江苏2020届高三数学填空后四题系列：不等式

b a
＜
b+m a+m
糖水不等式
a＞b＞0，a＞m＞0，则 b ＜ b+m ＜1＜ a+n ＜ a a a+m b+n b
a，b，c∈R*, b ＜ d ，则 b ＜ b+d ＜ d a c a a+c c
6.柯西不等式(二维形式）：若 a, b, c, d R，则(a2 b2)(c2 d 2) (ac bd )2 ad = bc 时取“=”
1- cos 2
2
3-sin
2
f
min =f
3
.
变式一：已知正实数x，y满足 x2 + y2 =1，求 8 + 25 的最小值.
95
4-x 10-3y
变式二：已知正实数x，y满足 x2 + y2 =1，求 8 + 25 的最小值.
97
9-2x 7-2y
变式三：已知正实数x，y满足 x2 + y2 =1，求 8 + 1089 的最小值.
49 33
8-x 66-7y
变式四：已知正实数x，y满足x 2+ y2 =1，求 2 + 75 的最小值.
45
1-x 10-y
变式五：已知正实数x，y满足 x2 +y2=1，求 16 + 27 的最小值.
25
6-x 6-5y
5
变式六：已知正实数x，y满足x3+y4=43，求 729 + 256 的最小值. 9-2x 8-3y
=
cos 1- cos
+
3sin =f ，
3-3sin
f
=
-sin
1-cos 1- cos
cos
2
sin
+3
cos
3-sin -sin - cos
2
3-sin
=
-sin
1- cos
2
+3
3 cos
2
3-sin
3 =
3 cos 1- cos 2 -sin 3-sin
.
解析：令m= x，1 x2 ，n= 4 x2，x ，m n m n =2 ，取等条件：x 2= 1 x2 4 x2 .
变式一：已知 a 为常数，函数 f (x)
x
的最小值为 2 ，则 a 的所有值为
.
a x2 1 x2
3
解析：令m= x，1 x2 ，n= 4 x2，x ，m n m n =2 ，取等条件：x 2= 1 x2 4 x2 .
江苏2020届高三数学填空后四题系列：不等式
一：方法总结
常规配凑和定、积定
配凑法求最值（基础题）常数代换待分放定乘解缩系“因法1数”式法，加“0”
配积消元法和换元法
基本不等式方法总结：
升、降幂、配方消元
整体换元
局部换元/设立主元
分母之和为定值代换
配凑使得分母之和为定值代换
将分母换元得出分母和差为定值
2 1-k 2
5
a2 b2 c2
2
5
=
a
2
+
1 5
c2
b2
4 5
c2
2
5
4
2 bc
ac +
5
2.ຫໍສະໝຸດ Baidu
2bc ac
2bc ac
5
2bc ac
取等条件：
a2= 1 c2 5
b2 = 4 c2 5
2bc
ac
2
=
25 4
3.已知 a＞0，b＞0，c＞2，且 a b 2 ,则 ac c c
消元构造
导数法和函数法
构造方并程元构韦求造达根定公理式
齐次式构造
设值左右法
参数法 设比例关系法
三角换元
变量分离+构造齐次式
万能K法和主元法
主元+根的判别式
齐次式+构造方程
几何意义构造图形
3
二：公式总结
1.均值不等式：1
2
1
=
2ab a+b
ab a b 2
a2 b2 a ，b ∈R*，a= b 时取“=”. 2
变式七：已知正实数x，y满足x3+y5=59，求 27 + 40 的最小值. 4-x 5-2y
2.已知 a＞0，b＞0，c＞0，则
a2 b2 c2
2 5
的最小值为
.
2bc ac
解析：a2 b2 c2 =a2 +kc2 + 1-k c2 +b2 2 k ac+2 1-k bc
令 2 k = 1 k= 1 .
ab
2.向量不等式：a
-b
ab
a
+b
3.代数不等式：aa，，bb同异号号aa-bb
a a
b b
ab ab
ab a+b
4.绝对值不等式
a1+a2 +a3 ab
a
a1 + a2 b a
+
a3 b
公式总结：5.放缩不等式
a＞b＞0，a＞m＞0，则
b-m a-m
＜
f (x)
x
=x
a x2 +
f (x2 ) n
f (x2 ) n
f (xn ) f (xn )
x1 x2 ... xn时取“=”
题型 1：配凑法
1. 若 a＞0，b＞0，a 2 b2 1, 则 a 3b 最小值为
16 12
4a 6b
.（2019 淮阴、姜堰四月联考）
方一：升幂 王冬明老师
4
解析： 4
a
a
3b 6b
=
4
a
2
a
a
+
6
3b 2 b
b
a2
4-a +a
2
+
6
3b 2
b
+b
=
a2 4
+
b2 3
=4.
4
4
a=2 当且仅当 b=3 时取“=”.
方二：三角换元 刘伟华老师
令
a=4 cos
b=2
3 sin
4
a
a
3b 6b
=
4 cos 4-4 cos
+
6 6-6
3 sin 3 sin
7.权方和不等式(二维形式）：a2 + b2 a+b2 ，取等条件：a = b .
x y x+y
xy
a、b、x、y ＞0
8.琴生不等式：若f
若f
( (
x)为a, x)为a,
b b
上的下凸（凸）函数，则f 上的上凸（凹）函数，则f
( (
x1 x1
x2 x2
n n
xn xn
) )
f (x1) f (x1)
5
的最小值为
.
b ab 2 c 2
解析：ac b
c ab
c 2
c
5 2
=c
a b
1 ab
1 2
c
5 2
=
c
2a 2 +2-ab 2ab
5 c 2
a b 2 a b2 c 2a2 +2-ab
5
c =
5a 2 +b2
5 5c
5 5+ 10.
2
2ab
c 2 4ab c 2 2 c 2
取等条件： 5a2 =b2 c=2+ 2
4.已知 x＞0, y＞0，且 x y 1,则 x2 y2 xy 的最大值为
.
6
解析：x
y
1
x
y
2
=1
0＜x＜1 0＜y＜1
x
2+y
2+2xy=1
x
2+y
2=1-2xy
x2 y2 xy =1-2xy xy 9 ，此时xy= 1 .
8
4
5.若 x 1,1，则 x 4 x2 1 x2 的最大值为