数据降维方法分析与研究2009
高维数据降维分析方法研究
高维数据降维分析方法研究一、引言：高维数据是指数据具有很多的特征（维度），而维度的增加会带来很多问题，如数据的稀疏性和维数灾难等。
其中，维数灾难是指随着维数的增加，需要的数据量也会呈指数级增加，导致数据样本变得非常稀疏。
因此，高维数据的处理和分析成为了一个重要的问题。
其中，降维分析是高维数据分析中非常重要的一个研究领域，本文旨在探讨高维数据降维分析的方法。
二、高维数据降维方法分类降维方法主要分为线性降维方法和非线性降维方法两大类。
其中，线性降维方法基于线性变换对数据进行降维，包括主成分分析（PCA）、因子分析（FA）等，而非线性降维方法主要是通过非线性变换实现降维，包括局部线性嵌入（LLE）、等距映射（Isomap）等。
下面将分别介绍这些方法。
2.1 主成分分析（PCA）主成分分析是最常用的线性降维方法之一，其主要思想是将高维数据映射到低维空间中，并保证映射后数据信息量最大化。
具体来说，PCA会根据变量之间的协方差矩阵来计算主成分，并将数据映射到新的坐标系中，从而完成降维。
该方法常用于数据可视化和特征提取等任务。
2.2 因子分析（FA）因子分析是一种可用于探索数据集中的潜在因素的方法。
其假设数据集中的每个观测值都由多个远程因素的和组成，且每个因素可以解释数据集中的某个方面。
因子分析可以将这些因素解释为主成分，从而降低数据的维度，并增加对数据结构的理解。
2.3 局部线性嵌入（LLE）局部线性嵌入是一种非线性降维方法，它的核心思想是利用最邻近关系来保持数据的局部结构。
具体来说，LLE会先找到每个数据点的最近邻，在该最近邻中对所有点的常量权重进行线性组合，最终从中选择一个向量作为数据点的降维表示。
LLE受数据分布的影响较小，能够很好地保持数据的局部结构，但在某些情况下，算法的结果会受到噪声因素的影响。
2.4 等距映射（Isomap）等距映射是另一种非线性降维方法，其主要思想是通过保持数据之间的各向同性距离来保持数据的“全局”结构。
高维数据降维方法研究与比较
高维数据降维方法研究与比较降维是数据处理领域中的重要问题，特别是在高维数据分析中。
高维数据指具有大量维度的数据，由于其维度高，数据分析和可视化变得困难，因此需要采用降维方法将数据映射到低维空间中。
本文将研究和比较几种常用的高维数据降维方法。
一、主成分分析（PCA）主成分分析是一种经典的线性降维方法，通过找到数据中最大方差方向的一组正交基，将高维数据映射到低维空间。
PCA的优点是简单且易于理解，可以保留较高比例的原始数据方差。
然而，PCA在处理非线性数据时效果欠佳，且无法处理样本之间的非线性关系。
二、独立成分分析（ICA）独立成分分析是基于统计学的降维方法，通过寻找数据中的独立成分，将高维数据分解为相互独立的子空间。
ICA适用于非高斯分布的数据，可以发现数据中的隐藏信息。
然而，ICA对数据分布的假设较强，对噪声和异常值敏感。
三、流形学习（Manifold Learning）流形学习是一种非线性降维方法，基于流形假设，认为高维数据存在于低维流形上。
流形学习可以通过保持数据局部特征结构来实现降维，能够较好地处理非线性数据。
常见的流形学习算法包括局部线性嵌入（LLE）、等距映射（Isomap）和拉普拉斯特征映射（LE）。
流形学习的不足之处在于对参数选择敏感，计算复杂度较高。
四、自动编码器（Autoencoder）自动编码器是一种基于神经网络的无监督学习模型，通过训练编码器和解码器来学习高维数据的低维表示。
自动编码器可以学习数据的高阶特征，对非线性数据具有较好的适应性。
然而，自动编码器容易过拟合，并且在训练过程中需要大量的计算资源。
总结来说，不同的高维数据降维方法各有优劣。
PCA适用于线性数据降维，ICA适用于非高斯分布数据，流形学习适用于非线性数据，自动编码器则可以学习高阶特征。
在实际应用中，可以根据数据的特点选择合适的降维方法。
同时，也可以结合多种降维方法进行综合分析，以获取更好的降维效果。
降维方法的比较需要考虑多个方面，如降维效果、计算复杂度、对异常值和噪声的敏感性等。
数据降维方法研究
数据降维方法研究一、内容简述本文主要探讨了数据降维方法的研究现状与发展趋势。
随着科技的进步和数据集的日益庞大，高维数据给数据处理和模型训练带来了诸多挑战。
为了降低计算复杂度、提高算法效率，并尽量保留数据的内在信息，数据降维技术应运而生。
数据降维方法可以分为有监督降维、无监督降维和半监督降维。
有监督降维利用已知标签数据进行训练，如主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）。
无监督降维则不依赖于标签数据，常用的方法有主成分分析（PCA）、t分布邻域嵌入算法（tSNE）等。
而半监督降维则试图在有少量标签数据的情况下，挖掘潜在的结构，提高模型的泛化能力。
本文将对这些方法进行详细介绍和评述，并探讨它们在不同领域的应用及未来发展方向。
1. 数据降维的重要性随着大数据时代的到来，数据量的激增为各行各业带来了极大的数据处理挑战。
在此背景下，数据降维技术日益受到关注。
数据降维是在保留原始数据集的完整性和维度信息的基础上，通过特定的算法对高维数据进行降维处理，从而降低计算复杂度、提高数据分析效率。
本文将重点探讨数据降维的重要性，并分析其在实际应用中的重要性。
数据降维有助于提高数据挖掘的效率与精度。
面对海量数据，如果逐一进行分析，则需要耗费大量的时间和计算资源。
而通过降维，可以去除冗余和无关的信息，仅保留关键特征，从而简化数据分析过程，提升运算速度及准确性。
数据降维有助于降低计算复杂度。
高维数据在采集、存储和处理过程中往往面临较高的存储与计算负担。
采用合适的降维方法，可以大幅度减少数据的维度，使得数据更容易处理，降低计算难度与成本。
数据降维可以增强数据分析的灵活性。
在进行数据分析时，不同数据维度的选择对结果具有一定的影响。
通过对数据进行降维处理，可以在一定程度上解决变量选择困难的问题，提高分析方法的适用性和泛化能力。
数据降维在处理高维数据、提高数据利用效率、降低成本以及增强数据分析灵活性等方面具有重要意义。
在实际应用中，对数据降维技术的研究与应用显得尤为重要。
数据降维技术研究
文本摘要
利用降维技术，可以对文 本数据进行摘要处理，提 取出文本的主要信息。
语音识别
声纹识别
利用降维技术，可以对语音数据 进行声纹识别，实现身份认证等
功能。
语音特征提取
通过降维技术，可以提取出语音的 主要特征，便于分类、识别等任务 。
语音压缩
通过降维技术，可以实现语音的压 缩和存储，减小存储空间的需求， 同时保持语音的基本特征。
利用降维技术，可以对社交网络中的用户行为数 据进行降维处理，提取出主要的行为模式。
社区发现
通过降维技术，可以将社交网络中的节点聚集到 同一社区中，发现隐藏的社区结构。
网络流量分析
利用降维技术，可以对社交网络中的流量数据进 行降维处理，提取出主要的流量模式。
04
数据降维技术的挑战 与解决方案
数据缺失与异常值处理
核主成分分析（KPCA）
总结词
KPCA是一种基于核方法的数据降维方法，它将数据从原始空间映射到高维特征空间，然后在特征空间中进行 PCA降维。
详细描述
KPCA首先使用核函数将数据从原始空间映射到高维特征空间，然后在特征空间中进行PCA降维。核函数的选择 可以根据数据的特性来确定，常见的核函数有线性核、多项式核、高斯核等。KPCA能够捕捉到数据之间的非线 性关系，因此适用于处理非线性数据。
数据隐私与安全问题
总结词
数据隐私和安全问题是数据降维过程中需要重视的问 题，需要采取有效的措施进行保护。
详细描述
在数据降维过程中，需要特别关注数据隐私和安全问题 。为了保护个人隐私，可以采用差分隐私、联邦学习等 技术手段进行处理。同时，还需要加强数据的安全存储 和传输，避免数据泄露和攻击。这些措施能够有效地保 护个人隐私和数据安全，同时促进数据降维技术的发展 和应用。
数据分析中的数据压缩与降维方法
数据分析中的数据压缩与降维方法随着大数据时代的到来，数据分析变得越来越重要。
然而，大量的数据也给数据分析带来了一些挑战，其中之一就是数据的维度过高。
高维数据不仅会增加计算复杂度，还会导致维度灾难等问题。
为了解决这些问题，数据压缩与降维方法被广泛应用于数据分析领域。
数据压缩是指通过一系列的技术手段，将原始数据表示为更紧凑的形式，以减少数据存储和传输的开销。
常见的数据压缩方法包括无损压缩和有损压缩。
无损压缩方法可以保证压缩后的数据与原始数据完全一致，常用的无损压缩算法有哈夫曼编码、Lempel-Ziv-Welch (LZW) 算法等。
有损压缩方法则可以在一定程度上牺牲数据的精确性，从而实现更高的压缩比。
常见的有损压缩方法有JPEG、MP3等。
在数据分析中，根据数据的特点和需求，可以选择适合的压缩方法。
除了数据压缩，降维也是解决高维数据问题的一种常用方法。
降维是指将高维数据映射到低维空间，以减少数据的维度。
降维可以帮助我们更好地理解数据，发现数据中的模式和规律。
常见的降维方法包括主成分分析 (PCA)、线性判别分析(LDA)、t-SNE等。
主成分分析是一种无监督学习方法，通过线性变换将原始数据映射到新的坐标系，使得映射后的数据具有最大的方差。
线性判别分析则是一种有监督学习方法，通过线性变换将原始数据映射到低维空间，使得不同类别的数据在新的坐标系下有最大的类间距离和最小的类内距离。
t-SNE是一种非线性降维方法，它可以在保持数据局部结构的同时，有效地降低数据的维度。
除了上述方法，还有一些其他的数据压缩与降维方法。
例如，奇异值分解(SVD) 是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而实现数据的降维。
非负矩阵分解 (NMF) 则是一种特殊的矩阵分解方法，它要求分解出的矩阵元素都是非负的，适用于非负数据的降维。
此外，还有一些基于字典学习、稀疏编码等方法的数据压缩与降维技术。
在实际应用中，选择合适的数据压缩与降维方法需要考虑多个因素。
高维数据降维方法的研究与比较分析
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高维数据降维的数值方法研究
高维数据降维的数值方法研究数据的维度指的是描述数据所需要的特征数量。
在现代科技发展的背景下，许多领域都面临着高维数据的挑战，如生物信息学、金融风险管理和图像处理等。
高维数据的存在给数据分析和处理带来了很大的困难，因此，研究高维数据的降维方法显得尤为重要。
本文将介绍几种常用的数值方法，并讨论其在高维数据降维中的应用。
一、主成分分析（PCA）主成分分析是一种经典的线性降维方法，其主要思想是通过将高维数据映射到一个低维空间中来实现降维。
主成分分析的关键在于找到数据中的主要变化方向，即主成分。
通过计算数据的协方差矩阵，可以得到一组正交的主成分，然后按照其方差大小对主成分进行排序。
选择方差较大的前几个主成分，就可以得到低维表示。
主成分分析广泛应用于数据压缩、特征提取和可视化等领域。
二、多维缩放（MDS）多维缩放是一种非线性降维方法，它将高维数据映射到一个低维空间中，旨在保持数据之间的距离关系。
多维缩放通过计算数据点之间的距离矩阵，并在低维空间中找到最优的表示，使得在高维空间中的距离尽可能地被保留。
多维缩放在数据可视化、相似性分析和模式识别等领域有广泛的应用。
三、局部线性嵌入（LLE）局部线性嵌入是一种非线性降维方法，其基本思想是在保持相邻数据点之间的局部线性关系的同时实现降维。
局部线性嵌入包括三个步骤：首先，构建数据的邻近图；然后，对于每个数据点，计算其与邻居之间的权重；最后，通过最小化重构误差，将数据映射到一个低维空间中。
局部线性嵌入适用于处理非线性数据并保持数据的局部结构。
四、核主成分分析（KPCA）核主成分分析是一种非线性降维方法，它通过使用核技巧将数据映射到一个高维特征空间中，并在该空间中进行主成分分析。
核主成分分析通过使用核函数测量数据之间的相似性，并通过计算核矩阵来替代原始数据的协方差矩阵。
这样可以将非线性关系转化为线性关系，从而实现降维。
核主成分分析在生物信息学、语音识别和图像处理等领域有广泛的应用。
高维数据降维方法的研究与比较分析
高维数据降维方法的研究与比较分析高维数据降维是一个重要的数据分析问题，多维数据通常包含大量的冗余信息和噪声，而且在高维空间中的计算复杂度较高。
因此，降维方法可以帮助我们减少数据维度，提取数据中的重要信息，从而简化数据分析，加快计算速度，并且可以用可视化的方法更好地理解和分析高维数据。
本文将对一些常用的高维数据降维方法进行研究和比较分析。
首先介绍降维方法的基本原理和常见的评价指标，然后分别介绍主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）、局部线性嵌入（LLE）、t分布随机邻域嵌入（t-SNE）和自编码器等方法，并分析它们的优缺点。
最后，我们通过实例对这些方法进行比较分析。
降维方法的基本原理是通过将高维数据映射到低维空间，保留数据的重要信息。
常见的评价指标包括保留的信息量、可视化效果和计算效率等。
信息量可以通过方差或者信息增益等指标衡量，可视化效果可以通过样本点在二维或者三维空间的分布来观察，计算效率可以通过时间复杂度和空间复杂度等指标来评估。
主成分分析（PCA）是最常用的降维方法之一，它通过线性变换将高维数据转换为低维数据，使得低维数据的方差最大化。
优点是简单易懂，计算高效，但它只考虑了样本间的协方差，忽略了类别信息。
线性判别分析（LDA）是一种有监督的降维方法，它在PCA的基础上考虑了类别信息，在保持低维空间数据的分离性的同时，最大化同类样本点的方差，最小化不同类样本点的方差。
优点是考虑了类别信息，但缺点是计算复杂度较高，对于非线性数据的分类效果不好。
局部线性嵌入（LLE）是一种非线性降维方法，它考虑了样本间的局部关系，通过保持样本的局部邻域结构来降维。
优点是对非线性数据有较好的降维效果，但缺点是计算复杂度较高，对异常值非常敏感。
t分布随机邻域嵌入（t-SNE）是一种用于可视化的降维方法，它通过最小化高维数据和低维数据间的Kullback-Leibler散度来保持样本间的相似性。
优点是可以从高维数据中提取出局部结构，但缺点是计算复杂度较高，对大规模数据不适用。
数据分析中常用的降维方法有哪些
数据分析中常用的降维方法有哪些对大数据分析感兴趣的小伙伴们是否了解数据分析中常用的降维方法都有哪些呢?本篇文章小编和大家分享一下数据分析领域中最为人称道的七种降维方法，对大数据开发技术感兴趣的小伙伴或者是想要参加大数据培训进入大数据领域的小伙伴就随小编一起来看一下吧。
近来由于数据记录和属性规模的急剧增长，大数据处理平台和并行数据分析算法也随之出现。
于此同时，这也推动了数据降维处理的应用。
实际上，数据量有时过犹不及。
有时在数据分析应用中大量的数据反而会产生更坏的性能。
我们今天以2009 KDD Challenge 大数据集来预测客户流失量为例来探讨一下，大多数数据挖掘算法都直接对数据逐列处理，在数据数目一大时，导致算法越来越慢。
因此，下面我们一下来了解一下数据分析中常用的降维方法。
缺失值比率(Missing Values Ratio)该方法的是基于包含太多缺失值的数据列包含有用信息的可能性较少。
因此，可以将数据列缺失值大于某个阈值的列去掉。
阈值越高，降维方法更为积极，即降维越少。
低方差滤波(Low Variance Filter)与上个方法相似，该方法假设数据列变化非常小的列包含的信息量少。
因此，所有的数据列方差小的列被移除。
需要注意的一点是：方差与数据范围相关的，因此在采用该方法前需要对数据做归一化处理。
高相关滤波(High Correlation Filter)高相关滤波认为当两列数据变化趋势相似时，它们包含的信息也显示。
这样，使用相似列中的一列就可以满足机器学习模型。
对于数值列之间的相似性通过计算相关系数来表示，对于名词类列的相关系数可以通过计算皮尔逊卡方值来表示。
相关系数大于某个阈值的两列只保留一列。
同样要注意的是：相关系数对范围敏感，所以在计算之前也需要对数据进行归一化处理。
随机森林/组合树(Random Forests)组合决策树通常又被成为随机森林，它在进行特征选择与构建有效的分类器时非常有用。
数据分析知识：数据挖掘中的数据降维技术
数据分析知识：数据挖掘中的数据降维技术数据挖掘是一门使用大型数据集合来发现信息、发现规律、发现关联和支持决策等方法的学科。
数据挖掘的目标是通过提取数据中的有意义信息来帮助人类做出更加合理、更加高效的决策。
因此，数据降维技术是数据挖掘的重要组成部分。
本文将为你介绍数据挖掘中常用的数据降维技术，以及数据降维技术的应用场景。
一、数据降维技术的概念数据降维是指将高维度的数据转换为低维度的数据的过程，降低数据集的复杂度。
通过这样的方法，我们可以在保留数据中主要特征的同时，减少特征数量，提高模型的效率和可解释性，从而提高数据挖掘的性能。
降维技术分为特征选择和特征提取两类。
1.特征选择特征选择通过选择部分的特征子集，减少数据集的特征数量，从而提高模型的效率和可解释性。
常用的特征选择方法有Wrapper、Filter、Embedded等。
其中，Wrapper方法是基于计算式或距离度量来评估特征重要性的方法，缺点是计算复杂度高，但可以提高模型的性能；Filter方法是基于特征之间相关性、互信息等来评估特征重要性的方法，缺点是可能保留无关或冗余的特征；Embedded方法是在学习模型中直接进行特征选择的方法，缺点是可能过度拟合。
2.特征提取特征提取是将高维度的数据转换为低维度的数据的过程，其中，数据的主要特征是通过线性变换或非线性变换提取出来的。
常用的特征提取方法有主成分分析（PCA）、因子分析、独立成分分析（ICA）等。
其中，PCA是最常用的一种降维方法，通过线性组合将原始特征映射到新的低维度特征空间，使得新空间中的特征具有最高的方差。
二、数据降维技术的应用场景数据降维技术在数据挖掘中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.图像处理在图像处理中，由于图像数据量巨大，传统方法难以直接处理这些数据。
因此，降维的方法得到了广泛的应用。
例如，可以将图像数据集降低到一个低维度空间，以此提高处理效率和准确性。
2.机器学习在机器学习中，如果特征数量太多，会导致计算复杂度变高，并且易于过拟合。
数据绛维的常用方法
数据绛维的常用方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊数据降维那些事儿。
你说数据就像一个庞大的杂货铺，里面啥都有，乱七八糟的。
高维数据啊，就像是这个杂货铺里的东西堆得满满当当，让人眼花缭乱，找个东西都难死了。
这时候咋办呢？就得给它来个大整理，把那些不太重要的、重复的东西清理掉一部分，让这个杂货铺变得清爽起来，这就是数据降维啦！咱先说主成分分析，这就好比是给杂货铺里的东西分分类，找出最主要的几类。
把那些最重要、最能代表整体的成分给拎出来，其他不太重要的就先放一边。
就好像你有一堆衣服，你会挑出常穿的那几件，其他不怎么穿的就先塞到角落里。
还有奇异值分解呢，这就像是把杂货铺拆了重新搭建。
把原来复杂的结构变得简单明了，只留下最关键的部分。
好比搭积木，把复杂的形状拆成简单的几块，还能再重新组合起来。
因子分析呢，就好像是在找东西背后的原因。
为啥这堆数据会是这样？是不是有几个关键的因素在起作用？就跟你找为啥自己总丢三落四一样，得找到根源才行。
那这些方法有啥用呢？哎呀，用处可大啦！比如说在图像识别里，那么多像素点，要是不降维，那得处理到啥时候啊！降维一下，就能快速找到关键特征，识别起来就容易多了。
再比如在数据分析中，那么多变量，不降维的话，分析起来头都大了，降维后就能更清楚地看到主要的趋势和关系。
你想想看，要是没有这些降维方法，那我们面对那么多复杂的数据不就抓瞎啦？就像你在一个没有地图的大森林里，不知道往哪儿走。
有了这些方法，就好像有了指南针，能给我们指明方向。
而且哦，这些方法可不是随便乱用的，得根据具体情况来选择。
就像你不能穿着拖鞋去爬山，也不能穿着高跟鞋去跑步一样。
得选对方法，才能把数据降维这件事做好。
总之呢，数据降维就像是一场数据的瘦身运动，把多余的脂肪去掉，让数据变得更精炼、更有用。
它是我们处理数据的好帮手，让我们能更好地理解和利用那些复杂的数据。
所以啊，可别小瞧了这些常用方法，它们可是很厉害的呢！。
高维数据降维中SVD与CUR分解对比分析
高维数据降维中SVD与CUR分解对比分析曾琦;李国盛;郭云鹏;曾圆;张凤娟【摘要】在大数据分析和处理中有许多常用的降维方法,在线性降维中典型的方法有SVD分解和CUR分解,但是对这两种方法的使用条件和实际效果研究甚少.基于此,通过对SVD与CUR分解原理和实验结果的探讨,分析了这两种降维方法的使用条件和实际效果.【期刊名称】《中原工学院学报》【年(卷),期】2014(025)006【总页数】5页(P80-84)【关键词】SVD分解;TSVD;CUR分解;降维【作者】曾琦;李国盛;郭云鹏;曾圆;张凤娟【作者单位】解放军信息工程大学,郑州450000;解放军信息工程大学,郑州450000;解放军信息工程大学,郑州450000;解放军信息工程大学,郑州450000;解放军信息工程大学,郑州450000【正文语种】中文【中图分类】G354在高维空间中，由于“维数灾难”的存在，作为数据之间相似性度量的Lp距离会失去意义。
高维数据包含许多冗余，其实际的维度比原始的数据维度小得多，因此高维数据可以通过降维手段转换到低维空间进行处理。
高维数据的处理方法有很多种，常用的方法有SVD分解和CUR分解。
SVD分解是大数据分析和处理常用的降维方法。
但是，由于它线性综合了全局的信息，因此生成的数据往往过于稠密且难以解释。
针对SVD分解的缺点，有人提出了CUR分解的方法[1]。
CUR分解是一种从原始数据矩阵中依概率选取部分行和列构造矩阵的分解方法。
CUR分解得到的矩阵由原始数据构造而来，其得到的矩阵稀疏且物理意义明确。
同时，CUR 分解的算法较为简单，避免了对高维矩阵进行特征值求解，因此其效率也较高。
本文主要对这两种降维方法进行对比分析。
1 矩阵的SVD分解1.1 SVD分解的一般形式给定一个m×n的矩阵A，那么就一定存在正交矩阵U={u1,u2,…,um}∈Rm×m 和V={v1,v2,…,vn}∈Rn×n，其中则一定有：A=UΣVT(1)其中,Σ=diag(σ1,…,σρ);Σ∈Rm×n;ρ=min(m,n)，σ1≥σ2≥…≥σp≥0，矩阵U称为A的左奇异矩阵，矩阵VT称为A的右奇异矩阵，(σ1,σ2,…,σp)称为A的奇异值。
数据降维方法小结
数据降维⽅法⼩结数据的形式是多种多样的，维度也是各不相同的，当实际问题中遇到很⾼的维度时，如何给他降到较低的维度上？前⽂提到进⾏属性选择，当然这是⼀种很好的⽅法，这⾥另外提供⼀种从⾼维特征空间向低纬特征空间映射的思路。
数据降维的⽬的 数据降维，直观地好处是维度降低了，便于计算和可视化，其更深层次的意义在于有效信息的提取综合及⽆⽤信息的摈弃。
数据降维的⽅法 主要的⽅法是线性映射和⾮线性映射⽅法两⼤类。
线性映射 线性映射⽅法的代表⽅法有：PCA（Principal Component Analysis），LDA（Discriminant Analysis）PCA⽅法简介 主成分分析的思想，就是线性代数⾥⾯的K-L变换，就是在均⽅误差准则下失真最⼩的⼀种变换。
是将原空间变换到特征向量空间内，数学表⽰为Ax=λxAx=λx。
特征向量和特征值的意义：分别表⽰不同频率及其幅度。
特征向量和特征值的直⽩理解：想在特征空间内找到某个向量xx，使得其满⾜Ax=λxAx=λx。
这个式⼦可以这样理解，AA是空间内的运动，xx经过运动AA后，保持⽅向不变（仍是xx的⽅向），只是⼤⼩伸缩了λλ倍。
这样我们找到了kk个这样的向量βkβk。
A∗[β1,β2,...,βk]=[λ1β1,λ2β2,...,λkβk]A∗[β1,β2,...,βk]=[λ1β1,λ2β2,...,λkβk]。
当然在实际⽤时，取最⼤的前⼏个⾜矣。
PCA计算是⽤的协⽅差矩阵UU的分解特征向量。
1. 样本矩阵去中⼼化（每个数据减去对应列的均值），得到Am,nAm,n。
Am,nAm,n表⽰mm个nn维的数据。
2. UU表⽰样本矩阵AA的协⽅差矩阵(AT∗AAT∗A=UU，因为去中⼼化后的AT∗AAT∗A即协⽅差） E(X−X0)(Y−Y0)=∑mi=11m(xi−x0)(yi−y0)E(X−X0)(Y−Y0)=∑i=1m1m(xi−x0)(yi−y0)。
数据降维的常用方法分析
数据降维的常用方法分析1 降维方法概述随着科学技术的进步，特别是和大数据的快速发展，当今社会对数据处理能力的要求越来越高，随着数据维数的增大，高维数据通常存在较大的相干性和冗余度，并且数据本身的信息量增长往往比数据维度的增长要慢，从而信号维度越高，数据冗余度就会越大，如视频图像比单幅静止图像的可压缩性要大得多。
研究如何充分利用高维数据间的稀疏性和冗余性进行数据降维，是对高维数据进行有效采集、处理和重构的重要前提。
降维方法主要分为特征选择和特征变换两种，特征选择是从给定的特征中选择提取若干重要特征，典型的特征提取算法有穷举法，启发式，随机方法和智能优化等。
特征变换是通过某种变换将原始的输入空间数据映射到一个新的空间中。
特征变换通过移除原特征集中的相关性与冗余性，可以减轻维数灾难，增强模型的泛化能力。
特征变换主要有线性降维和非线性降维两类，其中线性降维方法有主成分分析，线性判别分析，非负矩阵分解，因子分析，奇异值分解和独立成分分析等;非线性降维方法有局部线性嵌入法，拉普拉斯本征映射，等距映射和核主成分分析等;本文主要讨论了线性降维中的主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）和线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）。
2 主成分分析和线性判别分析2.1 主成分分析主成分分析（PCA）源于K-L变换（Karhunen-Loeve Transform），是将高维空间中的数据投影到低维仿射子空间的一种线性降维方法。
设数据集，存在RD的一个仿射子空间Sd（d<d），有></d），有> 其中，U为D×d维矩阵，它的列向量为子空间S的一组基，为在子空间S中的对应坐标。
设，它的奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）为其中X的奇异值矩阵ΣX的元素按从大到小排列，则由ΣX的每一个元素σi及其对应的左右奇异值向量和就构成了矩陣X的每一个主成分，这些主成分之间相互正交，通过截断后面对表征矩阵X贡献较小的主成分，可以达到降维的目的。
数据降维方法分析与研究
数据降维方法分析与研究吴晓婷;闫德勤【期刊名称】《计算机应用研究》【年(卷),期】2009(026)008【摘要】全面总结现有的数据降维方法,对具有代表性的降维方法进行了系统分类,详细地阐述了典型的降维方法,并从算法的时间复杂度和优缺点两方面对这些算法进行了深入的分析和比较.最后提出了数据降维中仍待解决的问题.%This paper gave a comprehensive summarization of existing dimensionality reduction methods, as well as made a classification to the representative methods systematically and described some typical methods in detail . Furthermore, it deeply analyzed and compared these methods by their computational complexity and their advantages and disadvantages. Finally, it proposed the crucial problems which needed to be resolved in future work in data dimensionality reduction.【总页数】4页(P2832-2835)【作者】吴晓婷;闫德勤【作者单位】辽宁师范大学,计算机与信息技术学院,辽宁大连,116081;辽宁师范大学,计算机与信息技术学院,辽宁大连,116081【正文语种】中文【中图分类】TP301【相关文献】1.数据降维的常用方法分析 [J], 赵玉娟2.基于数据降维的复杂属性大数据分类方法研究 [J], 胡淑新; 宋志蕙3.大气腐蚀数据降维最优维度研究 [J], 潘纪情; 付冬梅; 杨焘; 刘磊明4.基于改进结构保持数据降维方法的故障诊断研究 [J], 韩敏;李宇;韩冰5.基于局部质心均值最小距离鉴别投影的旋转机械故障数据降维分析研究 [J], 石明宽;赵荣珍因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
R数据分析：潜变量与降维方法（主成分分析与因子分析）
R数据分析：潜变量与降维方法（主成分分析与因子分析）今天把潜变量和降维分析的方法合起来给大家写写，因为这两个东西之间有诸多共同之处。
潜变量为啥需要潜变量呢？考虑一个问题，比如你想测测一个人有多幸福，你怎么测？估计你会看看这个人：脸上有没有笑容有没有加薪是不是健康爱不爱交际等等，你试图通过这么一些可以测量的指标来反映一个人的所谓的幸福的状况，这个是我们自然而然想得到的，因为我们心里明白幸福是一个抽象概念，不能直接测，所以叫做潜变量。
降维Dimension Reduction/Compression在机器学习中专门有讲降维的算法，但是在社会科学领域运用较多的还是因子分析和主成分分析。
我们一个一个来看：主成分分析主成分分析是因子分析中提取因子的一个重要技巧，它要做的事就是从一系列的变量中提取成分，每个成分我们都希望它能解释原始数据尽可能多的变异。
记住一句话：成分是原始变量的线性组合。
Components are linear combination of the original variables.在做主成分分析的时候我们会得到和变量一样多的成分，每个成分都会比前一个成分解释的变异少一点，然后所有成分解释原始数据变异的100%。
理论上我们可以从成分中完全复原我们的原始数据，但是我们的目的是要降维嘛，所以我们通常不会保留所有的成分，只会保留主成分。
上图就是一个主成分分析的示意图，4个原始变量，4个成分，很可能我们就只保留前两个成分就行。
主成分分析实例用到的数据为Harman.5，这个数据集包含5个变量。
我们可以用psych包的principal函数进行主成分分析，使用这个函数你只需要给出数据集和你想要保留的主成分个数就行。
比如我想2个，我就可以写出如下的代码：library(psych)pc = principal(Harman.5, nf actors=2, rotate='none', covar = F)pc如果你想要5个成分都出来，只需要把nfactors改成5就行。
数据降维算法的的研究及其应用
第二章基于最优重建准则的二维或者高维数据的多线性降维方法经典的基于最优重建准则的算法是主成分分析（ＰｒｉｎｃｉｐａｌＣｏｍｐｏｎｅｍＡｎａｌｙｓｉｓ，ＰＣＡ）Ｅｉｇｅｎｆａｃｅ［Ｔｕｒｋ９１】【Ｆｕｋｕｒｍａｇａ９１］。
但是在ＰＣＡ中，分析的对象都被表示成为一维的向量。
而在很多实际的应用中，比如人脸识别（ＦａｃｅＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ）［Ｚｈａ００２］，分析的对象都是二维或者高维的图像数据。
灰度人脸图像就是二维的数据，彩色人脸图像或者人脸图像序列是三维数据。
因此在人脸识别中最常见的做法是把二维或者高维的图像数据变成一维的向量数据，然后用ＰＣＡ来做数据降维，这就是经典的Ｅｉｇｅｎｆａｃｅ。
但是把二维或者高维图像数据变成一维数据后，数据维数通常非常高，这就是维数灾难的问题。
比如一个１００×１００的灰度图像，变换后就是１００００维。
另外人脸识别是一个典型的“小样本”问题。
更为重要的是直接把二维或者高维图像数据变成一维向量会导致数据各个维之间的结构信息的丢失，比如图像的行和列之间结构信息的丢失，而这种结构信息通常对人脸识别是非常有用的。
图ｌ：基于一维向量、二维数组和高阶张量表示的数据降维方法的对比图示（本图以最优重建准则为例说明）。
第一行表示原始的数据，第二行表示降维后的数据，第三行表示重建后得到的结果。
因此从一行到第二行是数据降维的过程，从二行到第三行是数据的重建过程。
在图（ａ）中人脸图像被表示成一维的向量，而在图（ｂ）中人脸图像被表示成二维的数组，在图（ｃ）中，人脸被表示成为高维的张量（本图中为抽取的Ｇａｂｏｒ特征）。
霖，然后萆于这砦所有的对象，ＰＣＡ被用米求出最优的矩阵Ｕ．；图（０显示ｒ…次迭代后的低维的表示】：。
图３：ＣｏｕｐｌｅｄＳｕｂｓｐａｃｅＡｎａｌｙｓｉｓ（ＣＳＡ－２）算法的直观解释许很多实际应用，比如图像压缩和视频分析中，需要对能量损失进行分析。
在下面的定理二巾将给山能量损失的理论分析。
高维数据分析与降维技术的研究
高维数据分析与降维技术的研究随着科技的不断进步，我们所接触到的数据越来越大，而这些数据中很多都是高维的。
在高维数据中，数据特征变得越来越复杂，传统的数据分析方法已经难以胜任。
因此，研究高维数据分析与降维技术，对于推进我们的科学研究、商业应用以及人类认知有着至关重要的作用。
什么是高维数据？在统计学中，维度是指数据集中所包含属性或特征的数量。
在高维数据中，属性数量远远超过数据点数量。
例如：我们可以将一个人的性别、年龄、身高、体重、爱好等各种特征信息都记录下来，这样描述一个人就形成了一个五维空间。
但是，实际上我们不可能将每个特征都记录下来，数据的维度可能会很高，这样的数据通常由成千上万个特征组成。
为什么高维数据难以分析？高维数据给我们分析和理解数据带来了很多的困难，这是由于存在维度灾难( Curse of dimensionality) 引起的。
维度灾难会使得数据在高维空间中变得非常稀疏。
例如：两个点在二维空间中的距离可以直接使用欧几里得距离来计算，但在高维空间中，两点之间的距离需要利用著名的余弦相似度等更复杂的方法计算。
同时，由于数据的属性较多，计算机需要处理更多的数据，导致计算量和存储量都会大大增加。
如何解决高维数据问题？在高维数据中，降维技术是一种非常重要的数据处理方法。
通过将数据从较高维空间映射到较低维空间，可以使得数据变得更加便于处理。
降维技术主要有两类：线性降维和非线性降维。
线性降维是通过变换矩阵对原始数据进行线性组合，从而得到低维度的数据。
这类方法包括主成分分析（PCA）等。
PCA是利用数据的协方差矩阵来构造变换矩阵，使得降维后的数据能够保留最大的方差。
与线性降维技术不同，非线性降维技术则不是简单地进行线性变换，而是通过复杂的数学方法来学习数据样本之间的非线性函数关系。
这类方法包括t-分布随机邻居嵌入（t-SNE）, 非负矩阵分解（NMF）等。
高维数据的分析技术不但应用广泛，而且方向多样。
数据降维方法分析与研究_吴晓婷
收稿日期:2008211226;修回日期:2009201224 基金项目:国家自然科学基金资助项目(60372071);中国科学院自动化研究所复杂系统与智能科学重点实验室开放课题基金资助项目(20070101);辽宁省教育厅高等学校科学研究基金资助项目(2004C031) 作者简介:吴晓婷(19852),女(蒙古族),内蒙古呼伦贝尔人,硕士研究生,主要研究方向为数据降维、模式识别等(xiaoting wu85@hot m ail .com );闫德勤(19622),男,博士,主要研究方向为模式识别、数字水印和数据挖掘等.数据降维方法分析与研究3吴晓婷,闫德勤(辽宁师范大学计算机与信息技术学院,辽宁大连116081)摘 要:全面总结现有的数据降维方法,对具有代表性的降维方法进行了系统分类,详细地阐述了典型的降维方法,并从算法的时间复杂度和优缺点两方面对这些算法进行了深入的分析和比较。
最后提出了数据降维中仍待解决的问题。
关键词:数据降维;主成分分析;局部线性嵌入;等度规映射;计算复杂度中图分类号:TP301 文献标志码:A 文章编号:100123695(2009)0822832204doi:10.3969/j .jssn .100123695.2009.08.008Analysis and research on method of data dimensi onality reducti onWU Xiao 2ting,Y AN De 2qin(School of Co m puter &Infor m ation Technology,L iaoning N or m al U niversity,D alian L iaoning 116081,China )Abstract:This paper gave a comp rehensive su mmarizati on of existing di m ensi onality reducti on methods,as well as made aclassificati on t o the rep resentative methods systematically and described s ome typ ical methods in detail.Further more,it deep ly analyzed and compared these methods by their computati onal comp lexity and their advantages and disadvantages .Finally,it p r oposed the crucial p r oble m s which needed t o be res olved in future work in data di m ensi onality reducti on .Key words:data di m ensi onality reducti on;p rinci pal component analysis (PCA );l ocally linear e mbedding (LLE );is ometric mapp ing;computati onal comp lexity 近年来,数据降维在许多领域起着越来越重要的作用。
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摘 要 : 全面总结现有的数据降维方法 ,对具有代表性的降维方法进行了系统分类 , 详细地阐述了典型的降维 方法 ,并从算法的时间复杂度和优缺点两方面对这些算法进行了深入的分析和比较 。最后提出了数据降维中仍 待解决的问题 。 关键词 : 数据降维 ; 主成分分析 ; 局部线性嵌入 ; 等度规映射 ; 计算复杂度 中图分类号 : TP301 文献标志码 : A 文章编号 : 1001 23695 ( 2009 ) 08 22832 204
给出 。 2 ) MDS
MDS 是保留数据点间相似性或距离的一种非线性降维
[8 ]
称为正类和负类 )问题 ,希望投影后得到的 y = w T x 能够使得
J ( w ) 最大 :
2 J (w ) = ‖m 1 - m 2 ‖2 / (σ2 1 - σ2 )
方法 。MDS可分为度量性 MDS和非度量性 MDS。度量 MDS 利用数据点间的距离或相似性获得数据的低维几何表示 ,而非 度量 MDS仅利用原始数据点间的顺序信息来获得其低维表 示 。前者将距离平方阵转换为内积阵 ,通过求内积阵的特征值 和特征向量获取低维表示 ; 后者采用迭代方法 。下面主要介绍 度量性 MDS。 设 X = ( X1 , X2 , …, XN ) 是 D 维空间中的一个包含 N 个样 本点的数据集 , d ( X i , X j ) 表示数据点 X i 与 X j 之间的欧式距 离 ,即
典型的降维方法
1 线性降维方法
1) PCA PCA 是通过对原始变量的相关矩阵或协方差矩阵内部
[1 ]
…
T YN = a1N X 1 + a2N X 2 + … + aNN XN = aN X
( 1)
若用 Y1 代替原来的 n 个变量 , 则要求 Y1 尽可能多地反映 原来 n 个变量的信息 。而方差 var ( Y1 ) 越大则表示 Y1 包含的
T max a 1 C a1 T s . t . a1 a1 = 1 T 1 T 1
Φ k v ( k = 1, 2, …, N ) 。因为 v 是在 {Φ i }生成的 即有 Φ k C v =λ 空间中 ,所以 v可以表示为
αΦ v=∑ i i
i
( 7)
( 2)
将式 ( 7 ) 带入式 ( 6 ) , 有
Abstract: This paper gave a comp rehensive summarization of existing dim ensionality reduction methods, as well as made a classification to the rep resentative methods systematically and described some typ ical methods in detail. Furthermore, it deep ly analyzed and compared these methods by their computational comp lexity and their advantages and disadvantages . Finally, it p roposed the crucial p roblem s which needed to be resolved in future wo rk in data dim ensionality reduction. Key words: data dim ensionality reduction; p rincipal component analysis ( PCA ) ; locally linear embedding (LLE ) ; isometric mapp ing; computational comp lexity
射 , M : X →Y, x →y =M ( x) , 称 y 为 x 的低维表示 。 目前已经提出了许多降维方法 [ 1～6 ] ,主要包括主成分分析 ( PCA ) 、 多维尺度分析 ( multidim ensional scaling, MDS) 以及近 年来提出的基于流形学习的算法 , 如 Isomap、 局部线性嵌入 (LLE) 、 拉普拉斯特征映射 ( Lap lacian Eigenmap s) 等 。对现有 的降维方法 ,可以从不同角度进行分类 。从待处理的数据的性 质角度考虑可分为线性和非线性的 ; 从算法执行的过程可分为 基于特征值求解的方法和迭代方法 ; 从几何结构的保留角度考 虑可分为全局方法和局部方法 。本文依据降维方法间的主要 区别 ,将现有的降维方法进行了系统的分类 ,如图 1 所示 ,并对 几种典型的线性和非线性降维方法进行了详细的阐述 ,最后对 这些降维方法进行了系统的分析比较 。
d ( X i , X j ) = ‖X i - X j ‖2 = ( ∑ ( xk i - xk j ) 2 ) 1 / 2
k =1 D
( 3)
σ2 是 其中 : m 1 、 m 2 分别是正 、 负样本在投影方向上的均值 ;σ1 、 正、 负样本在投影方向上方差 。可将其推广到多类问题 , 此时 希望找到的优化方向是使得在低维空间中同类数据尽量靠近 , 而非同类数据尽量分离 , 从而保留丰富的辨别信息 , 使投影后 的数据具有最大的可分性 。此时 , Fisher准则可修正为
Y = { y i } i = 1是 d ( d < < D ) 维空间中的一个数据集 ; b ) 降维 映
N
结构的研究 ,将多个变量转换为少数几个综合变量即主成分 , 从而达到降维目的的一种线性降维方法 。这些主成分能够反 映原始变量的绝大部分信息 ,它们通常表示为原始变量的线性 组合 。
线性方法
( m < < n ) 个主成分 。m 的选取根据前 m 个主成分的累计贡
立 , 因此可用
～
Kij = Kij - ( 1 /N ) ∑ K il - ( 1 /N ) ∑ K jl - ( 1 /N 2 )
l=1 l=1
N
N
l, m = 1
∑ K lm
N
( 9)
代替式 ( 8 ) 中的 K。为了获取低维表示 , 数据被投影到协方差 矩阵的特征向量 vi 上 , 投影结果 (即低维数据表示 Y) 由
近年来 ,数据降维在许多领域起着越来越重要的作用 。通 过数据降维可以减轻维数灾难和高维空间中其他不相关属性 , 从而促进高维数据的分类 、 可视化及压缩 。所谓数据降维是指 通过线性或非线性映射将样本从高维空间映射到低维空间 ,从 而获得高维数据的一个有意义的低维表示的过程 。数据降维 的数学描述如下 : a ) X = { x i } N i = 1是 D 维空间中的一个样本集 ,
λ∑ αi (Φ kΦ i ) = ( 1 /N ) ∑ αi (Φ k ∑ Φ j ) (Φ Φ j i)
i=1 i=1 j=1 N N N
通过拉格朗日乘子法求解 ,有 C a 1 =λa 1 。设 λ =λ1 为 C 的最 大特征值 ,则相应的特征向量 a 1 即为所求 。如果 Y1 不能代表
n 个变量的绝大部分信息 , 则可以用同样的方法求得 Y2 甚至 Y3 、 Y4 等 。一般地 , 求 X 的第 i个主成分可通过求 C 的第 i大
PCA LDA
基于重建权值 : LLE 数据降维 保留局部性质 邻接图 Lap lacian: Lap lacian Eigenmap s Hessian LLE 基于切空间 LTSA 非线性方法 基于欧式距离 : MDS 基于距离保持 基于测地线距离 : Isomap 保留全局性质 基于分散距离 : diffusion map s 基于核 : 核 PCA 基于神经网络 : 多层自动编码
T 信息越多 ,因此要求最大化 var ( Y1 ) , 同时限定 a1 a1 = 1 以消
收稿日期 : 2008 211 226; 修回日期 : 2009 201 224 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 60372071) ; 中国科学院自动化研究所复杂系统 与智能科学重点实验室开放课题基金资助项目 ( 20070101) ; 辽宁省教育厅高等学校科学研究基金资助项目 ( 2004C031) 作者简介 : 吴晓婷 ( 1985 2 ) , 女 (蒙古族 ) , 内蒙古呼伦贝尔人 , 硕士研究生 , 主要研究方向为数据降维 、 模式识别等 ( xiaotingwu85 @ hotm ail .
第 26 卷第 8 期 2009 年 8 月
计 算 机 应 用 研 究
App lication Research of Computers
Vol . 26 No. 8 Aug . 2009
数据降维方法分析与研究
吴晓婷 , 闫德勤
3
(辽宁师范大学 计算机与信息技术学院 , 辽宁 大连 116081 )
α1Φ ( x j )Φ ( x) , ∑ α2Φ ( x j )Φ ( x) , …, ∑ αdΦ ( x j λi / ∑ λj 来选取 。 献率 ∑
i=1 j=1
m
n
( 10 )
2) LDA Fisher在 1936 年提出著名的 Fisher准则 , 对于二类 (分别
W op t = arg max | w T SB w | / | w T Sωw |
w
( 4)
其中 : SB 、 Sω 分别是类间分散和类内分散 , 定义为
即
α =λ α K
N
( 8)
λ 其中 : Ki, j =Φ Φ 。对式 ( 8 ) 求解可获得要求 i j 为核矩阵 ,λ = N Φ ( x i ) = 0 一般情况下不成 的特征值和特征向量 。但假设 ∑
i =1
特征值对应的特征向量得到 。为了使它们所含信息互不重叠 , 通常要求它们相互独立 ,即 cov ( Y i , Y j ) = aT i C a j = 0 ( i≠ j) 。 通过上述方法就可以找到线性变换 (式 ( 1 ) ) 的一组线性 基 , 从而找到原始变量的一组综合变量 (主成分 ) 来代替原始 变量 。在实际应用中通常不会使用所有 n 个主成分 , 而选取 m