2.2.1条件概率

C620
C620
对条件概率计算公式的两点说明
(1)如果知道事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率，那么
P(B)≠P(B|A)；
(2)已知 A 发生，在此条件下 B 发生，相当于 AB 发生，要求 P(B|A)，
相当于把 A 看作新的基本事件空间计算 AB 发生的概率，即 P(B|A)
nAB
＝nnAAB＝
1．若 P(AB)＝35，P(A)＝34，则 P(B|A)＝( )
5
4
A.4
B.5
3
3
C.5
D.4
3
B [由公式得 P(B|A)＝PPAAB＝53＝45.]
4
2．下面几种概率是条件概率的是( ) A．甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6,0.7，各投篮一次都投中的 概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6,0.7，在甲投中的条件下乙 投篮一次命中的概率
1.如图，EFGH 是以 O 为圆心，1 为半径的圆的 内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用 A 表示 事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆 子 落 在 扇 形 HOE( 阴 影 部 分 ) 内 ” ， 则 P(A) ＝ ________，P(B|A)＝________.
21 π4
2．4 张奖券中只有 1 张能中奖， B [因为第一名同学没有抽 现 分 别 由 4 名 同 学 无 放 回 地 抽 到中奖券，所以问题变为 3 张奖 取．若已知第一名同学没有抽到中 券，1 张能中奖，最后一名同学抽
奖券，则最后一名同学抽到中奖券 到中奖券的概率，显然是13.] 的概率是( )
1
1
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，求乙抽到偶数的概率． [解] 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)， (1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共 9 个，所以所求概 率 P＝195＝35.
2．(变条件)若甲先取(放回)，乙后取，若事件 A：“甲抽到的数 大于 4”；事件 B：“甲、乙抽到的两数之和等于 7”，求 P(B|A)．
法二(直接法)∵n(A)＝11，n(AB)＝4，
∴P(B|A)＝nnAAB＝141.
P(D)＝
P(A
∪B
∪
C)
＝P(A)
＋P(B)
＋P(C)＝CC616200＋
C510C110 C620
＋
C410C210 C620
＝
12 180 C620
，
P(E|D)
＝
P(A
∪
B|D)
＝
P(A|D)
＋
P(B|D)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝
PA PD
＋
PB PD
＝
210 2 520
12C162080＋12C162080＝1538，即所求概率为1538.
【例 3】 在一个袋子中装有 10 个球，设有 1 个红球，2 个黄 球，3 个黑球，4 个白球，从中依次摸 2 个球，求在第一个球是红球 的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
[解] 法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件 A，“摸 出第二个球为黄球”为事件 B，“摸出第三个球为黑球”为事件 C.
7 个是蓝色的．现从中任取 1 个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃
球的概率是多少？
[解] 法一(定义法)由题意得球的分布如下：
玻璃球 木质球 总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
设 A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，
则 P(A)＝1116，P(AB)＝146＝14. 1
∴P(B|A)＝PPAAB＝141＝141. 16
则 P(A)＝110，P(AB)＝110××29＝415，P(AC)＝110××39＝310. 所以 P(B|A)＝PPAAB＝415÷110＝29，
P(C|A)＝PPAAC＝310÷110＝13. 所以 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59. 所以所求的条件概率为59. 法二：(直接法)因为 n(A)＝1×C19＝9，n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5， 所以 P(B∪C|A)＝59.所以所求的条件概率为59.
0.5 [根据条件概率公式知 P＝00..48＝0.5.]
合作探究 提素养
利用定义求条件概率
【例 1】 一个袋中有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放回地抽取 两个球，记事件“第一次抽到黑球”为 A；事件“第二次抽到黑球” 为 B.
(1)分别求事件 A，B，AB 发生的概率； (2)求 P(B|A)．
[因为圆的半径为 1，所以圆的面积 S＝πr2＝π，正方形
EFGH
的面积为
2r22＝2，所以
P(A)＝2π.
P(B|A)表示事件“已知豆子落在正方形 EFGH 中，则豆子落在
扇形 HOE(阴影部分)”的概率，所以 P(B|A)＝14.]
缩小基本事件范围求条件概率 【例 2】 集合 A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从 A 中任取一 个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽 到的数比甲抽到的数大的概率． [解] 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作(a，b)，甲抽到奇数 的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)， (3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 15 个，在这 15 个中，乙 抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)， (3,5)，(3,6)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P＝195＝35.
[解] 甲抽到的数大于 4 的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， (5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 个，其中 甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形有：(5,2)，(6,1)，共 2 个．所以 P(B|A)＝122＝16.
1．利用公式 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较 为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与 C 互斥”．
2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个 互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
2．在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生 至少能答对其中的 4 道题即可通过；若至少能答对其中 5 道题就获 得优秀．已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中 已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
[解] 由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝25， P(B)＝2×51×＋43×2＝280＝25， P(AB)＝25××14＝110.
1 (2)P(B|A)＝PPAAB＝120＝14.
5
1．用定义法求条件概率 P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算 P(A)，P(AB)； (3)代入公式求 P(B|A)＝PPAAB. 2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件 A，B 的概率， 从而求出 P(B|A)，揭示出 P(A)，P(B)和 P(B|A)三者之间的关系．
第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率
学习目标 1.了解条件概率的概念．
核心素养 1.通过条件概率的学习，
2.掌握求条件概率的两种方法．(难点) 体会数学抽象的素养．
3.能利用条件概率公式解决一些简单 2.借助条件概率公式解题
的实际问题．(重点)
提升数学运算素养.
自主预习 探新知
利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 将原来的基本事件全体 Ω 缩小为已知的条件事件 A，原来的事 件 B 缩小为 AB.而 A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生 的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算 条件概率，即 P(B|A)＝nnAAB，这里 n(A)和 n(AB)的计数是基于缩小 的基本事件范围的．
A.4
B.3
1
C.2
D.1
3．把一枚硬币投掷两次，事件 A＝{第一次出现正面}，B＝{第
二次出现正面}，则 P(B|A)＝________.
1 2
[∵P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝12.]
4．盒内装有 16 个球，其中 6 个是玻璃球，10 个是木质球．玻
璃球中有 2 个是红色的，4 个是蓝色的；木质球中有 3 个是红色的，
C．有 10 件产品，其中 3 件次品，抽 2 件产品进行检验，恰好 抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
B [由条件概率的定义知 B 为条件概率．]
3．设某动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的 概率为 0.4，现有一个 20 岁的这种动物，则它活到 25 岁的概率是 ________．
求互斥事件的条件概率 [探究问题] 先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现 4 点，如何利 用条件概率的性质求第二枚出现“大于 4 点”的概率？ [提示] 设第一枚出现 4 点为事件 A，第二枚出现 5 点为事件 B， 第二枚出现 6 点为事件 C，则所求事件为 B∪C|A. ∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.
1．条件概率的概念
PAB
一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0，称 P(B|A)＝__P__A___
为在_事__件__A___发生的条件下，事件 B 发生的条件概率．P(B|A)读作 A
发生的条件下 B 发生的概率．
2．条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果 B 与 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝ __P_(_B_|_A_)＋__P__(C__|A_)__．
nΩ nA
＝PPAAB.
nΩ
当堂达标 固双基
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件 A 与 B 互斥，则 P(B|A)＝0.( ) (2)若事件 A 等于事件 B，则 P(B|A)＝1.( ) (3)P(B|A)与 P(A|B)相同．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×
[解] 设事件 A 为“该考生 6 道题全答对”，事件 B 为“该考 生答对了其中 5 道题而另 1 道答错”，事件 C 为“该考生答对了其 中 4 道题而另 2 道题答错”，事件 D 为“该考生在这次考试中通 过”，事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则 A，B，C 两 两互斥，且 D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法 公式可知