4R A X +15x8x4 =0 R
By
9—
2 R A^—R A X—120 = 0 ....... ⑵送F iy =0
R Ay + R B y -120 = 0
R Ay + R By = 120 (3)
送F ix =0
R AX十R BX = 0 (4)
以BC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BC 平衡，所以
Z M c (F i ) =0 R Cy +R By -15咒4 =0
R C ^-R By +60 =—50 +60 =10(kN)
4R B y +4R BX
=0
B 2
R cy
4m
R By 中R BX =30 ......... (5),前面已得到(1 ) 2R By -R BX =120 . (1)
(1) + (5)得:
3R By =150
B L
4m
4 -- - I —
►
*R BX
R
By
= 50(kN)
R
B X
=30-R By = 30-50 = —20(kN)，前面已得至U (4)
R
A X
+ R BX
= 0 (4)
R AX =-R BX =20(KN),
前面已得到(2)
2R Ay -R AX -120 =0 .......... (2) 2R Ay -20 -120 =0 R Ay =70(kN)
还是因为BC 平衡，所以
2 F ix =0
R CX + R BX
= 0
R CX = -R BX =20(kN)
4m
B X
R
By
q ：—5kN/m
C
q =15kN / m
C
［习题3-30］静定刚架如图所示。

匀布荷载q j =1kN/m , q^ 4kN / m ,求A、B、
解：以DE为研究对象，其受力图如图所
示。

因为DE平衡，所以
Z M D(F i) =0
—R E '4 +q i 咒4咒5
=0
-R E+1 X 5 =
R E =5(kN)
Z F ix =0
R DX+1X4 = 0
R DX = -
4(kN )
艺F iy =0
R oy +R E = 0
R Dy =-R E =—5(kN)
第三章平面任意力系
以刚架ABC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为刚架ABC 平衡，所以
Z M A (F i )=O
R gy =92/6 =15.33(kN)
R ay + R by _ R
Dy — 4
咒 6 = 0
R Ay = —RBy +R Dy +24 = -15.33-5 + 24 = 3.67(kN) Z F ix =0
R AX + R BX 一 R DX = 0
R AX +R BX +4 =0 ……..(1) 以BC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BC 平衡所以
2R BX +15.33 -6 =0
艺 F iy = 0
R-
R
Ay
*R AX 6m
B ；：
R BX =-4.67(kN)前面已得⑴式 R
By
R AX + R BX +4 =0 ……..(1) R AX — 4.67 +4=0
R
A X
=
0.67(kN)
q 2 =4kN/m
R B ^6 + R DX 'X 5-丄 X 4X 62 =0 y
2
6R B y +a)x5-72 =0
1m Q R
D X
^R Dy
C
D
6m
2 M C (F i )=0
R BX X 6 + R By X 3-丄X4K32 =0
B 2
R
Cx
2R BX 十甩-6=0
q 2 = 4kN / m
R
Cy
6m
[习题3-31] 一组合结构、尺寸及荷载如图所示，求杆1、2、3所受的力。

图 中
长度单位为m 。

rb 料 libN
解:以整个结构为研究对象，其受力图如图所示.
因为整体平衡，所以
R g X14 - 7X10 -4咒6 -6X3 =0 R B =8(kN) 艺 F iy =0
R A +R B -6 -4-7 = 0
R A = —R B _17 = —8 +17 =9(kN)
以左半部分为研究对象，其受力图如图所示. 因为左半部分平衡，所以 送 M c (F i )
=0
2 M A (F i ) =0
N3X3+4X1+6X4-9X7 = 0
N3 =11.7(kN)
以结点E为研究对象，其受力图如图所示.
因为结点E平衡所以
Z F ix =0
N3 -N I si n =0
11.7-N I上=0
5
N j =14.6(kN)
2 F iy =0
N2 +N I coS =0
N2 = -14.6X3 = £.8(kN)
5
［习题3-32］图示用三铰拱ABC支承的四跨静定梁，受有匀布荷载q,试用最简便的方法求出A、B的约束力(只需作出必要的示力图，并说明需列哪些平衡方
程求
解)。

⑴以HI为研究对象，其受力图如图所示。

因为HI平衡，所
以
q
H I R H R I
Z M i (F i )=O
I 2
—R H 」+ — ql =0 H
2
R
H
今
F iy =0
+ R H -ql = 0 一R H
+q| 一乎+q| 今
⑵以IJ 为研究对象，其受力图如图所示.
Z F iy =0
R j +N|D -ql-乎=0 “ 3ql , 3ql ql , N ID =-^-Rj =y2 = q l
⑶以JK 为研究对象，其受力图如图所示.
R K + N JC -ql -孚=0
2
K. 3ql c 3ql ql , N JC = -Rj = -
=ql
2 2 2
⑷以KL 为研究对象，其受力图如图所示.
因为IJ 平衡，所
以
送 M |(F i ) =0 R ' q
l
R|
= 2
I q
R J 』—1q|2 =0 I R J
N ID
R j'』
2 q
因为JL 平衡,所以
2 M j (F i )=0 [JUG
J h | 1 2 R K I
ql 2
=0
2
ql
R
K
专
N jc
.K
*1
R K
2 因为KL 平衡，所以
Z M K (F i ) =0
1 2 l - — ql 2
=0 2 ql 2 F iy =0
F ix =0
3ql
3ql
=W A +3ql =--^+3ql 二号
(6)以在铰拱AC 为研究对象，由其平衡条件得： 2 M c (F i ) =0
R L
N KE + N KE -ql -q" " 3ql R 3ql ql T~R J = =ql
⑸以在铰拱ACB 为研究对象，其受力图如图 所示. 因为KL 平衡，所以 M A (F i ) =0 V B ”2R -ql(2R-R+l)-ql ”R —ql(R-l)=0 V B ”2R -qlR —
ql 2
-qlR —qlR +ql 2 =0
V B ”2R -3qlR =0
V B
3ql 3ql ，R + H A -R +ql 4=0 2 3gl -H A 2 -ql /R=0 H A
ql 2
R L R L
V B +V A -3ql =0
V B
考虑整体平衡有： H B +H A =0
H H
q]2 旳2
H B = —H A =
— R 2
［习题3-33］在图示的结构计算简图中，已知F = F ' =12kN ，F D =10j'2kN 试求 A 、B 、C 三处的约束力（要求方程数目最少而且不需解联立方程） 。

图中长度单
位为m 。

H
解:以CG 为研究对象，其受力图如图所示。

因为CG 处于力偶系的平衡状态，所以 氏 x4sin3O 0 =12x3 R c =18(kN) R GE =R c =18(kN) 以AC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为AC 平衡所以 Z M A (F i ) =0 -R D cosa 咒 5 +18 咒 2 =0 R D =36 V109 R D =7.517(kN)
Z F ix =0
R A^ + R D cosa = 0 R AX = -R D cos = —7.517= -7.2(kN) Z F iy =0 R Ay — R D sin a =0 R A y =R D sin a =7.51^-^ =2.16(kN) V109 以BD 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BD 平衡，所以 S F ix =0 R BX -R D cosa + 1072COS 450 =0 Bx
R Bx =7.517x^1
^-10 = —2.8(kN) V109 z F iy =0 RB^R D sin a -10V2cos450 =0 R ey = -R D sin a +10^2 COS450 =-7.517 1109 +10 = 7.84(kN)。