43平面坐标系中几种常见变换

4.3平面坐标系中的几种常见变换

第一课时平面直角坐标系中的平移变换

［教学目标］

一、知识与技能：了解平面直角坐标系中，图形按向量a平移的意义，会用代入法和配平方法解决简

单的平移问题

二、过程与方法：讲练结合法

三、情感态度和价值观：体会平移图形带来的变化及联系观点看问题的思想

［教学重点、难点］代入法和配平方法

［教学过程］

一、复习引入：

1、什么叫图形的平移？

2、方程f(x,y)=O向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到什么方程？这一问题是通过什么方法得到的？( f(x-m,y-n)=0,通过相关点法转化为点得到的)

以上也称按照向量a=(m ,n)平移，一般的按一个向量平移有什么结论呢？进入主题

二、按向量平移的规律

—*■—*■

1、定义：平面内，将图形F上所有的点按同一向量a移动相应单位，称按向量a平移

I.

2、点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的坐标是什么？(x/,y/)=(x,y)+(h,k)=(x+h,y+k)

结论：新坐标=原坐标+向量坐标

3、平移前后形状、大小变不变？位置呢？(形状、大小不变，位置改变)

三、典型例题与练习

例1、(1)点P(-4,3)按向量(1,5)平移后点的坐标为 _______________

⑵求直线l:3x-2y+12=0按向量a =(2,-3)平移后的方程

解：(1)(-3,8)

(2)［方法一］设(x,y)为直线l上任意一点，按a =(2,-3)平移后得到(x/,y/),则：x/=x+2,y /=y-3,从而

x=x/-2,y=y /+3 代入直线l 的方程有3(x/-2)-2(y /+3)+12=0 即3x/-2y/=0,于是直线方程为3x-2y=0

说明：这一方法的实质是代入法

［方法二］设点(x,y)是平移后所求直线上任意一点，则将之按-a =(-2,3)平移后得到点(x-2,y+3)在直线I上, 于是3(x-2)-2(y+3)+12=0 即: 3x-2y=0

说明：这一方法实质是相关点法

练习1：函数y=f(x)按向量a平移，使其上一点P(1,0)平移后变为点(2,2)，则函数y=f(x)按a平移后函

数解析式为_________________ (y=f(x-1)+2 )

练习2、直线y=x-2按a 平移后得到y=x,写出一个a 的坐标，说明这样的向量a 是否惟一？ （（0,2）或 （-2,0）,不惟一）

例2、说明方程4x 2+9y 2-16x+18y-1仁0表示的曲线形状

/2

/2

=1，设x-2=x /,y+1=y /,有- y 1,原方程可以看作 9

4

2

y

1表示以（一 •. 5 ,0）为焦点，以6为长轴的椭圆。所

说明：已知二次曲线时，常用配平方法来解决平移的问题 练习1:求例2中椭圆的范围、顶点坐标、准线

方程和对称性 练习2 :求抛物线y=x 2+2x 的焦点坐标和准线方程

四、 小结：一个知识，按 a 平移的公式：新=原+向量 两个思路：代入、结合图形 三个技巧：代入法、相关点法、配平方法 五、 作业：教材 P37-----1,2,3,4,9,10

2

［补充习题］求抛物线y=ax +bx+c 的焦点坐标和准线方程 ［情况反馈］

第二课时

平面直角坐标系中的伸缩变换

［教学目标］

一、知识与技能：了解平面直角坐标系中的伸缩变换，会用代入法和相关点法解决简单的伸缩问题 二、过程与方法：讲练结合法

三、情感态度和价值观：体会伸缩给图形带来的变化及联系观点看问题的思想 ［教学重点、难点］代入法和相关点法 ［教学过程］ 一、复习：

1 、y=sinx 怎样得到 y=sin2x 的图象？

x ，=2x

2、以上变换的实质是什么？

丿/ 伸缩变换

k y= y

二、归结与应用

x — kx

1、归结：（1） 一般地，由丿/

所确定的变换是伸缩系数

k 向着y 轴的伸缩变换

j=y

2 2 解：原方程配平方得（x 一

2）

也 』一 4

2 2

x y -

1按a =(2,-1)平移得到, 9

4

以原方程表示以（2 一 •. 5 ,0）为焦点, 6为长轴的椭圆

、典型例题

例1、对曲线2x+3y-6=0向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数

X ，= X

解［方法一］(代入法)设P(x,y)是变换前的一点，P(x /,y /)是变换后对应的点，贝y /_1 =

r =4y

2x /+3 X 4y /=0

即x /+6y /-3=0，伸缩变换后是x+6y-3=0仍然是一条直线

［方法二］(相关点法)设(x,y)是变换后的点，对应变换前的点为 (x /,y /),则

■=

2x+3 X4y-6=0 即 x+6y-3=0

说明1:以上方法分别为代入法和相关点法，这是解决曲线伸缩变换的一般方法

说明2:直线经过伸缩变换今后，仍然是直线，因此，在伸缩变换下，点的共线性质不变 练习1:在例1

变换下，说明曲线 x 2+y 2=16变换后的曲线？圆的形状是否发生了改变？ 练习2：设计一个伸缩变换，使

y=ax 2(a>0)经过伸缩变换后方程为

y=x 2,由此你能得到什么结论？(教

材 P37---10 )

练习3:抛物线y=ax 2+bx+c 经过怎样的平移和伸缩变换得到 x 2=y 这一抛物线？

例2、M 是A(X 1,y 1)与B(X 2,y 2)的中点，经过伸缩变换后分别是

M,A 2,B 2，问M 2是否仍然是 A 2B 2的中

点，证明你的结论(教材 P36---例2)

练习：G 是厶ABC 的重心，经过伸缩系数 k 向着y 轴伸缩变换，分别得到点 G 和厶ABC ，问G 是厶

A3C 的重心吗？说明你的理由。

三、 小结：代入法和相关点法，是解决曲线伸缩变换的一般方法；在伸缩变换下，点的共线性质不 变 四、 作业：教材 P38---7,8,11,12 ［情况反馈］

伸缩系数k 向着x 轴伸缩变换是什么?

/

x x y^ky

x ，= kx

/

y =cy

所确定的伸缩变换意义是什么？(分别按伸缩系数 k,c 向着y 、x 轴伸缩变换)

k=-

4

r /

x = x

/

在直线上，所以

y =4y