高数复习题

高斯公式

知识点：注意高斯公式的条件（1）（2）和

结论（3）：

（1）. 认清,,P Q R 的表达式；,,x

y

z

P Q R 在有

界空间闭区域Ω上要连续；

（2）. 空间区域Ω的边界封闭曲面∑=∂Ω在

公式中取的是外侧。 （3）.代高斯公式计算

()x

y z Pdydz Q dzdx Rdxdy P

Q R dxdydz

∑

Ω

++=

++⎰⎰

⎰⎰⎰ 。

例题

1．利用高斯公式计算

(sin )(2cos )(3sin )x yz yz dydz y zx zx dzdx z xy xy dxdy ∑

-+++-⎰⎰ ，其

中

（1）∑为由柱面2

2

2

x y a +=及平面0z =，z h =所围成的空间域Ω的整个边界曲面的外側。 (2) ∑是由平面0x y z a ++=>与

0,0,0x y z ===所围成的闭区域Ω的封闭曲面的外侧。

2．计算对坐标的曲面积分

22

x y

e dxdy

+∑

⎰⎰，

其中

∑

是球面222

4x y z ++=的外側在

0z ≥的部分。

3．利用高斯公式计算曲面积分

222

()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy

∑

+++++⎰⎰

，其中∑是

由平面1x y z ++=与所0,0,0x y z ===围成的闭区域Ω的封闭曲面的外侧。

4．利用高斯公式计算曲面积分

222

()()()x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy

∑

+++++⎰⎰

，其中∑是

由平面1x y z ++=与0,0,0x y z ===所围成区域Ω的封闭曲面的外侧。

1， 若)31(,1:2

2≤≤-=+∑y y z x ，其法向量与y 轴正向夹角恒大于2π

求

yzdxdy

dzdx y dydz

y x 4)1(2)18(2

--++⎰⎰∑

。

Green 公式

知识点：注意格林公式的条件（1）（2）和

结论（3）： （1）. 认清,P Q 的表达式；,

x y

Q P 在闭

区域D 上要连续；

（2）. 闭区域D 的边界L 在公式中取的是

正向（单连通区域时取逆时针方向）。 （3）.代格林公式计算()x

y L

D

Pdx Q dy Q

P dxdy

+=

-⎰

⎰⎰ 。

例题

1．利用格林公式计算曲线积分

22

(92sin )cos L

y xy x dx x dy

-+⎰

，其中L 为圆周

2

2

1x y +=，取逆时针方向。

2．利用格林公式计算曲线积分22

(52sin )cos L

y xy x dx x dy

-+⎰

，其中L 为圆周

2

2

1

x y +=，取逆时针方向。

8、设曲线L 为圆周9

2

2

=+y

x ，顺时针方

向，求+

-⎰dx y xy L

)22( dy x x )4(2

-的值

8、计算cos d (sin )d x

x

L

e y x e y x y

-+⎰

，L 为圆

2

2

(1)1

x y -+= 的上半圆周从(2,0)A 到

(0,0)O .

多元函数微分法

1、求极限10

sin 3lim

x y xy y

→→。2

、00

lim

1x y xy →→-

求极限

2

2

lim y x y

x →→+

1．设

5arctan

x

z y =，求(1,1)

z

x

-∂∂，2

z

x y ∂∂∂。

2．设9y

z xe

y =+，求全微分dz 。

3．设2

2

(,2)z f xy x y =+，f 具有二阶连续偏导数，求2

,z

z

x x y ∂∂∂∂∂。

2、设

3

(,

)

y

z f xy x x =，其中f 具有二阶连

续偏导数，求2

z

x y ∂∂∂。

4．设(,)z z x y =是由

222

60x y z z ++-=确定的函数，求z

x ∂∂

设

2

2

,0x

z xyz e z

∂∂=-求

5．求曲面2

2

2z x y =+在点(1,1,3)处的切平面方程

6．求函数

22

(,)612f x y x xy y x y =++--的极值。

*十七、设22

22

223/2

22

,0,()

()0,

0x y x y x y f x x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

证明：(,)f x y 在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微分。

证明函数z =在点(0,0)处不可

微分. 重积分