麦克斯韦方程组电磁场

麦克斯韦方程组电磁场

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第十四章 麦克斯韦方程组 电磁场

第一节 位移电流

19世纪以前，人们曾认为电和磁是互不相关联的两种东西。自从发现了电流的磁效应，人们开始注意到电流（运动电荷）与磁场之间的相互关系，可是很长时间只能看到电流产生磁场，而不能做到磁场产生电流，更谈不上揭示电场与磁场之间的关系。法拉第发现的电磁感应定律，不仅实现了磁生电，还进一步揭示了变化磁通与感应电动势的关系。麦克斯韦在前人实践和理论的基础上，对整个电磁现象做了系统的研究，提出了感生电动势来源于变化磁场所产生的涡旋电场，指出了“变化磁场产生电场”的磁场与电场之间的联系。在研究安培环路定律用于时变电流电路的矛盾之后，他又提出了位移电流的假说，不仅将安培环路定律推广到时变电路中，还进一步指出了“时变电场也产生磁场”的电场与磁场之间的联系。在此基础上，麦克斯韦总结出将电磁场统为一体的一组方程式，即所称的麦克斯韦方程组，该方程组不仅可以描述时变的电磁场，而且覆盖了静态的电磁场。麦克斯韦方程组表明，不仅电荷会产生电场，而且变化的磁场也会产生电场；不仅电流会产生磁场，而变化电场也同样会产生磁场。由此麦克斯韦推断，一个电荷或电流的扰动就会形成在空间传播并相互激发的电场、磁场的波动即电磁波。麦克斯韦不仅预言了电磁波的存在（1865年）而且还计算出电磁波的传播速度等于光速。由此，麦克斯韦将光和电磁波统一在一个理论框架下。1888年赫兹首次用实验证实了电磁波的发生与存在。以后的大量实验充分证明了麦克斯韦理论的正确性。

麦克斯韦关于电磁场的理论可以概述为“四个方程、三个关系（电介质、磁介质及导体中的场量关系）、两个假说、一个预言”，它们是宏观电动力学的理论基础。

1．位移电流、全电流

麦克斯韦将安培环路定理运用于含电容的交变电路中时，发现了一个突出的矛盾，为了解决这个矛盾，麦克斯韦提出了位移电流的假说。

稳恒电流磁场的安培环路定理具有如下形式：

d d L S

H l I j s ⋅==⋅⎰⎰ 式中j 为传导电流密度，I 是穿过以闭合曲线L 为边线的任意曲面的传导电流强度（电流密度通量）。例如在图8-1a 的稳恒电路中，穿过L 为边线的曲面S 1、S 2的电流I 是相同的。

在图8-1b 所示的含电容C 的交变电流电路中，如果将安培环路定理应用于闭合曲线L ，于是对S 1 面有

1d d L S H l j s i ⋅=⋅=⎰⎰ 而对S 2有: 2

d d 0L S H l j s ⋅=⋅=⎰⎰ 上面两式是互相矛盾的。这表明，在稳恒情况下得到的磁场环路定理式（8.1），一般地不能应用到可变电流（非稳恒）的情况。那么，在非稳恒情况下磁场强度的环流应该是一

个什么样的表达式？既然矛盾由含电容的交变电路所引出，因此我们从交变电路中与电容有关的物理过程开始讨论，以期获得某种结果。 当有电流通过电容时，电容器每一极板的电量q 随时间发生变化，同时电场E 和D 也随时间发生变化。考虑到在静电场中，q 与E （或D ）之间的关系由高斯定理描述，于是麦克斯韦就假设在一般（例如非稳恒）情形下高斯定理仍然成立，即有

S d D s q ⋅=⎰

q 为闭合曲面S 所包围的自由电荷。将上式对时间t 求导数，即得

d d d S D q s t t

∂⋅=∂⎰ 式中d d q t

为闭合面内自由电荷的增加率。由电荷守恒定律，应有 d d d S q j s t

=-⋅⎰，所以d d S S D s j s t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰，移项得： ()d 0S D j s t ∂+⋅=∂⎰

若将D j j t ∂=+∂全称为全电流密度，并称D t

∂∂为位移电流密度，用d j 表示，即d D j t ∂=∂；d D I S t

∂=∂称为位移电流。（对位移电流密度和位移电流的解释见书上P398） 那么我们将得到：

d 0S j s ⋅=⎰全，这就证明了全电流是恒连续的。

2．安培环路定理在非稳恒情况下的推广

由全电流的连续性可知，通过闭合曲线L 为边线的任意曲面的全电流强度相等，即

式中S 1，S 2是以L 为边线的两个曲面。正是利用这种全电流的通量，使安培环路定理在含电容交变电路中得以推广。

麦克斯韦提出：在非稳恒情况下，磁场强度H 沿任意闭合曲线L 的线积分（环量）满足下式：

d d ()d d L D H l I I j S S t

∂⋅=+=⋅+⋅∂∑⎰⎰⎰⎰⎰ 上式称为全电流定律，是著名的麦克斯韦方程组的方程之一。它揭示了一个新的物理规

律，即位移电流d D j t

∂=

∂与传导电流j 都可以激发磁场，或者说位移电流与传导电流在激发磁场方面具有等效性。D t ∂∂与j 以同等的地位居于式14-4中就是很好地说明。式14-4的正确性已为麦克斯韦电磁理论所得出的一切结论与实验事实（例如电磁波的传播）所验证。 但是需要注意的是，传导电流和位移电流是两个截然不同的概念，它们只在激发磁场方面具有等效性，在其他方面存在根本的区别。

因为0D E P ε=+，则d D j t ∂=

∂=0E P t t

ε∂∂+∂∂，式中第二项来自交变电路中电介质的反复极化，在真空中这部分等于零，因而就有d j =0E t ε∂∂，这是位移电流最基本的组成部分，即真空中的位移电流——“纯粹”的位移电流，它与电荷的运动无关，它本质上是变化着的电场。所以麦克斯韦用位移电流假说将安培环路定理推广到非稳恒情况后，方程所表达得的中心思想是变化着的电场激发涡旋磁场，磁场方向满足右手螺旋法则。

由于全电流的连续性以及在一般情况下磁场强度的环流由式14-4决定，因而由图14-2b 所引出的“矛盾”也就得以解决，是麦克斯韦的位移电流假说很好地解决了它，这是一个用科学假说解决理论矛盾的典型事例。位移电流和传导电流是两个不同的物理概念，其共同性质是它们都能够激发磁场，而其它方面则截然不同。真空中的位移电流只相当于电场强度矢量的变化，而不伴有电荷或任何别的物体的任何运动；其次，位移电流不产生焦耳热，这对于真空情况是很明显的。在电介质中，特别是对于有极分子组成的电介质，由于P t ∂∂项的存在，位移电流会产生热效应，在高频时更是如此，电介质将由于极化振动而放出很大的热量，例如微波炉，然而这和传导电流通过导体放出焦尔热根本不同，它遵从完全不同的规律。

（例题14-1）

第二节 麦克斯韦方程组

麦克斯韦将电磁现象的普遍规律主要概括为四个方程式，通常称之为麦克斯韦方程组，它有积分和微分两种形式。一般在电磁学范围只讨论积分形式，但电动力学中则需要研究场点的电磁场量的变化规律，因而还要大量使用它的微分形式。

麦克斯维方程实际就是推广和扩展了的高斯定理和环路定理。

(1). 第一方程：D 的高斯定理

通过任意闭合面的电位移D 的通量，等于该曲面所包围的自由电荷的代数和，即

S d D s q ⋅=⎰

上式是建立在静止电荷相互作用的实验事实的基础上的。现在把它推广到一般情况，即假定这一方程在电荷与场都随时间而变化时仍然成立。这意味着，尽管这时场与电荷之间的关系不像静电场那样由库仑平方反比定律所决定，但任一闭合面的D 通量与闭合面内自由电荷电量的关系仍然遵从高斯定理。

(2). 第二方程：E 的环路定理

电场强度E 沿任意闭合曲线的线积分，等于以该曲线为边线的曲面的磁通量的变化率的负值，即

d d L S B E l S t ∂⋅=-⋅∂⎰

⎰⎰ 这里的E 可以由自由电荷和变化磁场共同激发，E 便是它们的合场强。 (3). 第三方程：H 的环路定理

磁场强度沿任意闭合曲线的线积分，等于穿过以该曲线为边线的全电流，即