北京四中高考数学总复习 函数及表示知识梳理教案

【考纲要求】
1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．
【知识网络】
【考点梳理】
1、映射的定义
设,A B 是两个非空的集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的 任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射， 记作:f A B →。

映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。

2、函数的概念
设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：)(x f y =.
其中x 叫做自变量 ，y 叫做函数，自变量x 的取值范围（数集A ）叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，所有函数值构成的集合{}(),C y y f x x A ==∈叫做这个函数的值域。

3、函数的三要素
函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函 数只有两个要素。

4、两个函数能成为同一函数的条件
当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。

映
射
函数及其表示
函数三要
素 函数的表
示
5、区间的概念和记号
设,a b R ∈，且a b <，我们规定：
（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a 。

（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a 。

（3）满足不等式a x b ≤<或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为
),[b a 和],(b a 。

这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点。

（4）实数R 可以用区间表示为),,(+∞-∞“∞”读作“无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”，“∞+”读作“正无穷大”。

我们可以把满足a x ≥的实数x 表示为),[+∞a
6、函数的表示方法
函数的表示方法有三种。

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

（2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法。

（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。

7、分段函数
在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。

分段函数是一个函数，而不是几个函数。

分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。

8、求函数的定义域的主要依据
（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数
x y a log =的真数0>x ；（4）指数函数x a y =和对数函数x y a log =的底数0>a 且1≠a ；
（5）零次幂0x 的底数0≠x ； （6）函数tan y x =的定义域是}2|{z k k x x ∈+≠π
π；
（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。

【典型例题】
类型一：映射的概念
例1．以下对应中，从集合A 到集合B 的映射有 ；其中 是函数 。

（1） （2） （3） （4）
解析：（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。

点评：1.判断是否映射的方法：先看集合A 中的每个元素是否在集合B 中都有象；再看集合
A 中的每个元素的象是否唯一；
2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数. 举一反三：
【变式】设集合A=R ，集合B=R ＋，则从集合A 到集合B 的映射只可能是（ ）
A 、x y x f =→:
B 、 x y x f =
→: C 、 x y x f -=→3: D 、)1(log :2x y x f +=→
【答案】C ；
解析：A 、B 、D 中元素0没有象。

例 2. 已知(,)x y 在映射f 的作用下的像是(,)x y xy +，求(2,3)-在f 作用下的像和(2,3)-在f 作用下的原像。

解析：231,(2)36x y xy +=-+==-⨯=-，
所以(2,3)-在f 作用下的像是(1,6)-；
12,33x x y xy y =-⎧+==-⇒⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩
所以(2,3)-在f 作用下的原像是(1,3)(3,1)--或.
点评：弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键.
举一反三：
【变式】在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（
） A 、)1,3(- B 、)3,1( C 、)3,1(--
D 、)1,3( 【答案】A ；
解析：123(3,1)121x y x y -=--=-⎧⇒-⎨+=-+=⎩
类型二：函数的概念
例3．下列各组函数中表示同一函数的是 。

（1）()21f x x =+，()21g y y =+； （2）()()2
lg ,2lg f x x g x x ==；
（3）()()||,f x x g t == （4）()(),f x x f x ==
解析：表示同一函数的是（1）、（3）。

其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。

点评：对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。

对应法则是函数的核心，如（1）、（3）
的对应法则是相同的。

举一反三：
【变式】下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A 、2()(1)f x x =-，0()||g x x x =-
B 、2()(1)f x x =-，()11g x x x =
+- C 、2()(1)f x x =-，()|1|g t t =- D 、21()2x f x x +=
+，21()2t g t t -=+ 【答案】C ；
解析：A 中两函数的定义域不同，()y g x =的定义域不含0；B 中两函数的定义域也不同，()y g x =的定义域为1x ≥，而()y f x =的定义域为R ；D 中的对应法则不同。

例4．已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 解析：由题可设()(0)f x ax b a =+≠，
所以172])1([2])1([3+=+--++⋅x b x a b x a
化简得0175)2(=-++-b a x a ⎩
⎨⎧=-+=-∴017502b a a 所以72==b a 所以72)(+=x x f
点评：换元法是常用的求解析式法，注意新元的范围，最后要给出函数的定义域；也可以用配凑的方法；除以之外，若已知函数类型，还可以利用待定系数法求函数解析式。

举一反三：
【变式】 已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：
则满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值是 .
【答案】2；
解析：∵()()1(3)1,1(1)3f g f g f g ====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()2(2)3,2(3)1f g f g f g ====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
()()3(1)1,3(1)3f g f g f g ====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
∴()[]()[]x f g x g f >中2x =.
类型三：函数的定义域
例5．求下列函数的定义域
⑴12||
=-y x ⑵()022(54)lg 21-=+--x y x x ； 解析：（1）由2102||0⎧-≥⎨-≠⎩x x 得112≥≤-⎧⎨≠±⎩
或x x x ， 所以函数的定义域为：(,2)(2,1][1,2)(2,)∈-∞---+∞x 。

（2）由()540210lg 210⎧-≠⎪->⎨⎪-≠⎩x x x 得45121⎧≠⎪⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎪⎩
x x x ， 所以函数的定义域为：144(,)(,1)(1,)255
x ∈+∞。

点评：求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。

举一反三：
【变式】已知函数2()3f x ax ax =
+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13a > B ．120a -<< C ．120a -<≤
D ．13
a ≤ 【答案】由2()3f x ax ax =
+-的定义域是R ，则230ax ax +-≠恒成立， 当0a =时，显然成立；
当0a >时，22
1201203000a a a ax ax a a a -<<⎧∆=+<⎧+->⇒⇒⇒∈∅⎨⎨>>⎩⎩； 当0a <时，22
1201203012000a a a ax ax a a a -<<⎧∆=+<⎧+-<⇒⇒⇒-<<⎨⎨<<⎩⎩， 综上，选C 。

【变式3】若2(31)f x x -+-的定义域为[2,2]-，求()f x 的定义域。

【答案】5[11,]4
-；
解析：本题的实质是求231x x -+-在[2,2]x ∈-时的值域。

令223531()24y x x x =-+-=--+
，当[2,2]x ∈-时，max 11y =-。

故()f x 的定义域为5
[11,]4
-。

例6．已知()f x 的定义域为(0,8)，求2(2)f x x -的定义域.
解析：∵()f x 中08x <<,
∴2(2)f x x -中2
028x x <-<，即220228x x x x ⎧<-⎪⎨-<⎪⎩，解得20x -<<或24x << ∴所求定义域是(2,0)(2,4)x ∈-.
点评：有关复合函数的定义域问题，要明确：
（1）定义域是指单一的自变量x 的取值范围.如本题中()f x 的定义域为(0,8)即08x <<；而2(2)f x x -的定义域，同样只指2
(2)f x x -中的单一的自变量x 的取值范围.
（2）在同一法则f 之下，括号内的整体范围是一致的。

如本题中，(0,8)应是函数()f x 的
自变量x 的范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的2(2)f x x -的定义域是22x x -中x 的取值范围，此处x 的取值范围已不是()f x 中的x 的取值范围；但()f x 中的x 与2(2)f x x -中的22x x -的整体范围是相同的，可以此为桥梁求解。

举一反三： 【变式】设函数1()ln 1x f x x +=-，则函数1()()()2x g x f f x
=+的定义域是 。

【答案】由函数1()ln 1x f x x +=-知11x -<<，所以112(2,1)(1,2)111x x x ⎧-<<⎪⎪⇒∈--⋃⎨⎪-<<⎪⎩
类型四：分段函数
例7．已知函数223(0)()3(10)4(1)⎧+>⎪=-+-≤≤⎨⎪<-⎩
x x f x x x x x ，求：
（1）[(2)]f f -的值；（2）()y f x =的定义域、值域。

解析：
（1）∵21-<-， ∴2
(2)4(2)16f -=⨯-=
∴[(2)](16)216335f f f -==⨯+=
（2）()y f x =的定义域为(,1)[1,0](0,)x ∈-∞--+∞，即(,)x ∈-∞+∞ 当0>x 时，()(3,)f x ∈+∞；
当10-≤≤x 时，()[3,4]f x ∈；
当1<-x 时，()(4,)f x ∈+∞；
综上可得()y f x =的值域为()[3,)f x ∈+∞。

点评：分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。

举一反三：
【变式】设2310()0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，21
2()12x x g x x ≤⎧-=⎨>⎩，
则[(3)]f g = ，1
[()]2g f -= .
【答案】：31
7;16。

解析：(3)2g =，[(3)](2)7f g f ==；
1
1()24f -=，11131
[()]()2241616g f g -==-=.。