2019高中自主招生数学试题

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2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷及答案解析

（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．
11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．
A．23B．24C．25D．26
【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，
则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，
∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，
∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，
6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是．
7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．
8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．
D．不能确定x1、x2、x3的大小
【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＜y2＜y3．

2019年四川省南充高中自主招生数学试卷

2019年四川省南充高中自主招生数学试卷一、填空题（每小题8分，共112分）1．（8分）已知x 满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝．2．（8分）若|m+2|+（n ﹣1）2＝0，则m+2n值为．3．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac＝．4．（8分）已知a n＝（﹣1）n+1，当n＝1时，a1＝0，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝0，…，则a1+a2+a3+…+a＝．5．（8分）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是．6．（8分）直角三角形ABC中，∠C＝90°且tan B＝2tan A﹣1，则∠B＝．7．（8分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a n＝．（用含n的代数式表示）所剪次数1234…n正三角形个数471013…a n8．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3m，则m＝．9．（8分）设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实数根，当m＝时，x12+x22有最小值，最小值是．10．（8分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是．11．（8分）对于正数x，规定f（x）＝，计算f（）+f（）+…+f（）+f （）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）＝．12．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是．13．（8分）若ab＝1，则的值为．14．（8分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC ＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为．二、选择题（每小题6分，共24分）15．（6分）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈16．（6分）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．≤m C．≤m≤1D．＜m≤1 17．（6分）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2B．1C．k≠2且k≠一2D．无法确定18．（6分）如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．65°和115°D．130°和50°三、解答题（共64分）19．（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝1+，b＝1﹣20．（12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG＝a，FH＝b，四边形EFGH的面积为S．（1）求证：sinθ＝；（2）试用a，b，S来表示正方形ABCD的面积．21．（12分）抛物线的解析式y＝ax2+bx+c满足如下四个条件：abc＝0；a+b+c＝3；ab+bc+ca ＝﹣4；a＜b＜c．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P 是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD＝1.5时，试比较S△AOD与S△DPC 的大小．22．（14分）如图△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）设⊙D与BC交于点F，当CF＝2时，求CD的长；（3）设CD＝a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．23．（16分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．2019年四川省南充高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题8分，共112分）1．（8分）已知x满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝2．【解答】解：﹣x2﹣2x＝1，设x2+2x＝y，则原方程可化为﹣y＝1，3﹣y（y﹣1）＝y﹣1，y2＝4，解得y1＝2，y2＝﹣2，经检验，y＝±2是方程﹣y＝1的解，当y1＝2时，x2+2x＝2，解得x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解；当y2＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此方程无实数解；∴x2+2x＝2，故答案为：2．2．（8分）若|m+2|+（n﹣1）2＝0，则m+2n值为0．【解答】解：根据题意得，m+2＝0，n﹣1＝0，解得m＝﹣2，n＝1，所以，m+2n＝﹣2+2×1＝0．故答案为：0．3．（8分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac＝﹣1．【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1•x2＝＜0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2＝|AO|•|BO|，即c2＝|x1|•|x2|＝||，故|ac|＝1，ac＝±1，由于＜0，所以ac＝﹣1．故答案为：﹣1．4．（8分）已知a n＝（﹣1）n+1，当n＝1时，a1＝0，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝0，…，则a1+a2+a3+…+a ＝2008．【解答】解：由已知可得a1+a2＝2，a3+a4＝2，…，a2n﹣1+a2n＝2，∵a1+a2+a3+…+a＝1004（a1+a2）＝2008，故答案为2008．5．（8分）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是0°＜α＜45°．【解答】解：由sinα＜cosα，得0°＜α＜45°，故答案为：0°＜α＜45°．6．（8分）直角三角形ABC中，∠C＝90°且tan B＝2tan A﹣1，则∠B＝45°．【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，则tan B＝，tan A＝，∴＝2×﹣1，整理得，2a2﹣ab﹣b2＝0，（2a+b）（a﹣b）＝0，解得，a＝b，∴∠B＝45°，故答案为：45°．7．（8分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a n＝3n+1．（用含n 的代数式表示）所剪次数1234…n正三角形个471013…a n数【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．8．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3m，则m＝﹣．【解答】解：二元一次方程组的解为，∵x+y＝3m，∴m﹣＝3m，∴m＝﹣，故答案为﹣9．（8分）设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实数根，当m＝时，x12+x22有最小值，最小值是．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实根，∴△＝（﹣4m）2﹣4×2×（2m2+3m﹣2）≥0，可得m≤，又x1+x2＝2m，x1x2＝，∴x12+x22＝2（m﹣）2+＝2（﹣m）2+，∵m≤，∴﹣m＞0，∴当m＝时，x12+x22取得最小值为2（﹣）2+＝．故答案为，．10．（8分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是．【解答】解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中两种品牌的彩电都齐全的12种，则两种品牌的彩电都齐全的概率是＝；故答案为：．11．（8分）对于正数x，规定f（x）＝，计算f（）+f（）+…+f（）+f （）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）＝2007.5．【解答】解：根据题意得：f（x）+f（）＝+＝+＝＝1，f（1）＝0.5，则原式＝[f（）+f（2008）]+[f（）+f（2007）]+…+[f（）+f（2）]+f（1）＝2007.5，故答案为：2007.512．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是3＜r≤4或r＝2.4．【解答】解：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．根据勾股定理求得AB＝5．分两种情况：（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴3＜r≤4或r＝2.4．13．（8分）若ab＝1，则的值为1．【解答】解：原式＝＝，将ab＝1代入得，原式＝1．填空答案为：1．14．（8分）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC ＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为．【解答】解：连结BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF，∵BA是圆O的切线，切点为A，由切割线定理可知：AB2＝BC•BF，∵BC＝DC＝3，AB＝6，∴BF＝12，CF＝9，∴DE＝，OD＝2，∴OE＝＝＝，CE═，OC＝＝＝．故答案为：．二、选择题（每小题6分，共24分）15．（6分）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈【解答】解：如图，设圆的周长是C，则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长＝4C，则这个圆共转了4C÷C＝4圈．故选：A．16．（6分）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．≤m C．≤m≤1D．＜m≤1【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的△＝4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得m＞．∴＜m≤1．故选：D．17．（6分）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2B．1C．k≠2且k≠一2D．无法确定【解答】解：去分母得，x（x+1）﹣k＝x（x﹣1），解得x＝k，∵方程不会产生增根，∴x≠±1，∴k≠±1，即k≠±2．故选：C．18．（6分）如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．65°和115°D．130°和50°【解答】解：连接OC，OB，则∠ACO＝∠ABO＝90°，∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，应分为两种情况：①当点P在优弧BC上时，∠P＝∠BOC＝65°；②当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝180°﹣65°＝115°；故选：C．三、解答题（共64分）19．（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝1+，b＝1﹣【解答】解：原式＝＝＝当，时，原式＝．20．（12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG＝a，FH＝b，四边形EFGH的面积为S．（1）求证：sinθ＝；（2）试用a，b，S来表示正方形ABCD的面积．【解答】（1）证明：设EG于FH相交于点O，过E作EM⊥FH于M，过G点作GN⊥FH于N，如图1所示：则S＝S△EFH+S△FHG，∴S＝EM•FH+GN•FH＝EO•sinθ•FH+OG•sinθ•FH＝（EO+OG）•sinθ•FH＝EG•FH•sinθ＝ab•sinθ，∴sinθ＝；（2）解：过E、F、G、H分别对正方形ABCD作对边的垂线，如图2所示：则四边形PQRT、四边形AETH、四边形EBFP、四边形CFQG、四边形DGRH都是矩形，设正方形ABCD的边长为x，PQ＝y，QR＝z，由勾股定理得：y＝，z＝，由矩形的性质得：S△AEH＝S△THE，S△EBF＝S△FPE，S△CFG＝S△QGF，S△DGH＝S△RHG，∴S正方形ABCD+S矩形PQRT＝2S四边形EFGH，∴x2+yz＝2S，即x2+•＝2S，解得：x2＝，∴正方形ABCD的面积用a、b、S表示为：．21．（12分）抛物线的解析式y＝ax2+bx+c满足如下四个条件：abc＝0；a+b+c＝3；ab+bc+ca ＝﹣4；a＜b＜c．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P 是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD＝1.5时，试比较S△AOD与S△DPC 的大小．【解答】解：（1）∵a≠0，abc＝0，∴bc＝0＜1＞当b＝0时由，得，解得或，∵a＜b＜c，∴，（不合意，舍去）∴a＝﹣1，b＝0，c＝4．（2分）＜2＞当c＝0时由，得，解之得或．∵a＜b＜c，∴和都不合题意，舍去．（3分）∴所求的抛物线解析式为y＝﹣x2+4．（4分）（2）在y＝﹣x2+4中，当y＝0时，x＝±2∴A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），过P作PG⊥x轴于G，设P（m，n）∵点P在抛物线上且在第一象限内，∴m＞0，n＞0，n＝﹣m2+4∴PG＝﹣m2+4，OA＝2，AG＝m+2（5分）∵OD∥PG，OD＝1.5∴，即解得（不合题意，舍去），∴OG＝（7分）∵当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为（0，4）∴DC＝OC﹣OD＝4﹣1.5＝2.5 S△PDC＝CD•OG＝×S△AOD＝AO•OD＝×1.5×2＝∴S△PDC＞S△AOD．（8分）22．（14分）如图△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）设⊙D与BC交于点F，当CF＝2时，求CD的长；（3）设CD＝a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．【解答】（1）证明：∵点E是切点∴∠AED＝90°∵∠A＝∠A，∠ACB＝90°∴△ADE∽△ABC；（2）解：连接DF，则DE＝DF设CD＝x，则AD＝6﹣x∵△ADE∽△ABC∴∴DE＝在RT△DCF中DF2＝x2+CF2＝x2+4∴＝x2+4x2+3x﹣4＝0∴x＝1，x＝﹣4（舍去）∴CD＝1（当CD＝1时，0＜x＜6，所以点D在AC上）；（3）解：取a＝3，（可取＜a＜6的任意一个数）则AD＝AC﹣CD＝3，∵DE＜AD，∴DE＜DC，即d＞r，则⊙D与BC相离，∴当a＝3时，⊙D与BC没有公共点．23．（16分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE＝DC．∵点D在直线y＝x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x＝2．即x2﹣3x+2＝0．解之，得x1＝2，x2＝1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE的函数关系式为y＝x+b．∵直线CE经过点C（1，0），∴0＝1+b，∴b＝﹣1．∴直线CE的函数关系式为y＝x﹣1．∴得x2﹣3x+2＝0．解之，得x1＝2，x2＝1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．。

2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷

2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是（）A．23B．24C．25D．262．（5分）用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（5分）三个关于x的方程：a1（x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1）（x﹣2）＝1，a3（x+1）（x ﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＞x2＞x3C．x1＝x2＝x3D．不能确定x1、x2、x3的大小5．（5分）如图正方形ABCD的顶点A在第二象限图象上，点B、点C分别在x轴、y 轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若，则k的值为（）A．﹣1B．C．D．﹣2二、填空题（每小题5分，共20分）6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是．7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．9．（5分）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．三、解答题（每小题15分，共30分）10．（15分）x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x ≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，∠OP A＝45°．（1）求证：PO平分∠APB；（2）作OH⊥P A交弦P A于H．①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB（如图2），求AP′的长．2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是（）A．23B．24C．25D．26【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，故选：C．2．（5分）用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，有6种情况：①②；①③；①④；②③；②④；③④；其中左视图不变的情况有5种：①②；①③；①④；②④；③④；∴左视图不变的概率是，故选：A．3．（5分）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等是假命题，因为如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不全等；一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，是假命题；，综合以上到达的是丁，故选：D．4．（5分）三个关于x的方程：a1（x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1）（x﹣2）＝1，a3（x+1）（x ﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＞x2＞x3C．x1＝x2＝x3D．不能确定x1、x2、x3的大小【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＞y2＞y3．∴其函数图象大致为：．∴x1＜x2＜x3．故选：A．5．（5分）如图正方形ABCD的顶点A在第二象限图象上，点B、点C分别在x轴、y 轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若，则k的值为（）A．﹣1B．C．D．﹣2【解答】解：如图，过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，∴四边形DHOE是矩形∵∠ADC＝∠HDE＝90°∴∠ADC﹣∠FDC＝∠HDE﹣∠FDC∴∠ADF＝∠CDE，∵点D在第一象限直线y＝x的图象上，∴DH＝DE，且∠ADF＝∠CDE，∠DHM＝∠DEN∴△DHM≌△DEN（ASA）∴S△DHM＝S△DNE，∴＝S四边形DHOE＝DH×DE∴DH＝DE＝同理可证：△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC∴AF＝HD＝BG＝OC，AG＝DF＝BO＝HC∴OC＝HD＝＝AF＝BG∴CH＝∴AG＝＝BO∴GO＝∴点A坐标（﹣，）∴k＝﹣×＝﹣故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是6＜a≤9．【解答】解：解不等式2x+a＞5x，得：x＜，解不等式，得：x≥﹣1，∵不等式组有四个整数解，∴6＜a≤9，故答案为：6＜a≤9．7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是①③．【解答】解：设①②③三个等腰直角三角形的边长分别为a，b，c，∴①②③三个等腰直角三角形的周长分别为：（2+）a，（2+）b，（2+）c，∴每两个等腰直角三角形的周长之差分别为：（2+）（a﹣c），（2+）（a﹣b），（2+）（b﹣c）∵EF＝BE﹣BF＝a﹣b，∴不能求①②两个等腰直角三角形之差，∵∠BFC＝90°，∠GFC＝45°∴∠EFG＝45°∴EF＝DG＝a﹣c∴能求①③两个等腰直角三角形之差，∵b＝c，∴b﹣c＝c﹣c与EF无关，故答案为：①③8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为y＝（不要求写自变量x的取值范围）．【解答】解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，∴BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y∵△ABC周长为12∴AB+AC+BC＝12∴AE+AF＝12﹣2x，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC∴∴∴y＝故答案为：y＝9．（5分）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．【解答】解：设PB交⊙O于点N，连接P A，延长PB、AC交于点M，∵AB是直径，PH⊥CB∴∠ANP＝90°＝∠ACB＝∠H，∴MC∥PH，由圆的对称性可得，P A＝P A，∠BPO＝∠APO＝∠APB，∵∠BPH＝2∠BPO，∴∠BPH＝∠APB，∴△PHB≌△PNA（AAS），∴PN＝PH＝15，由MC∥PH得，∠HPB＝∠M＝∠APM，∴AM＝AP＝PB，∵AN⊥PM，∴PM＝2PN＝30，由△PHB∽△MBC，∴＝＝，设MC＝a，BC＝b，MB＝c，则HB＝24﹣b，PB＝30﹣C，∴＝＝，∴＝＝sin M＝sin∠HPB，在Rt△PHB中，PH＝15，∴PB＝＝25，HB＝sin∠HPB•PH＝20，∴BC＝24﹣20＝4，MB＝30﹣25＝5，则MC＝＝3，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝AM﹣MC＝25﹣3＝22，∴tan∠BAC＝＝＝，故答案为：．三、解答题（每小题15分，共30分）10．（15分）x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x ≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．【解答】解：（1）∵k＝30，∴当1≤x≤30时，y随x的增大而减小．∴当x＝1时，y＝30；当x＝30时，y＝1．∴1≤y≤30．∴反比例函数是1≤x≤30上的闭函数；（2）∵x＝﹣＝﹣2，a＝1＞0，∴二次函数y＝x2+4x+k在闭区间[t，﹣2]上y随x的增大而减小．∵二次函数y＝x2+4x+k是闭区间[t，﹣2]上的“闭函数”，∴当x＝﹣2时，y＝k﹣4；当x＝t时，y＝t2+4t+k．，解得，．∵t＜﹣2，∴，舍去，∴k＝1，t＝﹣3．（3）由（2）知，抛物线解析式为：y＝x2+4x+1，或y＝（x+2）2﹣3由二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，得A（﹣2，﹣3），C（0，1）．设B（﹣3，a），由勾股定理，得AC2＝22+（﹣3﹣1）2＝20，AB2＝（﹣2+3）2+（﹣3﹣a）2＝10+6a+a2，BC2＝32+（1﹣a）2＝10﹣2a+a2①当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，即20＝10+6a+a2+10﹣2a+a2，则a＝0．此时AB2＝BC2＝10，故AB＝BC＝；②当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，此时a＝，而AC≠BC，不满足条件，舍去．③同理，当∠BAC＝90°时也不满足条件．综上所述，△ABC的腰长为．故答案是：．11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，∠OP A＝45°．（1）求证：PO平分∠APB；（2）作OH⊥P A交弦P A于H．①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB（如图2），求AP′的长．【解答】证明：（1）如图1，连接AB，∵∠AOB＝90°∴AB是直径，∴∠APB＝90°∵∠OP A＝45°∴∠OPB＝∠APB﹣∠OP A＝90°﹣45°＝45°∴∠OP A＝∠OPB∴PO平分∠APB；（2）①∵∠OAB＝∠OPB＝45°，∠OBA＝∠OP A＝45°∴∠OBA＝∠OAB∴OA＝OB如图2，将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，∴AH＝BC＝2，∠AHO＝∠C＝90°，∠OAH＝∠OBC∵四边形APBO是圆内接四边形∴∠OAH+∠PBO＝180°∴∠OBC+∠PBO＝180°∴点C，点B，点P共线∵∠AHO＝∠C＝90°＝∠APB∴四边形OCPH是矩形∴CP＝OH，∴AH＝OH﹣BP＝2，且BP+OH＝8∴BP＝3，OH＝5②BP＝m，OH＝n，如图3，将△AOP'绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，连接BQ，P'Q，∵OH⊥AP，∠OP A＝45°，∴∠POH＝∠OP A＝45°，∴PH＝OH＝n，OP＝n，∵OA＝OB，∴，∴∠BPO＝∠OP A＝45°，∵把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB∴OP＝OP'＝n，BP＝BP'＝m，∠BPO＝BP'O＝45°，∵将△AOP'绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，∴OQ＝OP'＝n，∠QOP'＝90°，∴P'Q＝2n，∠QP'O＝45°，∴∠QP'B＝90°，∴BQ＝＝，∴AP'＝．。

2019年河南重点高中自主招生数学试卷

y 数学试题150分，考试时间100分钟，请将答案写到答题卷上，写在本试卷上无效. 6分，共60分）()2212=11x x x x x +⎛⎫÷- ⎪--⎝⎭▲ 2330x x ---=的根是 ▲a ，b ，c ，d 的长度比为1：2：3：4，任取其中三条线段，以它们为边能作出三角形的概率是 ▲1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10cm ，如图2，若此钟面显示3点45A 点距桌面的高度为16cm ，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为 ▲ cmm =，则3222016m m m --的值是 ▲．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为 ▲21y x =+与双曲线ky x=的交点的横坐标是1，则关于x 的不等式2+10kx x+<的解集是 ▲ 1开始的连续自然数按如下规律分组：第1行： 1 第2行： 2，3，4图1图2EBC第3行： 5，6，7，8，9 第4行： 10，11，12，13，14，15，16……则2017在第 ▲ 行. 第9题图9．如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF = ▲ 10．如图，四边形MNPQ 中，NP //MQ ，NP =2，MN= PQ=3，60NMQ ∠= ，正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在四边形MNPQ 的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动，则正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与四边形MNPQ 的三边MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积是 ▲二、解答题（本大题共6小题，共90分）11．（本小题满分12分）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax byT x y x y+=+（其中a 、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+．已知()1,12T -=-，()4,21T =．（1）求a ，b 的值；（2）若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m p-≤⎧⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围．12．（本小题满分14分）如图，已知A ，B两点的坐标分别为(A ，()2,0B ，直线AB 与反比例函数my x=的图像交于点C 和点()1,D a -．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；BA (M )D C NPQ（2）求∠ACO 的度数；（3）将△OBC 绕点O 逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△''OBC ，当α为多少度时'OC AB ⊥，并求此时线段'AB 的长．13．（本小题满分14分）已知抛物线2243m mx x y -+=（m >0）与x 轴交于A 、B 两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧；（2）若3211=-OA OB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y 轴交于点C ，若∆ABC 是直角三角形，求∆ABC 的面积．14．（本小题满分14分）已知在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧AD 上有一点E 使得∠EBC =∠DEC ，延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H ．（1）求证：AC ⊥BH ；（2）若∠ABC =45°，⊙O 的直径等于10，BD =8，求CE 的长．15．（本小题满分16分）为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD 是矩形，分别以AB 、BC 、CD 、DA 边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB y =米，BC x =米.（注：取=3.14π）（1）试用含x 的代数式表示y ；（2）现计划在矩形ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元. ①设该工程的总造价为W 元，求W 关于x 的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由；ABCD③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC 的长不超过AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．16．（本小题满分20分）如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线P A 的解析式为：3y kx =+．（1）设点P 的纵坐标为p ，写出p 随k 变化的函数关系式；（2）设⊙C 与P A 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP ，请你对于点P 处于图中位置时的情形给予证明；（3）是否存在k ，使得△AMN 的面积等于3225请求出符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．。

四川绵阳中学2019自主招生数学试卷

60
A. 变大
B.
8. 已知二次函数 y
变小 C. 不变
D.
不确定
a( x h) 2 k, (a 0) 图像经过 A(0,4)、 B(8,6) 两点。若 0
h 8 ， h 的值在下列数字
中可能为（
）
A. 2
B.
3
C.
4
D.
5
9. 如图， ⊙ A 、⊙ B 的半径分别为 2、1，且 AB 8 ，若作⊙ C 使得三圆的圆心在同一直线上，
伴随点为 A2 ，点 A2 的伴随点为 A3 ，点 A3 的伴随点为 A4 ，…，这样依次得到点 A1 ， A2 ， A3 ，…， An ，… .
若点 A1 的坐标为 (a ,b) ，对于任意的正整数 n ，点 An 均在 x 轴上方，则 a, b 应满足的条件为
.
（第 14 题）三．解答题（本大题共 8 小题，共计 90 分） 19. （本小题共 12 分）
且⊙ C 与⊙ A
外切，与⊙ B 相交，则⊙ C 的半径在下列数字中可能是 (
)
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
10. 若多项式 x2 px 12 可以因式分解为 (x m)( x n) 的形式，且 p、m、 n 均为整数，则满足条件的整
数 p 共有（
）
A. 2个
B.
4个
C.
6个
D.
8个
（第 15 题）
（ 1）计算：： (
1 )
3
(8
2)
1 (
cos 45 )2
2(1
)0
3
2
（第 17 题）
（2）若关于 x 的分式方程 3
m 0 无解，求 m 的值。

2019高中自主招生数学试题

2019 数学试题考试时间 100 分钟满分 100 分说明：（ 1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！（2）请在背面的答题纸上作答。

另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！一、选择题（共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）。

每小题均给出了代号为 A ，B， C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0 分。

1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15 C ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 C ．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0 C 以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20 C 的月份有 5 个十二月一月二月20 C十一月15 C三月10C5Cy十月A B四月九月五月八月六月七月平均最低气温平均最高气温O 2 5x 第2 题2．上图是二次函数y ax2 bx c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2b x c 0 的解集为A ． x 1 或 x 5B ． x 5 C． 1 x 5 D．无法确定3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是 M , I , N中的一个字母，第二位是1，2， 3， 4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A ． 1B ． 8C ． 1D ． 115 15 8 304．在 ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．若 b 2c 2 2b 4c 5 且 a 2 b 2 c 2bc ，则 ABC 的面积为 2 B ． 3 C ． 2 D． 3 A ．2 2 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（表面面积，也叫全面积）为2 3 ．．．A ． 20B ． 24 C． 28 D ．324 参考公式：圆锥侧面积 S rl ，圆柱侧面积 S 2 rl ，4 4其中 r 为底面圆的半径，l 为母线长．正视图侧视图 6．如下图，在 ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点，第 5题图BE AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP 3 ， PE 1，俯视图则AE6 B ． 2 C ．3 D ． 6 A ．2 ． ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．已知 a 5 ， c 2， cos A 2 ，7 3则 bA ． 2B ． 3C ． 2 D．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，G 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为F ．．A ．9B ．12C ． 18 E D ．24二、填空题：本大题共8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

2019年3月河南省普通高中自主招生数学试卷含参考答案

2019年河南省普通高中自主招生数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．﹣8的相反数是（）A．﹣8B．C．8D．﹣2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×1073．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．在下列的计算中，正确的是（）A．m3+m2＝m5B．m5÷m2＝m3C．（2m）3＝6m3D．（m+1）2＝m2+15．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．806．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．B．C．D．7．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．28．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．70°C．75°D．60°9．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝，BC＝．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．计算：＝．12．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是： 13．在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出1个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为．14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为．15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x＝2+，y＝2﹣．17．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）学校这次调查共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为；（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？18．如图所示，半圆O的直径AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求证：△CDF≌△BDE；（2）当AD＝时，四边形AODC是菱形；（3）当AD＝时，四边形AEDF是正方形．19．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C 的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）20．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．21．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟）10103503020850信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？22．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019年河南省普通高中自主招生数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．﹣8的相反数是（）A．﹣8B．C．8D．﹣【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．【解答】解：﹣8的相反数是8，故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将210000000用科学记数法表示为：2.1×108．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．在下列的计算中，正确的是（）A．m3+m2＝m5B．m5÷m2＝m3C．（2m）3＝6m3D．（m+1）2＝m2+1【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝m3，符合题意；C、原式＝8m3，不符合题意；D、原式＝m2+2m+1，不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．80【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．故选：B．【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．7．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据根的判别式即可求出a的范围．【解答】解：由题意可知：△＞0，∴1﹣4（﹣a+）＞0，解得：a＞1故满足条件的最小整数a的值是2，故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．70°C．75°D．60°【分析】由平行线的性质求出∠AOC＝120°，再求出∠BOC＝30°，然后根据三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥OC，∠A＝60°，∴∠A+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝120°，∴∠BOC＝120°﹣90°＝30°，∴∠DEO＝∠C+∠BOC＝45°+30°＝75°；故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．9．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）A．B．C．D．【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO＝1，AB＝3，根据折叠可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（3﹣x）2＝x2+12，∴x＝，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，∴AE＝CE＝3﹣＝，∴，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣1＝，∴D的坐标为（﹣，）．故选：A．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝，BC＝．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意易知道当P在BD上由B向D运动时，△BPQ的高PQ和底BQ都随着t的增大而增大，那么S△BPQ就是PQ和BQ两个一次函数相乘再乘以二分之一，结果是一个二次函数，然后根据它们的斜率乘积的正负性判别抛物线开口方向；当P在DE上有D向E运动时，高PQ不变，底BQ随着t的增大而增大，则S△BPQ是一个一次函数，然后根据斜率的正负性判别图象上升还是下降；当P在EC上由E向C运动时高PQ逐渐减小，底BQ逐渐增大，S△BPQ的图象会是一二次函数，再根据PQ和BQ两个一次函数的斜率乘积的正负性来判断抛物线开口方向．【解答】解：∵PQ⊥BQ∴在P、Q运动过程中△BPQ始终是直角三角形．∴S△BPQ＝PQ•BQ①当点P在BD上，Q在BC上时（即0s≤t≤2s）BP＝t，BQ＝PQ•cos60°＝t，PQ＝BP•sin60°＝tS△BPQ＝PQ•BQ＝•t•t＝t2此时S△BPQ的图象是关于t（0s≤t≤2s）的二次函数．∵＞0∴抛物线开口向上；②当P在DE上，Q在BC上时（即2s＜t≤4s）PQ＝BD•sin60°＝×2＝，BQ＝BD•cos60°+（t﹣2）＝t﹣1S△BPQ＝PQ•BQ＝••（t﹣1）＝t﹣此时S△BPQ的图象是关于t（2s＜t≤4s）的一次函数．∵斜率＞0∴S△BPQ随t的增大而增大，直线由左向右依次上升．③当P在DE上，P在EC上时（即4s＜t≤s）PQ＝[CE﹣（t﹣4）]•sin45°＝﹣t（4s＜t≤s），BQ＝BC﹣CQ＝BC﹣[CE﹣（t﹣4）]•cos45°＝﹣（﹣t）＝t+S△BPQ＝PQ•BQ由于展开二次项系数a＝k1•k2＝•（﹣）•（）＝﹣抛物线开口向下，故选：D．【点评】本道题考查了图形动点分析能力与分段函数分析能力．充分体现了数形结合的思想．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．计算：＝　﹣1　．【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：　y＝﹣5x2﹣50x﹣128　【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（﹣5，﹣3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝﹣5（x+5）2﹣3，即y＝﹣5x2﹣50x﹣128，故答案为y＝﹣5x2﹣50x﹣128．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．13．在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出1个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为．【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两人摸到的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：列表如下：红1红2黄蓝红1红1红1红1红2红1黄红1蓝红2红2红1红2红2红2黄红2蓝黄黄红1黄红2黄黄黄蓝蓝蓝红1蓝红2蓝黄蓝蓝由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两人摸到的球颜色不同的情况有10种，所以两人摸到的球颜色不同的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为．【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积＝△ACD的面积﹣扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．【解答】解：连接AC，∵DC是⊙A的切线，∴AC⊥CD，又∵AB＝AC＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∴∠FAD＝∠B＝45°，∵的长为，∴，解得：r＝2，∴S阴影＝S△ACD﹣S扇形ACE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为　或1　．【分析】分两种情况进行讨论：当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形，由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上，在Rt△CDE和Rt△CFE中，，∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），∴CF＝CD＝4，设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，解得x＝，即AP＝；如图所示，当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝∠D＝90°，又∵∠FEQ+∠CED＝90°＝∠ECD+∠CED，∴∠FEQ＝∠ECD，∴△FEQ∽△ECD，∴＝＝，即＝＝，解得FQ＝，QE＝，∴AQ＝HF＝，AH＝，设AP＝FP＝x，则HP＝﹣x，∵Rt△PFH中，HP2+HF2＝PF2，即（﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝1，即AP＝1．综上所述，AP的长为1或．【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x＝2+，y＝2﹣．【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2＝x2﹣y2+xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2＝3xy，当x＝2+，y＝2﹣时，原式＝3×（2+）（2﹣）＝3．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．17．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）学校这次调查共抽取了　100　名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为　36°　；（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？【分析】（1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得；（2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；（3）用360°乘以“戏曲”人数所占百分比即可得；（4）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得．【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100名，故答案为：100；（2）“民乐”的人数为100×20%＝20人，补全图形如下：（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°，故答案为：36°；（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%＝500人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．18．如图所示，半圆O的直径AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求证：△CDF≌△BDE；（2）当AD＝　2　时，四边形AODC是菱形；（3）当AD＝　2　时，四边形AEDF是正方形．【分析】（1）根据角平分线的性质，可得DF与DE的关系，根据圆周角定理，可得DC与DB 的关系，根据HL，证明即可；（2）根据菱形的性质，可得OD与CD，OD与BD的关系，根据等边三角形的性质，得到∠DBA的度数，根据正弦的定义计算即可；（3）根据圆周角定理，可得OD⊥AB，根据勾股定理，可得答案．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠CAD＝∠BAD，又DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵＝，∴BD＝CD，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）；（2）四边形AODC是菱形时，OD＝CD＝DB＝OB，∴∠DBA＝60°，∴AD＝AB cos∠DBA＝4sin60°＝2，故答案为：2；（3）当OD⊥AB，即OD与OE重合时，四边形AEDF是正方形，由勾股定理，得AD＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是角平分线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质、正方形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、圆周角定理是解题的关键．19．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C 的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）【分析】延长CA交BE于点D，得CD⊥BE，设AD＝x，得BD＝x米，CD＝（20+x）米，根据＝tan∠DCB列方程求出x的值即可得．【解答】解：如图，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE，由题意知，∠DAB＝45°，∠DCB＝33°，设AD＝x米，则BD＝x米，CD＝（20+x）米，在Rt△CDB中，＝tan∠DCB，∴≈0.65，解得x≈37，答：这段河的宽约为37米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．【分析】（1）将P点坐标代入y＝，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点P（2，2），∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．21．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟）10103503020850信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．由题意得：，解这个方程组得：，答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．∴w总额＝1.5×+2.8×＝0.1x+×2.8＝0.1x+1680﹣0.14x＝﹣0.04x+1680，又≥60，得x≥900，由一次函数的增减性，当x＝900时w取得最大值，此时w＝﹣0.04×900+1680＝1644（元），则小王该月收入最多是1644+1900＝3544（元），此时甲有＝60（件），乙有：＝555（件），答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．22．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　BC＝DC+EC　；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BC＝DC+EC，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，故答案为：BC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝9，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝6，∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝DE＝6．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y＝﹣x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y＝﹣x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），。

2019年3月河南省普通高中自主招生数学试卷(含答案解析)

2019年河南省普通高中自主招生数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．﹣8的相反数是（）A．﹣8B．C．8D．﹣2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×1073．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．在下列的计算中，正确的是（）A．m3+m2＝m5B．m5÷m2＝m3C．（2m）3＝6m3D．（m+1）2＝m2+15．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．806．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y 两，根据题意得（）A．B．C．D．7．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．28．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO 的度数为（）A．85°B．70°C．75°D．60°9．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝，BC＝．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．计算：＝．12．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：13．在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出1个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为．14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为．15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x＝2+，y＝2﹣．17．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）学校这次调查共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为；（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？18．如图所示，半圆O的直径AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求证：△CDF≌△BDE；（2）当AD＝时，四边形AODC是菱形；（3）当AD＝时，四边形AEDF是正方形．19．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）20．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．21．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？22．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC 边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019年河南省普通高中自主招生数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．﹣8的相反数是（）A．﹣8B．C．8D．﹣【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．【解答】解：﹣8的相反数是8，故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将210000000用科学记数法表示为：2.1×108．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．在下列的计算中，正确的是（）A．m3+m2＝m5B．m5÷m2＝m3C．（2m）3＝6m3D．（m+1）2＝m2+1【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝m3，符合题意；C、原式＝8m3，不符合题意；D、原式＝m2+2m+1，不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．80【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．故选：B．【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y 两，根据题意得（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．7．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据根的判别式即可求出a的范围．【解答】解：由题意可知：△＞0，∴1﹣4（﹣a+）＞0，解得：a＞1故满足条件的最小整数a的值是2，故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO 的度数为（）A．85°B．70°C．75°D．60°【分析】由平行线的性质求出∠AOC＝120°，再求出∠BOC＝30°，然后根据三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥OC，∠A＝60°，∴∠A+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝120°，∴∠BOC＝120°﹣90°＝30°，∴∠DEO＝∠C+∠BOC＝45°+30°＝75°；故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．9．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）A．B．C．D．【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO＝1，AB＝3，根据折叠可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（3﹣x）2＝x2+12，∴x＝，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，∴AE＝CE＝3﹣＝，∴，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣1＝，∴D的坐标为（﹣，）．故选：A．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝，BC＝．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意易知道当P在BD上由B向D运动时，△BPQ的高PQ和底BQ都随着t的增大而增大，那么S△BPQ就是PQ和BQ两个一次函数相乘再乘以二分之一，结果是一个二次函数，然后根据它们的斜率乘积的正负性判别抛物线开口方向；当P在DE上有D向E运动时，高PQ不变，底BQ随着t的增大而增大，则S△BPQ是一个一次函数，然后根据斜率的正负性判别图象上升还是下降；当P在EC上由E向C运动时高PQ逐渐减小，底BQ逐渐增大，S△BPQ的图象会是一二次函数，再根据PQ和BQ两个一次函数的斜率乘积的正负性来判断抛物线开口方向．【解答】解：∵PQ⊥BQ∴在P、Q运动过程中△BPQ始终是直角三角形．＝PQ•BQ∴S△BPQ①当点P在BD上，Q在BC上时（即0s≤t≤2s）BP＝t，BQ＝PQ•cos60°＝t，PQ＝BP•sin60°＝tS＝PQ•BQ＝•t•t＝t2△BPQ的图象是关于t（0s≤t≤2s）的二次函数．此时S△BPQ∵＞0∴抛物线开口向上；②当P在DE上，Q在BC上时（即2s＜t≤4s）PQ＝BD•sin60°＝×2＝，BQ＝BD•cos60°+（t﹣2）＝t﹣1S＝PQ•BQ＝••（t﹣1）＝t﹣△BPQ的图象是关于t（2s＜t≤4s）的一次函数．此时S△BPQ∵斜率＞0∴S随t的增大而增大，直线由左向右依次上升．△BPQ③当P在DE上，P在EC上时（即4s＜t≤s）PQ＝[CE﹣（t﹣4）]•sin45°＝﹣t（4s＜t≤s），BQ＝BC﹣CQ＝BC﹣[CE﹣（t﹣4）]•cos45°＝﹣（﹣t）＝t+S＝PQ•BQ△BPQ由于展开二次项系数a＝k1•k2＝•（﹣）•（）＝﹣抛物线开口向下，故选：D．【点评】本道题考查了图形动点分析能力与分段函数分析能力．充分体现了数形结合的思想．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．计算：＝﹣1．【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：y＝﹣5x2﹣50x﹣128【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（﹣5，﹣3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝﹣5（x+5）2﹣3，即y＝﹣5x2﹣50x﹣128，故答案为y＝﹣5x2﹣50x﹣128．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．13．在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出1个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为．【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两人摸到的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：列表如下：由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两人摸到的球颜色不同的情况有10种，所以两人摸到的球颜色不同的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．14．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA 与⊙A 相交于点F ．若的长为，则图中阴影部分的面积为．【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积＝△ACD 的面积﹣扇形ACE 的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．【解答】解：连接AC ， ∵DC 是⊙A 的切线， ∴AC ⊥CD ，又∵AB ＝AC ＝CD ，∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠CAD ＝45°，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠CAD ＝∠ACB ＝45°，又∵AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠B ＝45°， ∴∠FAD ＝∠B ＝45°，∵的长为，∴，解得：r ＝2，∴S 阴影＝S △ACD ﹣S 扇形ACE ＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为或1．【分析】分两种情况进行讨论：当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形，由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上，在Rt△CDE和Rt△CFE中，，∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），∴CF＝CD＝4，设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，解得x＝，即AP＝；如图所示，当∠CEF ＝90°时，△ECF 是直角三角形，过F 作FH ⊥AB 于H ，作FQ ⊥AD 于Q ，则∠FQE ＝∠D ＝90°，又∵∠FEQ +∠CED ＝90°＝∠ECD +∠CED ， ∴∠FEQ ＝∠ECD ， ∴△FEQ ∽△ECD ，∴＝＝，即＝＝，解得FQ ＝，QE ＝，∴AQ ＝HF ＝，AH ＝，设AP ＝FP ＝x ，则HP ＝﹣x ，∵Rt △PFH 中，HP 2+HF 2＝PF 2，即（﹣x ）2+（）2＝x 2，解得x ＝1，即AP ＝1．综上所述，AP 的长为1或．【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+y （x +2y ）﹣（x ﹣y ）2，其中x ＝2+，y ＝2﹣．【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+y （x +2y ）﹣（x ﹣y ）2 ＝x 2﹣y 2+xy +2y 2﹣x 2+2xy ﹣y 2 ＝3xy ，当x＝2+，y＝2﹣时，原式＝3×（2+）（2﹣）＝3．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．17．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）学校这次调查共抽取了100名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为36°；（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？【分析】（1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得；（2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；（3）用360°乘以“戏曲”人数所占百分比即可得；（4）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得．【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100名，故答案为：100；（2）“民乐”的人数为100×20%＝20人，补全图形如下：（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°，故答案为：36°；（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%＝500人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．18．如图所示，半圆O的直径AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求证：△CDF≌△BDE；（2）当AD＝2时，四边形AODC是菱形；（3）当AD＝2时，四边形AEDF是正方形．【分析】（1）根据角平分线的性质，可得DF与DE的关系，根据圆周角定理，可得DC与DB的关系，根据HL，证明即可；（2）根据菱形的性质，可得OD与CD，OD与BD的关系，根据等边三角形的性质，得到∠DBA的度数，根据正弦的定义计算即可；（3）根据圆周角定理，可得OD⊥AB，根据勾股定理，可得答案．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠CAD＝∠BAD，又DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵＝，∴BD＝CD，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）；（2）四边形AODC是菱形时，OD＝CD＝DB＝OB，∴∠DBA＝60°，∴AD＝AB cos∠DBA＝4sin60°＝2，故答案为：2；（3）当OD⊥AB，即OD与OE重合时，四边形AEDF是正方形，由勾股定理，得AD＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是角平分线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质、正方形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、圆周角定理是解题的关键．19．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）【分析】延长CA交BE于点D，得CD⊥BE，设AD＝x，得BD＝x米，CD＝（20+x）米，根据＝tan ∠DCB列方程求出x的值即可得．【解答】解：如图，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE，由题意知，∠DAB＝45°，∠DCB＝33°，设AD＝x米，则BD＝x米，CD＝（20+x）米，在Rt△CDB中，＝tan∠DCB，∴≈0.65，解得x≈37，答：这段河的宽约为37米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．【分析】（1）将P点坐标代入y＝，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点P（2，2），∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．21．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．由题意得：，解这个方程组得：，答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．＝1.5×+2.8×∴w总额＝0.1x+×2.8＝0.1x+1680﹣0.14x＝﹣0.04x+1680，又≥60，得x≥900，由一次函数的增减性，当x＝900时w取得最大值，此时w＝﹣0.04×900+1680＝1644（元），则小王该月收入最多是1644+1900＝3544（元），此时甲有＝60（件），乙有：＝555（件），答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．22．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC+EC；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC 边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BC＝DC+EC，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，故答案为：BC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝9，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝6，∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝DE＝6．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y＝﹣x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y＝﹣x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB＝MB′，∴MB+MD＝MB′+MD＝DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y＝x+3，当x＝0时，y＝x+3＝3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y＝3x+3，∴直线PC的解析式可设为y＝﹣x+b，。

2019年孝感高中数学自主招生试题

(1) △DEF 为等腰直角三角形；
(2) 四边形 C EDF 不可能为正方形；
(3) 四边形 C EDF 的面积随点 E 的运动而变化；
(4)点 C 到直线 EF 的距离的最大值为 2 2
6.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，图像过点(5/2，0）对称轴为直线 x=1. 给出下列结论： (1) a bc>0；(2) a-2b+4c=0；(3) 8a+c<0；(4)关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 有两个不等的实根其中所有正确的结论是_______________ (填写正确结论的序号).
16.(本小 12 分) 设互不和等的非零实数 a,b,c 满足
a 3 b 3 c 3 , (a 3)2 (b 3)2 (c 3 )2 的值
b
c
a
b
c
a
17.(本小腿 12 分)旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租.该景区有 50 辆自行车供旅游客租货使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 8 元。.则自行车可以全部租出；若超过 8 元，则每超出 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆.为了便于结算、每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)，
秒 1cm 的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P 为圆心， 3 cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切
点在边上)，请写出 t 可取的所有值：___________ (单位：秒)
10. 在△ABC 中，∠ A=120°，BC=2，若△ABC 的内切圆面积为 S，则 S 的最大值为_______

(完整)2019重点高中自主招生数学模拟试卷一

第10题2019重点高中自主招生数学模拟试题一（满分120分。

考试时间共90分钟）一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知实数,a b 满足2217404a b a b +-++=，那么ab -的平方根是 ( )2．若210x x --=,则3225x x -+的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．53．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（） A ． 40% B ．13 C ．12D ． 30% 4．方程组223x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的实数解的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．15．对于每个自变量x ，y 是21211y x y x =+=-，两个值中的最小值，则当32x -≤≤时，函数y的最小值与最大值的和是（） A ．2-B ．1C ．2D ．36．如图，在□ABCD 中，AB ＝2BC ，BE ⊥AD 于E ，F 为CD 中点，设DEF α∠=，EFC β∠=，则下面结论成立的是（）A ．3βα<B ．4βα＞C ．3βα=D ．4βα=二、填空题 (本题有6个小题，每小题6分，共36分) 7．在2，2-，0三个整数中，任取一个，恰好使分式x x-+22有意义．．．的概率是． 8．已知一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为．9．求()22(sin 20)sin 70tan 28tan 62++=o o o o ．10．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90︒，BC=6，BA=8，现以AC 为边在AC 的右侧作正方形ACDE ，则BE 的长为．第8题ABCD E F第8题11．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20, 若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为．12．抛物线221236y x tx t =-+-与x 轴有两个交点A 、B ，线段AB （含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为21，则t 的取值范围是．三、解答题(本大题共4题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13．（本题满分12分）（Ⅰ）已知,,a b c 均不为0，且232757a b b c c a +--==，求223c bb a-+的值；（Ⅱ）已知：0x >，且70x y -=，求xy的值．14．（本题满分12分）如图，点A 是函数111(0,0)k y k x x=>>图象上的任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴，交另一个函数222(0,0)k y k x x =<＞的图象于点B ，在y 轴上取点C ，使四边形ABCO 是平行四边形．（Ⅰ）求证：平行四边形ABCO 的面积为定值；（Ⅱ）设直线CB 与函数222(0,0)k y k x x=<＞的图象相交于另一点D ，若不论点A 在何处，都有CB BD =，试求12k k 与的关系式．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．（Ⅰ）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（Ⅱ）若直线FH交⊙O于点G，（ⅰ）当FH∥BE时，求AE的长；（ⅱ）在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．如图，Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，AB ＝4，点B 的坐标为（－1，0），点C 在y 轴的正半轴．若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点A ，B ，C ．（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）设对称轴与抛物线交于点E ，与AC 交于点D 。

2019年湖北省襄阳四中、五中自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．（5分）下列运算结果中正确的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．a2•a3＝a6D．a5÷a3+a2＝2a22．（5分）是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x30的平均数，b是x31，x32，…，x100平均数，则下列各式一定正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝a+b3．（5分）若一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣2D．24．（5分）如图，四边形AODC是边长为1的正方形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点M在线段AB上，MN⊥AB，且MN交CD或交弧DB于点N，设AM＝x（0≤x≤2），图中阴影部分表示的平面图形AMNC（或AMNDC）的面积为y，则y关于x的函数的大致图象是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在半径为1，圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）有下列四个命题：①若a＝b，则ac＝bc；②若x＜y，则x2＜y2；③命题“若x2≠4，则x≠2”的逆命题；④若一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≥﹣1，其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围为（）A．x≤﹣4或x≥2B．﹣4＜x＜1且x≠0C．﹣4≤x≤1且x≠0D．﹣4≤x＜1且x≠08．（5分）把一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次向上的点数之和不小于9的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根可视为函数y＝x﹣2的图象与函数的图象公共点的横坐标，则方程x3﹣2x﹣1＝0的正实数根x0所在的范围是（）A．1B．C．D．＜210．（5分）如图，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，若点P为边CD上一动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，则点P的坐标为（）A．P（，4）B．P（，4）C．P（，4）D．P（，4）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）把答案填在答题卡的相应位置上.11．（5分）＝．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．13．（5分）如图，已知菱形ABCD的周长为8，面积为2，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，记PC﹣PE的最大值为m，记PC+PE的最小值为n，则＝．14．（5分）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，则AE的长为．15．（5分）规定：（x）表示不小于x的最小整数，[x]表示不大于x的最大整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：（4.7）＝5，[﹣4.7]＝﹣5，[4.7）＝5，则下列说法正确的是（写出所有正确说法的序号）①当x＝2.3时，（x）+[x]+[x）＝7；②当x＝﹣2.3时，（x）+[x]+[x）＝﹣6；③（x+y）≤（x）+（y）；④[x﹣y]≤[x]﹣[y]．16．（5分）古代数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2+n．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），则下面给出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）＝n2+n四边形数N（n，4）＝n2五边形数N（n，5）＝n2﹣n六边形数N（n，6）＝2n2﹣n…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（20，19）＝．三、解答题（本大题共8个小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内17．（6分）袋子中装有1个红球，2个黄球和3个绿球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出两个球．（1）求两球颜色为一黄一绿的概率；（2）若摸到红球记1分，摸到黄球记2分，摸到绿球记3分，求得分为4分的概率．18．（6分）如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O于点E．（1）若D为AC中点，求证：DE是⊙O切线；（2）若OA＝CE，求tan∠ACB的值．19．（8分）某公司在甲，乙两地销售同一种品牌的手机，在甲地的销售利润（单位：百元）为y1＝ax2+6.5x，在乙地的销售利润（单位：百元）为y2＝kx，其中x为销售量（单位：部），当x＝5时，y1＝2y2；当x ＝35时，y1＝y2．（1）求实数a和k的值；（2）若该公司在两地共销售40部该种品牌的手机，求该公司获得的最大销售利润．20．（8分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题．（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是；（3）当1＜x＜3时，函数y＝有最（填“大”或“小”）值，该值为；（4）请根据函数的解析式或结合函数的图象，写出有关函数增减性的两条性质：①②；（5）如果方程＝a没有实数解，那么a的取值范围是．21．（10分）如图，点E为正方形ABCD边BC上一动点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，AE＝EF，连接AF交边CD于M，交BC的延长线于N，连接EM、CF，EF交CM于点P．（1）判断线段BE、EM、MD间的数量关系，并证明你的结论；（2）若正方形边长为1，且BE：EC＝1：2，求MP和FN的长．22．（10分）已知实数a，b满足a2+b2＝1．（1）求t＝a﹣b的取值范围；（2）求y＝a﹣b+ab﹣1的最大值．23．（10分）已知抛物线y＝x2﹣（5k+1）x+6k2+3k．（1）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有公共点；（2）如图，若抛物线与x轴正半轴交于B、C两点，与y轴交于点A．是否存在实数k，使得AB＝BC，且∠ABC＝150°．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于B、C两点．（1）求抛物线的顶点A的坐标及B，C两点的坐标；（2）在x轴上是否存在一点P，使△P AB为等腰三角形？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；（3）如图，连接AB、AC，点M为线段BC上一动点，过点M作直线MN∥AC交线段AB于点N，求△AMN面积的最大值．。

安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试题

注意事项：安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试卷1．本试卷总分150分，考试时间120分钟。

2．答案一律用黑色钢笔或墨水笔写在答题卷上，不能写在本试卷上。

一、选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项．题．卷．相．应．位．置．上）1.16的平方根是( ▲ )A. 4 .2 D. ± 22.若1x-=x -1成立，则x 满足( ▲ )A. x ≥≥1 C. x ≤1 D. x <13.已知m 5-1，则m2 + 2m 的值是( ▲ )A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b 与水平线平行，以其中一条为x 轴，取向右为正方向；直线c、d 与水平线垂直，以其中一条为y 轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数y =m x2 + 2mx +12 (m ≠ 0)的图像如图，则下面结论正确的是( ▲ )A.a 为x 轴，c 为y 轴B. a 为x 轴，d 为y 轴C.b 为x 轴，c 为y 轴D.b 为x 轴，d 为y 轴5.如图，已知AB 为圆的直径，C 为半圆上一点，D 为半圆的中点，AH⊥CD，垂足为H，HM 平分∠AHC，HM 交AB 于M．若AC=3，BC=1，则MH 长为( ▲ )A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 边上一点，∠ADC=3∠BAD，BD=8，CD=7，则AB 的值是( ▲A.16B.20C. 217D. 2+7二、填空题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卷．相．应．位．置．上）7.已知实数x、y 满足2542x yx y+=⎧⎨-=⎩则x -y =▲．8.分解因式：x2 + 4xy +4y2 +x +2y- 2 = ▲．9．在平面直角坐标系中，点A、B 的坐标分别是（m，3）、（3m-1，3）．若线段AB 与直线y = 2x +1相交，则m 的取值范围是▲．10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径是▲cm.11.如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE=2CE，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C、D 分别落在M、N 处，且点M、N、B 在同一直线上，折痕与边AD 交于点F，NF 与BE 交于点G.设AB3EFG 的周长为▲．．（第 11 题）(第 12 题)12.如图，点 A 1，A 2，…，A n 均在直线 y = x -1 上，点 B 1，B 2，…，B n 均在双曲线 y = -1x上，并且满足：A 1B 1⊥x 轴，B 1A 2⊥y 轴，A 2B 2⊥x 轴，B 2A 3⊥y 轴，…，A n B n ⊥x 轴， B n A n +1⊥y 轴，…，记点 A n 的横坐标为 a n （n 为正整数）．若 a 1 =-1，则 a 2016 = ▲ . 13.如图，已知△ABC 中， ∠C = 90 °， ∠A = 30 °，AC =3．动点 D 在边 AC 上，以 BD 为边作等边△BDE (点 E 、D 、B 逆时针排列). 在点 D 从点 A 移动至点C 的过程中，点 E移动的路线长为 ▲(第 13 题)（第 14 题）（第 16 题）14. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =3，点 M 是直线 BC 上一动点，且∠CAM +∠CBA =45°，则 BM = ▲ .15.在平面直角坐标系中，有三条直线，它们的函数表达式分别是y = x ， y = x + 1 ， y = x + 2 ．在这三条直线上各有一个动点，依次为 A 、B 、C ，它们的横坐标分别为 a 、b 、 c ，则当 a 、b 、c 满足 ▲ 时，A 、B 、C 三点不能构成三角形． 16.如图，已知点 P （2，0），Q （8 ，0），A 是 x 轴正半轴上一动点，以 OA 为一边在第一象限内作正方形 OABC ，当 PB + BQ 取最小值时，点 B 的坐标是 ▲ . 三、解答题（本大题共 8 题，共 86 分．请在答．题．卷．指．定．区．域．作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10 分）若关于 x 的分式方程223242m x x x +=--+无解，求m 的值． 18.（10 分）甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出发 0.2 小时后乙开汽车前往．设甲行驶的时间为 x (h)，甲、乙两人行驶的路程分别为 y 1 (km)与 y 2 (km)．图①是 y 1 与 y 2 关于 x 的函数图像．（1）分别求线段 OA 与线段 BC 所表示的 y 1 与 y 2 关于 x 的函数表达式；（2）当 x 为 ▲ 时，两人相距 6 km ；（3）设两人相距 S 千米，在图②所给的直角坐标系中画出 S 关于 x 的函数图像．19.（10 分）如图，在□ABCD 中， AB = 5 ， BC = 10，F 为 AD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，设 ∠ABC = α （60°≤ α < 90 °）. （1）当α = 60 °时，求 CE 的长；（2）当 60°< α < 90 °时，是否存在正整数 k ，使得 ∠EFD = k ∠AEF ？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由.20.（10 分）如图，直线 y = k 1x 和 y = k 2x 与反比例函数 y =1x图像分别交于两点 A 、C 和 B 、D ，连接 AB ,BC ,CD ,DA . （1）四边形 ABCD 一定是 ▲ 四边形；（2）四边形 ABCD 可能是矩形吗？若可能，求 k 1 ， k 2 满足的关系式；若不能，说明理由；（3）设 P （ x 1 ，y 1 ），Q （ x 2 ，y 2)( x 2 > x 1 > 0 ）是函数 y =1x图像上的任意两点， a =122y y +, b =122x x +，试判断 a ， b 的大小关系，并说明理由.21.（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （0，4），点 B 是 x 轴正半轴上一点，连接 AB ，过点 A 作 AC ⊥AB ，交 x 轴于点 C ，点 D 是点 C 关于点 A 的对称点，连接 BD ，以 AD 为直径作⊙Q 交 BD 于点 E ，连接并延长 AE 交 x 轴于点 F ，连接 DF . （1）求线段 AE 的长；（2）若 AB - BO = 2 ，求AF CF的值；（3）若△DEF 与△AEB 相似，求BE DE的值.22.（10 分）问题：如图 1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为 1）．画出一个正方形 ABCD ，使它的顶点 A 、B 、C 、D 分别在直线 a 、b 、d 、c 上，并计算它的边长．小明的思考过程：（图 1）（图 2）他利用图 1 中的等距平行线构造了 3⨯ 3 的正方形网格，得到了辅助正方形 EFGH ，如图 2 所示，再分别找到它的四条边的三等分点 A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形．请回答：图 2 中正方形 ABCD 的边长为 ▲ ．请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图 3 的菱形网格（最小的菱形有一个内角为 60°，边长为 1）中，画出一个等边△ ABC ，使它的顶点 A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线 a 、b 、c 上，并直接写出等边△ ABC 的边长（只需要画出一种即可）．（图 3）（图 4）（2）如图 4，a 、b 、c 是同一平面内的三条平行线，a 、b 之间的距离是1 ，b 、c 之间的距离是 12，等边△ ABC 的三个顶点分别在 a 、b 、c 上，直接写出△ ABC 的边长．23.（14 分）已知二次函数 y = ax 2 + 4x + c (a ≠ 0) 的图像是经过 y 轴上点C （0，2）的一条抛物线，顶点为 A ，对称轴是经过点 H （2，0）且平行于 y 轴的一条直线．点 P 是对称轴上位于点 A 下方的一点，连接 CP 并延长交抛物线于点 B ，连接 CA 、AB ．（1）求这个二次函数的表达式及顶点 A 的坐标；（2）当∠ACB =45°时，求点 P 的坐标；（3）将△ CAB 沿 CB 翻折后得到△ CDB ，问点 D 能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P 的坐标，若不能，说明理由．24. （12 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形W 1 ，W 2 给出如下定义：点 P 为图形W 1 上一点，点 Q 为图形W 2 上一点，当点 M 是线段 PQ 的中点时，称点 M 是图形W 1 ，W 2 的“中立点”．如果点 P ( x ， y )，Q ( x ， y )，那么“中立点”M 的坐标为12(,2x x +12)2y y + 已知，点 A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接 BC ，在点 D (12 ，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是 ▲ ；（2）已知点 G (3，0)，⊙G 的半径为 2．如果直线 y = -x +1上存在点 K 可以成为点 A 和⊙G 的“中立点”，求点 K 的坐标；（3）以点 C 为圆心，半径为 2 作圆．点 N 为直线 y = 2x + 4 上的一点，如果存在点 N ，使得 y 轴上的一点可以成为点 N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点 N 的横坐标 x N 的取值范围．。

2019年漳州一中、龙海一中、漳浦一中高中自主招生考试数学题(解析版)

【答案】B
【解析】
【分析】
在CB延长线上取BD=BA=c，则∠D=∠BAD，由已知得到，然后得到△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质，∠D=∠BAC，通过外角性质和等量代换，即可得到答案．
【详解】解：如图，在CB延长线上取BD=BA=c，则∠D=∠BAD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，，，
∴ ，
9.方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意推断方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程的实根x所在范围．
∴CD= ，AC= ，
∴BC=CD+BD= ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= ，
∴ ，
解得：r= ，
故答案为： .
∴4a﹣2b+c<0，
∴
∴故③正确；
④由于该抛物线的顶点横坐标为﹣1，此时y=a﹣b+c是最小值，
∴am2+bm+c>a﹣b+c（m≠﹣1），
∴m（am+b）>a﹣b（m≠﹣1），故④错误；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状,对称轴,特殊点的关系．
【详解】解：的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当时，，无意义，此时抛物线的图象在反比例函数下方；

华师一附中2019年自主招生数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2019年高中招生考试数学试题2019．3．31考试时间：70分钟卷面满分：120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1．若关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋4x －1=0有实数根，则实数m 的取值范围是() A ．m ≥－2 B ．m>－2或m ≠2 C ．m ≥－2且m ≠2 D ．m ≠22．已知过点(2，3)的直线y=ax ＋b(a ≠0)不经过第四象限，设s=a ＋2b ，则s 的取值范围是() A ．32≤s ＜6B ．－6＜s ≤−32C ．－6≤s ≤32D ．32≤s ≤63．已知√(x ＋1)2＋|3－x|=4，则y=2x －1的最大值与最小值的和是() A ．1B ．2C ．3D ．44．古希腊数学家欧几里德的《几何原本》记载，形如x 2＋2bx=a 2的方程的图解法是：如图，画Rt △ACB ，∠ACB=90°，BC=a ，AC=b ，在斜边AB 上截取AD=b ，则该方程的一个正根是() A ．AC 的长B ．BC 的长C ．CD 的长D ．BD 的长5．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上的点，DE 交AC 于点M ，AF 交BD 于点N ；若AF 平分∠BAC ，DE ⊥AF ；记x=BNON，y=CFBF，z=BE OM，则有()A ．x ＞y ＞zB ．x=y=zC ．x=y ＜zD ．x=y ＞z6．设a ，b 为整数，关于x 的一元二次方程x 2＋(2a ＋b ＋3)x ＋(a 2＋ab ＋6)=0有两相等实根α，关于x 的一元二次方程2a x 2＋(4a －2b －2)x ＋(2a －2b －1)=0有两相等实根β；那么以α，β为实根的整系数一元二次方程是() A ．2x 2＋7x ＋6=0 B ．x 2＋x －6=0 C ．x 2＋4x ＋4=0D ．x 2＋(a ＋b)x ＋ab=0二、填空题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 7．ΔABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC=60°，劣弧BC 的长是4π3，则⊙O 的半径是．8．若m ，n 是方程x 2－x －2019=0的两实根，则m 2－2m －n 的值为．9．一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是．10．当a ，b 是正实数，且满足a ＋b=ab 时，就称点M(a ，ab )为“完美点”；已知点A 是“完美点”且在直线y=－x ＋5上，则点A 的坐标为．11．从－3，－2，－1，－12，0，12，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m ．若数m 使关于x 的不等式组{13(2x ＋7)≥3x −m ＜0无解，且使关于x 的分式方程x x ＋3＋m−2x ＋3＝－1有整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m 的概率是． 12．如图，ΔABC 中，∠ACB=90°，sinA=513，AC=12，将ΔABC 绕点C 顺时针旋转90°得到ΔA'B'C ，P 为线段A'B'上的动点，以点P 为圆心，PA'长为半径作⊙P ，当⊙P 与ΔABC 的边相切时，⊙P 的半径为．三、解答題(本大题共3小題，共48分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 13．(本小题满分16分)已知：如图，Rt ΔABC 的三边满足(AB －4)2＋|AB －BC|=0，∠ABC=90°． (1)若M 是边AB 上一点，N 是边BC 延长线上一点，且线段AM=CN=m ，mAB−m=ABBC ＋2，求m 的值；(2)若M 是边AB 上一动点，N 是边BC 延长线上一动点，且线段AM=CN ，判断线段DM 与DN 的大小关系，并说明你的理由；(3)若M 、N 分别是边AB 、BC 延长线上的动点，D 为线段MN 与边AC 延长线的交点，线段AM=CN ，判断线段DM 与DN 的大小关系，并说明你的理由．AMB C DNAM B CD N14．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“特别距离”，给出如下定义：若｜x1－x2|≥｜y1－y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为｜x1－x2|；若｜x1－x2|＜｜y1－y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为｜y1－y2|．例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|<|2－5|，所以点P1与点P2的“特别距离”为|2−5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x 轴的直线P2Q交点)．，0)，B为y轴上的一个动点．(1)已知点A(－12①若点A与点B的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值．x＋4上的一个动点，如图2，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D (2)已知C是直线y=43的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标．15．(本小题满分16分)如图，已知抛物线y=x2＋2bx＋2c(b，c是常数，且c<0)与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．(1)点B的坐标为＿＿＿＿(结果用含c的代数式表示)；(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2＋2bx＋2c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为(2，0)．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得ΔPBC 的面积为S．①S的取值范围；②若ΔPBC的面积S为整数，则这样的ΔPBC共有＿＿＿＿个.华中师大一附中2019年高中招生考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题1．C ．由△≥0，且m －2≠0，得m ≥－2且m ≠2． 2．A ．由题意得a ＞0，b ≥0，且3=2a ＋b ，当b=0时，s=a=32；当b ＞0时，s=a ＋2(3－2a)=6－3a ＜6．3．B ．由题意得x ＋1≥0，3－x ≥0，∴－1≤x ≤3，当x=－1时，y=2x －1有最小值为－3，当x=3时，y=2x －1有最大值为5，∴和是2．法2：由题意得|x ＋1|＋|3−x |=4，即数轴上一点x 到点(－1，0)、(3，0)的距离之和为4，当x=－1时，y=2x －1有最小值为－3，当x=3时，y=2x －1有最大值为5，∴和是2． 4．D ．由勾股定理得AB=√b 2＋a 2，∴BD=√b 2＋a 2－b ，由求根公式得x=−2b±√(2b)2−4×1×(−a 2)2=±√b 2＋a 2－b ，∴该方程的一个正根是BD 的长． 5．C ．如图，由角平分线，2BN AB AC CFON AO AB BF====，即x=y=√2，又AME ∆的角分线与高重合，则AME ∆为等腰三角形，AM AE =，作OP ∥AB ，交ED 于P ，则OP 为DBE ∆的中位线，OMP AME ∆∆∽，z=BE OM =BE OP=2，∴x=y ＜z ．6．A ．由题意得，(2a ＋b ＋3)2－4(a 2＋ab ＋6)=0，即(b ＋3)2=12(2－a)①，又(4a －2b －2)2－4×2a(2a －2b －1)=0，即(b ＋1)2=2a ②，由①②得，7b 2＋18b −9=0，其整根为b=－3，∴a=2；两个方程分别是：x 2＋4x ＋4=0和4x 2＋12x ＋9=0，∴α=−2，β=−32， ∴以α，β为实根的整系数一元二次方程是2x 2＋7x ＋6=0．二、填空题7．解：连接OB 、OC ．，劣弧BC 的长是，，．故答案为2． 8．解：由题意得：m 2－m －2019=0，m ＋n=1，∴m 2－m=2019， ∴m 2－2m －n=m 2－m －(m ＋n)=2019－1=2018．2120BOC BAC ∠=∠=︒43π∴12041803r ππ⋅⋅=2r ∴=9．解：当3x －2=127时，x=43，当3x －2=43时，x=15，当3x －2=15时，x=173，不是整数；所以输入的最小正整数为15．故答案为15．10．解：∵a ，b 是正实数，且满足a ＋b=ab ，∴a b＋1=a ，即ab=a －1，∴M(a ，a －1)，即“完美点”A 在直线y=x －1上，又∵点A 是“完美点”且在直线y=－x ＋5上， ∴{y =x −1y =－x ＋5，∴{x =3y =2，∴点A 的坐标为(3，2)．11．解：整理不等式组得：{x ≥1x ＜m ，由不等式组无解，得m ≤1，即m 为－3，－2，－1，－12，0，12，1；分式方程去分母得：x ＋m －2=－x －3，∴x=−m ＋12，由分式方程有整数解，∴m 为－3，－1，1，3，∴满足条件的m 为－3，－1，1，∴m 的概率是13． 12．解：如图1中，当⊙P 与直线AC 相切于点Q 时，连接PQ ．设PQ=PA'=r ，∵PQ ∥CA'，∴，，．如图2中，当⊙P 与AB 相切于点T 时，易证A'、B'、T 三点共线， △，，，，．综上所述，⊙P 的半径为或．13．解：(1)∵(AB －4)2＋|AB －BC|=0，∴AB －4=0，且AB －BC=0，∴AB=BC=4，∵mAB−m= AB BC+2，∴m 4−m=3，∴m=3，经检验得，m=3．(注：未检验扣1分)(2)∵DM=DN ．理由如下：过M 作ME ⊥AB 交AC 于E ， ∴∠AME=∠B=90°，∴ME ∥BC ，∴∠EMD=∠N ， ∵AB=BC ，∠B ＝90°，∴∠A ＝∠ACB=45°， ∴∠AEM=∠ACB=45°，∴AM=ME ，∵AM=CN ， ∴ME=CN ，又∵∠MDE=∠NDC ， ∴△MED ≌△NCD(AAS)，∴DM=DN ．(3)∵DM=DN ．理由如下：过M 作MH ⊥AB 交AC 的延长线于H ，同(2)可证△MHD ≌△NCD(AAS)，∴DM=DN ．(注：其它解法酌情给分，(2)、(3)问只有结论而无证明过程各得1分)．PQ PB CA A B '='''∴131213r r -=15625r ∴=A BT ABC '∆∽∴A T AB AC AB''=∴171213A T '=20413A T ∴'=1102213r A T ∴='=1562510213 AM B CD NEAMB C D NH14．解：(1)①∵点B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0，y)．∵|−12−0|=12≠3，∴|0−y |=3，∴y=3或y=－3，∴点B 点的坐标为(0，3)或(0，－3)．②点A 与B 点的“特别距离”的最小值为12．故答案是：12．(2)设点C(x ，43x ＋4)，D(0，1)，则｜x 1－x 2|=x ，｜y 1－y 2|=|43x ＋3|，①当|x |≥|43x ＋3|时，(i)若x ≤－94，则－x ≥−43x −3，x ≥－9，∴－9≤x ≤－94，(ii)若－94＜x ≤0，则－x ≥43x ＋3，73≤x ≤－3，x ≤－94，∴－94＜x ≤－97，(iii)若x ＞0，则x ≥43x ＋3，x ≤－9(舍)，综上，－9≤x ≤－97，∴当x=－97时，|x|min =|－97|=97，②当|x |＜|43x ＋3|时，同理可得，x ＜－9或x ＞－97， (i)若x ＜－9，则|43x ＋3|=−43x −3，|43x ＋3|＞9， (ii)若x ＞－97，则|43x ＋3|=43x ＋3，|43x ＋3|＞97，综合①②得，点C 与点D 的“特别距离”的最小值为97．相应的点C(－97，167)．(注：其它解法酌情给分)15．（1）∵抛物线y=x 2＋2bx ＋2c 过点A(－1，0)，∴1－2b ＋2c=0，∴2b=1＋2c ， ∵抛物线y=x 2＋2bx ＋2c 与x 轴分别交于点A(－1，0)、B(x B ，0)，∴−1、x B 是一元二次方程x 2＋2bx ＋2c 的两个根，∴−1＋x B =－2b=－1－2c ， ∴x B =－2c ，∴点B 的坐标为(－2c ，0)；（2）∵抛物线y=x 2＋2bx ＋2c 与y 轴的负半轴交于点C ， ∴当x=0时，y=2c ，即点C 的坐标为(0，2c)．设直线BC 的解析式为y=kx ＋2c ，∵点B 的坐标为(－2c ，0)，∴－2ck ＋2c=0， ∵c ≠0，∴k=1，∴直线BC 的解析式为y=x ＋2c ， ∵AE ∥BC ，∴可设直线AE 的解析式为y=x ＋m ，∵点A 的坐标为(－1，0)，∴－1＋m=0，解得m=1，∴直线AE 的解析式为y=x ＋1． ∵抛物线y=x 2＋2bx ＋2c 过点A(－1，0)，∴1－2b ＋2c=0，∴2b=1＋2c ，∴y=x 2＋(1＋2c)x ＋2c ，与y=x ＋1联立，解得x=－1，y=0或x=1－2c ，y=2－2c ， ∴E(－1，0)(与点A 重合，舍去)，E(1－2c ，2－2c)．∵点C 的坐标为(0，2c)，点D 的坐标为(2，0)，∴直线CD 的解析式为y=－cx ＋2c ． ∵点C ，D ，E 三点在同一直线上，∴2－2c=－c(1－2c)＋2c ，∴2c 2＋3c －2=0， ∴c 1=12(与c ＜0矛盾，舍去)，c 2=－2，∴b=−32，∴抛物线的解析式为y=x 2－3x －4；（3）①∵A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)， ∴AB=5，OC=4，直线BC 的解析式为y=x －4，分两种情况： (i)当－1＜x ＜0时，0＜S ＜S △ACB ，∵S △ACB =12AB ·OC=10，∴0＜S ＜10；(ii)当0＜x ＜4时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交CB 于点F ，设PF=y F −y P =(x －4)－(x 2－3x －4)=−x 2＋4x ，∴S △PCB =S △PFC ＋S △PFB =12PF ·OB=12(−x 2＋4x)×4=−2x 2＋8x=−2(x −2)2＋8， ∴当x=2时，S 最大值=8，∴0＜S ≤8；综合(i)(ii)可知：S 的取值范围为0＜S ＜10．②∵S 的取值范围为0＜S ＜10，且S 为整数．∴S=1，2，3，4，5，6，7，8，9．分两种情况：(i)当－1＜x ＜0时，设△PBC 中BC 边上的高为h ．∵B(4，0)，C(0，－4)，∴BC ＝4√2，∴S=12BC ·h=2√2h ，∴h =√24S ，又∵0＜S ＜10，即0＜2√2h ＜10，∴0＜h ＜5√22， ∴当S=1，2，3，4，5，6，7，8，9时，√24≤h ≤9√24，此时，满足条件的ΔPBC 有9个；(ii)当0＜x ＜4时，∵S △PCB =−2x 2＋8x ，且0＜S ≤8；∴当S=1，2，3，4，5，6，7时，均有∆＞0，此时P 点共有7×2=14个，当S=8，有∆＝0，此时P 点只有1个；综上可知，满足条件的ΔPBC 共有9＋14＋1=24个．D A B Oyx ECPFG。

2019高中自主招生数学模拟试题

自主招生数学数学试题一、解答题（共21小题，满分120分）1．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B、C重合），过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F．（1）求证：△ACO∽△NCF；（2）NC：CF＝3：2，求sin B的值．2．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？3．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M 点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x 的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．5．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t．（1）求tan∠FOB的值；（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN＝60°，∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝AC；②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b＝﹣4ac．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？8．如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t 之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？9．小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB＝α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上．（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA 方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的式子表示），并说明当α＝45°时，△BMD是什么三角形；（3）在图3的基础上，将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB与MD的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD为等边三角形．10．如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF＝FD；（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG＝DA，并说明理由．11．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？12．正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF ⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF＝EF；②写出线段PC、P A、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，﹣4）、B（x1，0）、C （x2，0）三点，且x2﹣x1＝5．（1）求b、c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由．14．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．15．已知：抛物线y＝ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．（10分）已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．（12分）九（1）班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大．小组讨论后，同学们做了以下三种试验：请根据以上图案回答下列问题：（1）在图案1中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为6m，当AB为1m，长方形框架ABCD的面积是m2；（2）在图案2中，如果铝合金材料总长度为6m，设AB为xm，长方形框架ABCD的面积为S＝（用含x的代数式表示）；当AB＝m时，长方形框架ABCD的面积S最大；在图案3中，如果铝合金材料总长度为lm，设AB为xm，当AB＝m 时，长方形框架ABCD的面积S最大．（3）经过这三种情形的试验，他们发现对于图案4这样的情形也存在着一定的规律．探索：如图案4如果铝合金材料总长度为lm共有n条竖档时，那么当竖档AB多少时，长方形框架ABCD的面积最大．18．课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）．（1）△A1OB1的面积是；A1点的坐标为（）；B1点的坐标为（）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，﹣1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积；（3）在（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于．19．（9分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF ⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N，（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．20．（10分）如图①，已知△ABC中，AB＝AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G，则CG＝PM+PN．（1）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE＝AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB 于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）（3）观察图①、②、③的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有PM、PN、CG这样的线段，并满足图①或图②的结论，写出相关题设的条件和结论．21．（8分）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AC＝BC＝4，设△EFP平移的距离为x，当0≤x≤8时，△EFP与△ABC重叠部分的面积为S，请写出S与x之间的函数关系式，并求出最大值．参考答案一、解答题（共21小题，满分120分）1．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴EM⊥AB，∴∠A＝∠CNF＝∠MNB＝90°﹣∠B．∵CF为⊙O切线，∴∠OCF＝90°．∴∠ACO＝∠NCF＝90°﹣∠OCB，∴△ACO∽△NCF．（2）解：由△ACO∽△NCF得：．在Rt△ABC中，sin B＝．2．【解答】解：（1）设y1＝kx，由图①所示，函数y1＝kx的图象过（1，2），所以2＝k•1，k＝2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1＝2x（x≥0）；∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2＝ax2，由图②所示，函数y2＝ax2的图象过（2，2），∴2＝a•22，，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y＝x2（x≥0）；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8﹣x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z＝2（8﹣x）+x2＝x2﹣2x+16＝（x﹣2）2+14，当x＝2时，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴x＝8时，Z的最大值为32，答：当x＝8时，z的最大值是32．3．【解答】解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即；∴AN＝x；∴S＝S△MNP＝S△AMN＝•x•x＝x2．（0＜x＜4）（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO＝OD＝MN．在Rt△ABC中，BC＝＝5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN＝x∴OD＝x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ＝OD＝x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM＝x，AB＝BM+MA＝x+x＝4∴x＝，∴当x＝时，⊙O与直线BC相切；（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠AOM＝∠APB，∴△AMO∽△ABP，∴，∵AM＝MB＝2，故以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，y＝S△PMN＝x2，∴当x＝2时，y最大＝×4＝，②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x，又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形；∴FN＝BM＝4﹣x，∴PF＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，又∵△PEF∽△ACB，∴，∴S△PEF＝（x﹣2）2；y＝S△MNP﹣S△PEF＝x2﹣（x﹣2）2＝﹣x2+6x﹣6，当2＜x＜4时，y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣）2+2，∴当x＝时，满足2＜x＜4，y最大＝2．综上所述，当x＝时，y值最大，最大值是2．4．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．5．【解答】解：（1）∵A（2，2），∴∠AOB＝45°，∴CD＝OD＝DE＝EF＝t，∴．（3分）（2）∵CF∥OB，∴△ACF∽△AOB，∴．∴，∴．（4分）（3）要使△BEF与△OFE相似，∵∠FEO＝∠FEB＝90°，∴只要或．即：BE＝2t或，①当BE＝2t时，BO＝4t，∴，∴t1＝0（舍去）或t2＝，∴B（6，0）．（2分）②当时，（ⅰ）当B在E的左侧时，，∴，∴t1＝0（舍去）或t2＝．∴B（1，0）．（2分）（ⅱ）当B在E的右侧时，，∴，∴t1＝0（舍去）或t2＝，∴B（3，0）．（2分）综上，B（1，0）（3，0）（6，0）．6．【解答】（1）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴AB＝AD＝AC，∴AB+AD＝AC．（2）解：成立．证法一：如图，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB，∴ED＝FB，∴AB+AD＝AF+BF+AE﹣ED＝AF+AE，由（1）知AF+AE＝AC，∴AB+AD＝AC，证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG，∵∠CAB＝60°，AG＝AC，∴∠AGC＝60°，CG＝AC＝AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠ADC，∴△CBG≌△CDA，∴BG＝AD，∴AB+AD＝AB+BG＝AG＝AC；（3）证明：由（2）知，ED＝BF，AE＝AF，在Rt△AFC中，cos∠CAF＝，即cos，∴AF＝AC cos，∴AB+AD＝AF+BF+AE﹣ED＝AF+AE＝2AF＝2cos AC．把α＝60°，代入得AB+AD＝AC．7．【解答】解：（1）将B（0，1）代入y＝ax2+bx+c中，得c＝1．又∵b＝﹣4ac，顶点A（﹣，0），∴﹣＝＝2c＝2．∴A（2，0）．（2分）将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1＝0，∴解得a＝，b＝﹣1，故抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1．（4分）（2）假设符合题意的点C存在，其坐标为C（x，y），作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．∵A在以BC为直径的圆上，∴∠BAC＝90°．∴△AOB∽△CDA，∴OB•CD＝OA•AD，即1•y＝2（x﹣2），∴y＝2x﹣4，（6分）由，解得x1＝10，x2＝2．∴符合题意的点C存在，且坐标为（10，16），或（2，0），（8分）∵P为圆心，∴P为BC中点，当点C坐标为（10，16）时，取OD中点P1，连PP1，则PP1为梯形OBCD中位线，∴PP1＝（OB+CD）＝．∵D（10，0），∴P1（5，0），∴P2（5，）．当点C坐标为（2，0）时，取OA中点P2，连PP2，则PP2为△OAB的中位线．∴PP2＝OB＝，∵A（2，0），∴P2（1，0），∴P（1，）．故点P坐标为（5，），或（1，）．（10分）（3）设B、P、C三点的坐标为B（x1，y1），P（x2，y2），C（x3，y3），由（2）可知：．（12分）8．【解答】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝5，AB＝4．BE＝＝3．∴CE＝2．∴E点坐标为（2，4）．在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，又∵DE＝OD．∴（4﹣OD）2+22＝OD2．解得：OD＝．∴D点坐标为（0，）．（2）如图②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴，又知AP＝t，ED＝，AE＝5，PM＝×＝，又∵PE＝5﹣t．而显然四边形PMNE为矩形．S矩形PMNE＝PM•PE＝×（5﹣t）＝﹣t2+t；∴S四边形PMNE＝﹣（t﹣）2+，又∵0＜＜5．∴当t＝时，S矩形PMNE有最大值．（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME＝MA（如图①）在Rt△AED中，ME＝MA，∵PM⊥AE，∴P为AE的中点，∴t＝AP＝AE＝．又∵PM∥ED，∴M为AD的中点．过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，∴MF＝OD＝，OF＝OA＝，∴当t＝时，（0＜＜5），△AME为等腰三角形．此时M点坐标为（，）．（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM＝AE＝5（如图②）在Rt△AOD中，AD＝＝＝．过点M作MF⊥OA，垂足为F．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴．∴t＝AP＝＝＝2，∴PM＝t＝．∴MF＝MP＝，OF＝OA﹣AF＝OA﹣AP＝5﹣2，∴当t＝2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2，）．综合（i）（ii）可知，t＝或t＝2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（，）或（5﹣2，）．9．【解答】解：（1）MB＝MD，证明：∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中，MB＝AG在Rt△ADG中，MD＝AG∴MB＝MD．（2）∵∠BMG＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM，同理∠DMG＝∠DAM+∠ADM＝2∠DAM，∴∠BMD＝2∠BAM+2∠DAM＝2∠BAC，而∠BAC＝90°﹣α，∴∠BMD＝180°﹣2α，∴当α＝45°时，∠BMD＝90°，此时△BMD为等腰直角三角形．（3）当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB＝MD，∠BMD＝180°﹣2α，故当α＝60°时，△BMD为等边三角形．解法：延长DM至N，使MN＝DM，连AN、BN、BD，则有AN＝DH，∠NAM＝∠DHM∵∠1＝∠AHD+∠2∴∠BAM+90°＝∠AHD+90°﹣∠DCB，∴∠NAB＝∠DCB，∵∠CDH＝∠ABC＝90°，∠DCH＝∠BCA，∴△CDH∽△CBA，∴DH：AB＝CD：BC，∴AN：AB＝CD：BC，∴△NAB∽△DCB，∴∠NBA＝∠DBC∴∠NBD＝90°，∴BM＝MD，由△NAB∽△DCB得NB：AB＝BD：BC∴△NBD∽△ABC，∴∠BNM＝∠BAC，∵∠BMD＝2∠BNM∴∠BMD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α．10．【解答】（1）证明：在Rt△AEB中，∵AC＝BC，∴CE＝AB，∴CB＝CE，∴∠CEB＝∠CBE．∵∠CEF＝∠CBF＝90°，∴∠BEF＝∠EBF，∴EF＝BF．∵∠BEF+∠FED＝90°，∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠FED＝∠EDF．∴BF＝FD；（2）解：由（1）BF＝FD，而BC＝CA，∴CF∥AD，即AE∥CF．若AC∥EF，则AC＝EF，∴BC＝BF．∴BA＝BD，∠A＝45°．∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°时，四边形ACFE为梯形；（3）解：作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB．∵DG＝DA，∴DH＝DB．又F为BD中点，∴H为DF的中点．∴GH为DF的中垂线．∴∠GDF＝∠GFD．∵点G在ED上，∴∠EFD≥∠GFD．∵∠EFD+∠FDE+∠DEF＝180°，∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度．∴3∠EDF≤180度．∴∠EDF≤60度．又∠A+∠EDF＝90°，∴30°≤∠A＜90°．∴当30°≤∠A＜90°时，DE上存在点G，满足条件DG＝DA．11．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）．把C（0，8）代入，得a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，顶点D（1，9）；（2分）（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）．由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y＝x+8，它与x轴的夹角为45°．设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）．则PH＝|10﹣t|，点P到CD的距离为．又．（4分）∴．平方并整理得：t2+20t﹣92＝0，解之得t＝﹣10±8．∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，﹣10±8）．（6分）（3）由上求得E（﹣8，0），F（4，12）．①若抛物线向上平移，可设解析式为y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0）．当x＝﹣8时，y＝﹣72+m．当x＝4时，y＝m．∴﹣72+m≤0或m≤12．∴0＜m≤72．（8分）②若抛物线向下平移，可设解析式为y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．由，有﹣x2+x﹣m＝0．∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤．∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．（10分）12．【解答】解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，①∵AC是正方形ABCD对角线，∴∠QAP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝PQ，∵AB＝QF，∴BQ＝PF，∵PE⊥PB，∴∠QPB+∠FPE＝90°，∵∠QBP+∠QPB＝90°，∴∠QBP＝∠FPE，∵∠BQP＝∠PFE＝90°，∴△BQP≌△PFE，∴QP＝EF，∵AQ＝DF，∴DF＝EF；②如图2，过点P作PG⊥AD．∵PF⊥CD，∠PCF＝∠P AG＝45°，∴△PCF和△P AG均为等腰直角三角形，∵四边形DFPG为矩形，∴P A＝PG，PC＝CF，∵PG＝DF，DF＝EF，∴P A＝EF，∴PC＝CF＝（CE+EF）＝CE+EF＝CE+P A，即PC、P A、CE满足关系为：PC＝CE+P A；（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是P A﹣PC＝CE．如图3：①∵PB⊥PE，BC⊥CE，∴B、P、C、E四点共圆，∴∠PEC＝∠PBC，在△PBC和△PDC中有：BC＝DC（已知），∠PCB＝∠PCD＝45°（已证），PC边公共边，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴∠PBC＝∠PDC，∴∠PEC＝∠PDC，∵PF⊥DE，∴DF＝EF；②同理：P A＝PG＝DF＝EF，PC＝CF，∴P A＝EF＝（CE+CF）＝CE+CF＝CE+PC即PC、P A、CE满足关系为：P A﹣PC＝CE．13．【解答】解：（1）解法一：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，﹣4），∴c＝﹣4又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx+c＝0的两个根，∴x1+x2＝b，x1x2＝﹣c由已知得（x2﹣x1）2＝25又∵（x2﹣x1）2＝（x2+x1）2﹣4x1x2＝b2﹣24∴b2﹣24＝25解得b＝±当b＝时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b＝﹣．解法二：∵x1、x2是方程﹣x2+bx+c＝0的两个根，即方程2x2﹣3bx+12＝0的两个根．∴x＝，∴x2﹣x1＝＝5，解得b＝±当b＝时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b＝﹣．（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x+）2+∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x＝﹣3与抛物线y＝﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4＝4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上．14．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．（2）解：GE＝BE+GD成立．∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．∴∠ECD+∠ECB＝∠ECD+∠FCD．即∠ECF＝∠BCD＝90°．又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG＝GF．∴GE＝DF+GD＝BE+GD．（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG＝BC＝12．已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE+DG，设DE＝x，则DG＝x﹣4，∴AD＝AG﹣DG＝16﹣x，AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8．在Rt△AED中∵DE2＝AD2+AE2，即x2＝（16﹣x）2+82解得：x＝10．∴DE＝10．15．【解答】解：（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝﹣2，∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0）．（2）∵抛物线y＝ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t＝0∴t＝3a∴y＝ax2+4ax+3a∴D（0，3a）∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y＝ax2+4ax+3a上，∵C（﹣4，3a）∴AB＝2，CD＝4∵梯形ABCD的面积为9∴（AB+CD）•OD＝9∴（2+4）•|3a|＝9∴a＝±1∴所求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3或y＝﹣x2﹣4x﹣3．（3）设点E坐标为（x0，y0），依题意，x0＜0，y0＞0，且∴y0＝﹣x0①设点E在抛物线y＝x2+4x+3上，∴y0＝x02+4x0+3解方程组得，∵点E与点A在对称轴x＝﹣2的同侧∴点E坐标为（，）．设在抛物线的对称轴x＝﹣2上存在一点P，使△APE的周长最小．∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须P A+PE最小∴点A关于对称轴x＝﹣2的对称点是B（﹣3，0）∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝﹣2的交点设过点E、B的直线的解析式为y＝mx+n∴，解得∴直线BE的解析式为y＝x+∴把x＝﹣2代入上式，得y＝∴点P坐标为（﹣2，）②设点E在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3上∴y0＝﹣x02﹣4x0﹣3，解方程组消去y0，得∴△＜0∴此方程组无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P（﹣2，），使△APE的周长最小．16．【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2，∴OB＝4，OA＝2；由折叠的性质知：∠COB＝30°，OC＝AO＝2，∴∠COH＝60°，OH＝，CH＝3；∴C点坐标为（，3）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、A（2，0）两点，∴，解得；∴此抛物线的函数关系式为：y＝﹣x2+2x．（3）存在．∵y＝﹣x2+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN＝t；∵∠BOA＝30°，∴ON＝t，∴P（t，t）；作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；把x＝t代入y＝﹣x2+2x，得y＝﹣3t2+6t，∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t），同理：Q（，t），D（，1）；要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，即3﹣（﹣3t2+6t）＝t﹣1，解得t＝，t＝1（舍去），∴P点坐标为（，），∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（，）．17．【解答】解：（1），（2分）（2）﹣x2+2x，1，，（6分）（3）设AB长为xm，那么AD为，（7分）S＝x•＝﹣，（8分）当x＝时，S最大．（9分）18．【解答】解：（1）3，A1（﹣2，4），B1（0，3）；（2）作CG⊥BD于G，CH⊥x轴于H，∵B'，B的横坐标相等，∴B'B⊥x轴，∴四边形CHBG为矩形．∵C（2，1），B（3，0）∴CG＝1，∴G（3，1），∴GB＝1，∴CG＝CH＝1，∴矩形CHBG为正方形．∴∠HCG＝90度．∵∠ECD＝90°，∴∠HCE+∠ECG＝∠GCD+∠ECG＝90°∴∠HCE＝∠GCD．在△HCE和△GCD中，∴△HCE≌△GCD．∴S四边形CEBD＝S正方形CHBG＝1；（3）由垂径定理知，△AOB的外接圆的圆心应为OB与OA的中垂线的交点．OB的中垂线的解析式为x＝，设OA的中垂线的解析式为y＝kx+b，把点A′，O′的坐标代入得，解得，k＝﹣2，b＝5，即OA的中垂线的解析式为y＝﹣2x+5，所以圆心的坐标为（，2），△AOB的外接圆的半径＝＝．19．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将A（﹣1，0）代入解析式得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，∴a＝1，∵抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；（2）是定值，+＝1，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵QF⊥AE，∴QF∥BE，∴△AQF∽△ABE，∴＝，同理：＝，∴+＝+＝＝＝1；（3）∵直线EC为抛物线的对称轴，∴EC垂直平分AB，∴AE＝EB，∵∠AEB＝90°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝45°，过点Q作QP⊥BE于P，如图：由已知及作法可知，四边形FQPE是矩形，∴QP＝FE且QP∥FE，在△AQF和△QBP中，∵∠EAB＝∠BQP＝45°，∴QP＝BP＝FE且△AQF∽△QBP，∴＝，∴＝＝①，在△QFE和△MEN中，∵MN⊥EQ，∴∠MNE+∠HEN＝90°，∵∠FEQ+∠HEN＝90°，∴∠MNE＝∠FEQ，又∵∠QFE＝∠MEN＝90°，∴△EFQ∽△NEM，∴＝②，由①、②知：＝．20．【解答】（1）猜想CG＝PM﹣PN证明：过C点作CE⊥PM于E∵PM⊥AB，CG⊥AB∴四边形CGME是矩形∴ME＝CG，CE∥AB∴∠B＝∠ECP∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB＝∠PCN∴∠ECP＝∠PCN∵∠PNC＝∠PEC＝90°，PC＝PC∴△PNC≌△PEC∴PN＝PE∴CG＝ME＝PM﹣PE＝PM﹣PN．（4分）（2）PM+PN＝AC证明：连接BD，交AC于O，过点P作PF⊥BD于F ∵四边形ABCD是正方形∴∠COB＝90°，OB＝OC＝AC∵PM⊥AC∴四边形PFOM为矩形∴MP＝OF，PF∥AC∴∠OEP＝∠FPB∵AE＝AB∴∠OEP＝∠ABP∴∠ABP＝∠FPB∵PB＝PB，∠PFB＝∠PNB＝90°∴△PFB≌△BNP∴BF＝PN∴OB＝OF+FB＝PM+PN＝AC．（8分）（3）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图③，④都有BG＝PM+PN，如图⑤CG＝PM﹣PN．（10分）21．【解答】解：（1）猜想：BQ＝AP．证明：由题意可知EF⊥FP，又EF＝FP，所以∠EPF＝45°，所以QC＝CP，又∠BCQ＝∠ACP＝90°，AC＝BC，所以△BCQ≌△ACP，得出BQ＝AP；（2）BQ＝AP．证明：∵∠EPF＝45°，AC⊥CP，∴CQ＝CP，又∵BC＝AC，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴BQ＝AP；（3）当0≤x＜4时，如图2中，重叠部分是五边形MGFCQ，S＝S△BMP﹣2•S△BGF＝（8﹣x）2﹣2×（4﹣x）2＝﹣x2+4x，当4≤x≤8时，如图3中，重叠部分是△PBG，S＝S△PBG＝（8﹣x）2，当0≤x＜4时，当x＝时，S的最大值为；当4≤x≤8时，x＝4，S的最大值为4．∴当x＝时，S的最大值为．。

2019年高中自主招生数学试卷 (枣庄三中、枣庄实验高中)

高中（枣庄三中、新城实验高中）自主招生数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 4的平方根是（）A.±2B.-2C.2D. ±2.分式方程=的解为（）A.x=2B.x=-2C.x=-D.x=3．（2016•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．854．（2016•重庆）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．5．（2016•丽水）在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（）A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6）C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6）6．（2016•山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH7．（2016•永州）在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：甲：8、7、9、8、8乙：7、9、6、9、9则下列说法中错误的是（）A．甲、乙得分的平均数都是8B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6D．甲得分的方差比乙得分的方差小8．（2016•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB 于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣9．（2016•资阳）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（）A．B．C．D．10．（2016•茂名）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y=x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是（）．A. B. C. D.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.一元一次方程3x-3=0的解是。

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