备战中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、

()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有

P 点的坐标，若不存在请说明理由.

【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当2

3

x =-时，ADE ∆的面积取得最大值50

3

；（3）P 点的坐标为()1,1-，(

1,11-，(1,219--. 【解析】

分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；

（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可． 详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），

∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪

++=⎨⎪=⎩

， 解得：34326a b c ⎧

=-⎪⎪

⎪

=-⎨⎪

=⎪⎪⎩

，

所以二次函数的解析式为：y =233

642

x x -

-+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =1

22

x -

-， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，

设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，1

22

m --）， ∴DF =233642m m -

-+﹣（122m --）=23

84

m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +1

2

DF ×EH =

12×DF ×AG +1

2×DF ×EH =1

2

×4×DF =2×（2

384

m m --+）

=2

325023

3

m -++（）， ∴当m =23-

时，△ADE 的面积取得最大值为503

． （3）y =233

642

x x -

-+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）AE 16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 29n +212n ++（）

n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 29n +16425+=n =11，此时点P 坐标为（﹣1，

11）；

当PE =AE 212n ++（）

16425+=n =﹣219P 坐标为：

（﹣1，﹣219

±）．

综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11

±），（﹣1，﹣219

±）．

点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C （0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣

2,23）

5

5 4

m

-≤≤

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣3

2

）2﹣

5

4

，然后根

据n的取值得到最小值．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），

∴

10

3

b c

c

--+=

⎧

⎨

=

⎩

，解得b＝2，c＝3．

故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

即B （3，0），

设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′，

则330b k b ''=⎧⎨+=⎩

，

解得：k=-1,b’=3

故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），

∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，

∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，

当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，

∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，

∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，

解2

323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或1

4x y =⎧⎨=⎩ ∴D （1，4）， 此时P （1，2）；

当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴，

∴D 点的纵坐标为3，

代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；

当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴

＝﹣t 2+3t ，

解得t ＝0或t ＝3，

此时P （3）；

综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴E （1，4），

设N （1，n ），则0≤n ≤4，