岩样单轴拉伸应变局部化及全程应力C应变曲线
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WANG Xue-bin
(Department of Mechanics and Engineering Sciences，Liaoning Technical University，Fuxin 123000，China)
Abstract：Analytical solution of complete stress-strain curve of rock specimen in uniaxial tension is proposed based on gradient-dependent plasticity considering strain localization initiated at peak strength. Differential of total strain along specimen length is composed of recoverable elastic part and unrecoverable plastic part. Differential of elastic strain is a function of differential axial stress and elastic modulus according to Hooke′s law. However，differential plastic strain on a gauge length depends on specimen length，softening modulus，differential axial stress，and thickness of tensile localized band. The thickness is determined by gradient-dependent plasticity where a characteristic length is included in yield function. According to the assumption that differential total strain on a gauge length is the sum of differential elastic and plastic strains，analytical solution of complete stress-strain curve is derived. Compared with numerical results presented by De Borst and Muhlhaus，the analytical solution of distributed plastic strain in localization band and effect of internal length on complete stress-strain curve are verified，respectively. Finally，influences of constitutive parameters，such as elastic and softening moduli，and specimen length on complete stress-strain curve are investigated. Key words：rock mechanics；rock sample；uniaxial tension；strain localization；gradient-dependent plasticity theory；complete stress-strain curve；internal length
一假设，在峰后线性应变软化本构关系的情形下，得到全程应力–应变曲线的解析解。通过与 De Borst 及 Muhlhaus 基于梯度塑性理论得到的数值解对比，分别验证局部化带内部塑性应变分布解析解及内部长度对全程应力–应变
曲线的影响。研究有关的本构参数(弹性模量及软化模量)及试样高度对全程应力–应变曲线的影响。
位置，因此，拉伸局部化带的中心的位置是任意的，
不一定出现在试样的中部。
图 1 单轴拉伸条件下应力–应变曲线的 I 类行为和 II 类 行为
Fig.1 Stress-strain curves of Class I and Class II behaviors for rock specimen in uniaxial tension
本文考虑启动于峰值强度的拉伸应变局部化及 峰值强度后的线性应变软化本构关系，采用微分形 式，推导出准脆性非均质材料在单轴拉伸条件下全 程应力–应变曲线的解析表达式，并与前人的数值 模拟结果进行了对照，进而验证了所提出的解析表 达式(局部化带内部塑性应变分布解析解及内部长 度对全程应力–应变曲线的影响)的正确性。此外， 还研究了有关的本构参数及试样高度对全程应力– 应变曲线的影响，并解释了所得结论的合理性。
关系见图 2。其中，L 为试样的高度，σ 为试样的轴
向拉伸应力，σ
c
为抗拉强度，ε
p l
为局部化带的塑性
拉伸应变，c 为本构关系中软化段斜率的绝对值(拉
伸软化模量)。假设拉伸局部化开始于抗拉强度，局
部化带的宽度设为 w ， y 为沿试样轴向的坐标，圆
点可认为取在拉伸局部化带的中心。需要指出的是，
由于材料缺陷或几何缺陷可能存在于试样中的任意
关键词：岩石力学；岩样；单轴拉伸；应变局部化；梯度塑性理论；全程应力–应变曲线；内部长度
中图分类号：TU 451
文献标识码：A
文章编号：1000–6915(2005)增 2–5784–05
STRAIN LOCALIZATION AND COMPLETE STRESS-STRAIN CURVE OF ROCK SPECIMEN IN UNIAXIAL TENSION
持均匀。假设试样的任一端在轴向被固定，在试样
的另一端，沿试样长度方向的总应变的微分可以分
解为弹性及塑性应变的微分，即
dε = dεe + dεp
(4)
式中： dε ， dεp 分别为总应变及塑性应变的微分。 在应变软化阶段，不考虑刚度的劣化。因此，
弹性应变的微分 dεe 可由式(3)获得
dε e
=
dσ E
0
dσ = Edεe
(13)
式(13)与式(3)完全相同，是以微分形式表示的
弹性阶段的本构方程，也就是说式(12)可描述全程
应力–应变曲线的上升段和下降段。若 w ≠ 0 ，那么
式(12)适用于应变软化阶段；然而，当 w = 0 ，式(12)
仅适用于峰值强度被达到之前的弹性阶段。
式(12)仅描述了全程应力–应变曲线的上升段
1引言
对单轴拉伸或压缩条件下全程应力–应变曲线
的研究对于认识准脆性材料的本构关系、承载能力、 变形破坏机制、破坏过程、试样尺寸效应及稳定性 等都有重要的意义。
试验测试表明，单轴拉伸条件下全程应力–应变
收稿日期：2004–05–04；修回日期：2004–09–30 基金项目：国家自然科学青年基金项目(50309004) 作者简介：王学滨(1975–)，男，1998 年毕业于辽宁工程技术大学机械学院机械设计专业，现为博士研究生、讲师，主要从事岩石力学理论与岩土工 程数值计算方面的教学与研究工作。E-mail：wxbbb@263.net。
摘要：基于梯度塑性理论，考虑了应变局部化，提出单轴拉伸条件下岩样全程应力–应变曲线解析解。沿试样长
度方向的总应变的微分被认为由两部分构成：可恢复的弹性应变的微分和不可恢复的塑性应变的微分。根据虎克
定律，弹性应变的微分依赖于应力的微分及弹性模量。塑性应变的微分与应力的微分、试样高度、软化模量及局
部化带的厚度有关，局部化带的厚度由梯度塑性理论确定。根据总应变的微分等于弹性及塑性应变的微分之和这
的本构关系可以表示为
dσ = Edεe
(3)
式中：σ 为拉伸应力；E 为弹性模量，这一参数保
持常量(如图 2(b)所示)； εe 为弹性应变，如果将外
• 5786 •
岩石力学与工程学报
2005 年
力全部卸载，则该应变可以完全恢复；d 为微分符 号； dεe ， dσ 分别为弹性应变及应力的微分。
局部化现象出现，沿着试样轴向的变形不再保
文[8]根据梯度塑性理论得到的塑性拉伸应变 的解析式为
ε
p ( y，σ
)
=
σc
百度文库
−σ c
⎛⎜⎝1 +
cos
y l
⎞ ⎟⎠
(1)
根据梯度塑性理论[7，8]，拉伸局部化带的尺寸
仅取决于材料的特征长度 l，即
w = 2πl
(2)
3 轴向拉伸应力–应变曲线的解析式
在峰值强度σ c 之前，沿着试样轴向的变形可以 近似认为是均匀的。这样，在弹性阶段，微分形式
dε
p l
=
−
dσ c
(8)
很明显，局部化带的塑性应变的微分与局部化
带的塑性变形的微分的关系可以表示为
dε
p l
=
dδ
p l
w
(9)
将式(9)代入式(6)，并考虑到式(8)，可得
dε p
=
第 24 卷 增 2
王学滨. 岩样单轴拉伸应变局部化及全程应力–应变曲线
• 5785 •
曲线由 2 部分构成[1～5]：峰前的上升段和峰后的下 降段。根据峰后下降段的斜率符号的不同[6]，这些 曲线又可划分为 2 类：I 类行为(负斜率)和 II 类行为 (正斜率，所谓的快速回跳现象)，如图 1 所示。由 于在峰值强度后，试样变形局部化，实测的全程应 力–应变曲线的下降段受试样几何尺寸等因素的影 响已被众多研究人员所公认，因此不能将该曲线下 降段的斜率视为本构参数，该曲线下降段属于结构 响应(由局部化带及带外弹性体构成的结构)。
(5)
由于沿试样长度方向的塑性应变来源于局部化
带的塑性变形
δ
p l
，因此，可以得到
dε p
=
d
⎛ ⎜ ⎝
δ
p l
L
⎞ ⎟ ⎠
=
dδ
p l
L
(6)
局部化带的不可恢复应变
ε
p l
可以通过对式(1)
在局部化带内部对坐标 y 积分得到：
∫ ∫ ε
p l
=
1 w
w ε p ( y，σ )dy = 2
0
w
w
2 ε p ( y，σ )dy
和下降段的两个斜率。若知道峰值强度σ c 及其对应
的应变 εc ，软化阶段的应力–应变曲线的方程为
σ
=
dσ dε
(ε
− εc
)
+ σc
(14)
峰值强度所对应的应变 εc 可由 σc = Eεc 确定。
因此，式(14)可写成
σ
=
⎛ ⎜⎝
1 E
−
w Lc
⎞−1 ⎟⎠
ε
−
⎛ ⎜⎝
1 E
−
w Lc
⎞−1 ⎟⎠
第 24 卷 增 2 2005 年 11 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 Supp.2 Nov.，2005
岩样单轴拉伸应变局部化及全程应力–应变曲线
王学滨
(辽宁工程技术大学 力学与工程科学系，辽宁 阜新 123000)
文[7]采用的力学模型、弹性及软化阶段的本构
(c)
图 2 受到轴向拉伸应力的试样、弹性及线性应变软化 阶段的本构关系
Fig.2 Constitutive relations of specimen subjected to axial tensile stress and elastic as well as strain-softening stage
2 局部化带内部的塑性拉伸应变分布
文[7]采用梯度塑性理论，从解析角度研究了应 变软化材料在单轴拉伸条件下的轴向响应，得到了 局部化带内部的塑性拉伸应变率的解析式。在局部 化带内部，塑性应变率的分布是非常不均匀的，在 局部化带的中部其值最大，在局部化带的边界其值 最小，且所得到的局部化带尺寸仅由材料的内部长 度确定及试样发生弹性回跳的准则所决定。弹性回 跳的准则与试样的结构尺寸有关。文[7]在梯度塑性理 论解析解方面的开创性工作加深了对局部化带内部 不均匀的塑性应变率及快速回跳不稳定性的理解。
ε
c
+σc
(15)
当 w = 0 ，式(15)可简化为
σ = Eε
(16)
因此，式(15)是描述全程应力–应变曲线上升
段和下降段的方程。
4 塑性拉伸应变解析解的验证
∫ = 2 w
w 2 0
σc
−σ c
⎛⎜⎝1 +
cos
y l
⎞ ⎟⎠
dy
=σc
−σ c
(7)
局部化带的塑性应变的微分
dε
p l
可以表示为
(Department of Mechanics and Engineering Sciences，Liaoning Technical University，Fuxin 123000，China)
Abstract：Analytical solution of complete stress-strain curve of rock specimen in uniaxial tension is proposed based on gradient-dependent plasticity considering strain localization initiated at peak strength. Differential of total strain along specimen length is composed of recoverable elastic part and unrecoverable plastic part. Differential of elastic strain is a function of differential axial stress and elastic modulus according to Hooke′s law. However，differential plastic strain on a gauge length depends on specimen length，softening modulus，differential axial stress，and thickness of tensile localized band. The thickness is determined by gradient-dependent plasticity where a characteristic length is included in yield function. According to the assumption that differential total strain on a gauge length is the sum of differential elastic and plastic strains，analytical solution of complete stress-strain curve is derived. Compared with numerical results presented by De Borst and Muhlhaus，the analytical solution of distributed plastic strain in localization band and effect of internal length on complete stress-strain curve are verified，respectively. Finally，influences of constitutive parameters，such as elastic and softening moduli，and specimen length on complete stress-strain curve are investigated. Key words：rock mechanics；rock sample；uniaxial tension；strain localization；gradient-dependent plasticity theory；complete stress-strain curve；internal length
一假设，在峰后线性应变软化本构关系的情形下，得到全程应力–应变曲线的解析解。通过与 De Borst 及 Muhlhaus 基于梯度塑性理论得到的数值解对比，分别验证局部化带内部塑性应变分布解析解及内部长度对全程应力–应变
曲线的影响。研究有关的本构参数(弹性模量及软化模量)及试样高度对全程应力–应变曲线的影响。
位置，因此，拉伸局部化带的中心的位置是任意的，
不一定出现在试样的中部。
图 1 单轴拉伸条件下应力–应变曲线的 I 类行为和 II 类 行为
Fig.1 Stress-strain curves of Class I and Class II behaviors for rock specimen in uniaxial tension
本文考虑启动于峰值强度的拉伸应变局部化及 峰值强度后的线性应变软化本构关系，采用微分形 式，推导出准脆性非均质材料在单轴拉伸条件下全 程应力–应变曲线的解析表达式，并与前人的数值 模拟结果进行了对照，进而验证了所提出的解析表 达式(局部化带内部塑性应变分布解析解及内部长 度对全程应力–应变曲线的影响)的正确性。此外， 还研究了有关的本构参数及试样高度对全程应力– 应变曲线的影响，并解释了所得结论的合理性。
关系见图 2。其中，L 为试样的高度，σ 为试样的轴
向拉伸应力，σ
c
为抗拉强度，ε
p l
为局部化带的塑性
拉伸应变，c 为本构关系中软化段斜率的绝对值(拉
伸软化模量)。假设拉伸局部化开始于抗拉强度，局
部化带的宽度设为 w ， y 为沿试样轴向的坐标，圆
点可认为取在拉伸局部化带的中心。需要指出的是，
由于材料缺陷或几何缺陷可能存在于试样中的任意
关键词：岩石力学；岩样；单轴拉伸；应变局部化；梯度塑性理论；全程应力–应变曲线；内部长度
中图分类号：TU 451
文献标识码：A
文章编号：1000–6915(2005)增 2–5784–05
STRAIN LOCALIZATION AND COMPLETE STRESS-STRAIN CURVE OF ROCK SPECIMEN IN UNIAXIAL TENSION
持均匀。假设试样的任一端在轴向被固定，在试样
的另一端，沿试样长度方向的总应变的微分可以分
解为弹性及塑性应变的微分，即
dε = dεe + dεp
(4)
式中： dε ， dεp 分别为总应变及塑性应变的微分。 在应变软化阶段，不考虑刚度的劣化。因此，
弹性应变的微分 dεe 可由式(3)获得
dε e
=
dσ E
0
dσ = Edεe
(13)
式(13)与式(3)完全相同，是以微分形式表示的
弹性阶段的本构方程，也就是说式(12)可描述全程
应力–应变曲线的上升段和下降段。若 w ≠ 0 ，那么
式(12)适用于应变软化阶段；然而，当 w = 0 ，式(12)
仅适用于峰值强度被达到之前的弹性阶段。
式(12)仅描述了全程应力–应变曲线的上升段
1引言
对单轴拉伸或压缩条件下全程应力–应变曲线
的研究对于认识准脆性材料的本构关系、承载能力、 变形破坏机制、破坏过程、试样尺寸效应及稳定性 等都有重要的意义。
试验测试表明，单轴拉伸条件下全程应力–应变
收稿日期：2004–05–04；修回日期：2004–09–30 基金项目：国家自然科学青年基金项目(50309004) 作者简介：王学滨(1975–)，男，1998 年毕业于辽宁工程技术大学机械学院机械设计专业，现为博士研究生、讲师，主要从事岩石力学理论与岩土工 程数值计算方面的教学与研究工作。E-mail：wxbbb@263.net。
摘要：基于梯度塑性理论，考虑了应变局部化，提出单轴拉伸条件下岩样全程应力–应变曲线解析解。沿试样长
度方向的总应变的微分被认为由两部分构成：可恢复的弹性应变的微分和不可恢复的塑性应变的微分。根据虎克
定律，弹性应变的微分依赖于应力的微分及弹性模量。塑性应变的微分与应力的微分、试样高度、软化模量及局
部化带的厚度有关，局部化带的厚度由梯度塑性理论确定。根据总应变的微分等于弹性及塑性应变的微分之和这
的本构关系可以表示为
dσ = Edεe
(3)
式中：σ 为拉伸应力；E 为弹性模量，这一参数保
持常量(如图 2(b)所示)； εe 为弹性应变，如果将外
• 5786 •
岩石力学与工程学报
2005 年
力全部卸载，则该应变可以完全恢复；d 为微分符 号； dεe ， dσ 分别为弹性应变及应力的微分。
局部化现象出现，沿着试样轴向的变形不再保
文[8]根据梯度塑性理论得到的塑性拉伸应变 的解析式为
ε
p ( y，σ
)
=
σc
百度文库
−σ c
⎛⎜⎝1 +
cos
y l
⎞ ⎟⎠
(1)
根据梯度塑性理论[7，8]，拉伸局部化带的尺寸
仅取决于材料的特征长度 l，即
w = 2πl
(2)
3 轴向拉伸应力–应变曲线的解析式
在峰值强度σ c 之前，沿着试样轴向的变形可以 近似认为是均匀的。这样，在弹性阶段，微分形式
dε
p l
=
−
dσ c
(8)
很明显，局部化带的塑性应变的微分与局部化
带的塑性变形的微分的关系可以表示为
dε
p l
=
dδ
p l
w
(9)
将式(9)代入式(6)，并考虑到式(8)，可得
dε p
=
第 24 卷 增 2
王学滨. 岩样单轴拉伸应变局部化及全程应力–应变曲线
• 5785 •
曲线由 2 部分构成[1～5]：峰前的上升段和峰后的下 降段。根据峰后下降段的斜率符号的不同[6]，这些 曲线又可划分为 2 类：I 类行为(负斜率)和 II 类行为 (正斜率，所谓的快速回跳现象)，如图 1 所示。由 于在峰值强度后，试样变形局部化，实测的全程应 力–应变曲线的下降段受试样几何尺寸等因素的影 响已被众多研究人员所公认，因此不能将该曲线下 降段的斜率视为本构参数，该曲线下降段属于结构 响应(由局部化带及带外弹性体构成的结构)。
(5)
由于沿试样长度方向的塑性应变来源于局部化
带的塑性变形
δ
p l
，因此，可以得到
dε p
=
d
⎛ ⎜ ⎝
δ
p l
L
⎞ ⎟ ⎠
=
dδ
p l
L
(6)
局部化带的不可恢复应变
ε
p l
可以通过对式(1)
在局部化带内部对坐标 y 积分得到：
∫ ∫ ε
p l
=
1 w
w ε p ( y，σ )dy = 2
0
w
w
2 ε p ( y，σ )dy
和下降段的两个斜率。若知道峰值强度σ c 及其对应
的应变 εc ，软化阶段的应力–应变曲线的方程为
σ
=
dσ dε
(ε
− εc
)
+ σc
(14)
峰值强度所对应的应变 εc 可由 σc = Eεc 确定。
因此，式(14)可写成
σ
=
⎛ ⎜⎝
1 E
−
w Lc
⎞−1 ⎟⎠
ε
−
⎛ ⎜⎝
1 E
−
w Lc
⎞−1 ⎟⎠
第 24 卷 增 2 2005 年 11 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 Supp.2 Nov.，2005
岩样单轴拉伸应变局部化及全程应力–应变曲线
王学滨
(辽宁工程技术大学 力学与工程科学系，辽宁 阜新 123000)
文[7]采用的力学模型、弹性及软化阶段的本构
(c)
图 2 受到轴向拉伸应力的试样、弹性及线性应变软化 阶段的本构关系
Fig.2 Constitutive relations of specimen subjected to axial tensile stress and elastic as well as strain-softening stage
2 局部化带内部的塑性拉伸应变分布
文[7]采用梯度塑性理论，从解析角度研究了应 变软化材料在单轴拉伸条件下的轴向响应，得到了 局部化带内部的塑性拉伸应变率的解析式。在局部 化带内部，塑性应变率的分布是非常不均匀的，在 局部化带的中部其值最大，在局部化带的边界其值 最小，且所得到的局部化带尺寸仅由材料的内部长 度确定及试样发生弹性回跳的准则所决定。弹性回 跳的准则与试样的结构尺寸有关。文[7]在梯度塑性理 论解析解方面的开创性工作加深了对局部化带内部 不均匀的塑性应变率及快速回跳不稳定性的理解。
ε
c
+σc
(15)
当 w = 0 ，式(15)可简化为
σ = Eε
(16)
因此，式(15)是描述全程应力–应变曲线上升
段和下降段的方程。
4 塑性拉伸应变解析解的验证
∫ = 2 w
w 2 0
σc
−σ c
⎛⎜⎝1 +
cos
y l
⎞ ⎟⎠
dy
=σc
−σ c
(7)
局部化带的塑性应变的微分
dε
p l
可以表示为