相似三角形分类整理(超全)

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的相似比，当且仅当它们全等时，才有
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s o m ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；
③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．
(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：
判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示：
①有平行线时，用上节学习的预备定理；
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；
③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．
例1.如图三角形ABC 中，点E 为BC 的中点，过点E 作一条直线交AB 于D 点，与AC 的延长线将于F 点，且FD=3ED ，求证：AF=3CF
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示：
①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．
③如图，可简单记为：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，则△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．
直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*AB
CD 2=AD*BD
BC 2=BD*AB
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例5. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC ∆于F ，FG AB 于G ，求证：FG =CF BF ⊥2
∙
四、作中线
例6 如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求ABC ∆AC 。

五、过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。

然后再应用三点定形法确定相似三角形。

只要代换得当，问题往往可以得到解决。

当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ．
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s o 二：相似三角形中的动点问题：
1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．
2.如图，在△ABC 中，ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q
以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．
（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；
②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；
（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．
3.如图1，在Rt △ABC 中，ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；
（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？
4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．
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o （1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s
的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
三、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数
y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达
式．
7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的
异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着
直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．
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e 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么D 点的坐标为（）
A. B.
C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x ＋2与坐标轴交于A 、B 两点．以AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD ，使
得矩形的两边之比
为1﹕2。

求C 、D 两点的坐标。

四、构造相似辅助线——A 、X 字型
11.如图：△ABC 中，D 是AB 上一点，AD=AC ，BC 边上的中线AE 交CD 于F 。

求证：
12.四边形ABCD 中，AC 为AB 、AD 的比例中项，且AC 平分∠DAB 。

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s o 求证：
13.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝b ，CD ＝a ，E 为AD 边上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当
时，EF=
；(2)当
时，
EF=
；
(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a 、b 和k 表示
EF 的一般结论，并给出证明．
14.已知：如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE ＝EF ＝FC 。

求BN ：NQ ：QM ．
15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
．（注：
重心是三角形三条中线的交点） （2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成
的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．。