六大基本初等函数图像及其性质
基本初等函数的图像与性质
在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。
一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。
它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。
二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。
幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。
3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。
② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。
③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。
2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。
基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数1(yf (xx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4) ()n n n b a ab=b.根式的性质；(1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂； (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，f xxxx g ⎪⎫⎛=1)(记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
六大基本初等函数图像及其性质(总12页)
六大基本初等函数图像及其性质(总12页)抛物线函数 y = x^2- 图像为开口朝上的抛物线，顶点在原点(0,0)- 奇函数，即f(-x) = -f(x)- 定义域为全体实数，值域为[0, +∞)- 极值点为顶点(0,0)，不存在最大值和最小值- 函数单调递增且无拐点反比例函数 y = 1/x-tu.grid正比例函数 y = x- 图像为平面直线，通过原点(0,0)- 定义域为全体实数，值域为全体实数- 函数单调递增，无拐点- 斜率代表变化率，斜率越大表示变化速度越快，斜率为正则表示函数单调增加，斜率为负则表示函数单调减少指数函数 y = a^x (a>0且a≠1)- 图像为上凸曲线，通过点(0,1)- 定义域为全体实数，值域为(0,+∞)- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值加速增大或减小对数函数y = logₐ(x) (a>0且a≠1)- 反指数函数，图像和指数函数的图像呈镜像关系- 定义域为(0,+∞)，值域为全体实数- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值增长速度逐渐变慢三角函数 y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x)- 正弦函数图像为周期性上下波动的连续曲线，取值范围[-1, 1] - 余弦函数图像为周期性波动的连续曲线，取值范围[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数是周期性函数，周期为2π- 正切函数图像为周期性波动的连续曲线，定义域为实数集合-{(2n + 1)π/2 | n∈Z}，值域为全体实数这些基本初等函数的图像和性质对数学的学习和应用有着重要的作用，掌握这些函数的图像及其性质，有助于理解数学问题的规律，并能够在实际问题中进行分析和求解。
6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)-完美版
基本初等函数及图形(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）(2) 幂函数 μx y =，μ是常数；(3) 指数函数 xa y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(4) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；(5) 三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； (6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；2. 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x 为何值,y 总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数 a):其图形总位于y 轴右侧,并过(1,0)点b):当a ＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(1,+∞)的值为正；在定义域内单调增.幂函数(a 为任意实数)这里只画出部分函数图形的一部分。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
河南专升本六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y=C（其中C为常数）；αy=x y=x2y=x3R R RR[0,+∞)R奇偶奇增[0,+∞)增增(-∞,0]减y y=x2 y=x2x-1O1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ∈(-∞,+∞)，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数；3）当α为正有理数m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0,+∞），n 为奇数时函数的定义域为（-n∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数y =a x(x 是自变量,a 是常数且a >0，a ≠1)，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：y(0,1)Oy =ax(a >1)y =1xy =ax(0<a <1)y(0,1)Oy =1x2.指数函数的性质；1））当a >1时函数为单调增,当0<a <1时函数为单调减；2））不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方；3））当x =0时,y =1,所以它的图形通过(0,1)点。
⎩=*=3.（选，补充）指数函数值的大小比较a ∈N *；a.底数互为倒数的两个指数函数⎛1⎫xf (x )=a x，f (x )= ⎪⎝a ⎭的函数图像关于y 轴对称。
h (x )=3xf (x )=2xy(0,1)b.1.当a >1时，a 值越大，y =a x的图像越靠近y 轴；Ox⎛1⎫xg (x )= ⎪y⎝3⎭⎛1⎫xq (x )= ⎪b.2.当0<a <1时，a 值越大，y =a x的图像越远离y 轴。
(完整版)六大基本初等函数图像与性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质六大基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
1. 常数函数：y = c，其中c是一个常数。
常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，与y轴相距c个单位。
它没有自变量的限制，函数值始终为常数。
2. 幂函数：y = x^n，其中n是任意实数。
幂函数的图像依赖于指数n的符号及大小。
当n为正数时，随着x的增大，函数值也增大；当n为负数时，随着x的增大，函数值减小。
若n为奇数，图像穿过原点；若n为偶数，图像在原点有一个极小值或极大值。
3. 指数函数：y = a^x，其中a是一个正数且不等于1。
指数函数的图像是递增或递减的曲线。
如果a大于1，函数图像是递增的，如果a在0和1之间，函数图像是递减的。
指数函数没有定义域的限制，但其值范围从0到正无穷大。
4. 对数函数：y = log_a(x)，其中a是一个正数且不等于1。
对数函数的图像与指数函数的图像是关于直线y = x对称的。
当x在0到正无穷大之间变化时，函数值从负无穷大逐渐增大到正无穷大。
对数函数的定义域为正实数，值域为负无穷大到正无穷大。
5. 三角函数：包括正弦函数y = sin(x)，余弦函数y = cos(x)，正切函数y = tan(x)，割函数y = sec(x)，余割函数y = csc(x)，和余切函数y = cot(x)。
三角函数的图像是周期性的波形，沿x 轴变化。
例如，正弦函数和余弦函数的图像是在[-π, π]范围上的曲线。
正弦函数的值域在[-1, 1]之间，余弦函数的值域也在[-1, 1]之间。
6. 反三角函数：包括反正弦函数y = arcsin(x)，反余弦函数y = arccos(x)，反正切函数y = arctan(x)，反割函数y = arcsec(x)，反余割函数y = arccsc(x)，和反余切函数y = arccot(x)。
反三角函数的图像是由对应的三角函数的图像上截取而来的。
六大基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
基本初等函数图像及性质大全
一、一次函数与二次函数 〔一〕一次函数〔1〕二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ 〔2〕求二次函数解析式的方法 ①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常使用顶点式． ③假设抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求()f x 更方便． 〔3〕二次函数图象的性质定义域(),-∞+∞对称轴2b x a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域24,4ac b a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减 ,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．二、幂函数 〔1〕幂函数的定义叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 〔2过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．三、指数函数〔1〕根式的概念：假如,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． 〔2〕分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 〔3〕运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 〔4〕指数函数四、对数函数 〔1〕对数的定义①假设(0,1)x a N a a =>≠且，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 〔2〕几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．〔3〕常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N 〔其中 2.71828e =…〕． 〔4〕对数的运算性质 假如0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且〔5〕对数函数③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （3）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③假设(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，那么'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数那么它必须为单调函数．六、三角函数的图像和性质 〔一〕正弦与余函数的图像与性质 函数x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域[]1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时， 单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减 奇偶性 奇函数偶函数周期性是周期函数，2π为最小正周期是周期函数，2π为最小正周期对称性对称中心(,0)k π， :,()2x k k Z ππ=+∈对称轴 对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质 函数 x y tan = x y cot =图像定域义{|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 {|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域 RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π七、反三角函数的图像与性质 1. 反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义[]1,1-[]1,1-值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π 单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无 无 对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数反余切函数arccot y x =是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义(,,)-∞+∞ (,,)-∞+∞ 值域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ()0,π 单调性 (,,)-∞+∞在上递增 (,,)-∞+∞在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶周期性 无 无对称性对称中心〔0，0〕 对称中心〔0，π/2〕。
基本初等函数图像及性质
基本初等函数图像及性质六大基本初等函数图像及其性质一、常数函数（也称常值函数）y=C（其中C为常数）；常数函数（y=C）是平行于x轴的直线，定义域为R，值域为{C}，非奇非偶，单调性为不变，公共点为(0,C)。
二、幂函数y=x^α，x是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：当α为正整数时，函数的图像都经过原点，并且在原点处与x轴相切。
当α为奇数时，图像关于原点对称；当α为偶数时，图像关于y轴对称。
2.幂函数的性质：函数。
定义域。
值域。
奇偶性。
单调性。
公共点y=x^2.R。
[0,+∞)。
偶。
增。
(0,0)y=x。
R。
R。
非奇非偶。
增。
(0,0)y=x^3.R。
R。
奇。
增。
(0,0)y=x^-1.{x|x≠0}。
{y|y≠0}。
奇。
(-∞,0)减。
(-1,0)∪(0,1)三、指数函数y=a^x（a>1且a≠1），定义域为R，为无界函数。
1.指数函数的图像：当a>1时，图像是单调增的曲线，经过点(0,1)；当0<a<1时，图像是单调减的曲线，也经过点(0,1)。
2.指数函数的性质：函数。
定义域。
值域。
奇偶性。
单调性。
公共点y=a^x(a>1)。
R。
(0,+∞)。
非奇非偶。
增。
(0,1)y=a^x(0<a<1)。
R。
(0,1)。
非奇非偶。
减。
(0,1)本文介绍了指数函数和对数函数的基本概念和性质。
首先，介绍了指数函数的图像和比较大小的方法。
当底数互为倒数时，两个指数函数的图像关于y轴对称。
当底数大于1时，指数函数的值随着底数的增大而增大；当底数小于1时，指数函数的值随着底数的增大而减小。
其次，介绍了指数的运算法则，包括整数指数幂的运算性质和分数指数幂的运算性质。
其中，整数指数幂的运算性质包括指数相加、相减和相乘的规律；分数指数幂的运算性质包括分数指数幂的乘方和除法的规律。
接着，介绍了对数函数的概念和性质。
对数函数是指底数为常数且大于1的指数函数的反函数。
常用对数是以10为底的对数，自然对数是以无理数e为底的对数。
基本初等函数图像及性质
基本初等函数图像及性质
在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，这六类函数称为基本初等函数。
基本初等函数图像（常数函数）。
y=c或f(x)=c,x∈R,其中c是常数。
它的图像是通过点（0，c），且平行x轴的直线，如下图所示：
常数函数的图像。
基本初等函数的(常数函数)性质：
1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数。
2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当c=0时，它还是奇函数。
6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础) 完美版
基本初等函数及图形(1) 常值函数(也称常数函数) y =c(其中c 为常数)(2) 幂函数,就是常数;(3) 指数函数 (就是常数且),;(4) 对数函数(就是常数且),;(5) 三角函数正弦函数,,, 1、当u为正整数时,函数得定义域为区间,她们得图形都经过原点,并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u为奇数时,图形关于原点对称;u为偶数时图形关于Y轴对称;2、当u为负整数时。
函数得定义域为除去x=0得所有实数。
3、当u为正有理数m/n时,n为偶数时函数得定义域为(0, +),n为奇数时函数得定义域为(-+)。
函数得图形均经过原点与(1 ,1)、如果m>n图形于x轴相切,如果m<n,图形于y轴相切,且m为偶数时,还跟y轴对称;m,n均为奇数时,跟原点对称4、当u为负有理数时,n为偶数时,函数得定义域为大于零得一切实数;n为奇数时,定义域为去除x=0以外得一切实数、1、当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减、2、不论x为何值,y总就是正得,图形在x轴上方、3、当x=0时,y=1,所以她得图形通过(0,1)点、1.她得图形为于y轴得右方、并通过点(1,0)2.当a>1时在区间(0,1),y得值为负、图形位于x得下方,在区间(1, +),y值为正,图形位于x轴上方、在定义域就是单调增函数、a<1在实用中很少用到/余弦函数,,,正切函数,,,,余切函数,,,;(6)反三角函数反正弦函数,,,反余弦函数,,,反正切函数,,,反余切函数,,.小结:函数名称函数得记号函数得图形函数得性质指数函数a):不论x为何值,y总为正数;b):当x=0时,y=1、对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a＞1时,在区间(0,1)得值为负;在区间(1,+∞)得值为正;在定义域内单调增、幂函数(a为任意实数) 这里只画出部分函数图形得一部分。
令a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y就是偶函数;b):当m,n都就是奇数时,y就是奇函数;c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义、三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数就是以2π为周期得周期函数b):正弦函数就是奇函数且。
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六大基本初等函数图像及其性质、常值函数（也称常数函数）y 二C （其中C 为常数）；常数函数（y C ）C 0C 0y J--------------- y C1 --------------------------------------------------xy ，y oOO平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R，x 是自变量，是常数；1y x ；>/ / /■ jf Jr性 质 函数7、 y x2y x3y x1 2y x 21y x定义域 R R R [0,+ g ) {x|x 工 0} 值域 R [0,+ g ) R [0,+ g ){y|y 丰 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+ g )增 增 增(0,+g )减 (-g ,0]减(-g ,0)减公共点(1,1)1）当为正整数时，函数的定义域为区间为），他们的图形都经过原点，并当a二、幕函数1.幕函数的图像>1时2）当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数;3）当a 为正有理数 m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +8）, n 为奇数时函数的定义域为（n8 , + m），函数的图形均经过原点和（1 ,1 ）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果 m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m , n 均为奇数时，跟原点对称;5）当a 为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数; 除x=0以外的一切实数。
［无界函数］1•指数函数的图象：7、性质 函数y a X (a 1)y a X (0 a 1)定义域 R 值域(0, +8)奇偶性 非奇非偶公共点过点（0, 1）,即X 0时，y 1单调性在（，）是增函数在（，）是减函数当a 1时函数为单调增,当0 a 1时函数为单调减； 不论x 为何值，y 总是正的，图形在x 轴上方； 当X 0时，y 1,所以它的图形通过（0,1）点。
*n 为奇数时，定义域为去三、指数函数y（X 是自变量,a 是常数且a 01)，定义域是R ；3. （选，补充）指数函数值的大小比较 a Nf(x) a•底数互为倒数的两个指数函数xf(x) a x, f (x)a的函数图像关于y轴对称.当a 1时，a值越大,的图像越靠近y轴;x .当0 a 1时，a值越大，y a的图像越远离y轴。
xx4•指数的运算法则(公式)；；(2)当n为奇数时,(1)m a n a m n am n m n⑵a a am n nm nm⑶ a a a⑷ab n a n b na.整数指数幕的运算性质(a 0,m,n Q)；b.根式的性质；四、对数函数y log a X(a是常数且a当n为偶数时,c.分数指数幕;m(1) a n V ma(a1n maa (aa(a0)0)0, m,n(a0,a 1 )，定义域x1)0, m,nZ ,n 1)(0, )［无界］1.对数的概念：如果a(a>0，1)的b次幕等于N，就是a b N，那么数b叫做以a为底N的对数,记作log a N b ,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子log a N叫做对数式。
对数函数y lOg a X与指数函数y a x互为反函数，所以y lOg a X的图象与y a x的图象关于直线y x对称。
2.常用对数：log io N的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作lg N。
3•自然对数：使用以无理数e 2.7182为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数log e N简记作ln N。
4. 对数函数的图象：y I x 1 y 1 x 1y log a x (a i) 「5. 对数函数的性质；性质y log a x y log a x 函数\\(a 1) (0 a 1)定义域(0, +x)值域R奇偶性非奇非偶公共点过点(1, 0),即x 1 时，y 0单调性在（0,+8）上是增函数在（0,+8）上是减函数1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点（1,0）；2）当a 1时，在区间（0,1）, y的值为负，图形位于x的下方；在区间（1, + ），y值为正，图形位于x轴上方，在定义域是单调增函数。
a 1在实际中很少用到。
a.底数互为倒数的两个对数函数y log a x，y log^xa *6.（选，补充）对数函数值的大小比较 a Nd.对数运算性质(1)1的对数是零，即log a 10 ;同理ln1 0或lg1 0⑵底数的对数等于1,即log a a 1;同理ln e 1或lg10 1五、三角函数1.正弦函数y sin x ,有界函数，定义域 x (,)，值域y [ 1, 1]3图象：五点作图法：0, — ,, — , 22 2gx•当a 1时，a 值越大，f(X ) log a x•当(0 a 1)时，a 值越大， f (X) lOg a X 的图像越远离x 轴。
7.对数的运算法则(公式)；a.如果 a > 0, a 工 1, M > 0, N >0，那么:log i x 3C.换底公式:log a MN log a M log a Nlog a Mlog a M log a N Nlog a M n n log a Mb.对数恒等式：a log a N N (a 0且a 1, N 0)(1)log b N loga N ( a 0,a1，一般常常log a b换为e 或10为底的对数，即log b Nlog b NlgN lgb(2)由公式和运算性质推倒的结论:log a nb nmlog a bln N lnb的函数图像关于 x 轴对称。
3图象：五点作图法：0, — , , — , 23.y tan x的图像5.余切函数y cotx，无界函数，定义域x|x k ,k Z ,y （,）yiy cotx的图像6.7.正割函数y secx，无界函数，定义域x|x k —,（k Z），值域|sec* 1 y 4 2y secx的图像y cscx的图像、、、、性质函数'、、y secx (k Z) y cscx (k Z)定义域x x — k2 *X k值域(，1] [1,) (，1] [1,) 奇偶性偶函数奇函数周期性T 2 T 2单调性3(2k -,2k ) (2k ,2k —)减(2k ,2k -) (2k -,2k )增3 亠(2k ,2k 三)(2k —,2k 2 )减(2k 2,2k ) (2k ,2k 青)增性质函数、、y secx (k Z) y cscx (k Z)对称中心(k2,0)(k ,0)对称轴x k x — k2渐近线x —k2x k六、反三角函数9.正、余割函数的性质;1•反正弦函数 yarcsinx ，无界函数，定义域 卜1,1］，值域［0,］A .反正弦函数的概念： 正弦函数y sin x 在区间 ， 上的反函数称为反正弦函数，记为2 2y arcs in x2•反余弦弦函数 y arccosx ，无界函数，定义域［-1,1］，值域［0,］性质函数 y arcs in xy arccosx定义域 [-1,1][-1,1]值域[0,][0,]奇偶性 奇函数 非奇非偶函数单调性增函数减函数4•反正切函数 ，有界函数，定义域 x (,)，值域一，一2 2y arcta nx5•反余切函数 y arccotx ，有界函数，定义域 x (,),值域0,y arc cot xc 反正切函数的概念： 正切函数 y tan x 在区间 ---- 上的反函数称为反正切函数，记为2 2D.反余切函数的概念:余切函数 y cotx 在区间 0,上的反函数称为反余切函数，记为3•反正、余弦函数的性质;y arc cot x的图像三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角的终边上任取一点P(x, y)，记：r x2y2正弦：sin yr余弦：cosx r正切：tan y 余切：cot xx y正割：sec r余割：cscrx y 、同角三角函数的基本关系式y arcta nx的图像倒数关系：sin csc 1， cossec1， tan cot1商数关系：tansin ，cotcoscos sin平方关系：sin 2cos 21, 1tan 22 2 2sec ， 1 cotcsc三、诱导公式x 轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限; y 轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。
四、和角公式和差角公式sin( ) sin cos cos sin ta n()tantan sin( ) sin cos cos sin 1 tan tan cos( ) cos cos sin sin ta n( )tan tan cos()coscossinsin1 tantan五、二倍角公式sin 2 2sin cos丄 o2ta ntan2 -------------1 tan2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幕扩角，升幕缩角）六、三倍角公式sin 3 3si n 4s in 3 4si n sin (—3)sin(-)cos 34 cos 33 cos4 cos cos(—3 )cos(?) tan 33ta n tan 3tantan(3)tan(§)1 3tan 2七、和差化积公式八、辅助角公式21 cos2 2cos 21 cos2 2sin21 sin 2(sincos )21 sin2 (sin cos )2cos1 cos2. 2sin1 sin2 tan1 cos2 si n2sin 2 1 cos 2sin sin 2si n ------------------ cos -----2 2 sin sin 2 cos ------------------ s incoscos 2 cos cos2 2 cos cos2 si nsin22/ 2 2a sinx bcosx v ab sin （x）其中：角 的终边所在的象限与点（a,b ）所在的象限相同,0, 0)周期：T 2周期：T十、正弦定理1^一、余弦定理a 2b 2c 2 2bc cos A2 2 2b ac 2ac cosB2 2 2 cab 2ab cosCsinb』cos、、a 2 b 2 'a\ a 2 b 2tan九、 三角函数的周期公式 函数 y Asin( xx R 及函数y Acos( x )，x R(A,,,为常数,函数 y Atan( x尹Z （A，， ,为常数，且AO,0）a b sin A sinBcsi nC 2R （ R 为ABC 外接圆半径）。