数学模型——切蛋糕

实际生活中拉橡皮筋、放稳椅子、切蛋糕、 上山下山等等实际问题都是用零点定理来 解决的。
• 在这些问题中我们只是证明了这样的点或 者直线是肯定存在的，但是这条直线的表 达式是什么？我们还是没办法具体的求出 一个值
• 我们可以把蛋糕看成是一个形状不规则但密度处 处相等的立体图形，通过悬吊法确定重心的位置， 切蛋糕时，切过重心，就得到质量相等的两块蛋 糕。（把蛋糕吊起来没有可行性） • 找一个细长的棍状物放在蛋糕下面（例如筷子）， 旋转蛋糕以使筷子通过蛋糕上p点相应的位置，然 后找到平衡点，沿着筷子的方向切就是了。
具体实际操作
• 1.假设 • 1）、假设蛋糕形状不规则，但是蛋糕的密度处处均匀，并设其质量 和底面积分别为1m，1S，在其顶部任找一点P，并标记； • 2）、假设现有一个至少50cm深的容器，保证其口径的大小是蛋糕底 面积的2倍以上； • 3)、假设现有一块厚度和质量忽略不计的不透水的薄膜，其大小足以 能包裹好蛋糕，还有一根质地均匀的木棍，保证其质量不会把蛋糕压 坏。 • 2 .操作 • 1）、在容器中注入大概是容器体积的2/3的水，将用薄膜平整包好的 蛋糕，放在容器里的水面上，让其静止不动时（没有其他因素的干扰， 譬如风吹，震动等），然后将木棍，轻轻地放在蛋糕上，让其经过点 P使蛋糕任然保持平衡，并沿着木棍的路径做好标记。 • 2）、将蛋糕取出，撕掉薄膜，用刀沿着标记的路线切开，就可以将 蛋糕一分为二了。
• 模型求解： 设函数f(t)=S1-S2,则f是仅与t有关的函数， 定义域为【—∞，+∞】 显然，f(—∞)*f(+∞)<0,又f(t)在定义域上连续， 根据连续函数的零点存在定理，有f(t)在区 间【—∞，+∞】上必存在一个t。使f(t。)=0, 即S1=S2成立。 命题显然成立。 •
• 附：
• 设二维坐标平面上有一任意形状封闭曲线 f(x,y)=0, 曲线内部所有的点构成集合 G={(x,y)|f(x,y)≤0},任取曲线内部一点A(x。， y。)，过该店任作一条直线y=ax+t(a,t均为 任意实数). 已知 y。=a*x。+t 成立，即a=(y。-t)/x。， 直线可表示为y=(y。-t)/x。*x +t • 则 M1={(x,y)|y >(y。-t)/x。*x +t} M2={(x,y)|y ≤(y。-t)/x。*x +t} S1=G∩M1所围成的面积 • S2=G∩M1所围成的面积 那么一定存在t。使S1=S2成立.
数学建模——切蛋糕问题
• 问题重述：能否将一个不规则形状的蛋 糕平分成两块？
•Байду номын сангаас
问题分析：即要求的问题可以转化为是 否存在某条直线型（刀切割所造成的） 路径，将蛋糕等分成大小相等的两块
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模型假设：假设蛋糕上每一点到所放平 面的距离都相等且蛋糕边缘顶点与底边 对应点的连线垂直于桌面。（理想状态 下可以转化为平均分配蛋糕面积）