全概率公式ppt

P( B)
五. 贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
先验概率 P( Bi )
A BA BA
P( AB) = P( B) × P( A | B)
后验概率
P( BA) = P( B ) × P( A | B )
P( AB ) P( AB) = P( B | A) = P ( AB) + P ( AB ) P( A)
P(B)P( A | B) = P(B)P( A | B) + P(B ) × P( A | B )
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
是一组互不相容的事件组， 设B1，B2，…, Bn是一组互不相容的事件组，且诸 P(Bi)>0, 事件 A ⊆
n
∑ B ，P(A) >0 , 则有
i =1 i
甲
乙
⇒
从甲袋放入乙袋的是白球” A1=“从甲袋放入乙袋的是白球”； 从甲袋放入乙袋的是白球 从甲袋放入乙袋的是红球” A2=“从甲袋放入乙袋的是红球”； 从甲袋放入乙袋的是红球 B=“从乙袋中任取一球是红球”； 从乙袋中任取一球是红球” 从乙袋中任取一球是红球 思考：上例中，若已知取到一个红球， 思考：上例中，若已知取到一个红球，则从 甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 答:
设A1 ，A2 ，...，An 是一组完备事件组，且 Ｐ(Ai ) ， 是一组完备事件组， ＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件 ， ＝ ， ， ， ，则对任一随机事件B 全概率公式： 有全概率公式：
P(B) =
n
∑ P( A )P(B | A )
i =1
BA
i
i
A1
B
A2
∵B = B ∩∑Ai = BA + BA2 +⋅⋅⋅+ BAn 1
P ( Bi | A ) =
P ( Bi ) P ( A | Bi )
n
∑ P(B )P( A | B )
i =1 i i
证明
P (Bi P ( A Bi ) A) = P (A)
( i =1 , 2 , … , n)
=
P ( Bi ) P ( A B i )
n
∑
i =1
P ( Bi ) P ( A B i )
= P ( A)P (B A) + P ( A)P (B A)
6 5 4 6 = × + × ＝ 0.6 10 9 10 9
AB AB
A
B
A
P( B) = P( AB + AB)
= P( AB) + P( AB)
= P ( A) P ( B | A) + P( A) P( B | A)
全概率公式
§1.7 全概率公式与贝叶斯公式
四、全概率公式 例 一个盒子中有６只白球、 只黑球， 一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回 地每次任取１ 连取２ 地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球 的概率
解
不
第一次取到白球 因为 Ｂ＝ＡＢ + AB ，
第二次取到白球 ，且ＡＢ与 AB
P ( B ) = P ( A B ) + P ( AB )
P ( A1 B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) 4 P ( A1 | B ) = = = 7 P( B) 7 12
从甲袋放入乙袋的是白球” 解：设A1=“从甲袋放入乙袋的是白球”； 从甲袋放入乙袋的是白球 从甲袋放入乙袋的是红球” A2=“从甲袋放入乙袋的是红球”； 从甲袋放入乙袋的是红球 B=“从乙袋中任取一球是红球”； 从乙袋中任取一球是红球” 从乙袋中任取一球是红球
2 1 1 3 7 P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) = × + × = 3 2 3 4 12
有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球， 个红球 个红球， 例 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球， 乙袋中有两个红球，一个白球． 乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不 可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋， 可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再 从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？ 从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？
例
书第21页例 书第 页例3 页例
在例2中 求通过检查的各批产品中恰有 个 在例 中，求通过检查的各批产品中恰有i个 次品的概率（i=0，1，2，3，4） 次品的概率（ ， ， ， ， ）
临床诊断记录表明， 例4 临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌 症具有如下效果： 症具有如下效果：对癌症患者进行试验结果呈阳 性反应者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈 性反应者占 ， 阴性反应者占96%，现在用这种试验对某市居民 阴性反应者占 ， 进行癌症普查， 进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总 数的0.4%，求： 数的 ， （1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有 ） 癌症的概率； 癌症的概率； （2）试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患 ） 癌症的概率。 癌症的概率。
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证明： 证明： n
n
i=1
∴ P( B) = ∑ P( BAi ) = ∑ P( Ai ) ⋅ P ( B | Ai )
i =1
i =1
n
全概率公式
P(B) =
n
∑ P( A )P(B | A )
i =1 i i
B
A1 A2 An
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P( A2 ) P( B | A2 ) ⋯⋯ P( An ) P( B | An )