高考数学压轴题：数列问题

高考数学压轴题：数列问题

类型一 排序数列分类讨论问题

典例1 已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足

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n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足()

*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）略；

（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n 项和n S ． 【举一反三】

已知数列{}n a 满足11a =， 2

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2

n n n n a a a a λμ+++=

+，其中*N n ∈， λ， μ为非零常数.

（1）若3λ=， 8μ=，求证： {}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数λ， μ的值；

②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由. 类型二 不定子数列性质探究问题

典例2 设数列{}n a 满足()2

21121n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈， λ为常数. （1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；

（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[]

3,7r ∈，使得n m a n r ⋅≥-对任意的*

n N ∈都成

立，求m 的最小值；

（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*

n N

∈

均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值. 【举一反三】

已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r 使得1

n n a p -=，

n n S q r =-恒成立：数列{}n b 的前n 项和n T ，且对任意正整数n ， 2n n T nb =恒成立.

（1）求常数,,p q r 的值； （2）证明数列{}n b 为等差数列； （3）若12b =，记3

1222224n n n n n b n b n b P a a a +++=

++ 1212222n n n n n n

n b n b a a ---+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ， n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明理由.

类型三 新数列中定义理解与应用问题

典例3 记{}1,2,100U =…，

.对数列{}(

)*

n a n N ∈和U 的子集T ，

若T =∅,定义0T

S =;

若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：

{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}(

)*

n a n N

∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T

S

.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，

，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D

D S S S +≥.

【举一反三】

设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜

n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.

（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；

（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a .

1.已知数列{a n }为等比数列， 11,a = 公比为,1,q q ≠且 n S 为数列{a n }的前n 项和. （1）若3520,a a +=求

8

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S S ; （2）若调换123,,a a a 的顺序后能构成一个等差数列，求q 的所有可能值； （3）是否存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ，不等式

2n

n S S c

>-总成立？若存在，求出q 的范围，若不存在，请说明理由．

2. 若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，

5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；

（3）设{}n b 是无穷数列，已知*

1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.

3. 已知数列{}n a 满足*

1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前

n 项和为n S .

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得

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m

m S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.

4. 已知数列{}n a 各项均为正数， 11a =， 22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*

N n ∈恒

成立，记{}n a 的前n 项和为n S . （1）若33a =，求5a 的值；

（2）证明：对任意正实数p ， {}221n n a pa -+成等比数列；

（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列.若存在，求出此时n a 和n S 的表达