可测函数(知识题)

第四章 可测函数习题4-1-P108 P1081、证明E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数. 证明：设∑==ii km k E i ki x cx 1)()()()(χψ,2,1=i ,为E 上的两个简单函数,那么∑∑∑∑=======121111)1()1(1)2(1)1(m i m j j i m k km k kE E EEE ,于是∑∑==+=+2)2(1)1(1)2(1)1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x jiχχψψ∑∑∑∑====+=21)2()1(12)2()1(11)2(11)1()()()()(m j m i E E jm i m j E E ix x cx x cji ji χχχχ∑∑==+=12)2()1(11)2()1()()()(m i m j E E jix x c c jiχχ∑∑==+=12)2()1(11)2()1()()(m i m j E E j i x c c ji χ,∑∑===2)2(1)1(1)2(1)1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x jiχχψψ∑∑∑∑======12)2()1(12)2()1(11)2()1(11)2()1()()()(m i m j E E j i m i m j E E ji x c c x x c c ji jiχχχ,所以)()(21x x ψψ+与)()(21x x ψψ都是E 上的简单函数.2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.3、设+∞<mE ,)(x f 是E 上的几乎处处有限的非负可测函数,证明对任意0>ε,都有闭集E F ⊂,使ε<-)(F E m ,而在F 上)(x f 是有界的.证明：显然M ↓⊂>=])(;[m x f x E D m ,E Dx f x E D m m⊂=+∞==∞= 1])(;[,由于+∞<mE ,有0)(lim 1===∞=∞→mD Dm mD m mm m ,于是 0>∀ε,+∈∃N M ..t s 2ε<M mD ,对于M ∈-=M M D E E ,∃闭集E E F M ⊂⊂..t s 2)(ε<-F E m M , 有ε<-+=-+-=-)()()()(F E m mD F E m E E m F E m M M M M , 显然在cM M D E F ⊂⊂上, M x f ≤≤)(0.4、设)}({x f m 是可测集合E 上的非负可测函数序列,证明：如果对任意0>ε,都有+∞<>∑∞=1])(;[m mx fx mE ε,则必有0)(lim =∞→x f m m ..e a E .又问这一命题的逆命题是否成立？证明：(1)} , 0)(lim |{E x x f x D x m m ∈≠=∈∀∞→,00>∃ε,+∈∀N N ,N m >∃..t s 0)(ε>x f m , 即 ∞=>⊂Nm mx fx E D ])(;[0ε,因+∞<>∑∞=10])(;[m mx fx E ε,有0])(;[0→>≤∑∞=Nm mx fx mE mD ε,∞→N , 即0=mD ,所以0)(lim =∞→x f m m ..e a E .(2)取非负M ∈=-)()(],1[x x f m m m χ,R =E ,显然0)(lim =∞→x f m m ,当然0)(lim =∞→x f m m ..e a E ,由于1],1[]1)(;[=-=>m m m x f x m m ,有+∞=>∑∞=1]1)(;[m m x f x mE ,可见逆命题不成立.5、设+∞<mE ,)(x f 在E 上非负可测,证明对任意y ,])(;[y x f x E E y ==都是可测的,进而证明使0>y mE 的y 最多有可数多个.证明：(1)由条件知,+∈∀N k , M ∈+<≤]1)(;[ky x f y x E ,则M ∈+<≤===∞= 1]1)(;[])(;[k y k y x f y x E y x f x E E .(2)由于21y y ≠时, φ=21y y E E ,记}1|{kmE y B y k >=,于是}0|{>=y y mE E A ∞==>=1}0|{~k k y B mE y B ,又因+∞<mE ,则k B 只能是有限集,否则必有可数k i E y ∈..t s∞=⊃1i y i E E ,+∞=≥=≥∑∑∞=∞=∞=1111)(i i y i y kmE E m mE i i , 于是a B k ≤,所以a BB A k k≤==∞= 1.6、设实函数)()(nC x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈.证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10n x a x f x G f x R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀, 均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈, 于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f .由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f ,所以)()(E x f M ∈.7、设)(x f 是R 上的单调递增实函数,试证明:)()(R M ∈x f .证明：R ∈∀a ,记)}({inf x f m x R∈=,},)(|{R ∈>=x a x f x E a ,a x E R∈=inf α,因)(x f 递增,若a E ∈α,则M ∈+∞=),[αa E , 若a E ∉α,则M ∈+∞=),(αa E ,所以)()(E x f M ∈.8、证明nR 中可测子集E 上的函数)(x f 可测的充要条件是存在上的一串简单函数)(x k ψ,使)(lim )(x x f k k ψ∞→=于E .证明：)()(E x f M ∈⇔)()(E x f M ∈±⇔∃非负简单函数列)}({x k ±ψ..t s )(lim )(x x f k k ±∞→±=ψ⇔∃简单函数列=)(x k ψ)()(x x kk -+-ψψ..t s)(lim )(lim )()(x x x f x f k k k k -∞→+∞→-+-=-ψψ,即)(lim )(x x f k k ψ∞→=.9、证明；当)(1x f 是pE R ⊂1,)(2y f 是qE R ⊂2中的可测函数,且)(),(21y f x f 在21E E E ⨯=上几乎处处有意义时,)()(21y f x f 是E 上的可测函数. 证明：由条件及上题知, ∃简单函数列)(x i ϕ,)(y j ψ..t s)(lim )(1x x f i i ϕ∞→=,1E x ∈,)(lim )(2x y f j j ψ∞→=,2E y ∈,当然21),(E E y x ⨯∈时,上两式也成立, 由P70.1.知)()(y x j i ψϕ都是简单函数,因)(),(21y f x f 在21E E E ⨯=上几乎处处有意义,有)()(lim lim )(lim )(lim )()(21x x x x x f x f j i j i j j i i ψϕψϕ∞→∞→∞→∞→==..e a E ,所以)()(21y f x f 是E 上的可测函数.10、证明：如果)(x f 是定义于nR 中上的可测子集E 上的函数,则)(x f 在E 上可测的充要条件是对R 中任意Borel 集B ,})(|{)(1B x f x B f ∈=-都是E 的可测子集,如果)(x f 还是连续的,则)(1B f -还是Borel 集.证明：已知R ⊂∀B B i ,,有c c B f B f )]([)(11--=,)()(1111∞=-∞=-=i i i i B f B f , )()(1111∞=-∞=-=i i i i B f B f ,又已知nR 中Borel 集是由开集经过一系列取余集,作可数交,作可数并而得到的集合,因此本题只要对开集证明即可.(1))()(E x f M ∈⇔R ∈<∀b a ,M ∈<<=-})(|{)(1b x f a x B f⇔对R 中任意开集B ,M ∈-)(1B f⇔对R 中任意Borel 集B ,M ∈-)(1B f .(2)如果)()(n C x f R ∈,O ∈∀B ,O ∈-)(1B f⇒对R 中任意Borel 集B ,)(1B f -是Borel 集.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G g f x --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G g f a x f g x , 所以)()]([E x f g M ∈.12、证明：如果函数),,,()(21n x x x f x f =是nR 上的可微函数,则),,,(21n ix x x f x ∂∂,n i ,,2,1 = 都是nR 上的可测函数.证明：因)(x f 可微当然连续, +∈∀N k ,由上题知,)],,,,,(),,1,,,([)(2121n i n i k x x x x f x kx x x f k x -+=ϕ可测,因)(x f 可微,有)(lim ),,,(21x x x x f x k k n iϕ∞→=∂∂,所以),,,(21n ix x x f x ∂∂,n i ,,2,1 =,都是n R 上的可测函数.习题4-2-P113 P1131、举例说明Egoroff 定理中的条件+∞<mE 一般说来是不能取消的. Egoroff 定理：设(1)+∞<mE , )()(),(E x f x f k aF ∈；(2))()(E x f k M ∈,+∈N k ；(3))(lim ~)(x f x f k k E∞→,E x ∈；则0>∀δ,均M ∈∃δE ,满足E E ⊂δ,δδ<-)(E E m ,且)(x f k 在δE 上一致收敛于)(x f .解：取R =E ,+∞=mE ,0)(=x f ,)()()()(],1[E E x x f k k k aF M ∈=-χ,显然)(lim )(x f x f k k ∞→=,当然)(lim ~)(x f x f k k E∞→,取21=∃δ,M ∈∀δE ,虽然满足E E ⊂δ,δδ<-)(E E m ,但+∈∀N k ,记],1[k k I k -=,由于)()()()(1ck k c k k E m I E m I E m I E m mI δδδδ+≤+==有 211)(1)(1)(=->--=-≥δδδδE E m E m I E m ck , 可见+∈∀N k ,必δδE I E x k ⊂∈∃ ..t s 1|)()(|=-x f x f k ,说明)(x f k 在δE 上不一致收敛于)(x f .2、设+∞<mE ,)()(E x f m aF ∈,)()(E x f k M ∈,+∈N k ,0~)(lim Em m x f ∞→,证明M ↑⊂⊂∃}{,k k E E E ,..t s k k mE mE ∞→=lim ,且在每个k E 上)}({x f m 都一致收敛于)(x f .证明：+∈∀N i ,M ∈∃i D ,满足E D i ⊂,i i D E m 21)(<-,且 )}({x f m 在i D 上一致收敛于)(x f ,+∈∀N k ,取E D D E k k m mi i k ⊂↑⊂==∞= 1,M ∈k E ,且)}({x f m 在k E 上一致收敛于)(x f ,由于∞=∞=-1)(m m i i D E m )]([)]([1 ∞=∞=∞=≤=mi c i m m i c iD E m D E m021)()(→<-=≤∑∑∑∞=∞=∞=m i imi i mi c i D E m D E m ,∞→m , 有 0)()(11=-=-∞=∞=∞= m mi ik kD E m E E m ,即k k k k mE E m mE ∞→∞===lim )(1.3、设+∞<mE ,)()(E x f m aF ∈,)()(E x f k M ∈,+∈N k ,0~)(lim Em m x f ∞→,证明必有)}({x f m 的子序列)}({x f k m ,..t s +∞<∑∞=1|)(|k m x fk..e a E .进而证明有非负实数序列}{m t ..t s +∞=∑∞=1m mt而+∞<∑∞=1|)(|m m m x f t ..e a E .证明：(1)由条件及上题知,M ↑⊂∃}{k E ,..t s k k mE mE ∞→=lim ,且在每个E E k ⊂上)}({x f m 都一致收敛于)(x f ,那么+∈∀N k ,+↑∈∃N k m ..t s k m m ≥∀,k E x ∈∀,均有km x f 21|)(|<, 记 ∞==1k kED ,由于0lim )(=-=-∞→k k mE mE D E m ,而∞==∈∀1k k E D x ,+∈∃N 0k ..t s k E x ∈,0k k ≥,有+∞<=≤-∞=∞=∑∑10002121|)(|k k k kk k m x f k , 所以+∞<∑∞=1|)(|k m x fk..e a E .(2)由(1),+∈∀N m ,取⎪⎩⎪⎨⎧∈-≤≤-≤≤=+++,,1 ,1,1 ,1111N k m m m m m m m t k k k k m有 ∑∑∑∑∞=-==∞=++=111111k m m m m m m m m m k k t t t ∑∑∑∞=-=+=+-+=11111111k m m m kk m m k k m m∑∑∞=∞=+++∞=+=--+=1111111k k k k kk m m m m m m ,而∑∑∑∑∞=-==∞=++=111111|)(||)(||)(|k m m m mm m m m m m mm k kx f tx f t x f t∑∑∑∑∑∞=+=∞=-==-+=+≤+1111112)(|)(|2|)(|111k kk k m m m m k m m m k m m m m m m t x f t x f k k+∞<+=+=∑∑∑=∞==1|)(|21|)(|11111m m m k k m m m x f x f ..e a E .4、取消上题中+∞<mE 的限制.证明：若+∞=mE .令)}(,|| |),,,{(21n N i k x x x x I i n k ∈≤= ,有M K ∈=k k I E E , ∞==1k kEE .(1)由上题,知对)}({x f m 有子列)}({,1x f j ,..t s +∞<∑∞=1,1|)(|j jx f..e a 1E ,假设有)}({,1x f j k -,..t s +∞<∑∞=-1,1|)(|j jk x f..e a 1-k E ,对)}({,1x f j k -有子列)}({,x f j k ,..t s +∞<∑∞=1,|)(|j jk x f..e a k E .令)()(,x f x f k k m k =,显然)}({x f k m 是)}({,x f j k 的子列,当然有+∞<∑∞=1|)(|j m x fk..e a k E ,+∈N k ,于是+∞<∑∞=1|)(|j m x fk..e a E .(2)由上题知,+∈∀N k , 有+⊂R }{,j k t ..t s +∞=∑∞=1,m mk t而+∞<∑∞=1,|)(|m m m k x f t ..e a k E ,记10=m ,}{min ,1,1m k m k i m t i -≤≤=τ,+∈∀N i ,1->∃i i m m ..t s 11,1≥∑-=-i i m m m im τ,+∈∀N m ,取+-∈-≤≤=N i m m m t i i i m m ,1 ,1,τ有∑∑∑∑∑∑∞=∞=-=∞=-=∞=+∞=≥==--011,111111k i m m m im i m m m mm mi i i i ttτ,即+∞=∑∞=1m m t ,而+∈∀N k ,+∈∃N r ..t s 1-≤r m k ,有∑∑∑∞=-=∞=--=r i m m m m im m m mm i i r x f x f t1,11|)(||)(|τ+∞<=≤∑∑∑∞=∞=-=--11|)(||)(|,1,r i i m m mm k r i m m m mm k x f tx f t,..e a k E所以+∞<∑∞=1|)(|m m mx f t..e a E .习题4-3-P117 P1171、设E 是有限可测集, )(x f 在上几乎处处有限,则)(x f 可测的充要条件是有一串在整个空间上连续的函数)(x k Φ使)(lim )(x x f k k Φ=∞→..e a E .证明：“充分性”由于)(x k Φ连续当然可测,)(lim )(x x f k k Φ=∞→..e a E ,于是)(x f 可测. “必要性” (1)若 mk kFE 1==,C ∈⊕k F ,∑==mk F k x c x f k1)()(χ,可定义)()(11n C c x R ∈=ϕ,且)()(1x f x =ϕ,11D F x =∈,假设有)()(1nm C x R ∈-ϕ,且)()(1x f x m =-ϕ,111--==∈m m k kD Fx ,那么)(),(),(),()(),()(111n m m m m m m m C F x D x F x x D x c x R ∈++=---ρρρϕρϕ,且)()(x f x m =ϕ,m mk kD Fx =∈= 1.取)()(x x m k ϕ=Φ,当然有)(lim )(x x f k k Φ=∞→,E x ∈.(2)若)()(E x f M ∈,+∞<mE ,由P108.8.知∃简单函数)(x k ψ..t s )(lim )(x x f k k ψ∞→=于E .+∈∀N k ,∑==ii k k i E i k k x c x 1,)()(,χψ,i k i k i k E F F ,,,,⊂∈∃C ,.. t sk i i k i k F E m 221)(,,<-, kkF E m 21)(<-, ik i i k E E 1,==, ik i i k k F F 1,==, ∞=∞==1m mk k F F ,由(1)知, )()(nk C x R ∈Φ∃,)()(x x k k ψ=Φ,k F x ∈,∞=∞=-≤-1)()(m mk k F E m F E m )]([)]([1 ∞=∞=∞=≤=mk c k m mk c k F E m F E m021)()(→<-=≤∑∑∑∞=∞=∞=mk k mk k mk c kF E m F E m , 有0)(=-F E m ,由于)(lim )(lim )(x x x f k k k k Φ==∞→∞→ψ,F x ∈,所以)(lim )(x x f k k Φ=∞→..e a E .2、设E 是有界闭集,)()(E C x f ∈,则0>∃M ..t s M x f ≤|)(|,E x ∈. 证明：反证.假设)(x f 在E 上无界,+∈∃N m ,E x m ∈∃..t s m x f m >|)(|,由于E x m ⊂}{有界,故E x x k m ∈→∃0, 而∞→>k m m x f k |)(|, 又)()(0x C x f ∈,于是∞==∞→)(lim )(0k m k x f x f ,这与)()(0x C x f ∈不符, 所以)(x f 在E 上有界.习题4-4-P123P1231、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f m k k ++→.2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时, m K x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m mx f x f x m k k >+≥-≤ 0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m所以K x f ≤|)(|..e a E .3、举例说明+∞=mE 时,定理1不成立.定理1(Lebesgue 定理)：设+∞<mE ,)()()(),(E E x f x f k aF M ∈,且)(lim ~)(x f x f k k E∞→,则)()(x f x f mk →,E x ∈.解：取R =E ,+∞=mE ,0)(=x f ,)()()()(],1[E E x x f k k k aF M ∈=-χ,显然)(lim )(x f x f k k ∞→=,当然)(lim ~)(x f x f k k E∞→,由于1],1[]1|)(|;[]1|)()(|;[=-=≥=≥-k k m x f x m x f x f x m k k ,有01]1|)()(|;[lim ≠=≥-∞→x f x f x m k k ,所以)()(x f x f mk →,E x ∈不成立.。