人教新课标A 高中数学2021学年上学期高二寒假作业2 数列(文)含答案
【寒假作业】2021-2022学年高二寒假作业2(人教A版)+答案解析(附后)
【寒假作业】2021-2022学年高二寒假作业2（人教A 版）一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.抛物线的准线方程为( )A. B.C.D.2.已知椭圆的一个焦点坐标为，则k 的值为( )A. 1B. 3C. 9D. 813.数列，3，，7，，…的一个通项公式为( )A. B.C.D.4.已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. C.D.5.已知等差数列满足，，则它的前10项和( )A. 138B. 135C. 95D. 236.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为( )A. 8岁 B. 11岁 C. 20岁 D. 35岁7.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则A. 9B. 6C. 3D. 18.已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，的面积被x 轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.设数列是等差数列，是其前n 项和，且，则( )A. B.C.或为的最大值 D.10.已知等差数列满足，前3项和，等比数列满足，，的前n项和为则下列命题错误的是( )A. 的通项公式为B. 等差数列的前n项和为C. 等比数列的公比为D.11.双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列结论正确的是( )A. 该双曲线的离心率为B. 该双曲线的渐近线方程为C. 点P到两渐近线的距离的乘积为D. 若，则的面积为3212.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F、E，直线与椭圆相交于点A、B，则( )A. 椭圆C的离心率为B. 存在m，使为直角三角形C. 存在m，使的周长最大D. 当时，四边形FBEA面积最大三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.抛物线的焦点坐标是__________.14.今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是__________.15.过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为__________.16.若数列满足为常数，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.定义一种运算＆，对于，满足以下性质：（1）2＆2=1，（2）（＆2=（＆2）+3,则2008＆2的数值为【答案】-3008【解析】（＆2=（＆2）+3,即（＆2）=（＆2-3,则 2＆2，4＆2，6＆2，（＆2）构成等差数列，（＆2）=2＆2+（1004-1）*（-3）=-30082.已知等差数列｛an ｝的前n 项和Sn满足S3＝0，S5＝－5．（1）求｛an｝的通项公式；（2）求数列的前n 项和【答案】（1）;（2）【解析】（1）设等差数列的首项，公差分别是，代入公式；（2）将和代入通项公式，整理，第二步是裂项相消，整理．试题解析：（1）因为S3＝0，S5＝－5。
（6分）（2）所以数列的前n项和…+=…+=。
（6分）【考点】1．等差数列的前n项和；2．等差数列的通项公式；3．裂项相消法求和．3.已知数列是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为A．或B．或C．D．【答案】A【解析】显然，则，解得，则成等比数列，其公比为，则其前5项和为或．【考点】等比数列的求和公式．4.已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为,，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）利用进行求解；（2）先利用点在直线上求得的通项，再利用求得，再利用错位相减法进行求和．试题解析：（Ⅰ）（1）（2）（2）-（1）得，即，成等比数列，公比为．．（Ⅱ）由题意得：，成等差数列，公差为．首项，，，当时，，当时，成立，．，令，只需．（3）（4）（3）-（4）得：．为递增数列，且 ,，实数的最大值为．【考点】1．的应用；（2）错位相减法．5.已知正项数列的前项和为，对任意，有．（1）求数列的通项公式；（2）令，设的前项和为，求证：【答案】（1）（2）证明见解析．【解析】第一问根据题中所给的条件，令取时，对应的式子写出，之后两式相减，可得相邻两项的差为常数，从而得到数列为等差数列，令，可得数列的首项，从而求得数列的通项公式，第二问对式子进行分母有理化，化简可得，再求和，中间项就消没了，从而证得结果．试题解析：（1）由可得，，两式相减得，整理得，根据数列是正项数列，所以有，且有，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有；（2）【考点】求数列的通项公式，数列求和问题．6.等差数列中，，则前7项的和（）A．B．28C．63D．36【答案】C【解析】由等差中项可得, ．故C正确．【考点】1等差数列的性质；2等差数列的前项和．7.（本小题满分12分）已知是一个等差数列，且。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意有，即，解得或故或．（Ⅱ）由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．【考点】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题．2.已知数列的前项和构成数列，若，则数列的通项公式________.【答案】【解析】当时，，当时，，综上所述，，故答案为.【考点】数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用.【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块．【答案】4n+2【解析】第个图案有块，第个图案有块，第个图案有块，所以第个图案有块【考点】观察数列的通项4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【答案】【解析】由题意可知，解得，所以.【考点】等差数列通项公式．5.在等差数列{an }中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 ()．A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.6.已知数列是等比数列，，是和的等差中项.（１）求数列的通项公式；（２）设，求数列的前项和．【答案】（１）（２）【解析】（１）求等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可，本题可利用等比数列通项公式广义定义求解，即，而是和的等差中项，都转化为：（２）先代入求解，再根据错位相减法求和，注意项的符号变化，项数的确定.试题解析：（１）设数列的公比为，因为，所以，．因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以（）．（２）因为，所以．所以．则，①. ②①－②得，，所以．【考点】等比数列通项公式，错位相减法求和7.等差数列，的前n项和分别为和，若则＝________．【答案】.【解析】根据等差数列的性质，由.【考点】等差数列的性质.8.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设此数列为，其符号为其绝对值为，可得通项公式．选B【考点】数列的通项公式9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】该数列为等差数列，且，即，解得.【考点】等差数列，数学文化.10.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3B．5C．7D．9【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可．解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）an+1=4，①偶数项共n项，其和为S偶===nan+1=3，②得，，解得n=3故选A【考点】等差数列的前n项和．11.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】观察数列的前6项知，该数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以．故选B．【考点】观察法求数列的通项公式．12.数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，值等于( ）A．11B．17C．19D．21【答案】C【解析】由于前项和有最大值，所以，根据，有，，，所以，，结合选项可知，选C.【考点】等差数列的基本性质.13.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.14.设数列{an }，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为()A．0B．37C．100D．－37【答案】C【解析】数列{an }和{bn}都是等差数列，所以是等差数列，首项，所以数列是常数列，所以第37项的值为100【考点】等差数列15.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．16.设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】设公差为d，则解得a1＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.17.已知等差数列中，，公差，则使前项和为取最小值的正整数的值是（）A．4和5B．5和6C．6和7D．7和8【答案】C【解析】，所以使前项和取最小值的正整数的值为6和7【考点】数列性质18.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．19.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围_________.【答案】【解析】由题意可得，，即求的最大值，所以当n=3时，，所以，填。
2021学年高二数学必修五2.2 等比数列及其求和(A卷基础篇)人教A浙江(原卷版)
『高二教材·同步双测』『A卷基础篇』『B卷提升篇』试题汇编前言：本试题选于近一年的期中、期末、中考真题以及经典题型，精选精解精析，旨在抛砖引玉，举一反三，突出培养能力，体现研究性学习的新课改要求，实现学生巩固基础知识与提高解题能力的双基目的。
（1）A卷注重基础，强调基础知识的识记和运用；（2）B卷强调能力，注重解题能力的培养和提高；（3）单元测试AB卷，期中、期末测试。
构成立体网络，多层次多角度为考生提供检测，查缺补漏，便于寻找知识盲点或误区，不断提升。
祝大家掌握更加牢靠的知识点，胸有成竹从容考试！专题2.2 等比数列及其求和（A 卷基础篇）（浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·安徽省六安中学高一期中（理））等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则6a 等于是（ ） A ．4± B ．4 C ．14± D ．142．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））已知数列{}n a 满足112n n a a +=，若48a =，则1a 等于A ．1B ．2C ．64D ．1283．（2020·贵州省高二学业考试）在等比数列{}n a 中，141,27a a ==，则公比q =（ ） A ．13-B ．3-C ．3D ．134．（2020·河南省高三其他（文））在等比数列{a n }中，已知a 1a 3＝4，a 9＝256，则a 8＝（ ） A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．645．（2020·安徽省六安中学高一期中（文））已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A ．3或－3B ．3C ．－3D ．不确定6．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（ ） A ．35B ．75C ．155D ．3157．（2019·天津市双菱中学高一月考）已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4B ．－1C ．0D ．18．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他（文））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （ ） A ．1023B ．511C ．1023-D ．511-9．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在等比数列{}n a 中，若5422,2a a a ==，则6a =（ ）A ．64B ．16C ．8D ．3210．（2020·河北省盐山中学高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（ ） A ．432n -B ．212n -C ．212n +D ．42n第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2018·江西省高一期末）等比数列{}n a 中，11a =，284a a =，则23a =____．12．（2020·长春市第二十九中学高二月考（文））若数列{}n a 满足111,2,1,2,3,,n n a a a n +===⋯则12n a a a ++⋯+=________.13．（2020·吉林省高一期中）设数列{}n b 为等比数列.若0n b >，且56474b b b b +=，则1210...b b b =______. 14．（2019·石嘴山市第三中学高二月考（文））在等比数列{a n }中，已知a 132=，a 4＝12，则q ＝_____；a n ＝_____．15．（2018·黑龙江省哈师大附中高一开学考试）在等比数列{}n a 中，若45a =，86a =，则210a a ⋅=______，6a =______；16．（2020·浙江省高三二模）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取. 17．（2020·浙江省高一期中）在正项等比数列{}n a 中，若126a a +=，38a =，则q =___________；n a =___________．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·宾县第二中学高一期中）在等比数列{}n a 中， (1)已知13a =，2q =-，求6a ； (2)已知320a =，6160a =，求n a ．19．（2020·云南省高三月考（理））在等比数列{}n a 中，16a =，2312a a =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，若66m S =，求m ．20．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高一期中）等比数列{}n a 的各项均为正数，且1261a a +=,22159a a a =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 前n 项和.21．（2018·北京101中学高一期末）等比数列{}n a 中，22a =，748a a =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =，求m .22．（2020·四川省南充市第一中学高二期中（理））已知等差数列{}n a 满足323a a -=，2414a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 是等比数列{}n b 的前n 项和，若22b a =，46b a =，求7S ．。
人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第四章 数列 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示
第四章4.1 数列的概念第1课时 数列的概念与简单表示A 级必备知识基础练1.[探究点三]数列{a n }中,若a n =√16-2n,则a 4=( ) A.12B.√2C.2√2D.82.[探究点三]已知数列-1,14,-19,…,(-1)n 1n2,…,它的第5项的值为( ) A.15B.-15C.125D.-1253.[探究点三]已知数列的通项公式a n ={3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,则a 2a 3等于( ) A.70B.28C.20D.84.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n 项为( ) A.6n-1B.-6n+1C.6n+2D.-6n-25.[探究点二·陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为( )A.a n =(-1)n+12nB.a n =(-1)n 2nC.a n =(-1)n+12nD.a n =(-1)n 2n6.[探究点二、三](多选题)已知数列√2,2,√6,2√2,…,则下列说法正确的是( )A.此数列的通项公式是√2nB.8是它的第32项C.此数列的通项公式是√n +1D.8是它的第4项7.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1,12,13,14,…,1n,…B.sin π7,sin 2π7,sin 3π7,…,sin nπ7,…C.-1,-12,-14,-18,…,-12n -1,…D.1,√2,√3,…,√n ,…8.[探究点四(角度2)]已知数列{a n }的通项公式为a n =2 021-3n,则使a n >0成立的正整数n 的最大值为 .9.[探究点三]已知数列{a n }的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象: (1)a n =2;(2)b n ={n ,n 为奇数,-2n,n 为偶数.10.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式. (1)1,-12,14,-18,….(2)10,9,8,7,6,…. (3)2,5,10,17,26,…. (4)12,16,112,120,130,….(5)3,33,333,3 333,….11.[探究点三]已知数列{a n},a n=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?B级关键能力提升练12.设a n=1n +1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2(n∈N*),则a2等于( )A.14B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+1513.若数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2+25n,则数列{a n }的各项中最大项是( ) A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项14.(多选题)已知数列{a n }的前4项依次为2,0,2,0,则数列{a n }的通项公式可以是( ) A.a n ={2,n 为奇数,0,n 为偶数B.a n =1+(-1)n+1C.a n =2|sinnπ2| D.a n =21-(-1)n215.[湖南长沙月考]数列{a n }的通项公式a n ={(7-t )n +4,n ≤4,t n -2,n >4,若{a n }是递增数列,则实数t 的取值范围是( ) A.[4,7)B.(325,7)C.[325,7)D.(1,7)16.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n+k 2n,若数列{a n }为递减数列,则实数k的取值范围为 .17.函数f(x)=x 2-2x+n(n ∈N *)的最小值记为a n ,设b n =f(a n ),则数列{a n },{b n }的通项公式分别是a n = ,b n = . 18.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n 2(n ∈N *).(1)0和1是不是数列{a n}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{a n}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?C级学科素养创新练19.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为( )A.14.8B.19.2C.19.6D.20.420.若数列{a n }的通项公式为a n =n n 2+(n ∈N *),则这个数列中的最大项是( ) A.第43项 B.第44项 C.第45项D.第46项21.在数列{a n }中,a n =n 2n 2+1.(1)求数列的第7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内. (3)区间(13,23)内有没有数列中的项?若有,有几项?第1课时 数列的概念与简单表示1.B 由a n =√16-2n可知16-2n>0,即n<8,所以a 4=√16-8=√2.2.D 第5项为(-1)5×152=-125.3.C 由a n ={3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,得a 2a 3=2×10=20.4.B 由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为a n =(-1)n-1(3n-1),所以第2n 项为a 2n =(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.5.B 数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故a n =(-1)n 2n.故选B.6.AB 数列√2,2,√6,2√2,…,即√2,√4,√6,√8,…,则此数列的通项公式为√2n ,故A 正确,C 错误;令√2n =8,解得n=32,故8是它的第32项,故B 正确,D 错误.故选AB.7.CD 选项C,D 既是无穷数列又是递增数列. 8.673 由a n =-3n>0,得n<3=67323,又因为n ∈N *,所以正整数n 的最大值为673. 9.解列表法给出这两个数列的前5项:它们的图象分别为10.解(1)a n =(-1)n+112n -1;(2)a n =11-n; (3)a n =n 2+1; (4)a n =1n (n+1);(5)a n =13(10n -1). 11.解(1)由已知,得{1-p +q =0,4-2p +q =-4,解得{p =7,q =6,所以a n =n 2-7n+6,所以a 5=52-7×5+6=-4.(2)令a n =n 2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.12.C ∵a n =1n+1n+1+1n+2+1n+3+ (1)2(n ∈N *),∴a 2=12+13+14.13.C 因为a n =-2n 2+25n=-2·(n-254)2+6258,且n ∈N *,所以当n=6时,a n 的值最大,即最大项是第6项. 14.ABC ∵a n ={2,n 为奇数,0,n 为偶数,∴a 1=2,a 2=0,a 3=2,a 4=0,故A 正确;∵a n =1+(-1)n+1,∴a 1=1+(-1)2=2,a 2=1+(-1)3=0,a 3=1+(-1)4=2,a 4=1+(-1)5=0,故B 正确; ∵a n =2|innπ2|s,∴a 1=2|sin π2|=2,a 2=2|sin2π2|=0,a 3=2|sin3π2|=2,a 4=2|sin4π2|=0,故C 正确; ∵a n =21-(-1)n2,∴a 1=21-(-1)12=2,a 2=21-(-1)22=1,a 3=21-(-1)32=2,a 4=21-(-1)42=1,故D 错误.故选ABC.15.A 因为数列{a n }的通项公式a n ={(7-t )n +4,n ≤4,t n -2,n >4,若{a n }是递增数列,则{7-t >0,t >1,4(7-t )+4≤t 2,解得4≤t<7. 故选A.16.(0,+∞) 由数列{a n }为递减数列可知a n+1<a n 对n ∈N *恒成立,即3(n+1)+k 2n+1<3n+k 2n,因此3(n+1)+k 2n+1−3n+k 2n=3(n+1)+k -6n -2k2n+1=3-k -3n 2n+1<0,即k>3-3n,因为n ∈N *,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n 的最大值为0,所以k>0.17.n-1 n 2-3n+3 当in =f(1)=1-2+n=n-1,即a n =n-1;将x=n-1代入f(x)得,b n =f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n 2-3n+3.18.解(1)令a n =0,得n 2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{a n }中的第21项.令a n =1,得n 2-21n 2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ,a n+1,则有a n =a n+1,即n 2-21n 2=(n+1)2-21(n+1)2.解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.19.C 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8项是192.新数列0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…的规律是原数列的每一项加4,再除以10,计算即可.20.C 设f(x)=xx 2+(x>0),则f(x)=1x+x ,又由x+x≥2√,当且仅当x=√时,等号成立,则当x=√时,x+x取得最小值,此时f(x)取得最大值,而44<√<45,a 44=44442+<a 45=45452+,则数列中的最大项是第45项. 21.(1)解a 7=7272+1=4950. (2)证明∵a n =n 2n 2+1=1-1n 2+1,∴0<a n <1,故数列的各项都在区间(0,1)内.(3)解令13<n 2n 2+1<23,则12<n 2<2,n ∈N *,故n=1,即在区间(13,23)内有且只有1项a 1.。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.已知等比数列的前项为，，，则= ．【答案】31【解析】【考点】等比数列通项公式求和公式2.在数列中，已知等于的个位数，则的值是（）A．8B．6C．4D．2【答案】A【解析】根据已知条件可知，，，，，，，，，因此次数列从第三项起，以循环，则为还余下，所以的值为.【考点】简单逻辑连接词.3.观察下列各式：，，则的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意得，，发现的末两位数字是49，的末两位数字是43，的末两位数字是01，，的末两位数字为43，故选B。
【考点】归纳推理4.数列{an }满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）（Ⅰ）设Cn =log5（an+3），求证{Cn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设，数列{bn }的前n项的和为Tn，求证：．【答案】（Ⅰ）证明如下；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明如下；【解析】（I）由已知可得，，利用构造法，令，则可得，从而可证数列为等比数列；（II）由（I）可先求数列，代入可求；（III）把（II）中的结果代入整理可得，，则代入相消可证；试题解析：（Ⅰ）由得，于是，即，因此是以2为公比的等比数列；（Ⅱ）又，于是，即，因此，即；（Ⅲ）因为，于是，又，即；【考点】•数列的求和 等比关系的确定 数列递推式5.（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列，，满足．（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）将已知条件变形可得,由等差数列的定义可知数列即数列是等差数列．由等差数列的通项公式可求得．（2）由已知可求得,分析的通项公式可知应用错位相减法求数列前项和．试题解析：（1）因为,,所以,即,所以数列是以首相,公差的等差数列,故．（2）由知,于是数列前项和两式相减可得所以【考点】1等差数列的定义,通项公式；2错位相减法求数列的和．6.已知数列满足条件，则．【答案】【解析】,可知数列是以为首相,以1为公差的等差数列．．．【考点】1构造法求数列的通项公式；2等差数列的定义；3等差数列的通项公式．7.设是等差数列的前n项和，若（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等差数列的首项为，由等差数列的性质得：，，∴．【考点】等差数列的性质．8.等差数列中，，则中的最大值是（）A．B．或C．D．【答案】A【解析】因为是等差数列，，又，所以中的最大值是．【考点】等差数列的前项的和9.已知数列满足，，若，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A【考点】递推公式求数列各项10.已知数列满足，则．【答案】【解析】时，当时由得，两式相减得，经验证符合上式，因此通项公式为【考点】数列的通项公式求法11.（本小题满分为10分）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将已知条件转化为等差数列的首项和公差表示，通过解方程组得到基本量，从而得到通项公式；（Ⅱ）将数列，的通项公式代入得到，根据特点采用错位相减法求和试题解析：（Ⅰ）由题意有，即，解得或，故或（Ⅱ）由知，故，于是，①∴②∴由①－②可得故【考点】1．等差等比数列通项公式；2．错位相减法求和【方法点睛】在等差等比数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，首项和公差公比表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和12.已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足．（1）求数列、的通项公式；（2）如果，设数列的前项和为，求证：．【答案】（1），；（2）详见解析．【解析】（1）由成等比数列可得成等比数列，将其转化为关于公差的方程即可求得公差，由等差数列的通项公式可求得．由公式即可求得与间关系式．由等比数列的定义可知为等比数列，从而可得．（2）由题意可知应用错位相减法求和．比较大小应用作差法即即可．试题解析：解：（1）设数列的公差为，依条件有，即，解得（舍）或，所以．由，得，当时，，解得，当时，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故．（2）由（1）知，，所以①②得．又．所以，所以．【考点】1等差数列的通项公式；2等比数列的定义，通项公式；3错位相减法求和．13.在等比数列{bn }中，S4=4，S8=20，那么S12= ．【答案】84【解析】由等比数列性质可知成等比数列，所以代入已知数据得【考点】等比数列性质14.已知数列满足，．令．（1）求证：数列为等差数列；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）现将代入可得，再展开，两边同除以即可证数列为等差数列；（2）先由（1）可得数列的通项公式，进而可得的通项公式，再利用裂项法可得，进而可证明．试题解析：（Ⅰ），（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由于于是【考点】1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、数列的“裂项”求和；4、不等式的证明．15.已知数列是首项为的等比数列，其前项和为，且，则数列的前5项和为A．或B．或C．D．【答案】D【解析】由可知公比，数列是等比数列，公比为，首项为1，所以【考点】等比数列及求和16.（2015秋•宁德校级期中）已知公差不为零的等差数列{an }，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =2n，求数列{an+bn}的前n项和Sn．【答案】（1）an =1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）Sn=n2+2n+1﹣2．【解析】（1）通过a2=1+d、a5=1+4d，利用a1，a2，a5成等比数列计算可知公差d=2，进而可得结论；（2）分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算，相加即可．解：（1）依题意可知，a2=1+d，a5=1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，解得：d=2或d=0（舍），∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）可知等差数列{an }的前n项和Pn==n2，∵bn=2n，∴数列{bn }的前n项和Qn==2n+1﹣2，∴Sn=n2+2n+1﹣2．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．17.函数图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据平面几何切割线定理，从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项，原点做半圆的切线长为设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是，则，设，所以，所以，根据图像分析，或是分别得到或，只有不在范围内，故选B．【考点】1．等比数列的性质；2．切割线定理．18.已知等差数列的公差为，且，若，则（）A．8B．4C．6D．12【答案】A【解析】根据等差数列的性质可知，即，又，所以．【考点】等差数列的性质．19.在数列中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析，，，，，，，故选D．【考点】数列通项及归纳推理．【思路点晴】本题主要考查数列通项的基本含意，属于难题，解题时一定要注意的三个特点：（1）正负间隔出现；（2）分母成公差为等差数列；（3）每增加“”，就增加两项．解决本题是利用特点（3）可知在的基础上多出了两项得出结论的．20.已知各项不为0的等差数列，满足，数列是等比数列且，则（）A．16B．8C．4D．2【答案】A【解析】【考点】等比数列等差数列性质21.（2015秋•滑县期末）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a1=﹣3，ak+1=，Sk=﹣12，则正整数k=（）A．10B．11C．12D．13【答案】D【解析】根据数列的概念直接求解．解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a1=﹣3，，∴解得k=13．故选：D．【考点】等差数列的性质．22.（2007•山东）设数列{an }满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1=，两式作差求出数列{an}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{bn}的通项．再用错位相减法求和即可．解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1an=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴bn=n•3n．∴Sn =3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3Sn =32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2Sn=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2Sn=n•3n+1﹣．∴．【考点】数列的求和；数列递推式．23.已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由利用能求出an=3n；（Ⅱ）先求出再求出中的最大值为,由此能求出实数m的取值范围试题解析：（Ⅰ）当时，，∴，又时，满足上式，所以．（Ⅱ），当时，，当时，，∴时，，时，，时，，∴中的最大值为．要使对于一切的正整数恒成立，只需，∴．【考点】1．数列的求和；2．数列递推式24.已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即；与的等差中项为，可得，得；所以，，得．故选C.【考点】等比数列的通项公式和前n项和公式；等差中项.25.已知等差数列中，等于（）A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】根据等差数列的性质，得，所以.故选A.【考点】等差数列的性质.26.已知满足，，（1）求证：是等比数列；（2）求这个数列的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知，变形为；且，所以；即数列是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：，所以.试题解析：（1）证明：由已知，变形为；且，所以；即数列是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，所以.【考点】等比数列的定义；数列的通项公式.27.若数列满足，若数列的最小项为1，则的值为 .【答案】【解析】由题意得，数列，令，则，由，解得，此时函数单调递增；由，解得，此时函数单调递减，所以对于来说，最小值是或中的最小值，又，所以为的最小值，即，解得.【考点】利用导数研究函数的单调性及其极值（最值）.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，着重考查了转化与化归的思想方法和推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据给定的数列，转化为函数，利用导数研究函数的单调性，确定函数的单调性，得出数列的最小值，列出方程即可求解实数的值.28.已知等差数列中，．（1）求数列的通项公式及前项和的表达式；（2）记数列的前项和为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列的通项公式及前n项和的表达式；（2）由（1）得，由此利用裂项求和法能求出的值试题解析：（1）∵等差数列中，，∴，解得，∴．．（2）由（1）得，∴∴．【考点】数列的求和；等差数列的性质29.等差数列中，，则的值是（）A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】由题意，根据等差数列的性质得，所以，故选A．【考点】等差数列的性质．30.已知数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）若，，求数列的前项和．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）利用当时，和时，，即可求解的通项公式；（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和．试题解析：（1）由，得当时，；当时，，．所以，．（2）由（1）知，，．所以，，．故，．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．31.已知等差数列的公差为前n项的和为Sn，若则d = ,= ，Sn= .【答案】; ;.【解析】由题意，可知，可知，所以，.【考点】等差数列的通项公式和前项和.32.等差数列{an }中，，{bn}为等比数列，且b7=a7，则b6b8的值为（）A．4B．2C．16D．8【答案】A【解析】由于是等差数列，所以，所以，或，又是等比数列，所以，．故选A．【考点】等差数列与等比数列的性质．33.已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）实数的最大值为．【解析】（1）利用的关系求出通项公式；（2）通过恒成立转化为求的最小值．试题解析：解：（1）当时，，又各项均为正数；数列是等差数列，；（2），若对于任意的恒成立，则法（一）：令，因，所以数的最大值为【考点】1．利用的关系求出通项公式；2．恒成立问题的转化．34.对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，，是互不相等的正整数，则有”．类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“若是等比数列，，是互不相等的正整数，则有”．【答案】【解析】由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是,则等比数列的商是,故应填答案.【考点】类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.35.已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则=A．B．C．D．【答案】D【解析】由是1和3的等差中项，得，则；由数列是等比数列，得.故选D.【考点】等差数列和等比数列的性质.36.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A．B．C．D．【解析】因为等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，所以，得，因此，故选A．【考点】1、等比数列的通项公式；2、等比、等差数列的性质．37.在等差数列中，．（1）数列的前多少项和最大？（2）求数列的前项和；【答案】（1）数列的前项和最大；（2）．【解析】（1）根据题设条件，列出方程组，求得，利用等差数列的通项公式，求得通项公式，令，得出当时，，当时，，即可得到结论；（2）当，时，求得，当，时，数列的前项和为，即可得出结论．试题解析：（1）由，得，∴，令，得，∴当，时，，当，时，，∴数列的前17项和最大；（2）当，时，；当，时，，∴当，时，数列的前项和为；当，时，数列的前项和为，故．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用、数列的求和，其中解答中着重考查了分类讨论的数学思想、函数与方程思想的应用，以及学生的推理与运算能力和分析问题、解答问题的能力，试题有一点的难度，属于中档试题，本题的解答中，求出数列的通项公式，根据通项公式判断出数列的正项与负项，合理分类讨论是解答的关键．38.设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：410 1228 30 36…的值为（）A．B．C．D．【解析】试题分析:因为且,所以在第行,第个数,因此根据数表的数据的规律可知,应填.【考点】归纳猜想等合情推理及运用．【易错点晴】本题以等腰直角三角形数列为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出每一行的数的特征和规律为,然后再确定数列中的项是第行,第个数,最后再运用数列中各项的规律,写出数.39.等差数列的前n项和为，若，则等于（）A．12B．18C．24D．42【答案】C【解析】等差数列的前n项和为，则也成等差数列，即，，有，选C.【考点】等差数列的性质40.在数列中，，，则的值为（）A．49B．50C．51D．52【答案】D【解析】由，得，故数列为首项为，公差为的等差数列，所以．故选 D．【考点】数列递推式．41.若是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有（）①；②；③（，为常数）；④．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据等差数列的定义，对于①当时，不是等差数列；②是常数，故是等差数列；③是常数，故是等差数列；④是常数，故是等差数列．故选：C．【考点】等差关系的确定．【方法点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质以及等差数列的判定，注重强调对基础的考查，属于容易题；一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于一个常数,那么这个数列就是等差数列,通过定义逐个验证；或者由等差数列通项公式的性质：若数列为等差数列，也可得到结果．42.在等差数列中，已知，则=A．10B．18C．20D．28【答案】C【解析】由题意得，设等差数列的公差为，则，则，故选C．【考点】等差数列的通项公式．43.已知数列的前项和为，，等差数列中，，且，又成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，利用恒等式构造出两者作差得出，从而可求出数列的通项公式，数列的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前项和进行处理进而求解.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，而，∴.∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，在等差数列中，∵，∴，又因为成等比数列，设等差数列的公差为，∴，解得或.∵，∴舍去，取，∴，∴.（2）由（1）知，，①，②①-②得，∴.【考点】1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.【方法点睛】本题主要考查的是等差数列的综合,等比数列的综合,错位相减法求数列前项和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，对于数列中给出的递推关系式求数列的通项公式，我们要熟练掌握常见的九种递推关系式求数列的通项公式的方法，只有求出了通项公式后面才能求数列前项和，另一方面凡是遇到等差数列和等比数列相乘做为一个数列，求这个数列的前项和，只有一个方法，错位相减的方法求解，因此正确求出数列的通项公式是解此类题目的关键.44.已知数列满足，前项和是，则满足不等式的最小正整数为______【答案】7【解析】根据题意，，化简可得；则是首项为，公比为的等比数列，进而可得，即；依题意，即，且n∈N*，分析可得n＞7；即满足不等式的最小正整数n是7【考点】数列的应用；数列的求和45.设等差数列的前项和，且满足,对任意正整数，都有，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等差数列的求和公式及性质，可得，所以，同理可得，所以，所以，对任意正整数，都有，则，故选D.【考点】等差数列的求和公式.46.已知函数满足且.（1）当时，求的表达式；（2）设，，求证：…；（3）设，，为的前项和，当最大时，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或时取得最大值．【解析】（1）令，则，得到，即，即可利用等比数列的通项公式，求的表达式；（2）由（1）可知，利用乘公比错位相减法求解数列的和，即可证明结论；（3）由（1）可得，得到数列是一个首项是，公差为的等差数列，判定出时，当时，当时，即可得出的值.试题解析：（1）令，则，∴，即，∴（3分）（2）证明：设，则（5分）∴∴即（8分）（3）由（1）可得，∴数列是一个首项是4，公差为的等差数列，∴当时，当时，当时（10分）故或时取得最大值18. （12分）【考点】数列的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到抽象函数的性质的应用，等比数列的通项公式、数列的乘公比错位相减法求和和数列的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，其中合理赋值、准确计算是解答本题的关键.47.在等比数列中，，则（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由等比数列的通项公式，令，解得，故选C．【考点】等比数列的通项公式．48.设数列前项和为，如果那么_____________．【答案】【解析】由，即，所以当时，，两式相减，可得，即，所以，又因为，所以．【考点】数列通项公式的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列通项公式的应用，其中解答中涉及数列的递推关系式的应用、数列的累积法等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，利用数列的递推关系式，得到，进而得到是解答的关键．49.在等差数列中,,,则的前项和（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，即，解得，所以的前项和，故选D.【考点】等差数列的前项和.50.给出下列命题：①是的内角，且，则;②是等比数列，则也为等比数列；③在数列中,如果前项和，则此数列是一个公差为的等差数列；④是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；则上述命题中正确的有（填上所有正确命题的序号）．【答案】①④【解析】①中，根据三角形的性质可得，再由正弦定理可得，所以是正确的；②中，当等比数列的公比为时，此时，此时数列不是等比数列，所以是错误的；③中，由，则此数列从第二项开始是一个公差为的等差数列，所以是错误的；④中，是所在平面上一定点，动点满足：，，则直线为角的平分线，所以一定通过的内心，所以是正确的，故选①④．【考点】命题的真假判定．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到平面向量的运算、三角形的正弦定理、等比数列的定义、以及等差数列的判定及前项和公式，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，其中熟记数列的概念和向量的基本运算是解答的关键．51.在数列中，已知对任意，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以，两式相减得，所以是以为首项，公比为的等比数列，其前项和为.【考点】等比数列.52.设为等差数列的前项和，若，则（）.A．13B．14C．15D．16【答案】C【解析】设等差数列的首项是、公差是，因为，所以，解得，则=-1+8×2=15【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和53.《张邱建算经》是我国古代数学著作，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了五尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加尺．（一月按30天计）【答案】【解析】由题意得，女子织布两构成一个等差等数列，设等差数列的公差为，则一个月的织布总量为，即，解得．【考点】等差数列的求和的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中等差数列数列的通项公式、等差数列的求和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及转化与化归思想的应用，本题的解答中把实际问题转化为女子织布两构成一个等差等数列，再根据等差数列的求和公式，求出公差是解答的关键，属于基础题．54.设等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公比为，由，，称等差数列，求解，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可知，利用乘公比错位相减法，求解数列的和．试题解析：（1）设数列的公比为，∵，，称等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）设数列的前项和为，则，又，∴，，两式相减得w，∴．【考点】等比数列的通项公式；数列求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列求和，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的性质、数列的乘公比错位相减法求和、等知识点的综合考查，着重中考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生转化与化归思想的应用，本题的解答中利用乘公比错位相减法求得数列的和，准确计算是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．55.已知数列中，，，其前项和满足．（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前项和，求；（3）若对一切恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）利用等差数列的定义证明数列，并求数列的通项公式．（2）利用裂项法求数列的和．（3）将不等式条件转化为，进而求实数的最小值．试题解析：解：⑴由已知，，且，∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴…………3分⑵，………………6分⑶∵，∴，∴，又，∴的最小值为．【考点】1.数列的求和；2.等差数列的性质．56.已知是等差数列，是等比数列，且，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)借助题设条件运用等差数列等比数列的有关知识求解；(2)借助题设运用等差数列等比数列的求和公式探求.试题解析：（1）等比数列的公比，所以，，设等差数列的公差为，因为，，所以，即，所以……………………………………………………………………5分（2）由（1）知，，，因此，从而数列的前项和.…………………10分【考点】等差数列等比数列的通项及前项和公式等有关知识的综合运用.57.已知（为常数，且），设是首项为4，公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列是等比数列；(Ⅱ)若，记数列的前n项和为，当时，求；【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)【解析】（1）根据等差数列的通项公式可求得f（x）的解析式，进而求得，进而根据推断出数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）把（1）中的代入求得，把m代入，进而利用错位相减法求得．试题解析：(Ⅰ)由题意即∴∴∵且，∴为非零常数，∴数列是以为首项，为公比的等比数列(Ⅱ)由题意，当∴①①式乘以2，得②②－①并整理，得。
高二数学(文)寒假作业 02(人教A版必修5第二章 数列) Word版含解析
作业范围:必修第二章数列
姓名学校班级
时间: 分钟分值分
第Ⅰ卷
一、选择题(本卷共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
．【题文】已知数列是等比数列，若，则等于（）
．．．．
】【百强校】届江西吉安一中高三上学期段考一数学（文）试卷
【答案】
【解析】由题意得，故选.
考点：等比数列公比.
【题型】选择题
【难度】较易
．【题文】数列, , ,，…的一个通项公式是（）
．．
．．
】【百强校】学年河南原阳县一高中高二上月考一数学试卷
【答案】
考点：数列的通项公式．
【题型】选择题
【难度】较易
．【题文】已知等差数列中，，，则的值是（）
．．．．
】【百强校】学年河南原阳县一高中高二上月考一数学试卷
【答案】
【解析】由等差数列的性质，可知，又，所以
，故选．
考点：等差数列的性质．
【题型】选择题
【难度】较易
．【题文】已知等比数列中，，，则（）
．．．．
】【百强校】届广西南宁二中等校高三月联考数学（理）试卷
【答案】
考点：等比数列的通项公式．
【题型】选择题
【难度】较易
．【题文】设等差数列的前项和为，若，，则（）
.
】【百强校】学年浙江普通高校招生学业水平考试数学试卷
【答案】.
【解析】，。
2021-2021学年高二数学(文科)寒假作业训练03等比数列
寒假训练03等比数列[2021·朝阳区期中]设是各项均为正数的等比数列，且，． 〔1〕求的通项公式；〔2〕假设，求．【答案】〔1〕，；〔2〕．【解析】〔1〕设为首项为，公比为，那么依题意，，解得，， ∴的通项公式为，． 〔2〕∵， ∴．一、选择题1．[2021·长春二模]等比数列的各项均为正数，其前项和为，假设，，那么〔〕A ．4B ．10C ．16D ．322．[2021·河南名校联盟]正项等比数列满足，，那么〔〕A ．48B ．72C ．24D ．963．[2021·闵行区期末]2和8的等比中项是〔〕{}n a ()*n ∈N 23a =4318a a -={}n a 3log n n n b a a =+12n b b b +++13n n a -=*n ∈N ()13122n n n --+{}n a 1a ()0q q >13211318a q a q a q =⎧⎪⎨-=⎪⎩11a =3q ={}n a 13n n a -=*n ∈N ()13log 31n n n n b a a n -=+=+-()()2112313330121n n b b b b n -++++=+++++++++-⎡⎤⎣⎦()()11133113222n n n n n n ----=+=+-{}n a n n S 22a =5646a a a +=5a ={}n a 5130a a -=4212a a =+64a a -=A ．5B ．4C ．D ．4．[2021·吉林调研]中国古代数学著作?算法统综?中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还〞．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地〞，请问此人第2天走的路程为〔〕 A ．24里B ．48里C ．72里D ．96里5．[2021·吉林调研]假设公比为的等比数列的前n 项和为，且，，成等差数列，那么〔〕 A ．B ．C ．D ．6．[2021·宁阳一中]数列的前项和为，且，那么数列的通项公式为〔〕 A ．B ．C ．D ．7．[2021·金伦中学]在等比数列中，其前项和，那么的值为〔〕 A ．B ．1C ．D ．28．[2021·天津七校]数列是等比数列，，，那么当时，〔〕A ．B ．C ．D ．9．[2021·辽宁实验中学]数列满足，假设，那么的值为〔〕 A ．B ．C ．D ．10．[2021·武邑中学]在等比数列中，假设，，那么等于〔〕 A ．B ．C ．D ．4-4±2{}n a n S 2a 95a 20S =2121-2021-1921-2221-{}n a n n S 21n n S a =+{}n a 12n n a -=-12n n a -=23n a n =-122n n a -=-{}n a n 12n n S a +=+a 1-2-{}n a 22a =764a =2n ≥132411n n a a a a a a -++++=22n-122n +-1443n +-443n -{}n a 11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩167a =2020a 37475767{}n a 1234158a a a a +++=2398a a =-1211a a ++3411a a +5335-53-3511．[2021·哈师附中]数列的首项，数列为等比数列，且． 假设，那么〔〕 A ．B ．C ．D ．12．[2021·济南一中]设数列满足，那么〔〕 A ． B ．C ．D ．二、填空题13．[2021·海安高级中学]在数列中，，，是其前项和，那么的值是__________．14．[2021·湖师附中]在等比数列中，，那么________． 15．[2021·南康中学]在数列中，假设，，那么该数列的通项公式为_____________．16．[2021·宁阳一中]数列的通项公式为，那么其前项和______．三、解答题17．[2021·大庆实验中学]等比数列中，，，依次是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且，公比． 〔1〕求；〔2〕设，求数列的前项和．{}n a 12a ={}n b 1n n na b a +=10112b b =21a =92102112122{}n a 32111232n n a a a a n +++=-n a =112n -312n -12n 2n n {}n a 12a =12n n a a +=n S n 6S {}n a 46 2 018a a =⋅37a a ⋅={}n a 11a =123n n a a +=+n a ={}n a 2n n a n =⋅n n S ={}n a 3a 4a 5a 132a =1q ≠n a 2log n n b a =-{}n b n n T18．[2021·湛江调研]数列满足，且，． 〔1〕证明：数列是等比数列； 〔2〕求数列的前项和．{}n a 121n n a a -=+()*,2n n ∈≥N 11a =1n n b a =+{}n b {}n nb n n T寒假训练03等比数列一、选择题 1．【答案】C【解析】由得，解得，从而．应选C ． 2．【答案】A【解析】依题意，，，两式相除可得，故， 即，∵数列为正项数列，结合题中条件可知， 那么，应选A ． 3．【答案】D【解析】设2与8的等比中项为，那么由等比中项的定义可知，， ∴，应选D ． 4．【答案】D【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列， 由，得，解可得， 那么；即此人第二天走的路程里数为96；应选D ．5．【答案】B【解析】设等比数列的首项为，由，，成等差数列，且，得，即．∴，应选B ．6．【答案】A【解析】∵，∴时，，化为．时，，解得．∴数列为等比数列，公比为2．6546a a a +=260q q +-=2q =352216a a =⋅=41130a q a -=31112a q a q -=()42130121q q q -=-2152q q +=22520q q -+={}n a 2q =()2644212448a a a a q -=-=⨯=b 22816b =⨯=4b =±{}n a {}n a 12q =6378S =166123781112a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎣⎦=1192a =211192962a a q =⨯=⨯={}n a 1a 2a 95a 2q =1129216a a ⨯=+11a =()2020201122112S ⨯-=--=21n n S a =+2n ≥()112121n n n n n a S S a a --=-=+-+12n n a a -=1n =1121a a =+11a =-{}n a∴．应选A ． 7．【答案】C【解析】∵，∴时，，可得．时，，∵数列是等比数列，∴，解得．应选C ． 8．【答案】D【解析】由题得，∴，，∴，∴数列是一个以4为首项，以4为公比的等比数列，∴．应选D ． 9．【答案】D【解析】依题意，，，，∴数列是以3为周期的周期数列， ∵，∴，应选D ． 10．【答案】C【解析】∵，，两式相除可得，，应选C ． 11．【答案】C【解析】数列的首项，数列为等比数列，且． ∴，，∴，∴，，，，∵，∴．应选C ． 12．【答案】D12n n a -=-12n n S a +=+2n ≥()1122n n n n n a S S a a +-=-=+-+2n n a =1n =114a S a ==+{}n a 42a +=2a =-161264a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩11a =2q =22211222n n n n n a a ---+=⋅={}11n n a a -+()()11132411414444411433n n n n n a a a a a a ---+--+++==-=-2165212177a a ==⋅-=-3253212177a a ==⋅-=-43362277a a ==⋅={}n a 202036731=⨯+2020167a a ==142398a a a a ==-1234158a a a a +++=12342314232314123415111158938a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++=+=+++==--{}n a 12a ={}n b 1n n na b a +=22112a a b a ==322a b a =3122a b b =433ab a =41232a b b b =1212n n a b b b -=⋯10112b b =()()()112112201202191011222a b b b b b b b b b =⋯=⨯⨯⋯⨯=【解析】①，当时，②， ：，故， 当时，，应选D ．二、填空题13．【答案】126【解析】数列中，，，可得数列是首项为2，公比的等比数列，可得，故答案为126．14．【答案】2021【解析】∵数列为等比数列，∴．故答案为2021． 15．【答案】【解析】∵，∴， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，∴，故，故填． 16．【答案】【解析】由得，，得，，∴． 故答案为．三、解答题32111232n n a a a a n +++=-2n ≥31211112312n n a a a a n --+++=---①②1111222n n n n a n -=-=()22n n na n =≥1n =112a ={}n a 12a =12n n a a +={}n a 2q =()6621212612S -==-{}n a 37462018a a a a ⋅=⋅=123n +-123n n a a +=+()1323n n a a ++=+{}3n a +1342n n a -+=⋅1142323n n n a -+=⋅-=-123n +-()1122n n +-⋅+2n n a n =⋅23222322n n S n =+⋅+⋅++⋅①23412222322n n S n +=+⋅+⋅++⋅②-①②123122222n n n S n +-=++++-⋅()()1111212222212212n n n n n n n n ++++-=-⋅=--⋅=-⋅--()1122n n S n +=-⋅+()1122n n +-⋅+17．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕设某等差数列的公差为，等比数列的公比为， ∵，，分别是某等差数列的第5项、第3项和第2项，且， ∴，，，∴，即，， ∴，解得或，又，∴， ∴．〔2〕，∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列， ∴．18．【答案】〔1〕见解析；〔2〕． 【解析】〔1〕证明：∵当时，， ∴． ∴，． ∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列． 〔2〕， ∵，① ∴，②：，∴．62nn a -=2112n n nT -={}n c d {}n a q 3a 4a 5a {}n c 132a =35a c =43a c =52a c =53223c c d c d =+=+34523a a d a d =+=+34452a a d a a =--=34532a a a =-12q =1q =1q ≠12q =1613222n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭262log l g 2o 6n n n b a n -=-=--={}n b 5-()()2561111222n n n n n n nT -+---===()1212n n T n +=+-⋅2n ≥121n n a a -=+()1112221n n n a a a --+=+=+12nn b b -=1112b a =+={}n b 1122n n n b b -=⋅=()231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅-①②23411222222n n n T n +-=⨯+++++-⋅()11222221212n n n n T n n ++-⋅=-+⋅=+-⋅-。
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：第二章 习题课 数 列 Word版含答案
习题课 数列求和[学习目标] 1.能由简洁的递推公式求出数列的通项公式.2.把握数列求和的几种基本方法．[预习导引] 1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q1－q.2．数列{a n }的a n 与S n 的关系：数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．裂项相消求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 解 当x ≠±1时，S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ， x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n(x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)． 解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a (1－a n )．∴S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n )]＝11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a (1－a n)1－a ＝n1－a －a (1－a n )(1－a )2. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (a ＝1)，n1－a －a (1－a n )(1－a )2(a ≠1).要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)(－1)＝4－n . (2)由(1)，可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋(n －1)·q n －2＋n ·q n －1. ①若q ≠1，将上式两边同乘以q ，得： qS n＝1·q 1＋2·q 2＋3·q 3＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .将上面两式相减得：(q －1)S n ＝nq n－(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)＝nq n－q n －1q －1，于是S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.②若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2， q ＝1.nqn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.规律方法 用错位相减法求和时，应留意(1)要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确 写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以争辩，一般状况下分等于1和不等于1两种状况分别求和．跟踪演练2 已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1， ∴原式＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1 ＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法 假如数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常接受裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n . 解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2nn ＋1. 要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)． 解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋ [(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n n (n ∈N *)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 当n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N *)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n (3n －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1 (k ∈N *)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12 (n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56C.16D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫15－16 ＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12nB.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2⎝⎛⎭⎫1－12n 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1， 整理可得13a n ＝－23a n －1，即a n a n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 4．奇偶并项：当数列通项中消灭(－1)n 或(－1)n ＋1时，经常需要对n 取值的奇偶性进行分类争辩． 5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n6n ＋4 D.n ＋1n ＋2 答案 B解析 由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， 得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4. 2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76 答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析 由已知得a 1a 2＝16 ①，a 2a 3＝162 ②，②÷①得a 3a 1＝16＝q 2，∴q ＝4.5．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n－1 D ．n ＋2＋2n答案 C 解析 S n＝(1＋1)＋(1＋2)＋(1＋22)＋(1＋23)＋…＋(1＋2n －1)＝n ＋(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝n ＋(1－2n )1－2＝n ＋2n －1，故选C.6．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.答案2n n ＋1解析 由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n .(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝(2a n ＋1)＋1a n ＋1＝2a n ＋2a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2，∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2. (2)解 由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n，∴a n ＝2n －1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.二、力量提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n 答案 A解析 由题意设等差数列的公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．三、探究与创新13．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，证明S n <1.(1)解 由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1知，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11－a n 是公差为1的等差数列， 又11－a 1＝1，故11－a n＝n ， ∴a n ＝1－1n.(2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n－1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.。
人教新课标版数学高二必修五练习单元质量评估 第二章 数列(含答案解析)
单元质量评估(二)第二章 数列 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A ）669 （B ）670 （C ）671 （D ）6722.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0，则此数列的第5项是（ ） （A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）83.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（ ） （A ）4 （B ）23 （C ）916（D ）2 4.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) （A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）75.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）456.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（ ）(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）（A ）90 （B ）100 （C ）145 （D ）190 8.在数列{a n }中，a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为（ ） （A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数16111 位转换成十进制数的形式是（ ）（A ）217-2 （B ）216-1 （C ）216-2 （D ）215-110.在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=（ ） （A ）45 （B ）50 （C ）75 （D ）6011.（2011·江西高考）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=（ ）（A ）1 （B ）9 （C ）10 （D ）5512.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=（ ） （A ）n(2n-1) （B ）(n+1)2 （C ）n 2 （D ）(n-1)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.等差数列{a n }前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和 为______.14.（2011·广东高考）已知{a n }是递增等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n }, {b n },12n 12n a a a 7n 2b b b n 3++⋯++=++⋯++,则55a b =______.16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{a n }是等差数列，a 2=3,a 5=6,求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n .18.（12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列. （1）求{a n }的公比q ； （2）若a 1-a 3=3,求S n .19.（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1,b n =a n -a n-1（n ≥2），若a n +S n =n ，c n =a n -1. （1）求证：数列{c n }是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m , a 2=a m-1,…,a m =a 1,即a i =a m-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1,b 2,b 3,b 4是等差数列，且b 1=2,b 4=11.依次写出{b n }的每一项；（2）设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25,c 26,…,c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S.[] 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中，b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列.（1）求数列{a n },{b n }的通项公式； （2）求数列{a n +b n }的前n 项和T n .22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由a n =4a n-1+3,a 1=0，依次求得a 2=3,a 3=15,a 4=63,a 5=255.3.【解析】选A.等比数列{a n }中，a 3,a 6,a 9也成等比数列，∴a 62=a 3a 9,∴a 3=4.4.【解析】选B.a 1+a 3+a 5=105,∴a 3=35,同理a 4=33, ∴d=-2,a 1=39,∴a 20=a 1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a 1=2,a 2+a 3=13,得d=3,则a 4+a 5+a 6= (a 1+3d)+(a 2+3d)+(a 3+3d) =(a 1+a 2+a 3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S 4-S 2=a 3+a 4=20-4=16，∴a 3+a 4-S 2=（a 3-a 1）+(a 4-a 2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d ≠0,∴d=2,从而S 10=100.[] 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选D.∵2a n+1-2a n =1,∴n 1n 1a a 2+-=, ∴数列{a n }是首项a 1=2,公差1d 2=的等差数列， ∴()1011a 21011522=+-=.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150,∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50,∴a 4+a 10=a 1+a 13=50.11.【解题提示】结合S n +S m =S n+m ,对m,n 赋值，令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即得a 10=1.【解析】选A.∵S n +S m =S n+m ,∴令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即S 1=S 10-S 9=a 10, 又∵S 1=a 1,∴a 10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式，再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a 5·a 2n-5=22n (n ≥3), ∴a n 2=22n ,a n >0,∴a n =2n ,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n 2.13.【解题提示】利用等差数列前n 项和的性质【解析】由题意可知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列，2（S 2m -S m ）=S m +S 3m -S 2m∴S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210. 答案：21014.【解题提示】由等比数列的通项公式，可得关于公比q 的方程，从而求出q.【解析】由a 4-a 3=4得a 2q 2-a 2q=4,即2q 2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）. 答案：215.【解题提示】利用等差数列的前n 项和的有关性质进行运算. 【解析】设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n .则()()195919599a a a A 7926529b b b B 93122+⨯+====++.答案：651216.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +(n+1), ∴a n =a n-1+n,a n-1=a n-2+(n-1)，a n-2=a n-3+(n-2),…,a 3=a 2+3，a 2=a 1+2,a 1=2=1+1将以上各式相加得：()()2n n n 1n na [n n 121]111222+=+-+⋯+++=+=++. 答案：2n n122++17.【解析】设{a n }的公差为d, ∵a 2=3,a 5=6,∴11a d 3a 4d 6+=⎧⎨+=⎩,∴a 1=2,d=1, ∴a n =2+(n-1)=n+1.()2n 1n n 1n 3nM na d .22-+=+=18.【解析】（1）依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2+q=0，又q ≠0,从而1q 2=-.（2）由已知得a 1-a 1(12-)2=3,故a 1=4从而n n n 141()812S 113212--==----［］［（）］（）. 19.【解析】（1）∵a 1=S 1,a n +S n =n,① ∴a 1+S 1=1,得11a 2=.又a n+1+S n+1=n+1 ②①②两式相减得2(a n+1-1)=a n -1， 即n 1n a 11a 12+-=-,也即n 1n c 1c 2+=, 故数列{c n }是等比数列. （2）∵111c a 12=-=-, ∴n n n n n11c ,a c 1122=-=+=-, n 1n 11a 12--=-.故当n ≥2时，n n n 1n 1n n111b a a 222--=-=-=. 又111b a 2==,即n n 1b 2=. 20.【解题提示】利用等比数列的前n 项和公式进行计算.【解析】（1）设数列{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d=2+3d=11,解得d=3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2. （2）S=c 1+c 2+…+c 49 =2(c 25+c 26+…+c 49)-c 25 =2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】（1）a 1=1,a n =S n -S n-1=3n-1,n>1，∴a n =3n-1(*n N ∈)，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a 1=1,a 2=3,a 3=9,在等差数列{b n }中， ∵b 1+b 2+b 3=15,∴b 2=5.又因a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d,∴（1+5-d ）(9+5+d)=64，解得d=-10或d=2, ∵b n >0(*n N ∈),∴舍去d=-10,取d=2,∴b 1=3. ∴b n =2n+1(*n N ∈). （2）由（1）知∴T n =a 1+b 1+a 2+b 2+…+a n +b n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )()n n 32n 113132++-=+- n 231n 2n 22=++-. 22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型，第二种付款方式是等比数列模型，分别计算出实际共付金额，再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a 1=200+2 000×0.01=220(元); 第2次付款金额为a 2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ……第n 次付款金额为a n =200+［2 000-(n-1)×200］×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为()10109S 102202 2 1102⨯=⨯+⨯-= (元)，实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为()101011.01S x 11.01-=-·. 应有()1010S 2 0001.01=⨯,所以x ≈211.2，每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是求S n ，特别要弄清项数为多少，试题中常见的数列类型有：（1）构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式及求和公式求解；（2）先求出连续的几项，再归纳出a n ，然后用数列知识求解.。
新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 3．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（ ）A ．数列{}n a 单调递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项最小D ．10110a >4．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T5．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-6．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞08．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a a b b ++的值为（ ）A ．14924B ．7914C ．165D ．51109．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9B ．10C ．12D ．1310．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+11．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞12．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（ ） A ．30B ．35C ．40D ．45二、填空题13．数列{}n a 满足2121231722222n n a a a a n n -+++⋅⋅⋅+=-，若对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ-+>成立，则实数k 的取值范围是_________．14．将数列{2}n 与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和n S =___.15．在数列{}n a 中，112a =，1n n a a n +=+，则na n的最小值为_________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，当2n ≥时有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使122021m S S S ≥成立的正整数m 的最小值为______.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足318S =，3180n S -=，270n S =，则n =________.18．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 19．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足443210q a a a ++++=，则首项1a 的取值范围是________.参考答案三、解答题21．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）.（1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值； （ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足33n n S a =-，()*323log 1n n b a n N=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记2n n n c a b λ=-，若数列{}n c 为递增数列，求λ的取值范围.23．数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使21(3)6>-n T m m 对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值．24．在①535S =，②122114b b S -=，③35S T =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列{}n a 的公差是等差数列{}n b 的公差的两倍，设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，且13a =，23T =，________，设2n b n n c a =⋅，求{}n c 的前n 项和n A .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 25．对于任意的*n N ∈，数列{}n a 满足1212121212121n n a n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(0n n a a a S a--=>且1)a ≠.数列{}n b 满足lg n n n b a a =.（1）当10a =时，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若对一切n *∈N 都有1n n b b +<，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题2．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.3．C解析：C 【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 【详解】因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列， 前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是由等差数列的求和公式对已知条件进行变形，整理出12020120210,0a a a a +<+>，再结合等差数列的性质求出101010110,0a a <>，确定公差后即可确定单调性及最值问题.4．B解析：B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.5．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.6．A解析：A 【分析】由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，即()122112+1222nn n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，则()6212nn λ>-+⋅恒成立，()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，66λ∴>-，解得1λ>-；当n 为偶数时，则()6212nn λ<+⋅恒成立，()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，620λ∴<，解得103λ<， 综上，1013λ-<<. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 7．A解析：A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.8．A解析：A 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯， 又因为723n n S n T n +=+， 所以22071514924a ab b +=+． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．9．A解析：A 【分析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项． 【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=． 故选：A. 【点睛】 本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.10．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.11．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A.【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =， 同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，． （2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.二、填空题13．【分析】记设根据即可求出从而得到再根据题意可得分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围【详解】记设当时；当时当时也满足上式所以即显然当时当时因此的最大值若存在必为正值当时因为当且仅当时取等号所以的解析：⎛-∞ ⎝⎭ 【分析】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-， 根据1112n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出n b ，从而得到n a ，再根据题意可得()m 2ax 2n k a λλ-+>，分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围．【详解】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-， 当1n =时，117322b =-=-；当2n ≥时，()()21217171142222n n n b S n S n n n n -⎡⎤-----=-⎢⎥⎣⎦=-=． 当1n =时，13b =-也满足上式，所以()*4n b n n N =-∈，即142n n n a --=． 显然当3n ≤时，0n a <，40a =，当5n ≥时，0n a >，因此n a 的最大值若存在，必为正值．当5n ≥时，()1324n n a n a n +-=-，因为()151024n n a na n +--=≤-，当且仅当5n =时取等号． 所以n a 的最大值为116．故()m 2ax 1126n k a λλ>=-+，变形得，3116k λλ<+，而31162λλ+≥=，当且仅当4λ=时取等号，所以2k <．故答案为：⎛-∞ ⎝⎭． 【点睛】本题主要考查n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，利用通项n b 与前n 项和n S 的关系1112n nn Sn b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n b ，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．14．【分析】首先判断出数列与项的特征从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差利用等差数列的求和公式求得结果【详解】因为数列是以2为首项以2为公差的等差数列数列是以1首项以3为公差的等差数列所以 解析：23n n +【分析】首先判断出数列{2}n 与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{2}n 是以2为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以4为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和2(1)4632n n n S n n n -=⋅+⋅=+， 故答案为：23n n +. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于中档题.15．【分析】由累加法求出数列的通项公式进而可得到的解析式再根据基本不等式可求得最小值【详解】解：即：…将这个式子累加可得：…即当时又又也适合上式由对勾函数的性质可知：当且仅当时取得最小值即时取得最小值又 解析：225【分析】由累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而可得到na n的解析式，再根据基本不等式可求得na n最小值. 【详解】解：1n n a a n +=+，1n n a a n +∴-=，即：211a a -=，322a a -=，433a a -=，...，11(2,)n n a a n n n z ---≥∈=， 将这1n -个式子累加可得：1123n a a -=+++ (1)+12n n n --=， 即当2n ≥时，1(1)2n n n a a -=+， 又112a =，()2(1)2412=222n n n n n a n n z --+∴=+≥∈，，又112a =也适合上式，()2(1)2412=22n n n n n a n z --+∴=+∈224121=222n a n n n n n n -+∴=+-， 由对勾函数的性质可知：当且仅当12=2n n时取得最小值，即n =又n z ∈且45<<，44121942422a =+-=，551212252525a =+-= ， 92225>， n a n ∴的最小值为：225. 故答案为：225. 【点睛】易错点点睛：运用累加法求数列通项时，注意验证首项是否满足，若不满足，则需要写成分段的形式.16．1010【分析】由与关系当时将代入条件等式得到数列为等差数列求出进而求出即可求出结论【详解】∵∴∴∴令则∴数列是以为首项公差的等差数列∴即∴∴由解得即正整数的最小值为故答案为:【点睛】方法点睛：本题解析：1010 【分析】由n S 与n a 关系，当2n ≥时，将1n n n a S S -=-代入条件等式，得到数列21{}nn S +为等差数列，求出n S ，进而求出12m S S S ，即可求出结论.【详解】∵1122n n n n n S S S S na --+-=， ∴()11122n n n n n n S S S S n S S ---+-=-， ∴()()1122121n n n n S S n S n S --=+--， ∴121212n n n n S S -+--=， 令21n nn b S +=，则()122n n b b n --=≥， ∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，公差2d =的等差数列， ∴21n b n =-，即2121n n n S +=-，∴2121n n S n +=-， ∴12521321321m m S S S m m +=⨯⨯⨯=+-， 由212021m +≥，解得1010m ≥， 即正整数m 的最小值为1010. 故答案为: 1010. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查递推关系式，求通项公式的主要方法有： 观察法：若已知数列前若干项，通过观察分析，找出规律；公式法：已知数列是等差数列或等比数列，或者给出前n 项和与通项公式的关系； 累加法：形如()1n n a a f n +=+的递推数列； 累乘法：形如()1n n a a f n +=⋅的递推数列．17．15【分析】根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解【详解】因为所以又所以故解得故答案为：15【点睛】本题考查等差数列的前项和等差数列的性质利用等差数列的性质求解可以减少计算量解析：15 【分析】根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质求解， 【详解】因为32318S a ==，所以26a =，又2311390n n n n n n a a S S a a ----=++-==， 所以130n a -=.故()()12127022n n n n a a n a a S -++===，解得15n =. 故答案为：15． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，等差数列的性质，利用等差数列的性质求解可以减少计算量．18．【分析】由等比数列的通项公式求得进而得到数列表示首项为公比为的等比数列结合等比数列的求和公式即可求解【详解】由题意等比数列中可得解得又由且即数列表示首项为公比为的等比数列所以故答案为：【点睛】本题主解析：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】由等比数列的通项公式，求得12q =，进而得到数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =， 又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及通项公式，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.19．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确. 【详解】()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.20．【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉解析：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到211211q q a q q⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++，令1t q q =+可得到1111a t t =-+++，由函数的单调性可求得1a 的取值范围. 【详解】由443210q a a a ++++=得：43211110q a q a q a q ++++=，224213211211111q q q q q a q q q q q q q ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∴=-=-=-++++++. 令(][)1,22,t q q=+∈-∞-+∞，则()()2211211211111t t t a t t t t +-+--=-=-=-+++++， 111t t -+++在(],2-∞-上单调递减，12112a ∴≥+-=；111t t -+++在[)2,+∞上单调递减，1122133a ∴≤-++=-；综上所述：1a 的取值范围为[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将1a 表示为关于q 的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围.三、解答题21．（1）（i ）8；（ii ）()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）证明见解析. 【分析】（1）（i ）推导出当n 为正偶数时，24n n a a n ++=，可得出+4248n n a a n ++=+，两式作差可得出结论成立；（ii ）推导出当n 为正奇数时，4n n a a +=，求出2a 、3a 、4a ，对任意的k *∈N ，分43n k =-，42n k =-，41n k =-，4n k =四种情况讨论，结合等差数列的通项公式以及周期数列的定义可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出4342414n n n n a a a a ---+++，可求得2482n S n n =+，利用放缩法得出4111142121n S n n ⎛⎫<- ⎪-+⎝⎭，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）（i ）当n 为正偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+， 两式相加得24n n a a n ++=，① 可得+4248n n a a n ++=+，② ②-①得48n n a a +-=；（ii ）当n 为正奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+， 两式作差得22n n a a ++=，所以，422n n a a +++=， 上述两个等式作差得4n n a a +=， 又211a a -=，则2111a a a =+=+，323a a +=，则3232a a a =-=-， 435a a -=，则4357a a a =+=-.对任意的k *∈N ，当43n k =-，则1n a a a ==； 当42n k =-时，()()()422811818722723n k a a a k a k a k a n a n -==+-=++-=+-=++-=+-；当41n k =-时，32n a a a ==-；当4n k =时，()()44817818121n k a a a k a k k a n a ==+-=-+-=--=--.综上所述，()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩； （2）()434241424232241166n n n n a a a a a n a a n a n ---+++=+-+-+-+⨯--=-，()2410166822n n n S n n +-∴==+，()()2241111114212124241n S n n n n n ⎛⎫∴=<=- ⎪-++-⎝⎭， 所以，48411111111111111433521214214n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用放缩法，常用的放缩公式如下：（1）()()21111211n n n n n n<=-≥--； （2）()()()211111211211n n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪-+-+⎝⎭； （3）()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-； （4()22n =<=≥.22．（1）32nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31n b n =+；（2）3136λ<.【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得数列{}n a 是等比数列，（10a ≠），得通项公式n a ，从而也得到n b ；（2）作差1n n c c +-，由10n n c c +->恒成立转化为13221815nn λ⎛⎫⎪⎝⎭<+对*n N ∀∈恒成立，引入()13221815nf n n ⎛⎫⎪⎝⎭=+，*n N ∈，从作商法求得{()}f n 的最小值即可得λ的范围．【详解】解：（1）当1n =时，1133S a =-，∴132a =， 当2n ≥时，()113333n n n n S S a a ---=---， 即133n n n a a a -=-，∴132n n a a -=，又10a ≠， 所以数列{}n a 为等比数列.∴1333222n nn a -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 332233log 13log 1312nn n b a n ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭.（2）()23312nn c n λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为数列{}n c 为递增数列， ∴()()()122133133431181502222n n nn n c c n n n λλλ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对*n N ∀∈恒成立，即13221815nn λ⎛⎫⎪⎝⎭<+对*n N ∀∈恒成立设()13221815nf n n ⎛⎫⎪⎝⎭=+，*n N ∈，()min f n λ<，()()()1133181511815222183318331322n n n f n n f n n n +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⋅=++⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()()11f n f n +>，则1821n >， ∴当n 2≥时，()()1f n f n +>； 当1n =时，()()21f f <.∴()()min 32136f n f ==， 即λ的取值范围为3136λ<. 【点睛】关键点点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查数列的单调性，不等式恒成立问题．数列的单调性与最值的求法一般有作差法或作商法．作差法是最基本的方法，而当n a 为幂的形式（或乘积形式）也可用作商法确定单调性，得最值．23．（1）=n a 2）3． 【分析】（1）根据题意，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理，即可求得n a ，检验11a S =满足此式，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得2n S n =，代入即可求得n b 表达式，利用裂项相消法求和，即可求得nT 的表达式，根据n T 的单调性，可得123n T T ≥=，代入所求，利用一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）∵221n n n a S a -=，∴当2n ≥时，2112()()1-----=n n n n n S S S S S ，整理得，2211(2)n n S S n --=≥，又211S =，∴数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列．∴2n S n =，又0n S >，∴=n S ，∴2n ≥时，1-=-=n n n a S S 又111a S ==适合此式，∴数列{}n a 的通项公式为n a （2）∵42222114141(21)(21)2121n n b S n n n n n ====----+-+∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++， ∴随着n 逐渐增大，n T 逐渐增大， ∴123n T T ≥=，依题意有，221(3)36>-m m ，即2340m m --<， 解得14-<<m ，故所求最大正整数m 的值为3 【点睛】解题的关键是熟练应用1(2)n n n a S S n -=-≥，根据不同条件，选择替换n a 或n S 进行求解，易错点为：需检验11a S =是否满足题意，若1a 不满足题意，需写成分段函数形式，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 24．选择见解析；1(21)22n n A n +=-+.【分析】根据条件设{}n a 的公差为2d ，{}n b 的公差为d ，若选择条件①根据535S =，列式求d ，再代入数列{}n b 的基本量的计算，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式，若选择条件②根据条件，解出数列{}n b 的基本量1b 和d ，以及求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，若选择条件③根据条件35S T =，以及13a =，23T =，组成方程组，求1b 和d ，这三个条件都根据基本量表示数列{}n a 和{}n b 的通项公式，并得到(21)2nn c n =+，利用错位相减法求和.【详解】不妨设{}n a 的公差为2d ，{}n b 的公差为d ， 方案1：选条件①由题意得，123b d +=，54352352d ⨯⨯+⨯=， 解之得，11b =，1d =，则12(1)21,n n a a n n b n =+-=+=，则(21)2nn c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.方案2：选条件②由题意得123b d +=，()114(62)b b d d d +=+， 解得11b =，1d =或13b =，3d =-（舍去），则12(1)21n a a n n =+-=+，n b n =，则(21)2nn c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.方案3：选条件③由题意得，2335a b =，即()()113252a d b d +=+， 化简得，1549b d +=，212123T b b b d =+=+=， 联立方程组得，11b =，1d =， 则{}n a 的公差为2，{}n b 的公差为1，12(1)21n a a n n =+-=+，n b n =，则(21)2n n c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.【点睛】本题考查数列基本量计算，错位相减法求和，是一道结构不良题型，属于基础题型. 方法点睛：一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.25．（1）7,121,2n n n a n n =⎧=⎨++≥⎩；（2）217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得结果；（2）当1n =时，117S a ==，当2n ≥时，分组后利用等差等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】 （1）1212121212121n na n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++①， 当2n ≥时，得()112121112212121n n a n a a n ------++⋅⋅⋅+=+++②. ①-②得121n na n -=+，∴()212nn a n n =++≥， 又11112721a a -=⇒=+不满足上式， 综上得7,121,2n nn a n n =⎧=⎨++≥⎩. （2）当1n =时，117S a ==， 当2n ≥时，23722123121nn S n =++++++++++()()()()212121271122n n n n ---+=+++--213222n n n +++=+，综上得，217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【点睛】易错点点睛：第一问利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式时，容易忽视1n =的情况造成错误；第二问求和是也容易忽视1n =的情况.26．（1）1(91)101081n n n T +-⋅+=；（2）10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由1n =得出1a a =，再令2n ≥，由11n n a a S a --=，得出11n n a S a a-=-，可推出 1111n n a S a a ---=-，两式相减得出1n n a a a -=，利用等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，可求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）由1n n b b +<得出()1lg 1lg n n na a n a a +<+，分两种情况1a >和01a <<讨论.①当1a >时，利用参变量分离法得出1na n >+，可得出1a >； ②当01a <<时，利用参变量分离法得出1n a n <+，可得出102a <<.综合①②得出实数a 的取值范围. 【详解】当1n =时，11a S =，1111a a a a--=，解得1a a =. 当2n ≥时，∵11n n a a S a--=， ∴11n n a S a a -=-，可得1111n n a S a a---=-， 上述两式相减得()111n n n n a S S a a a----=-， 即11n n n a a a a a --=-，所以1n n a a a -=. 所以数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列， ∴1nn na a a a ，从而lg lg nn n n b a a na a ==.（1）当10a =时，10nn b n =⋅，∴2121021010nn n T b b n b n n =+++=+⋅++⋅， 则2311010210(1)1010nn n T n n n +=+⋅++-⋅+⋅，∴()23111010191010101010109n n n n nT n n n ++--=++++-⋅=-⋅，所以()1121010110(91)10109981n n n n n n T ++-⋅-⋅+=-=. （2）由1n n b b +<，可得1lg (1)lg n n na a n a a +<+.①当1a >时，由lg 0a >，可得1na n >+，()*11n n n <∈+N ， ∴1a >，∴1na n >+，对一切*n ∈N 都成立，此时的解为1a >； ②当01a <<时，由lg 0a <，可得(1)n n a >+，∴1na n <+，()*1N 12n n n ≥∈+，01a <<， ∴01na n <<+，对一切*n ∈N 都成立， ∴102a <<. 由①，②可知，对一切*n ∈N 都有1n n b b +<的a 的取值范围是10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用前n 项和求通项，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立与参数问题，解题时要熟悉一些常见的求通项和数列求和方法，以及在数列不等式恒成立问题中，灵活利用参变量分离法简化计算，考查分类讨论数学思想，属于难题.。
高二数学上学期寒假作业2 理-人教版高二全册数学试题
高二数学 寒假作业21．根据秦九韶算法求x=-1时f(x)=4x^4+3x^3-6x^2+x-1的值，则2v V2为（ ） A ．1- B ．5- C ．21 D ．22- 2．执行如图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ）A ．15B ．105C ．120D ．7203．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A ．4＝MB ．B ＝A ＝3C ．x ＋y ＝0D ．M ＝－M 4．下列各数中，可能是六进制数的是（ ） A ．66 B ．108 C ．732 D ．20155．程序框图如图：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入（ ）A ．K ＜10B ．K≤10 C．K ＜11 D ．K≤11 6．任何一个算法都离不开的基本结构为（ ）A ．逻辑结构B ．选择结构C ．循环结构D ．顺序结构 7．如果输入n ＝2，那么执行右图中算法的结果是 （ ）A ．输出3B ．输出4C ．输出5D ．程序出错，输不出任何结果8．根据我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．求得144，28的最大公约数为 （ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．149．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．阅读右边的程序框图，如果输出的值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值X围是．是否开始1,1==p k p p k =⋅?k N <输出p2k k =+输入N结束11．用辗转相除法求1995与228的最大公约数为；把)6(154化二进制数为 ． 12．程序：M=1 M=M+1 M=M+2 PRINT M END M 的最后输出值为． 13．（1）试用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．（2）利用秦九韶算法求多项式f （x ）＝2x 5＋4x 4－2x 3＋8x 2＋7x ＋4当x ＝3的值，写出每一步的计算表达式． 14．（本小题满分12分）如下图，给出了一个程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 的值，开始y输出结束2x ≤？x输入2y x=5x ≤？23y x =-1y x=1图是否是否（I ）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；（Ⅱ）若视x 为自变量，y 为函数值，试写出函数()y f x =的解析式； （Ⅲ）若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等,则输入x 的值的集合为多少？寒假作业2参考答案1．B 试题分析:由()()()()43611f x x x x =+-+-，则当1x =-时，有()()()2413165v =⨯-+⨯--=-．故正确答案为B ．考点：秦九韶算法．2．B 试题分析：第一次N k <=1,所以执行2k k =+，且3=p ，第二次N k <=3，继续执行2k k =+，且15=p 第三次N k <=5，再次执行2k k =+，,105=p 第四次N k >=7，输出,105=p 所以选项B 正确．考点：算法的运用．3．D 试题分析：赋值语句的格式为“变量=表达式”，就是将表达式所代表的值赋给变量．考点：赋值语句．4．D 试题分析：根据六进制数的特点，知六进制数只含有数字0，1，2，3，4，5， A 中含有6，B 中含有8，C 中含有7，所以只有D 中的数有可能是六进制的数 考点：进位制5．A 试题分析：经过第一次循环得到s=1×12=12，k=12-1=11不输出，即k 的值不满足判断框的条件经过第二次循环得到s=12×11=132，k=11-1=10不输出，即k 的值不满足判断框的条件 经过第三次循环得到s=132×10=1320，k=10-1=9输出，即k 的值满足判断框的条件 故判断框中的条件是k ＜10 考点：程序框图6．D 试题分析：根据算法的特点如果在执行过程中,不需要分类讨论,则不需要有条件结构； 如果不需要重复执行某些操作,则不需要循环结构； 算法的基本结构不包括逻辑结构． 但任何一个算法都必须有顺序结构 考点：程序的三种结构7．C 试题分析：程序执行中的数据变化为：2,3,5n n n ===，输出5n = 考点：程序语句 8．A 试题分析：14428116,1162888,882860,602832,32284,-=-=-=-=-=28424,24420,-=-=20416,16412,1248,844-=-=-=-=，所以最大公因数是4考点：更相减损术 9．3试题分析：第1次sinsin 02π>，满足循环，a=1，T=1，K=2，第2次满足2＜6；2sinsin 22ππ>，不成立， 执行a=0，T=1，k=3，第3次有32sinsin22ππ>，不满足条件循环，a=0，T=1，k=4，满足43sinsin 22ππ>，a=1，T=2，k=5，满足k ＜6，此时54sin sin22ππ>成立，a=1，T=3，k=6，不满足6＜6，退出循环，输出结果T=3 考点：程序框图10．[]02,-试题分析：由题意得：12,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且[]2,2x ∈-，解得[]2,0x ∈- 考点：流程图【名师点睛】1.对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．2．利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二准确表示累计变量；第三要注意从哪一步开始循环． 3.应用循环结构应注意的三个问题 ①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体； ③确定循环的终止条件．11．57 1000110试题分析：199********,228171157,1715730÷=÷=÷=，所以最大公约数为57210(6)15416564670=⨯+⨯+⨯=，化为二进制为1000110考点：1．进制的转化；2．辗转相除法12．4试题分析：由题意可得：1,12,2224M M M M M ==+==+=+=，所以最后输出值为4考点：程序语言 13．（1）84 （2）x ＝3时，多项式f （x ）的值是853 试题分析：（1）根据辗转相除法的运算原则，结合1 764=840×2+84，840=84×10+0，此时余数为0，除数即为两个数的最大公约数，可得答案；（2）先将多项式改写成如下形式：f （x ）＝（（（（2x ＋4）x －2）x ＋8）x ＋7）x ＋4将x=3代入并依次计算v 0，v 1，v 2，v 3，v 4，v 5的值，即可得到答案 试题解析：（1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数． 1 764＝840×2＋84，840＝84×10． 故84是840与1764的最大公约数． （2）把多项式改成如下形式：f （x ）＝2x 5＋4x 4－2x 3＋8x 2＋7x ＋4＝（（（（2x ＋4）x －2）x ＋8）x ＋7）x ＋4．．．6分 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝3时的值： v 0＝2，v 1＝v 0x ＋4＝2×3＋4＝10， v 2＝v 1x －2＝10×3－2＝28， v 3＝v 2x ＋8＝28×3＋8＝92， v 4＝v 3x ＋7＝92×3＋7＝283， v 5＝v 4x ＋4＝283×3＋4＝853．所以，当x ＝3时，多项式f （x ）的值是853．考点：1．辗转相除法求最大公约数；2．秦九韶算法求值14．（I ）条件结构和顺序结构（Ⅱ）2(2)()23(25)1(5)x x f x x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩（Ⅲ）{0,1,3} 试题分析：首先分析程序框图的执行结构和输出结果即可得到该程序实质是分段函数求值，因此可得到分段函数解析式，（Ⅲ）中令每一段自变量值等于函数值，可解除多个输入x 的数值，解出后要验证是否在相应x 取值X 围内 试题解析：（I ）程序框图所使用的逻辑结构是条件结构和顺序结构； 2分（Ⅱ）解析式为：2(2)()23(25)1(5)x x f x x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩ 7分 （Ⅲ）依题意得22x x x≤⎧⎨=⎩,或2523x x x <≤⎧⎨-=⎩,或15x x x >⎧⎨=⎩,解得0x =,或1x =,3x =故所求的集合为{0,1,3}. 12分 考点：1.程序框图；2.分段函数；3.函数求值。
2021-2021学年高二数学(理科)寒假作业训练02等差数列
寒假训练02等差数列[2021·烟台期中]等差数列的各项为正数，其公差为1，． 〔1〕求数列的通项公式； 〔2〕设，求．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕∵等差数列的各项为正数，其公差为1，． ∴， 解得，或〔舍〕，∴数列的通项公式． 〔2〕∵， ∴．一、选择题1．[2021·河南名校联盟]等差数列的前项和为，且，，那么〔〕 A ．16B ．13C ．12D ．102．[2021·九江十校联考]数列满足，，，那么的值为〔〕A ．130B ．C ．D ．370{}n a 24351a a a ⋅=-{}n a 2221n a n b n -=+-1210b b b +++2n a n =+2146{}n a 24351a a a ⋅=-()()()11113521a a a ++=+-13a =12a =-{}n a ()()11312n a a n d n n =+-=+-=+2221221n a n n b n n -=+-=+-()()231012102222212310101b b b +++=+++++++++-⨯()()10212101102102046110102146122-+=+⨯-=+-=-{}n a n n S 892S =513a =4a ={}n a ()*1221n n a a n +=-∈N 11a =147S a a a =++37a ++S 104-96-3．[2021·襄阳期末]数列是等差数列，假设，，构成公比为的等比数列，那么〔〕 A ．1B ．2C ．3D ．44．[2021·赤峰期末]《张丘建算经》卷上有“女子织布〞问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量一样．第一天织布6尺，30天共织布540尺，那么该女子织布每天增加〔〕 A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺 5．[2021·顺德区质检]等差数列的前项和为，且，，那么的值为〔〕 A ．14B ．16C ．10D ．6．[2021·临沂期中]等差数列的前项和为，假设，那么〔〕 A ．13B ．35C ．49D ．637．[2021·佛山调研]公差不为0的等差数列的前项和为，假设，且，那么的值为〔〕 A ．15B ．25C ．13D ．238．[2021·天津七校期中]数列的各项均为正数，，，那么数列的前15项和为〔〕A ．3B ．4C ．127D ．1289．[2021·会宁县一中]数列，，，那么〔〕A ．B ．C ．D ．10．[2021·福州八县一中]等差数列中，，，且，为其前项之和，那么使的最大正整数是〔〕A ．198B ．199C ．200D ．20111．[2021·鄂尔多斯期中]各项均为正数的数列中，为前项和，，且，那么〔〕{}n a 11a +32a +53a +q q =12163124291629{}n a n n S 252a a +=66S a =10a 2-{}n a n n S 2614a a +=7S ={}n a n n S 643a a =104S a λ=λ{}n a 11a =111n n n na a a a +++=-11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭{}n a 114a =()1112n n a n a -=-≥2020a =45143-15{}n a 1000a <1010a >100101a a <n S n 0n S <n {}n a n S n ()2211n n na n a +=++1n n a a +3πa =4tan S =A ． BC ．D12．[2021·娄底期中]数列中，，且单调递增，那么的取值范围是〔〕 A ． B ． C ． D ．二、填空题13．[2021·湖州期末]数列的前项和，，那么______．14．[2021·重庆调研]数列的前项和为，，，那么____． 15．[2021·湖南三湘名校]等差数列的前项和为，，那么的值为________．16．[2021·镇海中学]数列为等差数列，其前项和为，且，给出以下结论：①，②最小，③，④，正确的有_________________．三、解答题17．[2021·襄阳期末]在等差数列中，公差，，． 〔1〕求数列的通项公式； 〔2〕求数列的前项和．{}n a ()2*n a n kn n -∈=N {}n a k (],2-∞(),2-∞(],3-∞(),3-∞{}n a n 2n S n =*n ∈N 1a ={}n a n n S 11a =()21n n S n a =+n a ={}n a n n S 1315310a a a ++=9S {}n a n n S 13623a a S +=100a =10S 712S S =190S ={}n a 0d >354a a +=-2612a a =-{}n a {}n a n18．[2021·枣庄模拟]为数列的前n 项和．，． 〔1〕求的通项公式； 〔2〕设，求数列的前项和．n S {}n a 0n a >2364n n n a a S +=+{}n a 13n n n b a a +={}n b n n T寒假训练02等差数列一、选择题 1．【答案】D 【解析】依题意，，解得，应选D ．2．【答案】B【解析】∵，∴， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴，∴， ∴．应选B ．3．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由，，构成等比数列，得：，整理得：，即． 化简得：，即．∴．应选A ． 4．【答案】C【解析】由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量一样． ∴织布的数据构成等差数列，设公差为，第一天织的数据为，第30天织的数据为， 那么，解得，那么，解得，应选C ． 5．【答案】A()()()184584884139222a a a a S a +⋅+⋅===+=410a =1221n n a a +=-()*112n n a a n +-=-∈N {}n a 112-()131122n n a n -=--=37337172a -==-()14737131171042S a a a a ⋅-=++++==-{}n a d 11a +32a +53a +()()2315(2)13a a a +=++23315154433a a a a a a ++=+++()()()21111124244443a d a d a a d a d ++++=++++()2210d +=12d =-131112222111a a q a a -⨯++===++d 1a 30a ()303065402a +=3030a =()301301a a d =+-2429d =【解析】设首项为，公差为，由，，得，那么有，，∴，， ∴，应选A ． 6．【答案】C【解析】∵等差数列的前项和为，， ∴．应选C ． 7．【答案】B【解析】由题意可得，设等差数列的公差为．∵，，∴， ∴，应选B ． 8．【答案】A【解析】由题得，∴是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，∴数列的前15．应选A ．9．【答案】B【解析】数列，满足，∵，故得到，再代入得到，，，进而可以发现数列是有周期的，周期为3，，故．应选B ． 10．【答案】B【解析】由题意可得：，那么， 结合等差数列前n 项和公式和等差数列的性质可知：1a d 252a a +=66S a =()1162526252a d a d a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩66a =16252a a a a +=+=14a =-2d =101949214a a d =+=-+⨯={}n a n n S 2614a a +=()()717267771449222S a a a a =+=+=⨯={}n a ()0d d ≠643a a =104S a λ=()1111539101011032a d a dda a d λλ+=+⎧⎪⎨-+=+⎪⎩25λ=2211n n a a +-={}2n a ()2111n a n n =+-⋅=n a =11n na a +==11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭116413+-=-={}n a ()1112n n a n a -=-≥114a =21113a a =-=-321413a a =-=431114a a =-=54113a a =-=-20206733+1=⨯2020114a a ==100101a a -<1001010a a +>，而，据此可得使的最大正整数是199．应选B ．11．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∵数列各项均为正数，∴，∴，又∵，∴，，， ∴，∴B ． 12．【答案】D【解析】∵数列中，且单调递增，∴对于恒成立，即对于恒成立∴对于恒成立，即，应选D ．二、填空题 13．【答案】1【解析】令时，那么．故答案为1． 14．【答案】【解析】由①知，当时，② ①－②，得：，， ∴当时，，∴，∴． 15．【答案】18【解析】设等差数列的公差为，那么可化为，()()1200100101200200200022a a a a S +⨯+⨯==>()119919910020020002a a S a +⨯==<0n S <n ()22111n n n n na n a a a ++=++()2211n n n n n na na a a a ++-=+()()()111n n n n n n n n a a a a a a a ++++-=+{}n a ()1n n n n a a a +-=11n na n a n++=3πa =22π3a =44π3a =1π3a =410π3s =410πtan tan 3s ⎛⎫== ⎪⎝⎭{}n a ()2*n a n kn n -∈=N {}n a 10n n a a +->*n ∈N ()()()2211210n k n n kn n k --++-=+->*n ∈N 21k n <+*n ∈N 3k <1n =111S a ==n ()21n n S n a =+2n ≥112n n S na --=()121n n n a n a na -=+-()11n n n a na --=2n ≥11n n a a n n -=-111n a an ==n a n ={}n a d 1315310a a a ++=152010a d +=即，∴，∴，故答案为18．16．【答案】①③④【解析】设等差数列的公差为，∵，∴， 化为，即， 给出以下结论：①，正确； ②，可能大于0，也可能小于0，因此不正确；③，正确． ④，正确；其中正确结论的个数是①③④．故答案为①③④．三、解答题17．【答案】〔1〕；〔2〕当时，；当时，． 【解析】〔1〕在等差数列中，公差，，， 可得，，解得，， 可得，那么； 〔2〕当时，，当时，，等差数列的前项和为，当时，数列的前项和； 当时，．18．【答案】〔1〕；〔2〕． 【解析】〔1〕当时，有，即． ∵，∴．从而，即． 由，知． 两式相减，得．即，即，即．142a d +=52a =()199599182a a S a +==={}n a d 13623a a S +=1156615a d a d +=+190a d +=100a =100a =()1011010110452dS a d -=+=-()127111112117612754559022S S a d a d a d a d --⨯⨯=+-=+=+=()1191910191902a a S a +===210n a n =-15n ≤≤29n T n n =-+5n >2940n T n n =-+{}n a 0d >354a a +=-2612a a =-264a a +=-2612a a =-26a =-62a =62262a a d -==-()622210n a n n =-+-=-15n ≤≤0n a ≤5n >0n a >{}n a n ()21821092n S n n n n =-+-=-15n ≤≤{}n a n 29n n T S n n =-=-+5n >()22559220940n n T S S S n n n n =--=--⨯-=-+31n a n =+11434n -+1n =2111364a a a +=+()()11410a a -+=10a >110a +>140a -=14a =2364n n n a a S +=+2111364n n n a a S ++++=+22111336464n n n n n n a a a a S S ++++--=+--22111336n n n n n a a a a a ++++--=2211330n n n n a a a a ++---=()()1130n n n n a a a a +++--=∵，∴，即．∴数列是首项为4，公差为3的等差数列．∴． 〔2〕由〔1〕知． 数列的前项和为． 0n a >130n n a a +--=13n n a a +-={}n a ()43131n a n n =+-=+()()31131343134n b n n n n ==-++++{}n b n 11111111114771032313134434n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
2020_2021学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和同步作业含解析新人教A版必修52
等差数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等差数列{a n}的前10项和为30,a6=8,则a100=( )A.100B.958C.948D.18【解析】选C.设等差数列{a n}的公差为d,由已知解得所以a100=-42+99×10=948.2.已知等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,则数列{a n}的前4项的和S4的值为( ) A.10B.16C.22D.35【解析】选C.因为等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,所以2a1+2×3=8,所以a1=1,所以S4=4×1+×3=22.3.(2019·某某高二检测)已知等差数列的前n项和S n,且S3=S5=15,则S7=() A.4B.7C.14D.【解析】选B.等差数列的前n项和为S n,且S3=S5=15,所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.再根据S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,则S7=7a1+d=49+21×(-2)=7.4.(2019·某某高一检测)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=() A.45B.162C.81D.【解析】选C.因为在等差数列{a n}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.所以S9==9a5=81.5.等差数列{a n}的前n项和为S n,若=,则下列结论中正确的是( )A.=2B.=C.=D.=【解析】选C.由已知S n=a n,S n-1=a n-1(n≥2),两式相减可得a n=a n-a n-1(n≥2),化简得=(n≥2),当n=3时,=.6.数列{a n}的前n项和S n=2n2+n(n∈N*),则a n=( )A.2n-1B.2n+1C.4n-1D.3n+2【解析】选C.因为数列{a n}的前n项和S n=2n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,当n=1时,a1=S1=3,符合上式,所以综上a n=4n-1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S4=12,则S6=________.【解析】方法一:设数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S3=6,S4=12,得解得所以S6=6a1+15d=30.方法二:因为{a n}为等差数列,可设前n项和S n=An2+Bn,由S3=6,S4=12得解得即S n=n2-n,所以S6=36-6=30.答案:308.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S8=32,则a2+2a5+a6=__________.【解析】因为S8=32,所以=32.可得a4+a5=a1+a8=8,则a2+2a5+a6=2(a4+a5)=2×8=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)9.在各项为正的等差数列{a n}中,已知公差d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】由题意得即解得或(舍去)故10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ.(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由a n a n+1=λS n-1知,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,又因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.所以a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{1-3n},则公差d等于( )A.1B.3C.-3D.n【解析】选C.因为a n=1-3n,所以a1=-2,a2=-5,所以d=a2-a1=-3.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S17=255,a10=20,则数列{a n}的公差为( ) A.3B.4C.5D.6【解析】选C.根据等差数列的求和公式,可得S17=×17=17a9=255,可得a9=15,又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.3.等差数列中,S n是前n项和,若a3+a8=5,S9=45,则S11=( )A.0B.10C.20D.25【解析】选A.设等差数列的首项为a1,公差为d,因为,所以,即,解得,则S11=25×11-×5=0.故选A.4.已知等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于( ) A.30B.45C.90D.186【解析】选C.因为所以故所以a n=a1+(n-1)d=3n,故b n=a2n=6n,则因此{b n}的前5项和为S5=5×6+×6=90.5.(2019·定州高一检测)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=3,S13=91,则S11=( ) A.36B.72C.55D.110【解析】选C.因为S13==13a7=91,所以a7=7,因为a5=3,所以a5+a7=10,因为a1+a11=a5+a7=10,所以S11==55.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019·全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以====4.答案:47.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为________.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=12-8=-7.(2)当n>1时,由S n=n2-8n得:S n-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,两式相减,得:a n=2n-9,n=1也符合,由a n=2n-9>0,得:n>4.5,所以,满足a n>0的n的最小值为5.答案:58.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n+3,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n≥2,a n=S n-S n-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故a n=答案:9.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是________.【解析】因为最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差数列,所以a n=9n,当n=9时,第9圈共有81块石板,所以前9圈的石板总数S9=(9+81)=405.答案:405三、解答题(每小题10分,共30分)10.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n.(2)令S n=242,求n.【解析】(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+·d,S n=242,得方程12n+×2=242,解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.11.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值X围.【解析】(1)由题意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7. 综上,S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0,所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.故d的取值X围为d≤-2或d≥2.12.(2017·某某高考)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.【证明】(1)因为是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列是“P数列”.(2)数列既是“P数列”,又是“P数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n),④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d′+a3+3d′=4(a3+d′),即a2=a3-d′,在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,因为a3=a2+d′,所以a1+a2+a2+2d′+a2+3d′=4(a2+d′), 即a1=a2-d′,所以数列{a n}是等差数列.。
【高二】2021年高二上册数学(文科)寒假作业(含答案)
【高二】2021年高二上册数学(文科)寒假作业(含答案)作业（10）1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则离心率等于2.p就是双曲线就任一点，就是它的左、右焦点，且则＝________3.直线y=x+1被椭圆所截得的弦的中点坐标是4.虚轴短为12，距心率为的双曲线标准方程为5.点p是抛物线y=4x上一动点，则点p到点a(0,-1)的距离与p到直线x=-1的距离和的最小值是6.椭圆的左右焦点分别为，椭圆上动点a满足用户，则椭圆的距心率的值域范围为7.已知a（1，0），q为椭圆上任一点，求aq的中点的轨迹方程。
8．过点q(4,1)并作抛物线y的弦ab,若ab恰被q平分，谋ab所在的直线方程.作业（11）1．抛物线的准线方程就是()a．b．c．d．2．未知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程就是（）a．b．c．d．3．抛物线y＝x2至直线2x－y＝4距离最近的点的座标就是()a．b．(1，1)c．d．(2，4)4.抛物线y=ax的准线方程为y=1，则抛物线实数a=5．是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点，，则的面积等于．6.未知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面阔8米。
当水面增高1米后，水面宽度就是________米。
7.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是8.双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点；作业（12）1.过抛物线的焦点作直线交抛物线于a（x1,y1）、b（x2,y2）两点，如果x1+x2=6，则ab的长是（）a．10b．8c．6d．42.未知f1、f2就是双曲线的两个焦点，为双曲线上的点，若f1⊥f2，∠f2f1=60°，则双曲线的离心率为（）a．b．c．d．3.抛物线y=-的焦点坐标为4.过点(2,4)与抛物线只有一个公共点的直线存有条5.已知b、c是两定点，且=6,的周长为16则顶点a的轨迹方程6.与椭圆存有共同的焦点，且过点的双曲线的方程为7．一个动圆与已知圆q:外切，与圆内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程。
【高二】2021高二上学期数学寒假作业试卷练习题
【高二】2021高二上学期数学寒假作业试卷练习题【导语】2021高二数学寒假作业答案！不知不觉又一个寒假快要来临了，那寒假回去除了开心过年，还要做什么呢？那就是大家的寒假作业啦！那么，今天逍遥右脑就给大家整理了2021高二数学寒假作业答案，供家长参考。
一、选择题(共12小题，每小题5分，每小题四个选项中只有一项符合要求。
)1.的值为A.B.C.D.2.已知集合,则=A.B.C.D.3.若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则A.B.C.D.4.命题r：如果则且.若命题r的否命题为p，命题r的否定为q，则A.P真q假B.P假q真C.p，q都真D.p,q都假5.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A,B中至少有一件发生的概率是A.B.C.D.6.设，，，(e是自然对数的底数)，则A.B.C.D.7.将名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有A.36种B.24种C.18种D.12种8.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是A.B.C.D.9.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为A.B.C.D.10.已知样本9，10，11，x,y的平均数是10，标准差是，则的值为A.100B.98C.96D.9411.现有四个函数：①;②;③;④的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①12.若函数在R上可导，且满足，则ABCD第II卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分)13.已知偶函数的定义域为R,满足，若时，，则14.设a=则二项式的常数项是15.下面给出的命题中：①已知则与的关系是②已知服从正态分布，且，则③将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。
人教A版高中数学选修二第四章《数列》提高训练题 (14)(含答案解析)
选修二第四章《数列》提高训练题 (14)一、单选题1．设数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（ ） A ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭B ．42369n n ++C ．1169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭2．已知数列{}n a 满足113a =，()2*12N nn n a a a n n+=+∈，则下列选项正确的是（ ）A ．20212020a a <B ．2021202114043a << C ．2021202104043a <<D ．20211a >3．已知等比数列{}n a 中，14a ，312a ，23a 成等差数列．则2018202020172019a a a a --=（ ）A ．4或1﹣B ．4C ．1-D ．4﹣4．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则18是数列中的（ ） A ．第29项B ．第30项C ．第36项D ．第37项5．对于正项数列{}n a ，定义：12323nn a a a na G n++++=为数列{}n a 的“匀称值”.已知数列{}n a 的“匀称值”为n 2G n =+，则该数列中的10a 等于（ ） A ．83B ．125C ．94D ．21106．已知等比数列{}n a ，的前n 项和为91463,,3,2n S S n a a S *∈-==N ，若1,.2m a m *=∈N 则m =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．77．正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，已知64a =，{}n a 的前6项和的最大值为S ，把1a 的所有可能取值按从小到大排列成一个新数列{}nb ，{}n b 所有项和为T ，则S T -=（ ） A ．61B ．62C ．64D ．658．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为n S （n *∈N ），有下列叙述： （1）若414S S =，则必有190S <； （2）若3130a a +>，则必有150S >；（3）若1011S S >，则必有1112S S >.其中叙述正确的序号是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）9．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+（n *∈N ），且11a =，若记n b 为满足不等式11122k n n a -<≤（n *∈N ）的正整数k 的个数，设()()111nn n nnn b T b b -=----，数列{}n T 的最大项的值为M 与最小项的值为N ，则M N -=（ ） A ．712-B ．13C ．56D ．171210．已知数列{}n a ，0n a >且满足21122n n n a a a ++-=，*n N ∈，则下列说法中错误的是（ ）A ．若14a ≠，当3n ≥时，有：()()()()2234242224n n n a a a a a -⋅-+⋅++=- B ．若12a =，则7322n S n ≤- C ．当()10,2a ∈时，{}n a 是递增数列；当()14,a ∈+∞时，{}n a 是递减数列 D ．存在0M >，使n a M ≤恒成立11．已知等差数列{}n a 满足570a a +>，670a a +<，12323412n n n n T a a a a a a a a a ++=+++，若对任意正整数n ，恒有n k T T ≤，则正整数k 的值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．712．对于任一实数序列{}123,,,A a a a =，定义A 为序列{}213243,,,a a a a a a ---，它的第n 项是1n n a a +-，假定序列()A 的所有项都是1，且1820170a a ==，则2018a =（ ）A ．1000B ．2000C ．100D ．20013．在等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+的值是（ ） A ．5 BC．D ．3二、多选题14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，100S >，60a <，则（ ）A ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B ．2445d -<<-C ．50a >D ．0n S >时，n 的最大值为515．设数列{}n a 前n 项和为()*n S n N ∈，关于数列{}n a 有下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若()*1n n a a n N +=∈则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若()2,n S an bn a b R =+∈，则{}n a 为等差数列C ．若{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅成等比数列D ．若()11nn S =--，{}n a 是等比数列16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.下列说法正确的是（ ） A ．若对2n ∀≥，*n ∈N ，有112n n n a a a -+=+，则数列{}n a 是等差数列 B ．若对2n ∀≥，*n ∈N ，有211n n n a a a -+=⋅，则数列{}n a 是等比数列 C ．已知(1)n S n n a =+-，则{}n a 是等差数列的充要条件是0a = D ．已知2n n S a =-，则{}n a 是等比数列的充要条件是1a =三、双空题17．等比数列{}n a 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝________，又令该数列的前n 项的积为n T ，则n T 的最大值为________．18．如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图案的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作.反复进行这种操作过程，就得到一条“雪花”状的曲线，并记n 次操作后的曲线为n T ，周长为n C .设原正三角形0T 的边长为1，03C =即对应图1，则进行二次操作后，曲线2T （对应图3）的顶点数为___________；若进行n 次操作后，则0ni i C ==∑___________.19．已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第n 行有12n -项，每一行从左到右项数依次增大，记(),m n 为 该数阵中第m 行从左到右第n 个数的坐标，则坐标()5,5为对应的数为____________；2021a 对应的坐标为____________ 20．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足11()1n n a n N a *+=∈-，112a =，则100a =___________2021S =___________四、填空题21．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为13的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形的面积和为1S ；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记所得的16个小正方形的面积和为2S ；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若121925n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥，则需要操作的次数n 的最小值为______．22．已知等差数列{}n a 满足：12121|||||||1||1||1||1|n n a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=-2|1||1|2021n a a +-+⋅⋅⋅+-=，则正整数n 的最大值为________23．在如图的表格，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a +b +c 值为__．24．数列{}n a 中，12a =，()*,p q p q a a a p q +=∈N ，记m b 为{}n a 中在区间(]0,m ()*m ∈N 中的项的个数，则数列{}m b 的前150项和150S =________．25．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且有393a a +=，576b b +=，则1111S T 的值为__________．26．设等比数列{}n a 满足：126a a +=，136a a -=-，记m b 为{}n a 中在区间(0,]m ()m ∈*N 中的项的个数，则数列{}m b 的前50项和50S =__________．27．已知整数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n n a a a ++=-，*n ∈N ．若对任意给定的1a ，存在正整数0n ，使得00341n n n S S n +-<+对任意正整数n 成立，则3a 的取值集合是________．五、解答题28．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记1122n n n T a b a b a b =+++，证明：()*118,2n n n T a b n n ---=∈≥N .29．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =， . （1）判断2022是否是数列{}n a 中的项，并说明理由； （2）求n S 的最小值.从①1122S =-，②56S S =中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.30．已知在等差数列{}n b 中，()2log 1n n b a =-，*n N ∈，且13a =，39a =. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S . 31．已知数列{}n a 满足13a =，()1*1323N n n n a a n ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nnna b=． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）数列{}n b 的前n 项和为n T ，设()1nn n c T =-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n M ．32．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，*12(N )n n a S n +=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设221log ()n n b a =+，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和16n T <.33．某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化，企业的生产能力逐渐下降.若不进行技术改造，预测从今年起每年的纯利润比上一年减少20万元.今年年初该企业一次性投入600万元资金进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为150012n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元（n 为正整数）.（1）设从今年起的前()n n +∈N 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n a 万元，进行技术改造的累计纯利润为n b 万元（扣除技术改造资金），求n a ，n b 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.34．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈在函数()21122f x x x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()1log 13n a T a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.35．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且()2132522a a a =+.（1）求公差d 和通项公式n a ；（2）若0d <，求数列{}n a 的前n 项和n S ，并证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.36．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且()2132522a a a =+．（1）求公差d 和通项公式n a ；（2）若0d <，求123n a a a a +++⋅⋅⋅+．37．设{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，111a b ==，243a a b +=，243b b a =，分别求出{}n a 及{}n b 的前10项的和10S 及10T ．38．数列{}n a 中，给定正整数(1)k k >，-111()k i i i V k a a +==-∑．定义：数列{}n a 满足1(1,2,,1)i i a a i k +≤=-，称数列{}n a 的前k 项单调不增．（1）若数列{}n a 通项公式为：1n a n=，*()n N ∈，求(5)V ； （2）若数列{}n a 满足：1a a =，m a b =，(1,,)m m a b >∈>*N ，求证： ()V m a b =-的充分必要条件是数列{}n a 的前m 项单调不增；（3）给定正整数(1)m m >，若数列{}n a 满足：0n a ≥，(1,2,,)n m =，且数列{}n a 的前m 项和为2m ，求()V m 的最大值与最小值．39．已知等差数列{}n a 公差大于零，且11a =，1a ，2a ，4a 成等比；数列{}n b 满足11b =，112n n n b b --=+（2n ≥，n N ∈）.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .40．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若339S =，且33a 是5a 与4a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且34log n n b a =，求1231111nT T T T +++⋅⋅⋅+. 41．已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+，*n N ∈. （1）求实数p 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，31b a =，424b a =+，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列.42．已知数列{}n a 满足：13a =，()112n n n a a n n++=+. （1）证明：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前2021项和2021T .43．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，2n n T S n n +=+.（1）证明数列{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n M .44．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且13(2)12n n S n n n S --=≥-.（1）求n a 及n S ；（2）已知n b 是n a ，1n a +的等比中项，数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：11106n T ≤<45．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足749=S ，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .46．已知数列{}n a 的前n 项和为2372n n nS +=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）令2nn na b =，求{}n b 的前n 项和n T . 47．已知数列{}n a 满足214,(1)(1)n n a na n a n n +==+++，且1ln n n na b a +=. （1）证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和.48．在① 121n n S S +=+，② 22a =，③ 11n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足___________，___________；又知递增等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前项和n T .49．已知等比数列{}n a 中，212343,a a a a ==+，数列{}n b 满足11b a =，1(1)(1)n n nb n b n n +-+=-+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}n bn为等差数列，并求{}n b 前n 项和的最大值50．设数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，{}n b 为等比数列，且11a b =，()2211b a a b -=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案与解析】1．D 【解析】先根据n a 的递推关系求出n a 的通项公式，代入n b 的表达式中，求出n b 的通项，即可求解n b 的前n 项和n S由134n n a a n +=-可得()[]12113(21)n n a n a n +-++=-+⎡⎤⎣⎦, ∵13a =, ∴1(211)0a -⨯+=,则可得数列{}(21)n a n -+为常数列0，即(21)0n a n -+=, ∴21n a n =+∴2485(21)(23)221111(21)(23)(21)(23)(21)(23)2123n n n n n b n n n n n n n n +++++===+=+-++++++++,∴111111112()(1)3557212332369n S n n n n n n n =+-+-++-=+-=+++++. 故选: D 2．B 【解析】利用数列{}n a 的单调性可判断A 选项的正误；利用放缩法得出()21111112,1n n n n a n n N a a n a n n *++-=<-≥∈-，111111n n a a n n+-<--，利用放缩法可判断BCD 选项的正误.由1103a =>，()2*12N nn n a a a n n+=+∈可得出2409a =>，30a >，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，0n a >，所以，2120nn n a a a n+-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，故20212020a a >，A 错；在等式212nn n a a a n+=+的两边同时除以1n n a a +可得()2222222112111111111n nn n n n n n n n n a a a a a n a n a a n a n n n n n a n a n ++-====<<=-++--⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中2n ≥且n *∈N ，所以，2311112a a -<-，34111123a a -<-，，111111n n a a n n+-<--， 累加得211111n a a n+-<-，所以，1191511144n a n n +>-+=+>，则11n a +<，故20211a <. 故D 错误；对于()2211111111111n n n a a n a n n n n n +-=>≥=-++++， 所以，1211112a a ->-，23111123a a ->-，，111111n n a a n n +->-+， 累加得111311n a n +->-+，可得11123211n n a n n ++<+=++，则1123n n a n ++>+， 所以，202120214043a >，故2021202114043a <<， . 故选：B.结论点睛：几种常见的数列放缩公式： （1）()()21111211n n n n n n<=-≥--； （2）()2111111n n n n n >=-++； （3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭. 3．B 【解析】根据等差中项的应用求解出公比q ，然后将2018202020172019a a a a --化简为关于q 的形式，由此求解出结果.设等比数列{}n a 公比为q ， 因为14a ，312a ，23a 成等差数列， 所以12343a a a +=，所以211143a a q a q +=，且10a ≠， 所以2340q q --= 解得4q =或1q =-，为保证2018202020172019a a a a --有意义，则21q ≠，所以4q =，所以()201720192018202020172019201720194q a a a a q a a a a --===--， 故选：B 4．A 【解析】题目是数列找规律，发现是按照分子分母之和分别为2，3，4等等的规律书写的，即可推出18在数列中的位置解：由题意，此数列分母与分子之和为2的有一个，为3的两个，为4的有三个，按此规律，知18出现在和为9那一组中，又每一组的数都是以分子为1开始，故18是分子分母和为9的那一组的第一个数，由于和为9的那一组是第八组，前七组共有177282+⨯=个数，故18是第29个数，即第29项．故选：A ． 5．D 【解析】根据新定义的性质列等式求解即可.12323nn a a a na G n++++=，2n G n =+，123(2)23n n n G n n a a a na ∴⋅=⋅+=++++，()12310231010102a a a a ∴++++=⨯+①； ()1239239992a a a a ++++=⨯+②，-①②得:101021a =，102110a ∴=，选项D 正确，选项ABC 错误. 故选：D. 6．D 【解析】根据给定条件求出等比数列{}n a 的首项1a 及公比q ，再借助通项公式即可得解. 设等比数列{}n a 公比q ，依题意，1q ≠±，691169(1)(1),11a q a q S S q q--==--， 由9632S S =得：93363663331(1)(1)131(1)(1)12q q q q q q q q q q --++++===--++，解得312q =-，由143a a -=得：31(1)3a q -=，于是得12a =，则有12n n a q -=，由12m a =得：1122m q -=，即1223111()()()222m --==-，从而有123m -=，解得7m =，所以7m =. 故选：D 7．B 【解析】根据分段数列和64a =,倒过来依次分析{}n a 的前5项,即可求出S 和T ,从而求出答案. 正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数,且64a =, 所以54a =或1, 再依次分析4321,,,a a a a , 则可得{}n a 的前6项分别为: 128,64,32,16,8,4; 或21,64,32,16,8,4; 或20,10,5,16,8,4; 或3,10,5,16,8,4; 或16,8,4,2,1,4; 或2,1,4,2,1,4;因此12864321684252S =+++++=,23162021128190T =+++++=, 62S T -=, 故选：B在给出数列的递推公式时，若难以求到通项公式，可考虑逐个项计算再分析 8．D 【解析】对于（1）:由414S S =，得到1180a a +=，0d <，进而求出190a <，而1919S a =，即可判断； 对于（2）直接得到115313a a a a +=+，利用等差数列前n 项和公式即可判断； 对于（3）先判断出110a <， 0d <,可以求出120a <，即可得到1112S S >. 对于（1）若414S S =，则有56140a a a +++=，则有9100a a +=，所以1180a a +=，所以()1181918191919182a a S S a a a +=+=+=. 因为1180a a +=，10a >，所以181170a a d =+<，所以0d <，所以19180a a d =+<， 所以19190S a =<.故（1）正确.对于（2）若3130a a +>，则有1153130a a a a =++>，所以()115150152S a a +=>.故（2）正确； 对于（3）若1011S S >，则有1111101100a S a d S =-=+<，因为10a >，所以0d <,所以12110a d a =+<，所以1212110a S S -=<,即1112S S >.故（3）正确. 故选：D 9．D 【解析】利用取倒数法得到数列{}n a 的通项公式，由n b 为满足不等式11122k n n a -<≤（n *∈N ）的正整数k 的个数可得2nn b =，研究数列{}n T 的单调性，即可得到最值及答案.由于11a =，122nn n a a a +=+，则0n a ≠． ∴1212n n n a a a ++=，则121111111222n n n n n n n a a a a a a a ++-=-=+-=，即11112n n a a +-=为常数． 又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列．从而1111(1)22n n n a +=+-⨯=，即21n a n =+． 由111()()22n n k a -<，即1121()()212n n k -<+，得12121n n k +-<-， 又*k N ∈，从而1(21)(21)2n n n n b +=---=，故12111()1()122(1)21()2n n n n n nn T =---=-------， 当n 为奇数时，111()121()2n n n T =+-+，n T 单调递减，1506n T T <=． 当n 为偶数时，111()121()2n n n T =---，n T 单调递增，27012n T T -=<． 综上{}n T 的最大项为56M =，最小项为712N =-． ∴1712M N -=. 故选：D. 10．B 【解析】先根据题目条件得到1n a ，2n a >，2n ≥及1n n a a +-与1n n a a --的符号相同.选项A ，在等式21122n n n a a a ++-=两边减去8，再变形得()112424n n n a a a ++-+=-，代入求解即可；选项B ，先确定数列{}n a为递增数列，再算出471112a =>， 而后利用放缩法得到，当4n ≥时，()1112n S n >+-N ，当n N >时，有()11731222n n +--，所以n S>()11731222n n +--，故选项B 错误； 选项C ，利用1n n a a +-与1n n a a --的符号相同可判定； 选项D ，分()10,4a ∈，14a =和()14,a ∈+∞讨论n a 的范围. 由题知，2112121n n n a a a ++-+=+，()21121n n a a +-=+， 因为0n a >，所以112n a +=>，所以1n a ，2n a >，2n ≥.因为21122n n n a a a ++-=，所以2122n n n a a a --=，2n ≥两式相减整理得，()()()11122n n n n n n a a a a a a ++--+-=-，因为2n ≥时，2n a >，所以120n n a a ++->，1n n a a +-与1n n a a --的符号相同， 选项A ：由21122n n n a a a ++-=得，2112828n n n a a a ++--=-，()()()112424n n n a a a +++-=-，若14a ≠，则4n a ≠，所以()112424n n n a a a ++-+=-.当3n ≥时，()()()34222n a a a +⋅++()()()()2231234242424244444n n n n a a a a a a a a ------=⋅=----，故选项A 正确；选项B ：若12a =，则2113a ==>，因为2110a a ->，所以320a a ->，依次类推有10n n a a -->， 所以数列{}n a 是递增数列；又371112a >，471112a =>， 当4n ≥时，1234...n n S a a a a a =+++++()12343a a a n a >+++->()1112n +-因为712>，所以存在正整数N ，当n N >时，有()11731222n n +->-此时n S >()11731222n n +--，故选项B 错误；选项C ：当()10,2a ∈时，有212a a >>，所以210a a ->，从而有320a a ->， 依次类推可得10n n a a -->，所以数列{}n a 是递增数列；当()14,a ∈+∞时，因为()()()2111112140a a a a --+=->，所以()211211a a +<-，所以211a a =<，从而有32a a <，依次类推可得1n n a a -<， 所以数列{}n a 是递减数列，故选项C 正确；选项D ：当()14,a ∈+∞时，由选项C 的解析知，数列{}n a 是递减数列，所以1n a a ≤； 当()10,4a ∈时，由2221228a a a -=<解得224a -<<，又22a >，所以224a <<， 同理可推导324a <<，依次类推，有24n a <<；当14a =时，由2221228a a a -==及22a >得24a =，同理可推导34a =，依次类推，有4n a =； 令M 为4和1a 中的最大者，则n a M ≤对*n N ∈恒成立，故选项D 正确； 故选：B. 11．A 【解析】利用等差性质研究数列项的变化，从而可得结果. 由等差数列{}n a 满足570a a +>，670a a +<，可知620a >，即60a >，且70a <，67a a <，公差0d <， ∴1232343454565676780,0,0,0,0,0,a a a a a a a a a a a a a a a a a a >>>><> 78989100,0,,a a a a a a <<又()()567678675867670a a a a a a a a a a a a a a +=+=+>， ∴当6n =时，n T 最大， ∴正整数k 的值是6. 故选：A 12．A 【解析】A ∆是公差为1的等差数列，可先设出A ∆的首项，然后表示出A ∆的通项，再用累加法表示出序列A的通项，再结合1820170a a ==求出A ∆的首项和A 的首项，从而求出序列A 的通项公式，进而获解. 设序列A 的首项为d ，则序列A 为{},1,2,d d d ++，则它的第n 项为()1d n +-， 因此数列A 的第n 项，()()()1111112n n k k k a a a a a d d d n -+==+-=++++++-∑()()()111122a n d n n =+-+-⋅-， 则n a 是关于n 的二次多项式，其中2n 的系数是12， ∵1820170a a ==，∴必有()()11820172n a n n =--， ∴()()201812018182018201710002a =--=. 故选：A. 13．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，q 显然不等于1，化简已知得51(1)5,1a q q +=+再化简12345a a a a a -+-+即得解.设等比数列{}n a 的公比为q ，q 显然不等于1，由题得5210112(1)(1)3,15,11a q a q q q --==-- 所以两式相除得51(1)5,1a q q +=+ 所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+.故选：A 14．ABC 【解析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A 选项的正误；根据已知条件列出关于d 的不等式组，求出d 的取值范围，可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断CD 选项的正误.对于C 选项，由()()110105610502a a S a a +==+>且60a <，可知50a >，C 对；对于B 选项，由53635632122031230252450a a d d a a d d a a a d d =+=+>⎧⎪=+=+<⎨⎪+=+=+>⎩，可得2445d -<<-，B 对； 对于D 选项，因为100S >，()111116111102a a S a +==<， 所以，满足0n S >的n 的最大值为10，D 错；对于A 选项，由上述分析可知，当15n ≤≤且n *∈N 时，0n a >； 当6n ≥且n *∈N 时，0n a <，所以，当15n ≤≤且n *∈N 时，0nnSa >，当610n ≤≤且n *∈N 时，0nnS a <，当11n ≥且n *∈N 时，0nnSa >.当610n ≤≤且n *∈N 时，{}n a 单调递减，即6789100a a a a a >>>>>，{}n S 单调递减，即有6789100S S S S S >>>>>，所以，678910111110a a a a a ->->->->->， 由不等式的性质可得6789106789100S S S S Sa a a a a ->->->->->， 从而可得6789106789100S S S S S a a a a a <<<<<， 因此，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项，A 对.故选：ABC. 15．BD 【解析】举出反例，如()*10n n a a n N +==∈，即可判断A ；根据n a 与n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等差数列的定义即可判断B ； 举出反例，如{}n a 为1,1,1,1,1,1,---，n 为偶数时，即可判断C ；根据n a 与n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列的定义即可判断D ；对于A ，若()*10n n a a n N +==∈，则{}n a 既是等差数列，但不一定是等比数列，故A 错误；对于B ，由()2,n S an bn a b R =+∈，当1n =时，11a S a b ==+，当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn a n b n an a b -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦， 当1n =时，1a 适合上式， 所以2n a an a b =-+， 则12n n a a a +-=为常数，所以{}n a 为等差数列，故B 正确；对于C ，若{}n a 为等比数列，如{}n a 为1,1,1,1,1,1,---，n 为偶数时，0n S =，由等比数列中没有0这一项，所以232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅不成等比数列，故C 错误； 对于D ，若()11nn S =--， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()()()()()1111111111121n n n n n n n n a S S -+---⎡⎤=-=-----=-+-=⋅-⎣⎦， 当1n =时，1a 适合上式， 所以()121n n a -=⋅-，则11n na a +=-， 所以数列{}n a 是以2为首项，-1为公比的等比数列，故D 正确. 故选：BD. 16．ACD 【解析】利用等差，等比数列的定义和性质，以及等差，等比数列的前n 项和的形式，可逐一判断． 解：由112(2)n n n a a a n +-=+和等差中项的性质知{}n a 为等差数列，则A 正确，当0n a ≠时，由211(2)nn n a a a n +-=⋅和等比中项的性质知{}n a 为等比数列，则B 不正确， 由等差数列的前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 得n S 是n 的二次函数，且不含常数项，则0a =，则C 正确，由等比数列的前n 项和111(1)111n n n a q a aS q q q q-==----，()1q ≠，1a ，则D 正确，故选：ACD ． 17．12 2 【解析】先设共有21m +项，由题意写出奇数项之和以及偶数项之和，根据等比数列性质列出方程得到其公比，写出该数列的前n 项的积n T 的表达式，结合二次函数单调性即可求解n T 的最大值. 设共有21m +项，由题意奇数项之和13218532m S a a a +=+++=1，偶数项之和22422116m S a a a =+++=， 又因为()11222422185221632m m S a a q a q q a a a q =+++=++++=+=，故12q =. 所以2312122121(1)21222n n n n n n n n n T a a a a q -++--=⋅==⨯=，显然2n ≥时函数递减，所以2n =，n T 有最大值2.故答案为:12;218．48 111433n n n ++--【解析】观察所给的图形，得到图2的顶点数和图1的顶点数和边数的关系，以及图3的顶点数与图2的顶点数和边数的关系，判断图2的顶点数，再由图形之间边长的关系，得到数列{}1n C -是首项为3，公差为43的等比数列，再按照等比数列求和. 0T 有3个顶点，3条边，1T 的顶点数是33312+⨯=个，有4312⨯=条边， 2T 的顶点数是1212348+⨯=个，由图形观察可知，1043C C =，2143C C =，……143n n C C -=，所以数列{}1n C -是首项为3，公差为43的等比数列，111104313434313n n n nin i C +++-=⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-∑. 故答案为：48；111433n n n ++-- 19．41 ()11,998【解析】利用n a 和n S 的关系，求出()21,1n a n n =+≥，而该数列按第n 行有12n -个数排成的一个数阵，根据等比数列的前n 项和求得前四行数阵中共有15项，推理可知()5,5表示数阵中第五行第5个数，对应的是第20项，代入n a 通项公式，即可求得结果；由前k 行数阵中共有21k -项，可推算2021a 对应的坐标．解：由题可知，数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+， 则()()2211211,1n S n n n n -=-+-=->， 由()1211n n n S S a n n --==+>， 且1n =时，113a S ==， 所以21n a n =+，该数列按第n 行有12n -个数排成的一个数阵， 则前四行数阵中共有：()4012341122222211512⨯-+++==-=-项，而()5,5表示数阵中第五行第5个数，对应的是第20项， 所以()5,5表示数列{}n a 的第20项：20220141a =⨯+=； 前k 行数阵中共有()012111222222112k k k -⨯-++++==--项,当10k =时，有211023k -=项；当11k =时，有212047k -=项； 由10232021998-=知，2021a 对应的坐标为()11,998 故答案为：41；()11,998． 20．12 1012 【解析】根据递推关系发现数列{}n a 的项以3为周期变化，从而100112a a ==，2021121232019()3S a a a a a =++⨯++，从而求得结果. 由递推关系知，211121112a a ===--，32111112a a ===---，4311111(1)2a a ===---，52a =，61a =-，，则数列{}n a 的项以3为周期变化，100112a a ==，123132122a a a ++=+-= 故20211220193101232S a a =++⨯= 故答案为：12；1012 21．4 【解析】分别求出1S ，2S 进而可得n S ，可得{}n S 是等比数列，再利用等边数列求和公式求12n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，利用单调性解不等式即可得答案.1S 是4个边长为13的小正方形面积之和，所以 21143S ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 2S 是24个边长为213⎛⎫ ⎪⎝⎭的小正方形面积之和，所以22222211144333S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；3S 是34个边长为313⎛⎫ ⎪⎝⎭的小正方形面积之和，所以33323311144333S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；所以214439nnn S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以{}n S 是首项为49，公比为49的等比数列， 所以124419944145919n nnS S S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，所以121925n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥即441915925n⎡⎤⎛⎫-≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以41920n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为()49xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，而()3464130.088972920f ⎛⎫==≈>⎪⎝⎭不成立，()44256140.0399656120f ⎛⎫==≈<⎪⎝⎭，即441920⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 所以需要操作的次数n 的最小值为4次， 故答案为：4. 22．62 【解析】设2,n k k N +=∈，等差数列的公差为d ，不妨设100k ka a +>⎧⎨<⎩，则10,0a d <>，且10k a +≤，即1k a ≤-，根据110k a +-≥，得到即有2d ≥，再根据等差数列的前n 项和公式，求得22021k d =，从而得出220212k ≥，即可求解.解： 由题意知：等差数列{}n a 满足1212111n n a a a a a a +++=++++++1211a a =-+-+12021n a +-=，故等差数列不是常数列，且{}n a 中的项一定满足100n n a a ->⎧⎨<⎩或10n n a a -<⎧⎨>⎩，且项数为偶数，设2,n k k N +=∈，等差数列的公差为d ，不妨设10k k a a +>⎧⎨<⎩，则10,0a d <>，且10k a +≤，即1k a ≤-， 由110k a +-≥，则111kd a kd -+≥+≥，即2kd ≥， 即有2d ≥，则121212k k k n a a a a a a a a +----++++⋯=++211(1)(1)[]()202122k k d k k ka k a kd dk d --=-++++==， 可得220212k ≥，解得31.7k ≤≈， 即有k 的最大值为31，n 的最大值为62. 故答案为：62. 23．1 【解析】每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，根据第一列、第三列成等比数列得第一列中第3个数、第4个数、12a =，根据等差中项得第三行第2个数和公差、第4个数、第5个数，得第四行中第1个数、第3个数、公差，可得第4个数、第5个数，第五列中，由于成等比数列可得c ．∵每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， ∴根据第三列，得221a ⨯=，可得12a =，所以公比12q =， 在第一列中，第三个数为212⎛⎫ ⎪⎝⎭=14，因此根据等差中项得：第三行第2个数为：111242⎛⎫+ ⎪⎝⎭=38，可得第三行等差数列的公差为3184d =-=18，∴在第三行中，第4个数为：14+3×18=58，第5个数为：14+4×18=34， 即第四列中，第3个数为58；第五列中，第3个数为34，即第四行中，第1个数为18；第3个数为14，公差得111124816⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以第4个数为11541616b =+=，第5个数为15316168+=，第五列中，由于成等比数列28334c ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，所以316c =，综上所述，得15321616a b c ++=++=1. 故答案为：1． 24．803 【解析】根据已知条件可以求出数列{}n a 为等比数列且2n n a =，讨论当1m =时和122n n m +≤<时m b 的值，代入计算即可得出结果.令1p =，q n =，则112n n n a a a a +==，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，2n n a ∴=，①当1m =时，10b =； ②当122n n m +≤<时，m b n =，1501234567()()S b b b b b b b ∴=++++++23456465127128129150()()01222324252b b b b b b +++++++++=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯6627(150127)803+⨯+⨯-=．故答案为：803 25．12 【解析】由已知得623a =，626b =，再利用等差数列的前n 项和的性质化简求解.因为{}{}n n a b ，为等差数列， 则有39623a a a +==，57626b b b +==．11611S a =，11611T b =所以66111166111112a a S T b b ===．故答案为：12 26．193 【解析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，得出2n n a =，讨论当1m =时和122n n m +≤<时m b 值，代入计算即可得出结果.由题意得，1212131(1)6(1)6a a a q a a a q +=+=⎧⎨-=-=-⎩，所以解得12a =，2q =， 所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以2n n a =，所以当1m =时，10b =；当122n n m +≤<时，m b n =， 所以5012345678915161731323350()()()()()S b b b b b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++++++，即234500122232425(5031)193S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=. 故答案为:193 27．{}1,2 【解析】列举出数列{}n a ，设1a x =，说明当33a ≥、30a =时且当3x ≥时，00341n n n S S n +-<+不成立；然后说明当31a =和32a =时，存在正整数0n ，使得00341n n n S S n +-<+对任意正整数n 成立，由此可得出3a 的取值集合.（1）当33a ≥时，由于1a 的任意性，不妨取133a a x ==≥，则这个数列为x 、0、x 、0、，而003n n n S S +-代表的是这个数列中连续的3n 个数.①当n 为偶数时，3922x ≥，则0030393222n n n x xn n S S n ++-=⨯=≥，显然00341n n n S S n +-<+不成立； ②当n 为奇数时，由于存在0n N *∈，使得00341n n n S S n +-<+， 不妨取这连续的3n 个数为0、x 、0、x 、、0，所以，()()003331933122n n n S n n S n x +---=-≥=，由于n 的任意性，故93412n n -<-不成立； （2）当30a =时，由于1a 的任意性，不妨设13a x =≥，则这个数列为x 、x 、0、x 、0、x 、，而003n n n S S +-代表的是这个数列中连续的3n 个数. ①当n 为偶数时，3922x ≥，则0030393222n n n x xn nS S n ++-=⨯=≥，显然00341n n n S S n +-<+不成立； ②当n 为奇数时，由于存在0n N *∈，使得00341n n n S S n +-<+， 不妨取这连续的3n 个数为0、x 、0、x 、、0，所以，()()003331933122n n n S n n S n x +---=-≥=，由于n 的任意性，故93412n n -<-不成立； （3）下面只需说明31a =和32a =成立即可.（i ）当31a =时，这列数可能为x 、1x +、1、x 、1x -、1、①或x 、1x -、1、2x -、3x -、1、②，不难发现②中的1、2、3项与①中的4、5、6项相同，故到后面也相同， 而无论x 是趋于+∞，或是0x =，一定存在某个时刻后，这列数就变为了1、0、1、0、1、0、，此时003341n n n S S n n +-<<+成立；（ii ）当32a =时，同理，由于存在0n N *∈，使得00341n n n S S n +-<+，故若1a →+∞，则0n →+∞，必有数与2较为接近，，此时有两种情况： 第一种：1与2并存，即1、2、1、1、0、1、0、，会发现到后面就等同于（i ）中的情况了；第二种：2与0并存，即2、0、2、0、，由于存在0n ，当n 为偶数时，0032033412n n n S S n n n ++-=⨯=<-成立， 当n 为奇数时，00331231412n n n S n S n n ++-≤⨯=+<+成立. 综上可知，3a 的取值集合为{}1,2. 故答案为：{}1,2.关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于对3a 的取值进行分类讨论，利用列举数列的方法找出数列的周期性，结合周期性求解.28．（1）()*31,2n n n a n b n =-=∈N ；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则由题意可得3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩从而可求出d ，q ，从而可求出数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知()23225282312n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，然后利用错位相减法可求得n T ，从而可证得结论（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由112a b ==，得434423,2,86.a d b q S d =+⎧⎪=⎨⎪=+⎩由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩ 解得3,2.d q =⎧⎨=⎩所以()*31,2n n n a n b n =-=∈N（2）由（1）得()23225282312,n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯①()()23122252342312.n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯②由①-②得：()23122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()161231221nn n n+⨯-=--⨯--()13428n n +=--⨯=，即()18342n n T n +-=-⨯，而当2n ≥时，()111342n n n a b n +--=-⨯. 所以()*118,2n n n T a b n n ---=∈≥N .29．答案见解析【解析】选①（1）由1122S =-易得62a =-，再根据84a =求得通项公式，再判断即可； （2）利用通项公式法，令0n a ≥求解；选②（1）由56S S =易得60a =，再根据84a =求得通项公式，再判断即可； （2）利用通项公式法，令0n a ≥求解； 选①（1）由1122S =-得：61122a =-， 所以62a =-，又因为84a =， 所以3d =，所以18742117a a d =-=-=-，所以1(1)17(1)3320n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 令 3202022n -=，则32042n =，此方程无正整数解， 所以2022不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a ≥，即3200n -≥，解得：203n ≥， 所以7n ≥时，0n a >，当6n ≤时，0n a <， 所以，当6n =时，n S 的最小值为1666()572a a S +==-. 选②（1）由56S S =得：60a =， 又因为84a =，所以2d =， 所以18741410a a d =-=-=-，所以1(1)10(1)2212n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 令2122022n -=，则1017n =，所以2022是数列{}n a 中的第1017项. （2）令0n a ≥，即2120n -≥，解得：6n ≥， 所以7n ≥时，0n a >，当6n ≤时，0n a ≤， 所以，当5n =或6n =时，n S 的最小值为16566()302a a S S +===-. 30．（1）n b n =；（2）122n n S n +=+-.【解析】（1）由题意求出1b 和3b ，进而可求出公差，从而可求出通项公式；（2）利用（1）的结论可求得n a ，再用分组求和法求和即可 （1）设等差数列{}n b 的公差为d ，由13a =，39a =，得()1212log 1log 21b a =-==，()3232log 1log 83b a =-==，所以3122b b d -==，所以1d =，所以1(1)1n b n n =+-⨯=.（2）由（1）知n b n =，所以()2log 1n a n -=，所以12nn a -=，所以21n n a =+.所以()()2112(21)212n n n S a a a +=+++=+++++()()212122222212n n n n n n +-=++++=+=+--.31．（1）证明见解析；21n b n =-；（2）()1133n n S n +=-+；（3）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1）根据递推公式，变形为()*11132N 33n nn n a a n +++=+∈，即可证明数列{}n b 是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可求()3213n nn n a b n ==-⋅，再利用错位相减法求和；（3）分n 为奇数和偶数两种情况求数列{}n c 的前n 项和n M ． （1）()1*1323N n n n a a n ++=+⨯∈，∴()*11132N 33n nn n a a n +++=+∈， ∴11233n n n n a a ++=+，3n n n a b =，∴111233n n n n n n a a b b +++-=-=，又13a =，∴1113a b ==， ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，()12121n b n n =+-=-；（2）由（1）得21n b n =-，∴()3213n nn n a b n ==-⋅，∴()2333353213n n S n =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，()()2341333532332133n n n S n n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得()23132323231322n n n S n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅-()()()11118133213213613n n n n n -++-=+--⋅=----，∴()1133n n S n +=-+；（3）由题意21212n n T n n +-=⨯=，∴()()211n nn n c T n =-⋅=-⋅， 当为n 偶数，数列{}n c 的前n 项和。
高二数学寒假作业二：数列 含答案
数学寒假作业（二）测试范围：数列使用日期：腊月二十一 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．833．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．424．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516 D.31155．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．188．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．99．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．1610．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1 B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n＋111．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210 B.129 C.110 D.15二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．等比数列{a n }中，a 3＝12， a 5＝48，那么a 7＝________.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 15．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，S n 是其前n 项的和，则S n 等于________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.19．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项a n ＝2np ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{a n }的前n 项和S n 的公式．20．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．22．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .家长签字： 日期：数学寒假作业（二）答案1、答案 D2、答案 B3、答案 C解析 思路一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d ＝24.思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.4、答案 A5、答案 C解析 由等差数列的性质可知a 2、a 5、a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 82＝6，故选C.6、答案 A解析 依题意得a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln n n －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A.7、答案 B解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B. 8、答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.9、答案 C解析 由4a 1＋a 3＝4a 2⇒4＋q 2＝4q ⇒q ＝2，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10、答案 B 11、答案 B 12、答案 D 解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n }为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12.∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n，∴a 10＝15.13、解析：由题意可知a 3，a 5，a 7成等比数列，∴a 25＝a 3·a 7，∴a 7＝48212＝192.14、解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝2不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1，2n －1n ≥2.15、解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 16、解析：∵(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·1＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1)．∴S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1.17、解：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.18、解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19、解：(1)由a 1＝3，得2p ＋q ＝3，又a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，且a 1＋a 5＝2a 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)得a n ＝2n＋n ，S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20、解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1.c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10) ＝a 11－q 101－q ＋10b 1＋10×92d ＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．21、解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－－12n －11－－12＝1＋23＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22、解：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，a n ＝13n (n ≥2)．验证n ＝1时也满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．(2)b n ＝n ·3n，S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1上述两式相减得： －2S n ＝3＋32＋33＋3n －n ·3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1.即S n ＝n2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.。