四节点矩形单元有限元分析

e

1 0
0 0 1 2
(b y ) (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) E (b y ) S (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) 2 4ab(1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) ( b y ) 2 2 2 2 2 2 2 2
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四节点矩形单元有限元分析过程
六、物理方程求解应力
由平面问题物理方程可得：
D D B
其中：
1 E D 2 (1 ) 0 因此，应力矩阵 S 为：
e
S
三节点三角形单元精度低，收敛慢，由于单元内应力 和应变均为常量，故在单元内不能很好地反映应力和 应变的变化。 该单元只有三个节点，单元自由度少，单元位移插值
函数（位移模式）只能是线性函数，描述单元内位移
变化的能力差。
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分析提高有限元求解精度的途径
二、提高有限元求解精度的途径
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四节点矩形单元有限元分析过程
其中，形函数为：
1 x y N k (1 )(1 ) 4 a b 1 x y N l (1 )(1 ) 4 a b 1 x y N m (1 )(1 ) 4 a b 1 x y N n (1 )(1 ) 4 a b
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四节点矩形单元有限元分析过程
u Nk ( x, y) k Nl ( x, y) l Nm ( x, y) m Nn ( x, y) n u u u u v Nk ( x, y)vk Nl ( x, y) l N m ( x, y) m N n ( x, y) n v v v
对于平面有限元问题，除三节点三角形单元外，还可
以考虑六节点三角形单元和四节点矩形单元。
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三节点三角形单元有限元分析过程
设位移函数 求位移函数中的未知量 代入函数中
整理可得形函数 Ni ( j、m（性质？） ) 几何方程求解应变（几何矩阵 B ）
（弹性矩阵 D
e
物理方程求解应力
e
应力矩阵 S ）
运用虚功原理求解 K
由 K 合成 K (方法？) 组成？)
建立节点荷载列阵 F（方法？
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处理位移约束条件（方法？）
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一、四节点矩形单元位移函数
单元节点位移列阵为：
由此可见，位移插值函数完全由形函数决定；因此抛开节点位移，
只讨论形函数的性质，就可以了解单元的变形性质。 例如：四节点矩形单元，若 uk 1, ul um un vk vl vm vn 0, 则由 {x, y}
l ,m,n i k
N ( x, y) 可得：
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结论：
对于平面四节点矩形单元，其单元上的应力、应变不
x 再是常数，而是在一定程度上呈线性变化，即： 方向的
y 坐标线性变化； 方向的正应力和正 y 应变随 x 坐标线性变化；剪应力沿 x 坐标和 y 坐标均成线
正应力和正应变随
性变化。 因此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单 元的精度要比常应变三角形单元的精度高。
e
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三、将所求 值代入位移函数中
( x, y) [ f ( x, y)][ A]
1

e

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四、整理位移函数可得形函数 Nk (l ,m,n)
( x, y ) [ f ( x, y)][ A]
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（2） Ni ( x, y ) 1
i k
l ,m,n
l ,m,n

i k
1 x y x y x y x y Ni ( x, y ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 a b a b a b a b 1 x y y x y y (1 )(1 1 ) (1 )(1 1 ) 4 a b b a b b 1 x x 2(1 ) 2(1 ) 4 a a
形函数矩阵经过微分算子矩阵作用后得到3×8几何矩阵：
0 b y 0 b y 0 b y 0 b y 1 B 0 a x 0 a x 0 a x 0 ax 4ab a x b y a x b y a x b y a x b y
1
即在单元内任意一点处的形函数之和等于1。
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五、几何方程求解应变
将位移插值函数代入几何方程中：
x x y 0 xy y 0 N e B e y x
uk
e
vk ul vl um vm un vn
T
设位移函数为：
u 1 2 x 3 y 4 xy v 5 6 x 7 y 8 xy
或写为： ( x, y) [ f ( x, y)]{}
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将节点坐标 (a, b), (a, b), (a, b), (a, b)代入函数中，并写成矩阵形式：
ab 0 0 0 1 a

e
b ab 0 0 0 0 1 a b ab 0 0 0 0 1 a b ab 0 0 0 0 1 a
1
解上述方程组可得： A

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单元位移插值函数可以由单元形状函数与节点位移值的乘积表示：
{x, y}
即可以表示为：
l ,m,n i k
N ( x, y)
i
i
u Nk ( x, y) k Nl ( x, y) l Nm ( x, y) m Nn ( x, y) n u u u u v Nk ( x, y)vk Nl ( x, y) l N m ( x, y) m N n ( x, y) n v v v
单元节点编号为 k，l，m，n（逆时针）
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二、求解位移函数中的未知系数
uk 1 a v k 0 0 ul 1 a vl 0 0 um 1 a vm 0 0 un 1 a v 0 0 n b 0 1 2 0 0 3 b ab 4 A 0 0 5 b ab 6 0 0 7 b ab 8 0 b 0 ab
i i
u l ,m,n e Ni ( x, y) i Nk uk Nk v i k
因此可以看出，单元变形完全由形函数决定。
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另外，可以验证形函数另外两个性质：
（1） Ni ( xi , yi ) 1, Ni ( x j , y j ) 0, i y
A
将 { } { } B 和{ } B D 代入上式，可得：
T eT T
e
{F } B D B { }e A t
e T
由此，可得：
K B D Bt A
e T
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七、运用虚功原理求解 K
e
由虚功原理，节点力在节点的虚位移上所做的虚功应等
于单元内部应力在虚应变上所做的虚功，即内力虚功=外力虚
W 功，也即： Q;
{ }eT {F }e { }T { } tdxdy
平面问题有限元分析 四节点矩形单元
天津大学 建筑工程学院
本节内容提要
1、分析提高有限元法求解精度的 途径 2、简要回顾三节点三角形单元有 限元分析过程 3、全面介绍四节点矩形单元有限 元分析过程 4、总结
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分析提高有限元求解精度的途径
一、三节点三角形单元的缺点
1
e
[ N ( x, y )]{ }
e
展开上式可得：
u N k ( x, y ) v 0
0 Nk
Nl 0
0 Nl
Nm 0
0 Nm
Nn 0
uk v k ul 0 vl N n um vm un v n
第一个途径是对某一种特定类型的单元采用网格划分 加密，依靠单元的收敛性提高求解精度。
第二个途径是对一定的单元网格和单元尺寸，采用高
精度单元来提高求解精度。
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分析提高有限元求解精度的途径
三、建立高精度单元的原理和途径
原理：提高单元位移插值函数多项式的阶次，从而提 单元拟合局部区域位移、应力变化的能力。 途径：增加单元的节点数目。
四节点矩形单元有限元分析过程
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 b (1 )a 2 ab(1 ) (b 2 a ) ab(1 3 ) (b 2 a) ab(1 ) 3 (b 2 a ) 8 3 4 8 6 2 8 6 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 a (1 )b 2 (a b) ab(1 3 ) ab(1 ) (a 2 b) ab(1 3 ) 3 2 8 6 8 6 2 8 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 b (1 )a 2 ab(1 3 ) (b a) ab(1 ) (b 2 a) 3 2 8 6 8 6 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 (a b) ab(1 3 ) (a b) ab(1 ) Eh e 3 2 8 3 4 8 K 1 2 1 2 1 1 1 2 ab(1 2 ) (b a) ab(1 ) (b 2 a) 3 2 8 3 4 1 2 1 2 1 对 称 (a b) ab(1 3 ) 3 2 8 1 2 1 2 (b a) 3 2 1 ab(1 3 ) 8 1 2 1 2 (a b) 3 4 1 ab(1 ) 8 1 1 2 (a 2 b ) 6 2 1 ab(1 3 ) 8 1 2 a (1 )b 2 6 1 ab(1 ) 8 1 2 1 2 (a b) 3 2
1 a b (1 )(1 ) 1 4 a b 1 a b N l ( xk , yk ) (1 )(1 ) 0 4 a b 1 a b N m ( xk , yk ) (1 )(1 ) 0 4 a b 1 a b N n ( xn , yn ) (1 )(1 )0 4 a b 同理对于其余三个形函数 Nl ( x, y), Nm ( x, y), Nn ( x, y)。 N k ( xk , yk )