菱形的性质
菱形的性质与概念
菱形的性质与概念菱形是一个几何形状，它具有一些特殊的性质与概念。
一个菱形是一个四边形，它的四个边长相等，且相邻两边之间的夹角是直角。
下面我将详细介绍菱形的性质与概念。
首先，菱形的定义非常直观，它是一个有四条边的形状，但与其他四边形不同的是，四条边的长度相等，这意味着它的对角线也是相等的，且对角线互相平分。
换句话说，菱形的两个对角线互相垂直且相等长。
菱形有一些重要的性质和概念，其中之一是它的对称性。
菱形具有两条对称轴，这意味着对于任意一条菱形的对角线，其余两条边分别关于这条对角线对称。
这种对称性使得菱形在许多领域中有着广泛的应用，比如纺织品和装饰品设计。
另一个与菱形相关的重要概念是内角和外角。
内角是指菱形内部的角，而外角是指菱形外部的角。
对于一个菱形，它的内角是90度，因为相邻两条边之间的夹角是直角。
与内角相对应的是外角，其度数等于360度减去内角的度数。
因此，菱形的外角也是90度。
菱形还有一个重要的特点是它的四个顶点位于一个圆上。
这个圆被称为菱形的外接圆，它通过菱形的四个顶点，因此，对于任何一个菱形，我们可以找到这个唯一的外接圆。
外接圆具有一些特殊的性质，其中一个是菱形的对角线是它的直径。
也就是说，菱形的两条对角线互相垂直，并且它们的中点位于外接圆的圆心。
除了以上提到的性质和概念，菱形还有一些其他有趣的特点。
例如，菱形的面积可以通过对角线的长度和夹角的正弦值来计算。
具体计算公式为：菱形的面积等于对角线1和对角线2的乘积的一半，即面积=（对角线1×对角线2）/2。
此外，菱形还可以通过旋转正方形得到。
如果我们以正方形的一个顶点为中心，并将该顶点向外旋转45度，则可以得到一个菱形。
因此，菱形也可以被视为正方形的一个特殊形状。
总之，菱形是一个特殊的四边形，它具有许多独特的性质和概念。
它是一个有四条边的几何形状，其特点是四边相等，对角线互相垂直且相等长，内角为90度，外角为90度，顶点位于一个圆上，可以通过正弦定理计算面积，可以通过旋转正方形得到等等。
菱形的性质
矩 形
矩形的四个角都 是 直角 。 矩形的对角线 相等。
平行四边形
１２
菱形的四条边都 相等 。 菱形的对角线互
菱 形
相 垂直 ，且每一
条对角线平分一组对角 。
1.矩形的一边长为3cm，对角线长5cm，则另一边长为 4cm ,面 积为 12cm2 。
2.在菱形ABCD中，已知AB=2，则菱形的周长为 8 ，
145 。 若 A 35 ，则 D 3.菱形的周长为20cm,一条对角线长为8cm,另一条对角线长 为 6cm 。 4.已知菱形的边长为7，一个内角为60 ，则菱形较短的对角线 长是 7 。
◦ ◦
菱形的性质定理1：菱形的四条
四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，你能 猜测菱形ABCD是轴对称图形吗？这个猜测对吗？ D A
O
C
B (1)AC⊥BD 菱形性质定理2： (2)AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴 菱形的对角线互相垂直 ，并且每一条对角线平分一组对角．
若用a、b表示菱形的两条对角线，那么 菱形的面积为：
1 S a b 2
由此可进一步推导得出：对角线互相垂 直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的 一半。 D
B O A E
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
菱形的性质
平行四边形
矩形
四边形
菱形
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形。 如图，若ABCD是平 行四边形，且AB＝AD， 那么四边形ABCD是菱形。 B
菱形的性质
A B D
O C
菱形ABCD ABCD中 1）菱形ABCD中，AB= BD与 ∠ABD= ， BD与AC
，∠BAD= ，
，
菱形的两条对角线长分别为6cm 8cm,则菱形 6cm和 2）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则菱形 的边长为 ；
菱形的面积为24， 菱形的面积为 ，一条对角线长 为6，则菱形的边长为 5 ，则菱形的边长为________ 8 另一条对角线长为___________ 另一条对角线长为
菱形的性质
上图有你熟悉的图形吗? 上图有你熟悉的图形吗?
菱形的定义： 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形 菱形。 边形叫做菱形。 A D 如图， 如图，若ABCD是平 是平 行四边形， 行四边形，且AB＝AD， ＝ ， 那么四边形ABCD是菱形。 是菱形。 那么四边形 是菱形 B C 由菱形的定义知， 由菱形的定义知，菱形是邻边相等的平行 四边形。所以菱形是特殊的平行四边形， 四边形。所以菱形是特殊的平行四边形，它应 具有平行四边形的所有性质。 具有平行四边形的所有性质。
A
B
O
D
C
因此，在解决有关菱形的问题， 方法点拨：因此，在解决有关菱形的问题，
△AOB、△COB、△COD和△AOD是全等的直角三角 、 、 和 是全等的直角三角 形△ABD和△CBD、△ABC和△ADC是全等的等腰三角 和 、 和 是全等的等腰三角 形
直角三角形或腰三角形的相关问 常常转化为直角三角形或等腰三角形 常常转化为直角三角形或等腰三角形的相关问 题
D
O C
B
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
若用a、 表示菱形的两条对角线 表示菱形的两条对角线， 若用 、b表示菱形的两条对角线，那么 菱形的面积为： 菱形的面积为：
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
菱形的性质及判定
菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。
点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。
菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。
判定③:四边相等得四边形就是菱形。
重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。
菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。
菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。
由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。
如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。
例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。
菱形的性质及判定
如图，在 ABC 中， AB AC ， D 是 BC 的中点，连结 AD ，在 AD 的延长线上取 一点 E ，连结 BE ， CE ．当 AE 与 AD 满 足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱 形？并说明理由．
B
7.
CF 分别为 ABC 中 B 、 如图， 已知 BE 、 C 的 平 分 线 ， A M B E 于 M ， AN CF 于 N ，求证： MN ∥ BC ．
D E H A P F B C
B
图2
C
例题精讲
板块一、菱形的性质
【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等 三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，
1.3 菱形的性质和判定
【例4】 ☆ 如图 1 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，H 为 AD 边中点， 菱形 ABCD 的周长为 24 ，则 OH 的长等 于 ．
图2
【例5】 ☆ 菱形的周长为 20 cm ， 两邻角度数之比 为 2 :1 ，则菱形较短的对角线的长度为 【巩固】 如 图 2 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（ ） A． 5 B． 10 C． 6 D． 8
A D
【例3】 如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点， EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ， 交 AB 于 P ， 证明： AB 与 EF 互相平分．
D
A
A
C
B E C F
D
【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次， 然后剪下一个角，为了得到一个锐角为 60 的菱形，剪口与折痕所成的角 的度 数应为（ ） A ． 15 或 30 B ． 30 或 45 C． 45 或 60 D． 30 或 60
菱形的性质
菱形的性质菱形是一种具有特殊性质的几何图形，在数学中被广泛研究和应用。
它的定义是一个具有四条边且四个顶点均位于同一平面内的凸四边形，其特点是四条边长度相等且相互垂直，对角线相等并且相互垂直。
本文将从菱形的角度、边角关系、对称性和应用等方面详细探讨菱形的性质。
1.菱形的角度菱形的角度特点非常明显，它的四个顶点内角均为90度。
由于垂直的性质，菱形的对边之间也是垂直的，因此其内角可以分为两组：两个锐角和两个钝角，且两两互补。
2.菱形的边角关系菱形的边角关系是菱形性质研究中的一个重要内容。
我们知道，菱形的四条边长度相等，这意味着菱形的内角也必然相等。
同时，菱形的对角线也相等，从而推断出菱形的四个内锐角和四个内钝角都相等，且每个角都为90度。
此外，由于菱形的两对角线相互垂直，就意味着菱形的两个内锐角和两个内钝角互为补角。
3.菱形的对称性菱形具有很强的对称性，这是菱形性质中的又一个重要方面。
菱形的两条对角线相交于一点，这个点被称为菱形的中心。
菱形的中心是菱形具有对称性的重要标志，它将菱形分成了四个互相对称的部分。
菱形的任意两个对角线可以分别作为对称轴，通过中心点，将菱形分成两个完全相等的部分。
这种对称性使得菱形在艺术、装饰和设计等领域得到了广泛应用。
4.菱形的应用菱形的性质使得它在各个领域得到了广泛的应用。
在数学中，菱形作为一种特殊的四边形，是几何学的基础，研究菱形性质有助于理解和解决更复杂的几何问题。
在艺术和设计中，菱形的对称性和美观性使它成为一种常用的图形元素，经常被用来装饰图案、绘画和雕塑作品。
菱形图案也常常出现在建筑物和城市规划中，如建筑立面、道路划线等。
总结：菱形是具有特殊性质的几何图形，它的四个角均为90度，每条边和对角线长度相等。
菱形具有边角对称性，在艺术、设计和建筑等领域有广泛应用。
研究菱形性质有助于理解几何学的基础知识，同时也为解决相关问题提供了思路和方法。
菱形作为一种简单而美观的图形元素，不仅在数学中具有意义，也在人们的日常生活中起着重要的作用。
菱形的性质和判定
菱形的性质和判定
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此我们得到：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
菱形
A B
D C。
菱形的定义性质
B
O
D
C
四边形 19
作业
P9518、练习121、题、12
习题19.2
例1变形
菱形ABCD旳周长为16，相邻两角旳度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD旳对角线旳长；
⑵求菱形ABCD旳面积． A
O
B
D
C
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB旳中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC旳度数；
§19.2 .2 菱形旳定义、性质
菱形
情景创设
前面我们学习了平行四边形 和矩形，懂得了假如平行四边形 有一种角是直角时,成为何图形?
(矩形,由角变化得到)
假如从边旳角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊旳四边形呢?
在平行四边形中，假如内角大小保持不变，仅
变化边旳长度，请仔细观察和思索，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
直，而且每一条对角线平
C
分一组对角。
命题：菱形旳对角线相互垂直平分， 而且每一条对角线平分一组对角；
已知：菱形ABCD旳对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
D
∴AB=AD（菱形旳四条边都相等）
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
四、课堂小结：矩形和菱形旳性质
矩形
菱形
定 • 有一种角是直角旳 • 有一组邻边相等旳平
义 平行四边形
行四边形
性 • 1、具有平行四边形 • 1、具有平行四边形
旳一切性质
旳一切性质
质 • 2、四个角都是直角 • 2、菱形旳四条边都
证明菱形的四种方法
证明菱形的四种方法方法一:利用图形的定义菱形是一个具有以下特征的四边形：它的四条边都相等，且相邻两条边之间的夹角都是90度。
我们可以通过证明这些特征来证明菱形。
（1）证明四边相等：设菱形的四个顶点分别为A、B、C、D，连接AC 和BD两条对角线。
由于AC和BD是菱形的对角线，所以AC=BD。
同时，由于AB和CD是菱形的边，所以AB=CD。
结合这两个等式，可以得出AB=BC=CD=DA，即菱形的四边相等。
（2）证明相邻两边夹角为90度：继续观察图形，可以发现△ABC和△CDA是两个直角三角形，其中∠CAB和∠CDA都是直角。
由于两个直角三角形共边AC相等，所以可得∠ABC≅∠CDA。
同理，也可以证明∠BCD≅∠DAB。
由于两个角均为直角，所以它们的和为180度。
综上所述，根据菱形的定义和证明，可以得出菱形的四个边相等且相邻两边夹角为90度。
因此，该图形是菱形。
方法二:利用对角线性质利用菱形对角线的性质来证明该图形是菱形。
设菱形的对角线分别为AC和BD，交于点O。
（1）证明四边相等：根据对角线性质，AC=BD。
将菱形的边再连接起来，可以得到四个三角形：△ABC、△ACD、△BAD和△BCD。
由于对角线相等，所以可以得出AB=BC、BC=CD和CD=DA。
这样就证明了菱形的四边相等。
（2）证明相邻两边夹角为90度：根据菱形的定义，对角线相等且相邻两边夹角为90度。
所以可以得出∠ABC=∠ACD=∠BAD=∠BCD=90度。
因此，该图形是菱形。
方法三:利用正方形性质正方形是一种特殊的菱形，它的特点是四个边相等且相邻两边夹角为90度。
可以通过正方形的性质来证明菱形。
（1）证明四边相等：将正方形的一条对角线，如AC连接起来，可以得到两个等腰直角三角形△ABC和△ACD。
由于直角三角形的两个直角边相等，所以可以得出AB=BC。
类似地，也可以证明AD=DC。
因此，正方形的四边相等。
（2）证明相邻两边夹角为90度：由正方形的性质可知，相邻两边夹角为90度。
平行四边形与菱形的性质
平行四边形与菱形的性质平行四边形和菱形是几何学中常见的两种特殊四边形。
它们具有一些独特的性质和特征，下面将逐一探讨。
一、平行四边形的性质1. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线的交点同时是它们的中点。
2. 相邻角性质：平行四边形中相邻的内角互补，即相邻内角的和为180度。
3. 对边性质：平行四边形的对边相等且平行，即所对的边长相等，且两边互相平行。
4. 同位角性质：平行四边形中同位角相等，即同位角对应的角度相等。
5. 临补角性质：平行四边形的临补角互补，即两对临补角的和为180度。
二、菱形的性质1. 对角线性质：菱形的对角线相互垂直，且互相平分，即两条对角线的交点同时是它们的中点。
2. 边长性质：菱形的四条边长相等。
3. 相邻角性质：菱形中相邻的内角互补，即相邻内角的和为180度。
4. 同位角性质：菱形中同位角相等，即同位角对应的角度相等。
5. 对边性质：菱形的对边平行且相等，即对边的长度相等且互相平行。
综上所述，平行四边形和菱形都有其各自独特的性质和特征。
它们在几何学中应用广泛，不仅仅是理论性质，还可以通过它们的性质来解决实际问题。
因此，对于学习和理解几何学的同学们来说，掌握并熟练运用平行四边形和菱形的性质是非常重要的。
无论是在计算平行四边形和菱形的面积、周长，还是在证明几何定理方面，了解它们的性质都会为我们的解题提供很大的帮助。
因此，在学习几何学的过程中，我们应该充分理解并掌握平行四边形和菱形的性质，灵活运用它们来解决各种问题。
总而言之，平行四边形和菱形作为几何学中的特殊四边形，具有一些独特的性质和特征。
掌握并熟练运用它们的性质，可以帮助我们解决各种几何问题，提高解题能力。
因此，在学习几何学的过程中，我们应该注重对平行四边形和菱形的性质的学习和理解，以便在实际应用中灵活运用。
菱形的性质
菱形的性质菱形是一种特殊的几何图形，具有一些独特的性质和特征。
它的形状酷似菱形的宝石，因此得名为“菱形”。
在这篇文章中，我们将探讨菱形的性质和其它相关内容。
首先，我们来看一下菱形的定义。
菱形是一个拥有四条相等长度的边的四边形，同时四个角也是相等的，并且相邻的两条边之间夹角为90度。
由于具备四个相等的边和四个相等的角度，菱形具有一些非常独特的性质。
对于菱形来说，最基本的性质之一就是它的对角线相互垂直。
对角线是连接菱形的非相邻顶点的线段，它们交于一个点，这个点称为菱形的“中心点”或“交点”。
这个性质对于解决一些菱形相关的问题十分重要。
另一个菱形的性质是对角线的长度相等。
也就是说，菱形的两条对角线的长度是相等的，这可以通过简单的几何推理得出。
这个性质在许多数学问题的解答中起到了重要的作用。
菱形的另一个有意思的性质是其内角和为360度。
这意味着菱形的四个角度加起来等于360度，与正方形和其他四边形不同。
这个性质可以通过将菱形划分成两个等边三角形并逐一计算每个三角形的内角和来证明。
此外，菱形还具有对称性。
具体来说，一条把菱形分成两个相等部分的线称为“对称线”。
菱形具有两条对称线：一条通过相邻顶点且垂直于每一条边，另一条通过对边的中点。
这个性质使得菱形在很多问题的解决中能够以更简洁和简洁的方式表达出来。
从这些性质中，我们可以看出菱形在几何学中扮演着重要的角色。
它的独特性质使得它成为许多问题的解决方案的基础。
此外，菱形的性质也可以延伸到其他领域，例如统计学、物理学和工程学等。
在日常生活中，我们也可以发现许多与菱形相关的事物和概念。
例如，车辆的标志往往以菱形为基础设计，以便在远处更容易识别。
此外，许多图案和装饰品中也使用了菱形的形状，以增加美感和吸引力。
总之，菱形是一种具有独特性质的几何图形。
它的对角线相互垂直，对角线长度相等，内角和为360度，具有对称性等特点。
这些性质使得菱形在几何学和其他领域中发挥了重要的作用。
菱形的定义及其性质(教案)
教案：菱形的定义及其性质第一章：菱形的定义1.1 引言向学生介绍菱形的概念，并提出问题：“你们认为菱形是什么样的图形？”引导学生通过观察实物或图片来猜测菱形的特征。
1.2 菱形的定义给出菱形的正式定义：“菱形是一个四边形，它的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分。
”解释菱形的名称来源，菱形的特点像菱角一样。
1.3 菱形的性质引导学生观察菱形的图形，发现其性质：四条边相等对角线互相垂直对角线平分对方每个角都是直角第二章：菱形的对称性2.1 引言提出问题：“你们认为菱形有什么特殊的对称性吗？”引导学生思考菱形的对称性。
2.2 菱形的对称性给出菱形的对称性定义：“菱形具有轴对称和中心对称的性质。
”解释菱形的轴对称性：菱形有两组对边平行，可以沿两条对角线进行折叠，两边重合。
解释菱心的概念：菱形的中心点是两条对角线的交点，它是菱形的中心对称点。
2.3 菱形的对称性应用引导学生通过实际操作，画出菱形的轴对称和中心对称图形。
让学生尝试解决与菱形对称性相关的问题，如：如果给出一个菱形的一部分，能否确定整个菱形的形状？第三章：菱形的面积计算3.1 引言提出问题：“你们认为如何计算菱形的面积？”引导学生思考菱形面积的计算方法。
3.2 菱形的面积计算公式给出菱形面积的计算公式：“菱形的面积等于对角线之积的一半。
”解释公式背后的原理，通过实际操作或几何证明来说明。
3.3 菱形的面积计算应用引导学生通过实际操作，计算给定菱形的面积。
让学生尝试解决与菱形面积相关的问题，如：如果给出一个菱形的对角线长度，能否计算出其面积？第四章：菱形的构造4.1 引言提出问题：“你们认为如何构造一个菱形？”引导学生思考菱形的构造方法。
4.2 菱形的构造方法给出菱形的构造方法：“通过画两条互相垂直的线段，在对角线上分别标记四个点，连接相邻点即可得到菱形。
”解释菱形构造的原理，通过实际操作或几何证明来说明。
4.3 菱形的构造应用引导学生通过实际操作，尝试构造一个菱形。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质菱形是一个非常基本的几何形状，它有着很多重要的性质。
在本文中，我们将学习如何判定一个四边形是否为菱形，并探讨菱形的一些重要性质。
判定四边形是否为菱形在几何中，一个四边形是菱形的充分必要条件是它的四条边长度相等。
也就是说，如果一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d，那么这个四边形是菱形当且仅当a=b=c=d。
除此之外，我们还可以通过判定四边形的对角线是否相等来确定一个四边形是否为菱形。
具体来说，如果一个四边形的对角线长度分别为e,f，那么这个四边形是菱形当且仅当e=f。
为了方便起见，在接下来的部分中，我们将使用第二种方法来判定四边形是否为菱形。
菱形的性质性质1：菱形的两条对角线相互垂直一个菱形的两条对角线相互垂直。
我们可以通过使用勾股定理来证明这一点。
具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。
根据勾股定理，我们有：$$ \\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\\\ BD^2 &= AB^2 + AD^2\\end{aligned} $$注意到菱形的两个对角线相等，因此有AC=BD。
将它代入上面的式子中，得到：AB2+BC2=AB2+AD2化简上式可得：BC2=AD2这说明了菱形的对角线是相互垂直的。
性质2：菱形的对角线平分内角一个菱形的两条对角线平分它内部的角。
我们可以使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明这一点。
具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，交于点O，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。
根据性质1，菱形的对角线相互垂直，因此角$\\angle AOB$是一个直角。
又因为线段AC和BD是直线，所以它们平分了角$\\angle AOB$。
同理，它们也平分了菱形内部的所有角。
性质3：菱形的四个角相等一个菱形的四个角相等。
这可以通过使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明。
菱形的判定及知识点归纳
菱形的判定及知识点归纳
菱形怎么判定，定理是什么，相关知识点考生又知晓吗？尚不了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“菱形的判定及知识点归纳”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
菱形的判定
① 四条边都相等的四边形是菱形。
② 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形。
③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
菱形知识点归纳
1、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质:⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质;
⑵ 菱形的四条边都相等;
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷ 菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、菱形的判定方法:
⑴ 定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵ 判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶ 判断方法2:四条边相等的四边形是菱形。
4、菱形面积的计算:
菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab(a、b 为两条对角线)
归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。
希望上面对菱形知识点的总结学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们一定能很好的参加考试工作。
初中数学知识点总结:平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
菱形的所有性质
菱形的所有性质
菱形的所有性质如下：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形。
3、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。
4、四条边都相等。
5、对角相等，邻角互补。
6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号三倍。
7、菱形的判定判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
8、菱形的面积
①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);
②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx
9、菱形的周长
菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a。
菱形是特殊的平行四边形，而菱形中又有特殊的一类就是正方形。
5.2.1 菱形的定义与性质
倍 速 课 时 学 练
∴AB=AD,OD=OB
又∵ AO = AO ∴AB=BC=CD=DA ∴ △AOD ≌ △AOB 又∵ AC = AC ∴ ∠DOA=∠BOA ∴ △ADC ≌ △ABC 又∵ ∠DOA+∠BOA= 18 ∴ ∠DOA=∠BOA= 90 ∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA
解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义) AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) ∵∠BAC=30° 又∵OB=OD=3(平行四边形的对角 线互相平分)
∠BAD=60°
∴ABD是等边三角形. AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理,得AO= AB2 BO2 62 32 3 3 AB=BD=6 AC=2AO= 6 3
相等的线段：
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
B
5 6
A
1 2
7
8
O
3 4
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4
倍 速 课 时 学 练
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
倍 速 课 时 学 练
B E C M F
D
N
2.菱形ABCD中 ∠ABC=60°,AB=4cm,P为BD上任意 一点,E为BC中点,求PE+PC的最小值.
A B E C P D
倍 速 课 时 学 练
他是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
菱形判定知识点总结
菱形判定知识点总结基本概念：菱形是一个几何形状，它有四条边和四个角，每个内角都是90度。
菱形的特点是它的四条边都相等，相邻的两条边成45度角，对角线相交于90度角。
在菱形中，对角线长度相等，相对的边也相等。
菱形的判定主要包括两个方面，一是判定一个四边形是否为菱形，二是判定一个几何图形是否是菱形。
性质：1. 菱形的对角线相等平分对角；2. 菱形的每个内角都是90度；3. 菱形的相邻边相等；4. 菱形的对角线垂直相交；5. 菱形的对角线相等且互相垂直平分；6. 菱形的性质是四边形的子集，其中包括平行四边形和矩形。
定理：1. 设菱形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；2. 设四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；3. 若一个四边形的对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形是菱形；上述三个定理分别是通过菱形的基本性质得到的，通过这些定理我们可以简单判断一个四边形是否是菱形。
菱形判定应用：菱形判定在几何证明和实际问题中都有广泛的应用。
在几何证明中，菱形判定可以帮助我们判断一个已知的四边形的性质，从而展开相应的证明。
通过证明菱形的基本性质和相关定理，我们可以推导出其他定理，如平行四边形和矩形等。
在实际问题中，菱形判定可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，当我们遇到一个已知的四边形时，通过菱形判定的方法我们可以判断出它是不是菱形，然后再进一步推导出一些相关的结论。
总结：菱形判定是数学中的一个重要概念，它的基本概念、性质和定理都对我们理解几何形状的特性和展开几何证明起着至关重要的作用。
通过学习菱形判定，我们可以更好地理解几何形状的性质和特点，解决一些与几何相关的问题。
因此，对菱形判定的学习和掌握对我们的数学学习和实际问题解决都有着重要的意义。
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18.2.2 菱形（一）
一、教学目的：
知识与技能目标：掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
教学与方法目标：通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的性质1、2．
2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．
四、课堂引入
1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
性质菱形四条边相等
菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
已知四边形ABCD是菱形
1、图中有哪些相等的线段？
2、图中有哪些相等的角？
3、图中有哪些等腰三角形？
4、图中有哪些直角三角形？
5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴间有什么关系？(多媒体显示)
菱形的面积计算:
S菱形=底.高=BC. AE(根据平行四边形面积公式而来)
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积公式吗?
教师推断:
S 菱形ABCD=S △ABD +S △BCD = 1/2AC ×BD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
五、例习题分析
例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ． 求证：∠AFD=∠CBE ．
证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，
∴ CB=CD ， CA 平分∠BCD ．
∴ ∠BCE=∠DCE ．又 CE=CE ，
∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．
∴ ∠CBE=∠CDE ．
∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE ．
例2 （教材P108例2）略
六、随堂练习
1．已知菱形的周长是12cm ，那么它的边长是______.
2．菱形ABCD 中∠ABC ＝60度，则∠BAC ＝_______.．
3．菱形ABCD 中,O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5cm,AO=4cm ，求两对角线AC 、BD 的
长。
七、课后练习
1．如图，菱形花坛ABCD 的周长为80m ， ∠ABC ＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积 O D
C
B
A
课后反思：菱形用对角线计算面积的公式的运用不熟练，应加强练习。
菱形的对角线性质学生往往会忽略每一条对角线评分一组对角.。