新人教B必修2柱锥台球的体积
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高中数学必修二课件-1.1.7 柱、锥、台和球的体积1-人教B版
1 .圆柱与内切球体积之比
为2
。
2 .圆柱与外接球，球半径为1，
圆柱底面圆半径为 ，圆柱
与外接球体积之比为
。
谢谢
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
多面体与球
与球有关的组合体问题，一 种是内切，一种是外接，解题时要 认真分析图形，明确切点和接点位 置，确定有关元素间的数量关系， 并作出合适的截面图.
其内
切球表面积为
。
2.正四棱锥与内切球
例2：正四棱锥P-ABCD底面
边长为6，内切球半径为1，
则四棱锥的高为
。
3.正四面体与内切球。
二、外接问题
1.长方体与外接球。 中例，4：A长A1方=体5体，积AB为BDC=D1。2-A，1B外1C接1D球1
2.三棱锥与外接球。
例5：三棱锥的三视图如图所 示，则该三棱锥的外接球体
积为 。
三、小结
本节课你有哪些收获？
四、作业
人教高中数学B版必修二1.1.7柱锥台球体积课件(共34张PPT)
S/
ss's')
=0
V锥
1 sh 3
柱、锥、台体体积公式统一成
V台h3(s ss's')
五、球的体积
S1
R
V 球 1 3R1 S1 3R2 S1 3R3 S 1 3R球 S面
V球
4 R3
3
例1、在长方体ABCD-A/B/C/D/中，用截
面截下一个棱锥C-A/DD/，求棱锥C-
A/DD/的体积与剩余部分的体积之比。
祖暅原理:幂势既同，则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体 积相等。
一、柱体的体积（棱柱和圆柱）
柱体的体积
长方体的体积
柱体的体积
V柱体Sh
V圆柱r2h
h
ss
Ss
sS
等底等高的柱体体积相等
二、锥体的体积（棱锥和圆锥）
h’
h
S’
S’
s
s
V圆锥
1 3V圆柱
三、柱体与锥体的体积关系
(方法2)
D1
求：棱锥C1-BA1D的体积？
C1 D1
C1
D
A1
A1
B1
C
B
D
C1
D
C
D1 A
A1
B1
B
D
B
A
B
V长方体 Sh
柱
祖暅原理
、 锥 、
V柱体Sh
V圆柱r2h
台 的 体
V锥体
1 3
S
h
V圆锥
1r2
3
h
积
V球
34V 台 R3体 1 3hV（ 圆S台 1 3ShS（ rS2） rrr2）
人教B版数学必修二课件：第1章 1.1 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
C [圆锥的高 h＝ 52－32＝4，故 V＝13π×32×4＝12π.]
3．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________cm3.
288π [由题意，知球的半径 R＝6 cm，故其体积 V＝43πR3＝43 ×π×63＝288π(cm3)．]
合作探究 提素养
求柱体的体积 【例 1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm， 高为 3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为 4 cm，高为 2 cm，现从 中间挖去一个直径为 2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．
由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r′和 r 分 别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径．
名称 棱柱
柱体 圆柱
锥体
棱锥 圆锥
台体
棱台 圆台
球
体积(V)
_S_h__
πr2h 1 3Sh 13πr2h
13h(S＋ SS′＋S′) 13πh(r2＋rr′＋r′2)
则 O1B1＝ 2 cm， OB＝2 2 cm， 过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M，那么 B1M 为正四棱台的高，在 Rt△BMB1 中， BB1＝2 cm，MB＝(2 2－ 2)＝ 2 (cm)．
根据勾股定理 MB1＝ BB21－MB2 ＝ 22－ 22＝ 2(cm)． S 上＝22＝4 (cm2)， S 下＝42＝16(cm2)， ∴V 正四棱台＝13× 2×(4＋ 4×16＋16) ＝13× 2×28＝238 2 (cm3)．
人教版数学1.1.7柱、锥、台和球的体积效果分析 新人教B版必修2
柱、锥、台、球的体积的效果分析新课程背景下，要求课堂教学的评价，要遵循以质性评价为主，以量化评价为辅，坚持评教评学相结合，侧重评学的原则。
基于新课程标准的理念，本节课的评价从两点出发。
一是对教师的教学过程的评价，二是对学生学习过程的评价一、对教师课堂教学的评价：1、本节课教师对教学内容的把握，非常精准的，内容的选择和拓展都非常的到位。
比如：增添了球的体积的公式的推导，台体体积公式的推导以及对课本例题1的变式，都反映了教师的知识的水平以及业务能力。
2、教师对教材理解的广度和深度也非常的到位，对教材的内容，做了必要的补充，使得整个内容更加全面，深入，辅助学生更好的理解和运用祖暅原理解决问题。
3、教师驾驭课堂的能力很强、选择合理的教学方法。
教师合理地运用启发式教学法，熟练的运用flash动画辅助教学，有效地突破难点，多次有效的调动学生的积极性，（比如：在讲解三棱锥的体积公式时，学生自己演示并证明。
）参与到课堂教学中，课堂教学轻松自如，学生学习的主动性得到很好的展现。
教师创造教学情景的能力也很强，比如：合理的利用“一摞书”的多次变形，自然引入祖暅原理。
对于例题1的处理和展开的讨论。
有效的调动学生与教师的良性互动。
二、对学生学习的评价1、学生在教学过程的参与程度：在本次教学中，前期准备中，学生已经对教具能熟练的拆装，兴趣盎然，对本节课的学习充满了期望。
在教学过程中，有三个环节设计了学生活动第一部分导入：设计了四个问题，尤其是第四个问题：问题四：为什么上述几何体的体积相等？你有何发现？这个问题，开放性较强，中间可以通过对上述三个问题的比较，发现祖暅原理的两个条件，学生参与度很高，回答问题非常踊跃，通过问题回答，得到祖暅原理的内容。
在讨论三棱锥的体积环节设计学生活动：为了推导锥体的体积，首先由祖暅原理，底面积相等，高相等的棱锥和圆锥体积相等。
问题一：为了推导锥体的体积公式，从圆锥入手，还是棱锥入手呢？问题二：从圆锥入手如何解决？从棱锥入手有如何解决呢？问题三：从棱锥入手，又是从几棱锥入手呢？学生回答问题积极，想象力丰富。
高中数学人教B版必修2课件：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,如图,
ℎ = ������sin������, 2π������ = ������cos������, ������cos������ 所以 h=msin α,r= 2π , 则由题意可知: 所以 V 圆柱 =πr2h=π
������cos������ 2 · msin 2π
答案: 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型二
有关锥体体积的问题
【例2】 (1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其 体积等于 . (2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6 cm,在棱AB,AD,AA1上分 别取点P,Q,R,使得AP=2 cm,AQ=3 cm,AR=4 cm,则三棱锥A-PQR的 体积为 .
α=
������3 sin������cos2 ������ . 4π
反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图,则此几何体 的体积是 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而 V 正四棱台 =
人B版数学必修2课件：第1章 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
阅读教材 P28～P29“中间”以上内容，完成下列问题. 1.“幂势既同，则积不容异”，即“ 夹在两个平行平面间的两个几何体，
被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等 ”.
2.作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所 截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等.( (2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关.( 1 (3)由 V 锥体＝3S· h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面.( ) ) )
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1 由 S 侧＝4×2(10＋20)· E1E＝780，得 EE1＝13， 1 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝2A1B1＝5， 1 OE＝2AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， 1 V 正四棱台＝3×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3). 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
图 11102
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【精彩点拨】
AB∶A1B1＝1∶2 ―→ S△ABC∶S△A B C ―→
1 1 1
计算VA －ABC ―→ 计算VC－A B C ―→ 计算VB－A B C
1 1 1 1 1 1
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【自主解答】
设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
2
)
B.30 D.36π
2
1 【解析】 圆锥的高 h＝ 5 －3 ＝4，故 V＝3π×32×4＝12π.
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.1.7 柱、锥、台和球的体积》4
一、教材分析本节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积和表面积以后，在小学、初中学过正方体和长方体体积公式的基础上，引入并研究柱、锥、台和球的体积公式。
其中柱体的体积是基础，并且由柱体体积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积；而有球的体积公式只要求记忆公式并会应用即可，不需要掌握其推导过程。
柱、锥、台和球的体积是立体几何的重要内容，对体积计算的要求和前面表面积计算的要求是一样的，都是历年高考的重点。
通过本节知识的学习，既要使学生知道这几种空间几何体体积的公式，又要让学生知道这些公式是怎么得出的。
柱、锥、台这三种几何体的体积公式的推导是教学中的重中之重。
通过对“祖暅原理”的学习，使学生了解我国古代数学家在这方面做出的突出成就，受爱国主义教育，激发学生热爱科学，提高学习数学的兴趣。
二、学情分析对于体积这一内容，学生早在小学就有了初步认识，如长方体的体积公式。
但如何推导柱、锥、台体体积是目前的重要任务，三种几何体的体积公式的推导有着密切的联系，学习时要不断强化三者之间的关系，强化借助用已知来研究未知这种探索问题的一般性的研究方法。
柱体、锥体体积公式的推导的理论基础是“祖暅原理”，为此，必须将祖暅原理要求的三个条件落实到位，只有这样，棱柱、圆柱与长方体之间的体积转化以及一般棱锥与三棱锥之间的体积转化才能水到渠成。
三棱锥体积公式的推导是本节的重点，也是难点，要充分利用多媒体，通过课件演示，生动形象地表现三棱锥与三棱柱体积之间的关系，让学生充分体会“割补变换”这一数学思想。
最后，利用台体的定义，并紧扣台体与锥体的关系，求出台体的体积。
三、教情分析本节内容是帮助学生逐步形成空间想象能力不可缺少的一部分内容，本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，有利于巩固和提高前面学过的有关知识的理解，引导学生去思考，参与知识获得的过程，帮助学生巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，培养学生的应用意识和整体性思维，丰富学生的空间想象能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
人教B版高中数学必修二课件第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积.pptx
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高．
[通一类] 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体棱长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a22π＝rhπ＝r24a2
①
②
，
由①得 r＝ ππa； 由②得 πrh＝2a2，
1．长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V长方体
＝. Sh
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明： 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等．
3．由 V 锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗？
提示：可以． 4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半 径变为原来的______倍，体积变为原来的________ 倍．
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原 来的 2 倍时，球的半径变为原来的 2倍，体积变为原来的 2 2倍．
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第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高．
[通一类] 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体棱长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a22π＝rhπ＝r24a2
①
②
，
由①得 r＝ ππa； 由②得 πrh＝2a2，
1．长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V长方体
＝. Sh
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明： 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等．
3．由 V 锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗？
提示：可以． 4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半 径变为原来的______倍，体积变为原来的________ 倍．
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原 来的 2 倍时，球的半径变为原来的 2倍，体积变为原来的 2 2倍．
推荐-高一数学人教B版必修2课件1.1.7柱、锥、台和球的体积
分析：(1)圆柱的侧面展开图是一个矩形;(2)已知矩形的对角线 长为m,对角线与底边成α角.解答本题可先明确展开前图形与展开 后图形中量与量之间的关系,再画图求解.
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知识梳理
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
重难聚 焦
解设圆柱的底面半径为 r,高为 h,如图,
典例透析 随堂练习
则由题意可知:
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
重难聚 焦
典例透析 随堂练习
有关柱体体积的问题
【例1】 已知一个圆柱去掉两个底面,沿任一条母线割开,然后放 在平面上展开后得到的平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一 个矩形,它的对角线长为m,对角线与底边成α角(0°<α<90°),求圆柱 的体积.
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
重难聚 焦
典例透析 随堂练习
反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.
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重难聚 焦
典例透析 随堂练习
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
重难聚 焦
解首先,圆台的上底的半径为4 cm,于是S圆台侧 =π(r+r')l=100π(cm2).
其次,如图,圆台的高
h=BC= ������������2-(������������-������������)2
= 102-(6-4)2
=4 6(cm), 所以 V 圆台=13h(S+ ������������'+S') =13×4 6×(16π+ 16π × 36π+36π) =3043 6π(cm3).
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
重难聚 焦
解设圆柱的底面半径为 r,高为 h,如图,
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则由题意可知:
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重难聚 焦
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有关柱体体积的问题
【例1】 已知一个圆柱去掉两个底面,沿任一条母线割开,然后放 在平面上展开后得到的平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一 个矩形,它的对角线长为m,对角线与底边成α角(0°<α<90°),求圆柱 的体积.
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
重难聚 焦
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反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
重难聚 焦
解首先,圆台的上底的半径为4 cm,于是S圆台侧 =π(r+r')l=100π(cm2).
其次,如图,圆台的高
h=BC= ������������2-(������������-������������)2
= 102-(6-4)2
=4 6(cm), 所以 V 圆台=13h(S+ ������������'+S') =13×4 6×(16π+ 16π × 36π+36π) =3043 6π(cm3).
高中数学人教B版必修2配套课件：1.1.7柱、锥、台和球的体积
体的体积为________m3.
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[答案] 30
[ 解析]
由三视图知该几何体由一个棱长为 3,4,2 的长方体
和一个底面是直角梯形高为 4 的直棱柱组成，则体积 V ＝ 2＋1 3×4×2＋ 2 ×1×4＝30.
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
∵P、A、B、C 四点是球面上的四个点， ∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径， 3 ∴2R＝ 3a，∴R＝ 2 a，
4 3 4 3 3 3 3 ∴V＝3πR ＝3π a ＝ 2 πa . 2
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
6．已知三棱锥的三条侧棱长都等于 13，底面是直角三角
形，且两直角边长分别为6和8，试求棱锥的体积． [解析] 如图所示，在三棱锥S－ABC中， SA＝SB＝SC＝13， △ABC为直角三角形，且AB＝6，BC＝8，
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
锥体的体积
(2014· 陕西宝鸡园丁中学高一期末测试 ) 已知
正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－
ABCD的体积和侧面积．
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[ 答案] B
)
B．4 倍 D．2 2倍
[ 解析]
设球原来的半径为 R，体积增加到原来的 8 倍时，
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[答案] 30
[ 解析]
由三视图知该几何体由一个棱长为 3,4,2 的长方体
和一个底面是直角梯形高为 4 的直棱柱组成，则体积 V ＝ 2＋1 3×4×2＋ 2 ×1×4＝30.
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
∵P、A、B、C 四点是球面上的四个点， ∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径， 3 ∴2R＝ 3a，∴R＝ 2 a，
4 3 4 3 3 3 3 ∴V＝3πR ＝3π a ＝ 2 πa . 2
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
6．已知三棱锥的三条侧棱长都等于 13，底面是直角三角
形，且两直角边长分别为6和8，试求棱锥的体积． [解析] 如图所示，在三棱锥S－ABC中， SA＝SB＝SC＝13， △ABC为直角三角形，且AB＝6，BC＝8，
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
锥体的体积
(2014· 陕西宝鸡园丁中学高一期末测试 ) 已知
正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－
ABCD的体积和侧面积．
第一章
1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[ 答案] B
)
B．4 倍 D．2 2倍
[ 解析]
设球原来的半径为 R，体积增加到原来的 8 倍时，
人教B版高中数学必修二1.1.7 柱、锥台和球的体积教学课件
高为 3 ，求这个正四棱锥的体积.
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线 旋转一周，求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8， 将它熔化后转成一个正方体形的铜块（不计损 耗），求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半，地球的体积是火 星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥 的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r，高为h，体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面 积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图：三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥？
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD，求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线 旋转一周，求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8， 将它熔化后转成一个正方体形的铜块（不计损 耗），求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半，地球的体积是火 星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥 的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r，高为h，体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面 积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图：三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥？
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD，求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
高二数学(人教B版)必修2课件：1.1.7柱、锥、台和球的体积(共21张PPT)教学课件
二、提出问题
普
思考：如何求其它几何体的体积？
通
高 祖暅原理：幂势既同，则积不容异
中
课
程
标
准
Liangxiangzhongxue
问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的 体积如何？
三、概念形成
普 概念1.柱体（棱柱和圆柱）的体积
通 高 中 课 程
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，
程 标 准
V锥体
1 3
Sh
h
h
Liangxiangzhongxue
S
S
S
三、概念形成
普 概念3.台体（棱台、圆台）的体积
通
棱台和圆台分别是棱锥和圆锥用平行于底面的平面截去
高 中 课
一个锥体得到的。因此台体的体积可以用两个锥体体积的 差来计算。体积公式如下：
程 标 准
V台 体1 3hS SS'S'
四、应用举例
普 通
例2．如图，长方体 A B C D A ' 中B ' ，C 用' D 截' 面截下一个棱
锥
C ， 求A 棱'锥D D ' 的体积C 与 剩A 余'D 部D 分'的体积之比。
高
中
课
程
D'
C'
标 准
A'
B'
Liangxiangzhongxue
D
A
C B
四、应用举例
普 通 高
例3．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/c)m六3角螺帽 共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直 径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个 （ 取
人教B版高中数学必修2课件 1.1柱、锥、台和球的体积课件1
因为
V正六棱柱=6×(1／2) ×12×(12×sin60°) ×10 ≈3.74 ×103(mm3)
V圆柱=3.14 ×(10÷2) 2×10≈0.785 ×103(mm3)
所以 毛坯的体积
V＝3.74×103－0.785×103 ≈2.96×103(mm3) ＝2.96(cm3)
5.8×103÷(7.8×2.96) ≈2.5×102(个)
C1 B1
C B
求此三棱锥的体积
例3.已知正四棱台底面边长分别为20和10， 侧面积为780，求正四棱台的体积
解后反思：台体问题转化为平面图形的直 角梯形问题然后转化为解直角三角形问题。 还要注意还台为锥时的相似比问题
例4.一个正方体内接于半径为R的球内， 求正方体的体积.
R
变式：一个正四面体内接于半径为 3的球内， 求正四面体的体积.
是r，r’，高是h，则它的体积是
V圆台
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 h
3
r2
rr
r2
想 一 想 ？
上一节中，我们知道正棱柱、正棱 锥、正棱台的侧面积之间有一定的 关系。那么，这里柱体、锥体、台 体的体积公式之间有没有类似的关
系？
S’=S
V柱体 Sh
S’=0
V台体
1 3
h(S
SS S`)
V锥体
1 3
Sh
4.球的体积计算公式：
柱、锥、台和球 的体积
复习回顾
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的 体积为：
V长方体=abc
或 V长方体=Sh
这里，S，h分别表示长方体的底面积和高。
祖暅原理：
幂势既同，则积不容异.
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平 行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的 两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的 体积相等.
高中数学人教新课标B版必修2《1.1.7柱、锥、台和球的体积》课件
锥体的体积
E
G
A
C
B
锥体的体积
EE
G
A
CC
B
锥体的体积
EE
G
A
CC
B
锥体的体积
EE
GALeabharlann CCB锥体的体积
EE
G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
E
E
锥体的体积 G
A
C
C
B
锥体的体积
S为底面积,h为高.
h
s
h
s
3、棱台和圆台的体积 台体的体积可以用两个锥体的体积的差来计算。
若台体的上下底面积分别是s/,s,高是h，则
x
s/
s/
h
s
s
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系呢？
V柱体=sh
s/
S=S’ s
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
s/
S/=0
s
V锥体=
s
4、球的体积
祖暅原理：幂势既同，则积不容异。
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面 的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那 么这两个几何体的体积相等。
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
祖暅是我国古代南北朝时期（5世纪）的 数学家，他在总结前人研究的基础上，总 结出这个原理，在欧洲直到17世纪，才 由意大利的卡瓦列里提出这个事实。
人教高中数学B版必修二1.1.7柱锥台球体积课件(共34张PPT)
D/
D/
C/
A/
A/
B/
D
D
C
C
A
S
B
1
h5
例2: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
C1
解:
V V A1 棱B 1锥 A 1B1C 棱B 锥 A 1B 1 C 1
13SA1B1C1 BB1
O
11a2 a 3 2
D
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
S
1 2
a
h
h
a
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ，并改 变它们的放置方法，观察改变前后的体积是 否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
1、两个等高的几何体 2、若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两个几何体的体积相等。
等 体 积 法
等高、等截面面积（不受截面形状影响） 体积相等
=1/3×1/2×2×4×3=4
2．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 1 ，
2
则它的体积是原来的（ B ）
（A） 1
5
（C） 1
16
（B） 1
（D）
8
1
32
3．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知
点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足
AP=C1Q，则四棱锥B－APQC 的体积是
（ B） （A） 1 V 2 （C） 1 V 4
(方法2)
D1
求：棱锥C1-BA1D的体积？
C1 D1
C1
D
A1