山东省烟台市高三上学期期末考试数学试题含答案
2024年山东省烟台市莱山区数学三上期末教学质量检测试题含解析
2024年山东省烟台市莱山区数学三上期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、用心思考，我会选。
1．王师傅给运动员准备午餐,有2份荤菜,2份素菜,3种汤,运动员每天的午餐是一荤一素一汤,一共有（）种不同的搭配方法。
A．6 B．8 C．122．下面由4个边长为1厘米的正方形拼成的图形中，（）的周长最短。
A．B．C．D．3．15.08元是()。
A．1元5角8分B．15元8角C．15元8分4．一部电梯限重1吨。
王叔叔要用电梯搬运120箱货物，每箱货物重9千克，这些货物至少（）次能搬完。
A．1 B．2 C．35．在下面的图形中，有（）个是轴对称图形。
A．1个B．2个C．3个D．4个二、认真辨析，我会判。
6．把一个西瓜分成8块，小丽吃了1块，吃了这个西瓜的18．（______）7．125×8积的末尾有3个0。
（_______）8．两位数乘一位数，积可能是三位数，也可能是两位数。
（________）9．5.9和5.90大小相等，计数单位不同．（_____）10．估算的结果一定比准确值大．（_______）三、仔细观察，我会填。
11．22时是晚上10时_____．12．一个蛋糕，小红吃了它的35，还剩下这个蛋糕的()()。
13．吴老师上午7：05从家里出发去学校，走了25分钟，吴老师（________：________）到校．14．实验小学5名老师领73名学生去参观科技馆，每张门票9元，老师带了700元，（________）付门票。
（填“够”或“不够）15．串了一些黑白间隔排列的珠子，中间有一部分被挡住了。
山东省烟台市2024届高三上学期期末考试数学试题含解析
2023~2024学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合U =R ，集合{}{}0,12M x x N x x =<=-<，则()UM N ⋃=ð（）A.{}3x x ≥ B.{}3x x > C.{1x x ≤-或0}x ≥ D.{1x x <-或0}x >【答案】A 【解析】【分析】解出集合{}12N x x =-<，利用集合的运算计算即可.【详解】由12x -<，得212x -<-<，即13x -<<，所以{}13N x x =-<<，所以{}{}{}0133M N x x x x x x ⋃=<⋃-<<=<，所以(){}3U M N x x ⋃=≥ð.故选：A.2.“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．3.已知0,0a b c >>>且1c ≠，则（）A.a a cb bc +<+ B.c c a b>C.a b c c > D.c ca b >【答案】D 【解析】【分析】对于选项A,B 利用作差法即可判断；对于选项C,D 利用指数函数及幂函数的单调性即可判断.【详解】对于选项A ：因为0,0a b c >>>，所以0b a -<，由()()()()()0a c b a b c c b a a c a b c b b c b b c b+-+-+-==<+++，故a a cb bc +>+，选项A 错误；对于选项B ：因为0,0a b c >>>，所以0b a -<，由()0c b a c c a b ab--=<，故c c a b <，选项B 错误；对于选项C ：由指数函数可知,0x y c c =>，在定义域上单调性不确定，故无法确定,a b c c 的大小，比如当01c <<时，则a b c c <，选项C 错误；对于选项D ：由幂函数可知,0c y x c =>，在定义域上单调递增，且a b >，所以c c a b >，选项D 正确.故选：D.4.已知||||1,()(3)3a b a b a b ==+⋅-=-，则向量a 与b 夹角的大小为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式，求解即可.【详解】结合题意：设向量a与b夹角为θ，22()(3)32cos 3a b a b a b a b θ+⋅-=--⋅=- ，因为||||1a b ==，所以132cos 3θ--=-，解得1cos 2θ=.因为[]0,πθ∈，所以π3θ=.故选：B.5.我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（）数字123456789纵式横式A.25B.35C.38D.310【答案】A 【解析】【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意可知，共有4根算筹，当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为4224225=+++，故选：A6.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()ln 1,012,1x x f x x x +<≤⎧=⎨->⎩，则方程()10f x -=实数根的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义求出()f x 的解析式，进而解方程即可.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当10x -≤<时，01x <-≤，()()()ln 1f x f x x =--=---，当1x <-时，1x ->，()()2f x f x x =--=--，综上()()2,1ln 1,010,0ln 1,102,1x x x x f x x x x x x ->⎧⎪+<≤⎪⎪==⎨⎪----≤<⎪--<-⎪⎩，当1x >时，令()1f x =无解；当01x <≤时，令()1f x =解得1x =；当0x =时，令()1f x =无解；当10x -≤<时，令()1f x =解得2e x -=-；当1x <-时，令()1f x =，解得3x =-，综上()10f x -=实数根的个数为3个，故选：C7.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF与C 的另外一条渐近线交于点B .若3BF AF =，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设过右焦点(),0F c 垂直于渐近线的直线为()ay x c b =--，求出2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用向量关系表示出2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再代入另外一条渐近线by x a =-，整理计算即可.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，不妨设过右焦点(),0F c 垂直于渐近线的直线为()ay x c b=--，联立()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,B x y ，由3BF AF = ，可得()221133,3,3,a ab a ab c x y c c c c c c ⎛⎫⎛⎫--=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即211333a c x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得211323a x c c ab y c ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在另外一条渐近线by x a =-上，所以2332,ab b a c c a c ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭整理得：223c a =，即23e =，所以e =故选：C.8.已知函数()()e 2,ln 2xf x xg x x x =+-=+-，若12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.e -B.1- C.1e-D.21e -【答案】C 【解析】【分析】结合题意构造函数()e xh x x =+，得到12ln x x =，表示出1121e xx x x =⋅,再借助导数求出()e x u x x =⋅得最小值即可.【详解】因为12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，所以1122e 2ln 2xx x x +-=+-，即12ln 1222e ln eln xx x x x x +=+=+，令()e xh x x =+，()e 10xh x '=+>，所以()e xh x x =+在R 上单调递增.所以12ln x x =，即12e x x =，所以1121e xx x x =⋅，令()e xu x x =⋅，则()()e1xu x x '=+，当(),1x ∈-∞-时，()0u x '<，()e xu x x =⋅在(),1-∞-单调递减;当()1,x ∈-+∞时，()0u x '>，()e xu x x =⋅在()1,-+∞单调递减;所以当=1x -时，函数()e xu x x =⋅取得最小值，即()1111e eu --=-⨯=-.11211e ex x x x =⋅≥-.故选：C.【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：积型：e ln a a b b ≤，①ln e ln e a b a b ≤，构建()e xf x x =；②e lne ln a a b b ≤，构建()ln f x x x =；商型：e ln a b a b≤，①ln e e ln a ba b ≤，构建()e x f x x=；②e ln e ln a abb≤，构建()ln x f x x =；和型：e ln a a b b ±≤±，①ln e e ln a b a b ±≤±，构建()e xf x x =±；②e ln e ln a a b b ±≤±，构建()ln f x x x =±.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，则数据12,,,,n x x x x （）A.与原数据的极差相同B.与原数据的中位数相同C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同【答案】AD 【解析】【分析】根据题意，由数据平均数、方差、中位数、极差的定义分析选项，综合可得答案.【详解】由样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，可得()121n x x x x n=+++ ，其方差为()()()2222121n s x xx xx x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，对于数据12,,,,n x x x x ，其平均数()1211n x x x x x x n '+++=+=+ ，其方差()()()()122222221111n x x x x x n s s n x x n x ⎡⎤==⎢⎥-⎣-++++-+⎦+- ；即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C 错误，D 正确；由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A 正确；对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B 错误.故选：AD10.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到sin2y x =的图象，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线5π6x =对称C.()f x 在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为12【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数的图象变换，求出()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】结合题意：要得到函数()f x 的解析式，只需将sin2y x =向左平移π6个单位长度.所以()ππ=sin 2sin 263f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,对于选项A:由()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭可得2ω=，所以2ππT ω==,故选项A 正确；对于选项B:将5π6x =代入()π=sin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得：5π5π66π=sin 2sin 2π03f ⎛⎫⎛⎫⨯+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线5π6x =对称，故选项B 错误；对于选项C:对于()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，令π23t x =+，则=sin y t ，因为π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以πππ2,363t x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，而=sin y t 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()π=sin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；对于选项D:对于()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，令π23t x =+，则=sin y t ，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,336t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象可知=sin y t 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，故π5π236t x =+=，即π4x =时，()min π5π1sin 462f x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选项D 正确.故选：ACD.11.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，111224,AB AB AA P ===为棱1CC 上一点，则（）A.不存在点P ，使得直线BP 平面11AB DB.当点P 与1C 重合时，直线1CC ⊥平面BPDC.当P 为1CC 中点时，直线BP 与AD 所成角的余弦值为26D.当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2【答案】BCD 【解析】【分析】连接AC 交BD 于O ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z 轴建立坐标系，利用空间向量法判断ABC ，利用三棱锥体积公式判断D.【详解】连接AC 交BD 于O ，因为正四棱台1111ABCD A B C D -，所以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z轴建立如图所示坐标系，设点1A 在底面投影为E，则AE OA OE =-=1A E ==即正四棱台1111ABCD A B C D -，则()A，()0,B，()C -，(1B，(1C，(10,D ，所以(1AB =-，(1AD =-，1CC =，()BC =--，因为P 为棱1CC上一点，所以)()101CP CC λλ==≤≤，所以(),BP BC CP =+=--，设平面11AB D 的法向量()111,,n x y z =，则1111111100AB n AD n ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11x =可得平面11AB D 的一个法向量为()1,0,2n = ，令0n BP ⋅=-+= 解得23λ=，故存在点P ，使得直线BP 平面11AB D ，A 说法错误；当点P 与1C重合时即(P，()0,D -，(BP =-，()0,BD =-，设平面BPD 的法向量()222,,m x y z =，则222200BP m BD m ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21x =可得平面BPD 的一个法向量为()1,0,1m = ，因为1CC =，所以当点P 与1C 重合时，直线1CC ⊥平面BPD ，B 说法正确；当P 为1CC中点时，即,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()AD =--，所以cos ,26BP AD BP AD BP AD⋅===，所以直线BP 与AD所成角的余弦值为cos ,26BP AD =，C 说法正确；设正四棱台1111ABCD A B C D -的高为h ，当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -的体积111111122223323A B D V S h ==⨯⨯⨯ ，三棱锥P BCD -的体积211124244323223BCD h V S ==⨯⨯⨯=，所以三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2，D 说法正确；故选：BCD12.我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线22(0)y px p =>分别逆时针旋转90180270 ､､可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A.开口向下的抛物线的方程为()220x py p =->B.若8AB =，则2p =C.设1p =，则1t =时，直线x t =截第一象限花瓣的弦长最大D.无论p 为何值，过点B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值【答案】ABD 【解析】【分析】根据图象的对称性判断A ；由8AB =及抛物线方程得到点A 的坐标，由对称性得到点B 坐标，代入()220x py p =->即可求p ，判断B ；由题意得到直线x t =截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断C ；利用导数的几何意义求出过点B 的切线，借助图象的对称性判断D.【详解】对于A ，因为抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，若抛物线逆时针旋转270︒，则开口向下，焦点为0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭，故开口向下的抛物线方程为：()220x py p =->，故A 正确；对于B ，由题意可知，,A B 关于x 轴对称，因为8AB =，设()(),,,A A B B A x y B x y ，所以4A y =，4B y =-，因为点A 在抛物线22(0)y px p =>上，所以162A px =，所以8A x p =，即8,4A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以8,4B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由B 在抛物线()220x py p =->上，所以()26424p p=-⨯-，解得2p =，故B 正确；对于C ，当1p =，由2222y xx y⎧=⎨=⎩得()2,2A ，所以02t <<，由题意直线x t =截第一象限花瓣弦长为122222t ty ==-，02t <<，所以122y t t -'=-，令0y '=，则t =当0t <<时，0'>y ，函数单调递增，2t <<时，0'<y ，函数单调递减，所以当t =C 错误；对于D ，由2222y pxx py⎧=⎨=-⎩得()2,2B p p -，过第二象限的两抛物线分别为：22x py =①，22y px =-②，对于①，22x y p =，则x y p '=，设切点坐标为2,2m m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以过点B 的切线方程为：()22my p x p p+=-，将点2,2m m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得22440m mp p +-=，解得2m p =±，因为0m <，故(22m p p =-=-，所以切线的斜率为2-p 为何值，切线斜率均为2-y x =的夹角为定值，由题意可知，22x py =与22y px =-关于直线y x =对称，故过点B 的两切线也关于直线y x =对称，故22y px =-的切线与直线y x =的夹角为定值，即无论p 为何值，过点B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性及最值解决问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()53(21)x x -+的展开式中3x 的系数为__________.【答案】200-【解析】【分析】先求得二项式5(21)x +展开式的通项为5552rr r C x --⋅，结合通项进而求得3x 项的系数.【详解】由二项式5(21)x +展开式的通项为()55515522rrr r r r T C x C x ---+=⋅=⋅，则()53(21)x x -+的展开式中，含3x 的项为232323355232200x C x C x x ⋅⋅⋅-⨯⋅⋅=-，所以3x 项的系数为200-.故答案为：200-.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为5,25n S S =且815a =，则1a 的值为__________.【答案】1【解析】【分析】利用等差数列的基本量1a 和d 表示525S =,815a =，计算即可.【详解】结合题意：设等差数列的公差为d ，因为525S =,815a =，所以518151025715S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d ⎧⎨⎩==.故答案为：115.若存在两个不相等正实数,x y ，使得()()e e xya y x y x -=-+，则实数a 的取值范围为__________.【答案】e ,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【详解】由()()e e xya y x y x -=-+，可得22e e y x ax ay =++，令()2e mh m am =+，要存在两个不相等正实数,x y ，使得()()e e xya y x y x -=-+，即()2e mh m am =+不是正实数集上的单调函数，则()()e 2,0mh m am m '=+>，当0a ≥时，()e 20mh m am =+>'，此时()2e mh m am =+在()0,∞+单调递增,不满足；当a<0时，令()e 2mg m am =+，则()e 2mg m a ='+，令()e 20mg m a ='+=，则()ln 2m a =-，当()()0,ln 2m a ∈-时，()0g m '<，()e 2mg m am =+在()()0,ln 2a -单调递减，当()()ln 2,m a ∞∈-+时，()0g m '>，()e 2mg m am =+在()()ln 2,a ∞-+单调递增，要使()2e mh m am =+不是正实数集上的单调函数，则()()ln 20h a -<'，即()()ln 2e2ln 20a a a -+-<，解得e 2a <-.故答案为：e ,2∞⎛⎫--⎪⎝⎭.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,5AB BC AB BC ⊥==，12AA =，则该三棱柱外接球的表面积为__________；若点P 为线段AC 的中点，点Q 为线段1AC 上一动点，则平面BPQ 截三棱柱111ABC A B C -所得截面面积的最大值为__________.【答案】①.54π②.【解析】【分析】把直三棱柱111ABC A B C -可补充一个长方体，结合长方体的性质，求得外接球的半径，得到其表面积；连接PQ ，延长PQ 交11A C 于点E ，取11A C 的中点M ，连接1,B M PM ，在过点E 作1//EF B M ，证得截面四边形BPEF 为直角梯形，设ME x =，求得梯形BPEF 的面积为()S x =，设()22)(4),02f x x x x =-⋅+≤≤，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -中，,5AB BC AB BC ⊥==，12AA =，该直三棱柱111ABC A B C -可补充一个长方体，其中直三棱柱111ABC A B C -的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为5,5,2，可得对角线长为=，所以外接球的半径为2R =，则该三棱柱外接球的表面积为24π()54π2⨯=；如图所示，连接PQ ，并延长PQ 交11A C 于点E ，取11A C 的中点M ，连接1,B M PM ，则1B M BP =且1//B M BP ，在过点E 作1//EF B M ，可得//EF BP ，连接BF ，则四边形BPEF 即为过点,,B P Q 的截面，在ABC 中，因为AB BC =，且P 为AC 的中点，所以BP AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，所以1BP AA ⊥，因为1AC AA A =∩，且1,AC AA ⊂平面11ACC A ，所以BP ⊥平面11ACC A ，又因为PE ⊂平面11ACC A ，所以BP PE ⊥，所以四边形BPEF 为直角梯形，在ABC 中，由5AB BC ==且AB BC ⊥，可得AC =122BP AC ==，设ME x =，在直角PME △中，可得PE =，又由112C E C M ME x =-=-，可得12EF C E x ==-，所以直角梯形BPEF 的面积为()11()()2222S x BP EF PE x =+⨯=+-1)2x ==，其中5202x ≤≤，设()2252)(4),02f x x x x =⋅+≤≤，可得()()()()((22'22'[]4(4)42f x x xx x x x x ⎛⎫=⋅++-⋅+=--- ⎪ ⎪⎝⎭'，当2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又由()0200,216f f ==，可得()0f f <，所以当x =()f x 取得最大值，此时梯形的面积取得最大值S =.故答案为：【点睛】知识方法点拨：对于立体结合中的截面的探索性以及最值问题的求解策略：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.5、对于探索性问题的求解，可得建立函数关系，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.若ABC 的内角,,A B C 的对边分别为()2sin ,,,tan cos a b A a b c a C B-=.（1）求C ；（2）若3,a c ==ABC 的面积.【答案】17.π318.4或2【解析】【分析】（1）在三角形中，对已知条件进行“边化角”，化简后再利用两角和的正余公式，求出角C 的余弦值，从而求出角C 的大小；（2）由余弦定理求出b 的值，再由三角形面积公式求解即可．【小问1详解】(2)sin ,tan cos a b AABC a C B-= ，(2)sin sin ,(2sin sin )sin cos sin sin cos cos cos a b A a CA B A C A C BB C-∴=∴-=sin 0,2sin cos sin cos sin cos A A C B C C B ≠∴-= ，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，1π2cos 1,cos ,(0,π),23C C C C ∴==∈∴=．【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，22222π312cos ,,320,132326b b b b b b b+-+∴=∴=∴-+=∴=⨯⨯或2b =，所以ABC 面积为：11πsin 31sin 2234ab C =⨯⨯⨯=或11πsin 32sin 2232ab C =⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n m =+，且137,2,S S S -成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n a a b +=，求证：数列{}n b 的前n 项和59nT <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的定义，得到()23172S S S -=，解出0m =，得到2n S n =，进而算出数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法，结合等比数列的前n 项和公式算出n T 的表达式，进而证出不等式59n T <成立.【小问1详解】根据题意，可得()23172S S S -=，即()()()27149m m m +=++，解得0m =，所以2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11211a ==⨯-也符合，故21n a n =-.【小问2详解】证明：由（1）的结论，可得2212124n nnn n b --==，所以23135214444n nn T -=++++ ，两边都乘以14，得234111352144444n n n T +-=++++ ，以上两式相减，可得：2311311112111215221121444444444123414141824n n n n nn n n n T +---⎛-⎫⎛⎫=++++-⨯=+-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以565994n n n T +-⨯=，结合65094n n +>⨯，可知不等式59nT <成立.19.如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，平面VBD ⊥底面ABCD.（1）求证：AC VD ⊥；（2）若2VB =，且四棱锥V ABCD -的体积为2，求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）由平面VBD ⊥底面ABCD ，证明AC ⊥平面VBD ，可证得AC VD ⊥；（2）O 为AC 和BD 交点，证明VO ⊥底面ABCD ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.【小问1详解】平面VBD ⊥底面ABCD ，平面VBD 底面ABCD BD =，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ⊥，AC ⊂底面ABCD ，则有AC ⊥平面VBD ，又VD ⊂平面VBD ，所以AC VD ⊥.【小问2详解】底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，BAD 为等边三角形，2BD =，122sin 602ABD S =⨯⨯⨯=△，平面VBD ⊥底面ABCD ，平面VBD 底面ABCD BD =，过V 点作BD 的垂线，垂足为O ，则VO ⊥底面ABCD ，四棱锥V ABCD -的体积为2，则1122233ABD S VO VO ⨯⋅=⨯= ，解得VO =，则1BO ===，所以O 为BD 中点，即O 为AC 和BD 交点，AO OC ====以O 为原点，,,OA OB OV 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，)A，()0,1,0B ，()C ，(V ，()AB = ，(0,1,VB = ，(VC = ，设平面VAB 的一个法向量(),,n x y z = ，则有00AB n y VB n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则y =1z =，即()n =，cos ,5VC n VC n VC n⋅===-，所以直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值为105.20.某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为21,32.（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数()4n n ≥为多少时，对该小组更有利？【答案】（1）2027（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据好投手的定义，利用独立重复试验的概率求解；（2）先求得甲、乙同学都获得好投手的概率，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，由10,27X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据3X =时，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的概率最大求解.【小问1详解】解：设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A ，则()233322222222122220C 1+C 3+133333333333327P A ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；【小问2详解】设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B ，则()23331111111111111C 1+C 3+12222222222222P B ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，甲、乙同学都获得好投手的概率为：2011027227P =⨯=，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，则10,27X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，且()33310103C 12727n n P X -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3331=1010C 2727n n f n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()11f n f n f n f n ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩，则3332331333433110101010C 1C 12727272710101010C 1C 127272727n n n n n n n n --+---⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即()17212717327n n n n ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，即7.18.1n n ≥⎧⎨≤⎩，又*N n ∈，则8n =，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利.21.已知函数()()2ln 1(1)1ax x f x x a x +=+-<+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：()*111ln2122n n n n +++<∈++N .【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）对()f x 求导可得()()()22121ax a xf x x -+-'=+，再对参数a 进行分类讨论即可讨论出函数()f x 的单调性；（2）易知当0a =时，满足()ln 11x x x +≥+，再利用对数运算性质以及累加法即可得出证明；【小问1详解】易知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()2222211121111ax x ax x ax a x f x x x x ++-+-+-'=-=+++，当0a =时，()()21xf x x '=+，易知()1,0x ∈-时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，此时()f x 单调递增；即()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；当0a ≠时，令()()21212a g x ax a x ax x a -⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，易知当01a <<时，()12110a a a a ----=>，当102a <<时，120a a ->，()f x 在()1,0-上单调递减，在120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当112a <<时，1210a a --<<，()f x 在21,1a a ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减，在12,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,∞+单调递减；当12a =时，()2012g x x =-≤，所以()f x 在()1,-+∞单调递减；当a<0时，()12110a a a a ----=<，所以()f x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增；综上可知，当0a ≤时，()f x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增；当102a <<时，()f x 在()1,0-上单调递减，在120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当12a =时，()f x 在()1,-+∞单调递减；当112a <<时，()f x 在21,1a a ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减，在12,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,∞+单调递减；【小问2详解】由（1）可知当0a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()ln 11x x x +≥+（当且仅当0x =时等号成立），令1x n =可得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，即()1<ln 1ln 1n n n +-+；()()1<ln 2ln 12n n n +-++，⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()1<ln ln 21n n n n n+--+，累加可得111ln 2ln ln2122n n n n n+++<-=++ .【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用（1）中结论，由()1<ln 1ln 1n n n +-+根据累加法即可求得结论.22.已知P 为曲线22:1(1)4x y C n n+=>上任意一点，直线,PM PN 与圆221x y +=相切，且分别与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）若OP OM ⋅为定值，求n 的值，并说明理由；（2）若43n =，求PMN 面积的取值范围.【答案】（1）4n =或43n =;（2）2,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切，以及韦达定理表示出1212O x x y y P OM +⋅= ，进而求出n 的值（2）判读出,,M O N 三点共线，利用（1）问表示出2PMN PMO S S PM r PM ==⋅= ，借助弦长公式，进行换元转化为二次函数求最值即可.【小问1详解】由题意设()()1122,,,P x y M x y ，当直线PM 的斜率不为0时，直线PM ：x my t =+，因为直线与圆相切，所以1d ==，即221m t +=，联立2214x my t x y n =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()2224240m n y mnty nt n +++-=，所以()()()222212122224Δ24440,,,44mnt nt n mnt m n nt n y y y y m n m n --=-+->+=⋅=++()()()2222121212122444t m n x x my t my t m y y mt y y t m n -=++=+++=+，所以()22121224444m n n t n OP OM x x y y m n -++-⋅=+=+ ，因为221m t +=，所以()()21212243434n m n x x y y nm -+-+=+，要使OP OM ⋅ 为定值，则43434n n n --=，所以4n =或43n =，当直线PM 的斜率为0时，因为直线与圆相切，所以1d t ==，即1y =±，不妨取1y =，联立22114y x y n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2440x n +-=,所以1244x x n =-所以121243x x y y n +=-+，也符合上式.【小问2详解】当43n =时，由（1）可知0OP OM ⋅= ，OP OM ⊥，同理OP ON ⊥,即,,M O N 三点共线，所以2PMN PMO S S PM r PM ==⋅= ，当直线PM 的斜率不为0时，由（1）可知：212122224,,34mt t y y y y m m --+=⋅=++所以23PMN S PM m ===+ ，因为221m t +=，所以23PMN S m ==+ ，令233m k +=≥，所以PMN S k === ，所以当3k =时，PMN S △有最小值为2；当6k =时，PMN S △有最小值为3；当直线PM 的斜率为0时，由（1）可知：2PMN S PM == .综上:PMN 面积的取值范围2,3⎡⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。
山东省烟台市高三上学期期末考试数学(文)试题.pdf
[解析] 图表题解题分三个步骤：一是明确题干要求；二是寻求表格规律；三是准确归纳表述。
[答案] (1)北京市人均水资源量远远低于国际人均极度缺水标准，甚至还低于国际人均危及人类生存的灾难性标准。
(2)北京水资源极度匮乏。
7．[2012·株洲] 阅读下面材料，回答问题。
下表是2012年4月19日中国新闻出版研究院公布的第九次全国国民阅读调查结果。
时间阅读率 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 传统报刊阅读率 58.4% 50.1% 46.9% 45.6% 41.3% 数字媒介阅读率 9.1% 24.5% 24.7% 32.8% 38.6% (注：“阅读率”指有经常阅读行为的国民在全体国民中所占的比例。
“数字媒介阅读”是指网络在线阅读、手机阅读、电子阅读器阅读、光盘读取等阅读方式。
) (1)根据上表，你得出的结论是： ________________________________________________________________________ (2)结合生活实际，简要分析产生这一结论的原因。
______________________________________________________________________ [解析] 图表题解题分三个步骤：一是明确题干要求；二是寻求表格规律；三是准确归纳表述。
[答案] (1)北京市人均水资源量远远低于国际人均极度缺水标准，甚至还低于国际人均危及人类生存的灾难性标准。
(2)北京水资源极度匮乏。
专题10 综合性学习 重难清单1．要善于从生活中学习语文知识。
2．要善于将语文知识运用到学习、生活中去。
考点自主梳理 常见题型 1．单一式 (1)语言创作类： ①编拟欣赏广告、宣传语；②对联知识及创作赏析；③心愿表述；④主题访谈；⑤话题辩论；⑥景点介绍。
(2)材料整理类：①语段压缩；②材料的整合与探究。
山东省烟台市高三上学期期末统考试题(8科9份,扫描版)(山东省烟台市高三上学期期末统考数学(文)试题
2015年高三练习参考答案数学（文）一．选择题DCADA DDBDB二．填空题11. 8 12. 13. 14. 2 15. ①②④三．解答题16. 解：（1）因的图象上相邻两条对称轴的距离为，所以的最小正周期，从而……………………2分又因的图象一个对称中心为，所以，，，因， 所以.……………………………….………5分所以()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………………………….……………6分 （2）由（1）得2226f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.………………………………………….………7分由得，所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭…………9分 因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142=………………12分 17. 解：（1）由10103020102(21)0S S S -++=得，10302020102()S S S S -=-， 设等比数列的公比为，可得10101112201112202()q a a a a a a +++=+++，因为，所以，解得，所以.………………………………………………………6分(2) 因为是首项，公比的等比数列，故11(1)12211212n n n S -==--，…………………………………………8分 ，则数列的前项和212(12)()222n n n T n =+++-+++， 2311121(12)()222222n n n T n n n +-=+++-++++， 两式相减，得 211111(12)()222222n n n T n n +=+++-++++ 111(1)(1)224212n n n n n +-+=-+-， 即1(1)12222n n n n n n T -+=++-.…………………………………………12分18.（1）面均为正方形,,平面平面∥平面 ……2分平面，三棱柱，，是中点，，1111111,,CC B C C CC B C ∴⋂=⊂平面平面 ……5分（2）连接交于点，连接，四边形为正方形，点为中点，为中点，为中位线，∥,面，面，∥平面， ……8分(3)由（1）平面为三棱柱的高 ……9分，是中点，11111211111122224A C D A B C ABC S S S ∆∆∆===⨯⨯=…10分 11111111111133412C A CD C A C D A C D V V S CC --∆==⋅=⨯⨯=， 即三棱锥的体积. ……12分19.解：（1）依题意知货车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为25005005000.015ay a v v v v v=⋅+⋅=+，定义域为. ………4分 (2) 令则()(2222551005005x x x a a u x x x+--'=-==, 依题意知，都是正数，当，在单调递减；当，在单调递增. …………8分①若，得，时，全程运输成本最小；②若，得，即时，全程运输成本最小.综上，为了使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为千米/小时；当时，行驶速度应为千米/小时. ……………12分20.解：（1）令点坐标为，则直线的斜率，直线的斜率，所以有21223y y y k k m x x x-===， 化简得，)0(13322≠=+-x y x m . ……………………………2分 所以当时，表示以为圆心，为半径的圆，且除去两点；当时，轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；当时，轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；当时，轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点.…6分(2)由题意知当时曲线C 为, ………………7分当直线的斜率不存在时，不符合题意. …………………8分 设直线的方程为，代入椭圆方程整理得22(34)880k x kx ++-=.设,由得，.由韦达定理得,， ………………10分所以，，消去，解得，所以直线的方程为. ……………13分21.解：（1）显然过定点， ………………1分关于的对称点为（1，0）， ……………2分由题知，，解得. ………3分（2）2()2(4)8ln F x mx m x x =+++，定义域为， ………………4分()()x m mx x F 8282+++='22(82)8mx m x x+++=. ∵，则，∴当时，，所以，此时在上递增，当时，由得，，此时在上为增，由得，，此时在为减，综上当时，在上为增函数，时，在上为增函数，在为减函数. ………8分（3）由条件（1）知32, 2()ln(1), 2x x x G x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩. ………………9分 假设上存在两点、满足题意，则、两点只能在轴两侧，设则，因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，即. …………10分①当时，所以23232()()0,t t t t t -+-++=化简得.此方程无解，满足条件的、两点不存在. ………………11分 ②当时，，所以232ln(1)()0,t a t t t -+-+=即设()(1)ln(1)(1),h t t t t =+->则显然当时即在(2，+∞)为增函数，∴的值域为即(0，+∞)∴当时方程总有解.综上若存在、两点满足题意，则的取值范围是(0，+∞). …………14分。
山东省烟台市2020届高三上学期期末考试试题(含答案)
山东省烟台市2020届高三上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。
1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=√x},则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-1}D. {x|x≥0}2.“∀x∈R,x2-x+1>0”的否定是（）A.∀x∈R,x2-x+1≤0B.∃x∈R, x2-x+1<0C.∀x∈R, x2-x+1<0D. ∃x∈R, x2-x+1≤03.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，则其渐近线方程为（）A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=(13)−0.5,则a,b,c的大小关系为（）A.a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（）A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sin x的部分图象可能是（）7.若x=α时，函数f(x)=3sin x+4cos x取得最小值，则sinα=（）A. 35B. −35C. 45D. −458.函数f(x)={2log2x ,x≥1f(x+1) ,x<1,若方程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市高三数学上学期期末考试试题 理
高三期末自主练习数 学（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集,{|(3)0},{|1}U R M x x x N x x ==+<=<-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|30}x x -<<B ．{|1}x x ≥-C ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤<2、在递减等差数列{}n a 中，若150a a +=，则n S 取最大值是n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2或33、右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π4、设01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ）A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a > D ．lg()0b a -< 5、设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭ 其中正确的命题是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6、在ABC ∆中，若,B C ∠∠的对边分别为,,45,b c B c ∠==b =则C ∠（ ） A ．30 B ．60 C ．120 D ．60或1207、函数ln x xy x =的图象可能是（ ）8、若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=9、若点P 是函数113()22x x y e ex x -=---≤≤图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角α，则α的最小值是（ ）A ．56πB ．34πC ．4πD ．6π 10、已知直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，交抛物线,A B 两点，且点,A B 到y 轴的距离相等,m n ，则2m n ++的最大值为（ ）A ．．．4 D ．611、如图，O 为线段02013A A 外一点，若01232013,,,,,A A A A A Hong 任意相邻两点的距离相等，0OA a =，2013OA b =，用,a b 表示0232013OA OA OA OA +++其结果为（ ）A ．1006()a b +B ．1007()a b +C ．2012()a b +D ．2014()a b + 12、定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()(,g x kx b k b =+为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，现有如下命题：①对给定的函数()f x ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②函数()2g x x =为函数()2xf x =的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数。
山东省烟台市2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含答案
2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。
超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。
1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=√x},则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“∀x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.∀x∈R, X2-X+1≤0B. ∃x∈R, x2-x+1<0C. ∀x∈R, x2-x+l<0D. ∃x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，则其渐近线方程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=(13)−0.5,则a,b,c的大小关系为A.a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最小值，则sinα=A. 35 B. −35C. 45D. −458.函数f(x)={2log2x ,x≥1f(x+1) ,x<1,若方程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
山东省烟台市2020-2021学年高三上学期期末数学试题注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}04P x x =<<，(){}lg 3Q x y x ==-，则P Q ⋂=（ ） A.{}34x x ≤< B.{}34x x << C. {}03x x << D.{}03x x <≤2.已知命题:p x R ∀∈，0x x +≥，则p ⌝为（ ）A.0x ∃∈R ，000x x +≤B. 0x ∃∈R ，000x x +<C.x ∀∈R ，0x x +≤D.x ∀∈R ，0x x +<3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若952S =，422S =，则7a =（ ）A.4B.5C.6D.74.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品.如图所示，现有棱长为2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm 2）A.12+B.16+C.12+D.16+5.若3cos28sin 5αα=-，则tan α=（ ）A.5-B.5C.3±D.5±6.右图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O 为圆心，以为半径，B 为公园入口，道路AB 为东西方向，道路AC 经过点O 且向正北方向延伸，10OA m =，100AB m =，现计划从B 处起修一条新路与道路AC 相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m ）（ ）A. B. C. D.7如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA ==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（ ）B. C.4 D.无法确定8.已知函数()cos ,0,0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()0f x f x +-=有n 个不同的实根，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，…，n x ，则下列说法错误．．的是（ ） A.1230n x x x x ++++=… B.当1n =时，1k π<-C.当3n =且0k <时，331tan x x =-D.当12x π>时，3n = 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，则（ ） A.sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是函数()f x 的一个解析式 B.直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴 C.函数()f x 是周期为π的奇函数D.函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 10.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F且斜率为的直线交抛物线C 于A 、B 两点，其中A 在第一象限，若3AF =，则（ ）A.1p =B.32BF = C.以AF 为直径的圆与y 轴相切 D.3OA OB ⋅=- 11.已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（ ）A.若2a b +=，则lg lg 0a b +≤B.若20ab a b --=，则29a b +≥C.若2a b +=，则112a b ab +-≥D.若111123a b +=++，则14ab a b ++≥+12已知函数()()e 1x f x x =+，()()1ln g x x x =+，则（ ）A.函数()f x 在R 上无极值点B.函数()g x 在()0,+∞上存在唯一极值点C.若对任意0x >，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则实数a 的最大值为2e D.若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1t x x +的最大值为1e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若122AB F F =，则C 的离心率为 .14已知数列{}n a 满足12a =，()*,N m n m n a a a m n ++=∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则数列[]{}2log n a 的前10项和为 .15.测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，如图所示，已知该建筑物CP 垂直于水平面，水平面上两点A ，B 的距离为200m ，60PAB ∠=︒，45PBA ∠=︒，30PAC ∠=︒，则该建筑物CP 的高度为 （单位：m ）.16.一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式()233V R h h π=-，其中R 为球的半径，h的正四面体的各棱均相切，则该球的半径为 ，该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺（小于半球）的体积为 .（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）cos sin 2A C b A +=，②cos sin a b CB =，③()()22222cos a c a b c abcC --+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2b =， ，求ac 的最大值. 注：如果选择多个条件分解答，按第一个解答计分.18.（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，11a =，2139S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点.（1）证明：平面MND ⊥平面PBC ；（2）当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由.20.（12分）在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O ，飞机降落曲线大致为32y ax bx =+，其中x （单位：m ）表示飞机距离着陆点的水平距离，y （单位：m ）表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时的竖直高度为4500m ，距离着陆点的水平距离为0x ，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲绯与平方向的有线相切.（1）用x 分别表示a 和b ：（2）若飞机开始降落时的水平速度150m/s ，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度()y t ''（即y 关于降落时间t （单位：s ）的导函数()y t '的导数）的绝对值不超过1m/s 2，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离0x 的最小值.21.（12分） 已知椭圆()2222:1x y C a b a b +=>>0的离心率为12，1F ，2F 为椭圆C 的左，右焦点，过1F 斜率不为零的直线1l 交椭圆于P ，Q 两点，2F PQ △的周长为8.（1）求椭圆C 的方程（2）设A 为椭圆C 的右顶点，直线AP ，AQ 分别交直线2:4l x =-于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由.22.（12分）已知函数()1xf x e ax =--（a ∈R ，e 为自然对数的底数） （1）若()f x 在定义域内有唯一零点，求a 的取值范围；（2）若()2xf x x e ≤在[)0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案及评分标准一、单项选择题B BC AD A B D二、多项选择题9.BD 10.BCD 11.ACD 12.AD三、填空题1 14.29 15.)1001 四、解答题17.sinsin sin 2B A B A =，即2sin cos 222B B B =.化简得cos22B =，因为()0,B π∈，所以26B π=，3B π=. 又2221cos 22a b c B ac +-==， 所以2242a c ac ac +=+≥，当且仅当a c =时取等号，故4ac ≤，即ac 的最大值为 4.若选②：由已知得sin sin cos sin A B C C B =+，()sin sin cos sin B C B C C B +=，sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=+，化简得cos B B =，即tan B =，因为()0,B π∈，所以6B π=.由222cos 2a b c B ac +-==可得2242a c ac -=+≥，当且仅当a c =时取等号，故8ac ≤+，即ac的最大值为8+若选③：由已知()22cos 2cos a c ac B abc C -⋅=，即()2cos cos a c B b C -=，又()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=. 所以1cos 2B =，因为()0,B π∈，所以3B π=. 由2221cos 22a cb B ac +-==， 得2242a c ac ac +=+≥，当且仅当a c =时取等号，故4ac ≤，即ac 的最大值为4.18.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，于是()223113119S a q q q q =++=++=， 解得13q =或43q =-， 因为0q >，所以13q =， 所以113n n a -=. （2）由（1）可得，1213n n n b -+=， 22157212133333n n n n n T ---+=+++++， 21135212133333n n n n n T --+=++++， 两式相减可得，21222221333333n n n n T -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 22213331313n n n -+=+--1121433n nn -+=--， 所以1263n n n T -+=-. 19.解：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，又DM ⊂平面PCD ，所以DM BC ⊥，因为在PDC △中，PD AD =，M 为PC 的中点，所以DM PC ⊥，又PC BC C ⋂=，所以DM ⊥平面PBC ，又DM ⊂平面DMN ，所以平面MND ⊥平面PBC ；（2）设1PD =，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，设(),1,0N λ，则()1,0,1AP =-，()0,1,0AB =，(),1,0DN λ=，110,,22DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()111,,m x y z =为平面PAB 的一个法向量，则有00m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，可得()1,0,1m =， 设()2,,x x n x y z =为平面MND 的一个法向量，则有00n DN n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222011022x y y z λ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x -，可得；()1,,n λλ=-， 因为平面MND 与平面PAB 夹角为30︒，所以m nm n ⋅=，.2=12λ=，故N为线段BC的中点.20.解：（1）设()32f x ax bx=+.则()232f x ax bx'=+，由题意可知，()()4500f xf x=⎧⎪⎨'=⎪⎩，即32002004500320ax bxax bx⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得39000ax=-，213500bx=.（2）由（1）可知，323200900013500()f x x xx x=-+，[]00,x x∈，设飞机降落时间为t，则0150x x t=-，则()()()32003200900013500150150y t x t x tx x=--+-，00,150xt⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()23607500000150y t t x tx=-'，()()()()03607500000300y t y t t xx''==-''，00,150xt⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当0t=或0150x时，()y t''取最大值2607500000x，故26075000001x≤，可得x≥所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米. 21.解：由题意48a=，2a=，因为12ca=，所以1c=，而222a b c=+，所以b=故椭圆的方程为：22143x y+=，（2）由（1）知()11,0F -，设1l 的方程为：1x ty =-，代入22143x y +=得： ()2234690t y ty +--=，设()11,P x y ，()22,x y ，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+， 因为111x ty =-，所以111123AP y y k x ty ==--， 所以直线AP 的方程为：()1123y y x ty =--， 令4x =-，得1163M y y ty -=-， 所以1164,3y M ty ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭， 同理可得2264,3y N ty ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭， 若以MN 为直径的圆过长轴上定点H ，则0MH NH ⋅=，设()(),022H m m -≤≤，则1164,3y MH m ty ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，1264,3y NH m ty ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭， 于是()()()21212364033y y m ty ty ++=--对任意实数t 恒成立， 所以()()21221212364039y y m t y y t y y ++=-++， 而()21222121222936363499639393434y y t t t y y t y y t t t t -⨯+==---++⨯-⨯+++ 所以()249m +=，解得1m =-或7m =-，因为22m -≤≤，所以1m =-.22.解：（1）()xf x e a '=-，当0a ≤，()00f '>，()f x 在R 上单调递增，又()1110f a e -=-+<，()110f e a =-->，由零点存在定理知，函数()f x 在R 上有唯一零点，符合题意.当0a >，令()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞，()f x '<0，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()()ln min ln ln 1ln 1a f x f a e a a a a a ==--=--.设()()ln 10g a a a a a =-->，则()()1ln 1ln g a a a +'=-=-，当01a <<时，()0g a '>，()g a 单调递增，当1a >时，()0g a '<，()g a 单调递减，所以()()max 10g a g ==，故1a =，综上，实数a 的取值范围为{}01a a a ≤=或.（2）()2e x f x x ≤对[)0,x ∈+∞恒成立，即()211x x e ax -≤+对[)0,x ∈+∞恒成立， 记()()()()21e 11e x x h x x x x =-=+-，当1a ≥时，设函数()()1x m x x e =-，则()0x m x xe '=-≤，因此()m x 在[)0,+∞单调递减， 又()01m =，故()1m x ≤ ，所以()()()111h x x m x x ax =+≤+≤+；当01a <<时，设函数()1x n x e x =--，则()10xn x e ='-≥，所以()n x 在[)0,+∞单调递减， 且()00n =，故1x e x ≥+.当01x <<时，()()()211h x x x >-+，()()()221111x x ax x a x x -+--=---，取02x =，则()00,1x ，()()20001110x x ax -+--=，故()001h x ax >+，当0a ≤，取012x =，则()00,1x ∈，()()()200001111h x x x ax >-+=≥+.1,+∞. 综上，a的取值范围为[)。
2020届山东省烟台市高三上学期期末考试数学试题(PDF版)
2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1. 本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2. 答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3. 使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。
超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。
1. 己知集合A={X|X2-X-2≤0}, B={x|y= ,则A∪B=A. {x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2. “x∈R,x2-x+l>0”的否定是A. x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03. 若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c= ,则a,b,c的大小关系为A.a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246. 函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最小值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若方程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市高三上学期期末数学试卷(理科)
山东省烟台市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数（）A . iB . -iC .D .2. （2分）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，则＝（）A . {2,4,6}B . {4,6}C . {1,3,5}D . {1,2,3,4,5,6}3. （2分）(2018·延边模拟) 设等差数列的前项和为，若，则A .B .C .D .4. （2分）(2020·平邑模拟) 若，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·榆林模拟) 将一张边长为12cm的正方形纸片按如图（1）所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图（2）所示放置．如果正四棱锥的主视图是等边三角形，如图（3）所示，则正四棱锥的体积是（）A . cm3B . cm3C . cm3D . cm36. （2分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线，使与直线AD1所成的角为30°，且与平面C1D1C所成的角为60°，则这样的直线的条数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2019高二上·宁都月考) 已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）A .B .C .D . 38. （2分） (2020高二下·温州期中) 设函数，若关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)（ g ）范围内的概率是（）A . 0.62B . 0.38C . 0.02D . 0.6810. （2分） (2017·广西模拟) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B=（）A . 15B . 29C . 31D . 6311. （2分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率e=，则该椭圆的标准程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·江苏月考) 已知函数，对于任意的，都有，设，，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·东莞月考) 在的展开式中，项的系数为________.14. （1分） (2019高三上·黄山月考) 已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为________．15. （1分）(2017·广东模拟) 已知向量，满足| |=2| |=2，且（ +3 ）⊥（﹣），则，夹角的余弦值为________．16. （1分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2016高一下·海珠期末) 已知向量 =（，cos ）， =（cos ，1），且f（x）= • ．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．18. （10分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2 ，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）异面直线PD与AC所成的角．19. （10分） (2018高二下·柳州月考) “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．（1）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；（2）用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随杌变量的分布列及数学期望．20. （5分） (2018高二上·集宁月考) 已知双曲线方程为，问：是否存在过点M(1，1)的直线l ，使得直线与双曲线交于P ， Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．21. （15分）(2017·腾冲模拟) 已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0 ，使得当x∈（x0 ，+∞）时，恒有x＜cex ．22. （5分）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．23. （5分）求直线l1：（t为参数）与直线l2：2x﹣4y=5的交点B的坐标，及点B与A（1，2）的距离．．24. （10分）(2017·包头模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a≤2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、24-1、24-2、。
2023-2024学年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则∁U （M ∪N ）＝（ ） A ．{x |x ≥3}B ．{x |x ＞3}C ．{x |x ≤﹣1或x ≥0}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞0}2．“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ＞b ＞0，c ＞0且c ≠1，则（ ） A ．a b ＜a+cb+cB ．c a ＞cbC ．c a ＞c bD ．a c ＞b c4．已知|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则向量a →与b →夹角的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）A ．25B ．35C ．38D ．310 6．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时，f(x)={lnx +1，0＜x ≤12−x ，x ＞1，则方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且满足3AF →=FB →，则双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．√62C ．2D ．√68．已知函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x﹣2，若∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为（）A．﹣e B．﹣1C．−1e D．−1e2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则数据x1，x2，⋯，x n，x（）A．与原数据的极差相同B．与原数据的中位数相同C．与原数据的方差相同D．与原数据的平均数相同10．将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=5π6对称C．f（x）在(−π4，0)上单调递增D．当x∈[0，π4]时，f（x）的最小值为1211．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝4，P为棱CC1上一点，则（）A．不存在点P，使得直线BP∥平面AB1D1B．当点P与C1重合时，直线CC1⊥平面BPDC．当P为CC1中点时，直线BP与AD所成角的余弦值为7√13 26D．当P为CC1中点时，三棱锥A﹣A1B1D1与三棱锥P﹣BCD的体积之比为1：212．我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美．”图形美是数学美的重要方面．如图，由抛物线y2＝2px（p＞0）分别逆时针旋转90°、180°、270°可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A．开口向下的抛物线的方程为x2＝﹣2pyB．若|AB|＝8，则p＝2C．设p＝1，则t＝1时，直线x＝t截第一象限花瓣的弦长最大D．无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x﹣3）（2x+1）5的展开式中x3的系数为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25且a8＝15，则a1的值为．15．若存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），则实数a的取值范围为．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，则该三棱柱外接球的表面积为；若点P为线段AC的中点，点Q为线段AC1上一动点，则平面BPQ截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2a−b)sinAcosB=atanC．（1）求C；（2）若a=3，c=√7，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+m，且S1，S3﹣2，S7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2a n+1，求证：数列{b n}的前n项和T n＜59．19．（12分）如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，平面VBD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥VD；（2）若VB＝2，且四棱锥V﹣ABCD的体积为2，求直线VC与平面VAB所成角的正弦值．20．（12分）某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行．每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”．假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响．若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为23，12．（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n （n ≥4）为多少时，对该小组更有利？ 21．（12分）已知函数f(x)=ln(x +1)−ax 2+xx+1(a ＜1)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证：1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2(n ∈N ∗)．22．（12分）已知P 为曲线C ：x 24+y 2n=1(n ＞1)上任意一点，直线PM ，PN 与圆x 2+y 2＝1相切，且分别与C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点．（1）若OP →⋅OM →为定值，求n 的值，并说明理由； （2）若n =43，求△PMN 面积的取值范围．2023-2024学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则∁U （M ∪N ）＝（ ） A ．{x |x ≥3}B ．{x |x ＞3}C ．{x |x ≤﹣1或x ≥0}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞0}解：已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}， 则M ∪N ＝{x |x ＜3}，则∁U （M ∪N ）＝{x |x ≥3}． 故选：A ．2．“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”则sinθ1=12cosθ≠−11，解得sinθcosθ=12，即sin2θ＝1且cos θ≠−12，即θ=π4+kπ，k ∈Z ，故“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的必要不充分条件．故选：B ．3．已知a ＞b ＞0，c ＞0且c ≠1，则（ ） A ．a b ＜a+c b+cB ．c a ＞cbC ．c a ＞c bD ．a c ＞b c解：对于A ，不妨设a ＝4，b ＝3，c ＝2，则a b ＞a+cb+c ，故A 错误；对于B ，a ＞b ＞0，c ＞0，则1a ＜1b ，故c a ＜cb ，故B 错误；对于C ，设c =12，a ＝4，b ＝2，则c a ＜c b ，故C 错误；对于D ，y ＝x c （c ＞0且c ≠1），当a ＞b ＞0时，a c ＞b c ，故D 正确． 故选：D ．4．已知|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则向量a →与b →夹角的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则a →2−2a →⋅b →−3b →2=−3， 设向量a →与b →夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，则1﹣2×1×1×cos θ﹣3＝﹣3，解得cos θ=12，故θ=π3．故选：B ．5．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）A ．25B ．35C ．38D ．310 解：根据题意，由4根算筹表示的两位数有13、17、22、26、31、40，62、66、71、80，共10个， 其中为质数的有13、17、31和71，则取到的数字为质数的概率为410=25． 故选：A ．6．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时，f(x)={lnx +1，0＜x ≤12−x ，x ＞1，则方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 解：∵f （x ）为定义在R 上的奇函数，∴函数f （x ）的图象关于原点对称， 画出函数f （x ）的图象，如图所示：方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数，等价于函数y ＝f （x ）与y ＝1的图象的交点个数，由图象可知，y ＝1与函数y ＝f （x ）的图象有3个交点， 即方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为3个． 故选：C ． 7．已知F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且满足3AF →=FB →，则双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．√62C ．2D ．√6解：由题意知F （c ，0），设渐近线方程为y =ba x ，则F 到渐近线的距离d =bc√a 2+b =b ，所以|AF →|＝b ，则|BF →|＝3b ，在△AFO 中，|OA →|＝a ，|OF →|＝c ，tan ∠FOA =ba，∵∠AOB ＝2∠FOA∴tan ∠AOB =4b a =2×b a 1−(b a)2，解得a 2＝2b 2，∴e =√1+b 2a 2=√62， 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝e x +x ﹣2，g （x ）＝lnx +x ﹣2，若∃x 1∈R ，x 2＞0，使得f （x 1）＝g （x 2），则x 1x 2的最小值为（ ） A ．﹣eB ．﹣1C ．−1eD ．−1e 2解：∵∃x 1∈R ，x 2＞0，使得f （x 1）＝g （x 2），∴e x 1+x 1﹣2＝lnx 2+x 2﹣2，即e x 1+x 1＝lnx 2+x 2=e lnx 2+lnx 2， 令h （x ）＝e x +x ，x ∈R ，则h ′（x ）＝e x +1＞0， ∴函数h （x ）在R 上单调递增， ∴x 1＝lnx 2，即x 2=e x 1， ∴x 1x 2＝x 1•e x 1， 令u （x ）＝xe x ，x ∈R ， 则u ′（x ）＝（x +1）e x ，可得x＝﹣1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（﹣1）=−1 e ．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则数据x1，x2，⋯，x n，x（）A．与原数据的极差相同B．与原数据的中位数相同C．与原数据的方差相同D．与原数据的平均数相同解：根据题意，样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则x=1n（x1+x2+⋯+x n），其方差S2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+（x3−x）2+……+（x n−x）2]，对于数据x1，x2，⋯，x n，x，其平均数x′=1n+1（x1+x2+⋯+x n+x）=1n+1（n x+x）=x，其方差S′2=1n+1[（x1−x）2+（x2−x）2+（x3−x）2+……+（x n−x）2+（x−x）2]，两组数据的平均数相同，方差不同；由极差的定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，对于中位数，两组数据的中位数不一定相同．故选：AD．10．将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=5π6对称C．f（x）在(−π4，0)上单调递增D．当x∈[0，π4]时，f（x）的最小值为12解：根据将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，可得把y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，可得函数f（x）＝sin（2x+π3）的图象．可得f（x）的最小正周期为2π2=π，故A正确．令x=5π6，求得f（x）＝0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=5π6对称，故B错误．在(−π4，0)上，2x+π3∈（−π6，π3），f（x）单调递增，故C正确．当x∈[0，π4]时，2x+π3∈[π3，5π6]，故当2x+π3=5π6时，f（x）取得最小值为12，故D正确．故选：ACD．11．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝4，P为棱CC1上一点，则（）A ．不存在点P ，使得直线BP ∥平面AB 1D 1B ．当点P 与C 1重合时，直线CC 1⊥平面BPDC ．当P 为CC 1中点时，直线BP 与AD 所成角的余弦值为7√1326D ．当P 为CC 1中点时，三棱锥A ﹣A 1B 1D 1与三棱锥P ﹣BCD 的体积之比为1：2 解：连接AC 交BD 于O ，因为正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，所以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z 轴建立如图所示坐标系，设点A 1在底面投影为E ，则AE =OA −OE =√2，A 1E =√AA 12−AE 2=√2，即正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的高为√2，则A(2√2，0，0)，B(0，2√2，0)，C(−2√2，0，0)，B 1(0，√2，√2)，C 1(−√2，0，√2)，D 1(0，−√2，√2)，所以AB 1→=(−2√2，√2，√2)，AD 1→=(−2√2，−√2，√2)，CC 1→=(√2，0，√2)，BC →=(−2√2，−2√2，0)，因为P 为棱CC 1上一点，所以CP →=λCC 1→=(√2λ，0，√2λ)(0≤λ≤1)， 所以BP →=BC →+CP →=(−2√2+√2λ，−2√2，√2λ)， 设平面AB 1D 1 的法向量n →=(x 1，y 1，z 1)，则{AB 1→⋅n →=−2√2x 1+√2y 1+√2z 1=0AD 1→⋅n →=−2√2x 1−√2y 1+√2z 1=0，令x 1＝1可得平面AB 1D 1 的一个法向量为n →=(1，0，2)， 令n →⋅BP →=−2√2+√2λ+2√2λ=0，解得λ=23，故存在点P ，使得直线BP ∥平面AB 1D 1，A 说法错误； 当点P 与C 1重合时即P(−√2，0，√2)，D(0，−2√2，0)， BP →=(−√2，−2√2，√2)，BD →=(0，−4√2，0)， 设平面BPD 的法向量m →=(x 2，y 2，z 2)，则{BP →⋅m →=−√2x 2−2√2y 2+2√2z 2=0BD →⋅m →=−4√2y 2=0，令x 2＝1可得平面BPD 的一个法向量为m →=(1，0，1)，因为CC 1→=√2m →，所以当点P 与C 1重合时，直线CC 1⊥平面BPD ，B 说法正确；当P 为CC 1中点时，即BP →=(−3√22，−2√2，√22)，AD →=(−2√2，−2√2，0)，所以cos〈BP →，AD →〉=BP →⋅AD →|BP →||AD →|=6+813×4=7√1326，所以直线BP 与AD 所成角的余弦值为|cos〈BP →，AD →〉|=7√1326，C 说法正确； 设正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的高为h ，当P 为CC 1中点时， 三棱锥A ﹣A 1B 1D 1的体积V 1=13S △A 1B 2D 1ℎ=13×12×2×2×√2=2√23，三棱锥P ﹣BCD 的体积V 2=13S △BCD ℎ2=13×12×4×4×√22=4√23，所以三棱锥A ﹣A 1B 1D 1与三棱锥P ﹣BCD 的体积之比为1：2，D 说法正确． 故选：BCD ．12．我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美．”图形美是数学美的重要方面．如图，由抛物线y 2＝2px （p ＞0）分别逆时针旋转90°、180°、270°可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（ ）A ．开口向下的抛物线的方程为x 2＝﹣2pyB ．若|AB |＝8，则p ＝2C．设p＝1，则t＝1时，直线x＝t截第一象限花瓣的弦长最大D．无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值解：对于A，4条抛物线形状一样，开口向右的抛物线方程y2＝2px，所以开口向下的抛物线的方程为x2＝﹣2py，故A正确；对于B，A，B关于x轴对称，|AB|＝8，所以y A＝4，点A在抛物线y2＝2px上，所以x A=8p，即A（8p，4），又点A在抛物线x2＝2py上，所以64p2=8p，解得p＝2，故B正确；对于C，p＝1，抛物线y2＝2x与x2＝2y的交点A（2，2），所以直线x＝t，（0＜t＜2），截第一象限花瓣的弦长可表示为y=√2t−t22，y′=√22×t−12−t，令y′＝0，解得t=√123，当0＜x＜√1 23，y′＞0，当√1 23＜x＜2，y′＜0，所以函数y=√2t−t22在（0，√123）上单调递增，在（√123，2）单调递减，所以当x=√1 23时，y取最大值，故C错误；对于D，B为抛物线y2＝2px与x2＝﹣2py的交点，由{y2=2pxx2=−2py，得{x=2py=−2p，即B（2p，﹣2p），过B与第二象限两抛物线y2＝﹣2px，x2＝2py相切，对于x2＝2py，设切点（m，n），y′=xp，k=mp，所以切线方程为y﹣n=mp（x﹣m），所以y−m22p=mp（x﹣m），即y=mpx−m22p，因为切线过点B，所以﹣2p＝2m−m22p，即m2﹣4mp﹣4p2＝0，（m＜0），解得m=4p−√16p2+16p22=2p﹣2√2p，所以切线的斜率为2﹣2√2，所以切线与直线y＝x的夹角不变，因为花瓣关于直线y＝x对称，所以无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x﹣3）（2x+1）5的展开式中x3的系数为﹣200．解：根据（2x+1）5的二项展开式T r+1=C5r⋅25−r⋅x5−r，（r＝0，1，2，3，4，5）；与x配对时，x3的系数为C53⋅22=40，与﹣3配对时，x3的系数为−3C52⋅23=−240，故展开式中x3的系数为40﹣240＝﹣200．故答案为：﹣200．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25且a8＝15，则a1的值为1．解：设等差数列{a n}的公差为d，S5＝25，则5a3＝25，解得a3＝5，a8＝15，则5d＝a8﹣a3＝15﹣5＝10，解得d＝2，故a1＝a3﹣2d＝1．故答案为：1．15．若存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），则实数a的取值范围为（﹣∞，−e2）．解：由e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），可得e x+ax2＝e y+ay2，令h（m）＝e m+am2，要存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），即h（m）＝e m+am2不是正实数集上的单调函数，则h′（m）＝e m+2am（m＞0），当a≥0时，h′（m）＝e m+2am＞0，此时h（m）＝e m+am2在（0，+∞）单调递增，不满足；当a＜0时，令g（m）＝e m+2am，则g′（m）＝e m+2a，令g′（m）＝e m+2a＝0，则m＝ln（﹣2a），当m∈（0，ln（﹣2a））时，g′（m）＜0，g（m）＝e m+2am在（0，ln（﹣2a））单调递减，当（ln（﹣2a），+∞）时，g′（m）＞0，g（m）＝e m+2am在（ln（﹣2a），+∞）单调递增，要使h（m）＝e m+am2不是正实数集上的单调函数，则h′（ln（﹣2a））＜0，即e ln（﹣2a）+2aln（﹣2a）＜0，解得a＜−e2．故答案为：（﹣∞，−e2）．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，则该三棱柱外接球的表面积为54π；若点P为线段AC的中点，点Q为线段AC1上一动点，则平面BPQ截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积的最大值为3√6．解：由题意，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，该直三棱柱ABC﹣A1B1C1可补充一个长方体，其中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为5，5，2，可得对角线长为√52+52+22=√54，所以外接球的半径为R=√542，则该三棱柱外接球的表面积为4π×(√542)2=54π，如图所示，连接PQ，并延长PQ交A1C1于点E，取A1C1的中点M，连接B1M，PM，则B1M＝BP且B1M∥BP，在过点E作EF∥B1M，可得EF∥BP，连接BF，则四边形BPEF即为过点B，P，Q的截面，在△ABC中，因为AB＝BC，且P为AC的中点，所以BP⊥AC，又因为AA1⊥平面ABC，BP⊂平面ABC，所以BP⊥AA1，因为AC∩AA1＝A，且AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BP⊥平面ACC1A1，又因为PE⊂平面ACC1A1，所以BP⊥PE，所以四边形BPFF为直角梯形，在△ABC中，由AB＝BC＝5，且AB⊥BC，可得AC=5√2，所以BP=12AC=5√22，设ME＝x，在直角△PME中，可得PE=√PM2+ME2=√4+x2，又由C1E=C1M−ME=5√22−x，可得EF=C1E=5√22−x，所以直角梯形BPEF的面积为S(x)=12(BP+EF)×PE=12(5√22+5√22−x)×√4+x2=12(5√2−x)×√4+x2=12√(5√2−x)2⋅(4+x2)，其中0≤x≤5√22，设f(x)=(5√2−x)2⋅(4+x2)，0≤x≤5√2 2，可得f′(x)=[(5√2−x2)]′⋅(4+x2)+(5√2−x)2(4+x2)′=2(x−5√2)(x−√22)(x−2√2)，当x∈[0，√22)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(√22，2√2)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈(2√2，5√22]时，f（x）＜0，f（x）单调递减，又由f（0）＝200，f(2√2)=216，可得f(0)＜f(2√2)，所以当x=2√2时，函数f（x）取得最大值，此时梯形的面积取得最大值S(2√2)=3√6．故答案为：54π，3√6．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2a−b)sinAcosB=atanC．（1）求C；（2）若a=3，c=√7，求△ABC的面积．解：（1）由已知，有(2a−b)sinAcosB=atanC，由正弦定理，可得（2sin A﹣sin B）sin A＝sin A cos B tan C，又sin A≠0，则有2sin A cos C﹣sin B cos C＝cos B sin C，即2sin A cos C＝sin（B+C）＝sin A，即cos C=1 2，又C∈（0，π），所以C=π3；（2）由余弦定理，有c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即7＝9+b2﹣3b，解得b＝1或b＝2，当b＝1时，S△ABC=12absinC=12×3×1×√32=3√34；当b＝2时，S△ABC=12absinC=12×3×2×√32=3√32；故△ABC的面积为3√34或3√32．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+m，且S1，S3﹣2，S7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2a n+1，求证：数列{b n}的前n项和T n＜59．（1）解：根据题意，可得（S3﹣2）2＝S1S7，即（7+m）2＝（1+m）（49+m），解得m＝0，所以S n＝n2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1；当n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1﹣1，也适合n≥2的式子，故a n＝2n﹣1；（2）证明：由（1）的结论，可得b n=2n−122n=2n−14n，所以T n=14+342+543+⋯+2n−14n，两边都乘以14，得14T n=142+343+544+⋯+2n−14n+1，以上两式相减，可得34T n=14+2(142+143+⋯+14n)−2n−14n+1=14+18−12×14n1−14−14×2n−14n=512−(23+2n−14)×14n，所以T n=59−6n+59×4n，结合6n+59×4n＞0，可知不等式T n＜59成立．19．（12分）如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，平面VBD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥VD；（2）若VB＝2，且四棱锥V﹣ABCD的体积为2，求直线VC与平面VAB所成角的正弦值．解：（1）证明：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴AC⊥BD，又AC⊂底面ABCD，且平面VBD⊥底面ABCD，平面VBD∩底面ABCD＝BD，∴AC⊥平面VBD，又VD⊂平面VBD，∴AC⊥VD；（2）设V在底面菱形ABCD内的射影为O，又根据题意可知四棱锥V﹣ABCD的体积为13×2×2×√32×VO=2，∴VO=√3，又VB＝2，∴OB=√VB2−VO2=√4−3=1，又平面VBD⊥底面ABCD，∴V在底面菱形ABCD内的射影点O落在BD上，又BD＝2，∴O为BD的中点，故以OA，OB，OV所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，则V （0，0，√3），C （−√3，0，0），A （√3，0，0），B （0，1，0）， ∴CV →=(√3，0，√3)，VA →=(√3，0，−√3)，AB →=(−√3，1，0)，设平面VAB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅VA →=√3x −√3z =0n →⋅AB →=−√3x +y =0，取n →=(1，√3，1)，∴直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值为： |cos ＜CV →，n →＞|=|CV →⋅n →||CV →||n →|=2√3√6×√5=√105．20．（12分）某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行．每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”．假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响．若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为23，12．（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n （n ≥4）为多少时，对该小组更有利？ 解：（1）设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A ， 则P(A)=C 32⋅23⋅23⋅(1−23)+C 33⋅23⋅23 23=3•23 23⋅13+1⋅23•23⋅23=2027．（2）设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B ，则P(B)=C 32⋅12⋅12⋅(1−12)+C 33⋅12⋅12⋅12=3⋅12⋅12⋅12+1⋅12⋅12⋅12=12， 甲、乙同学都获得好投手的概率为：P =2027×12=1027， 比赛设置n 局，甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ， 则X ～B(n ，1027)，且P(X =3)=C n 3(1027)3(1−1027)n−3， 设f(n)=C n 3(1027)3(1−1027)n−3，则{C n 3(1027)3(1−1027)n−3≥C n+13(1027)3(1−1027)n−2C n 3(1027)3(1−1027)n−3≥C n+13(1027)3(1−1027)n−4，即{n −2≥1727(n +1)1727n ≥n −3，即{n ≥7.1n ≤8.1，又n ∈N *，则n ＝8，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利．21．（12分）已知函数f(x)=ln(x +1)−ax 2+xx+1(a ＜1)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证：1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2(n ∈N ∗)．（1）解：f ′(x)=1x+1−(2ax+1)(x+1)−(ax 2+x)(x+1)2=−ax 2+(1−2a)x(x+1)2， 当a ＝0时，f ′(x)=x(x+1)2，当x ∈（﹣1，0），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（0，+∞），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，故f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； 当a ≠0时，令g(x)=−ax 2+(1−2a)x =−ax(x −1−2aa)， 注意到，当0＜a ＜1时，1−2a a −(−1)=1−aa＞0，当0＜a ＜12时，1−2a a＞0，f(x)在（﹣1，0）上单调递减，在(0，1−2a a )上单调递增，在(1−2aa ，+∞)上单调递减；当12＜a ＜1时，−1＜1−2a a ＜0，f(x)在(−1，1−2a a )上单调递减，在(1−2aa ，0)上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，当a =12时，g(x)=−12x 2≤0，所以f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递减；当a ＜0时，1−2a a −(−1)=1−aa＜0，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．综上，当a ≤0时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增；当0＜a ＜12时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，(0，1−2a a )上单调递增，(1−2aa )，+∞)上单调递减；当a =12时，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递减；当12＜a ＜1时，f （x ）在(−1，1−2a a )上单调递减，(1−2aa)，0)上单调递增，（0，+∞） 上单调递减． （2）证明：由（1）可知当a ＝0时，f （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以f （x ）≥f （0）＝0， 即ln(x +1)≥xx+1（当且仅当x ＝0时等式成立），令x =1n ，可以得到ln(n+1n )＞1n+1，所以1n+1＜ln(n+1n)=ln(n +1)−lnn ，1n+2＜ln(n +2)−ln(n +1)，…… 1n+n＜ln(n +n)−ln(2n −1)，累加可得1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2n −lnn =ln2．22．（12分）已知P 为曲线C ：x 24+y 2n=1(n ＞1)上任意一点，直线PM ，PN 与圆x 2+y 2＝1相切，且分别与C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点．（1）若OP →⋅OM →为定值，求n 的值，并说明理由； （2）若n =43，求△PMN 面积的取值范围．解：（1）由题意，设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），当直线PM 斜率不为0时，直线PM ：x ＝my +t ，因为直线与圆x 2+y 2＝1相切， 所以√1+m 2=1，即t 2＝1+m 2，联立{x 24+y 2n =1x =my +t 得，（m 2n +4）y 2+2mnty +nt 2﹣4n ＝0，所以y 1+y 2=−2mnt m 2n+4，y 1y 2=nt 2−4nm 2n+4，x 1x 2＝（my 1+t ）（my 2+t ）＝m 2y 1y 2+mt （y 1+y 2）+t 2=4t 2−4m 2nm 2n+4，所以OP →⋅OM →=x 1x 2+y 1y 2=−4m 2n+(4+n)t 2−4nm 2n+4，因为t 2＝1+m 2， 所以x 1x 2+y 1y 2=(4−3n)m 2+4−3nm 2n+4，所以只需4−3n n=4−3n4，所以n ＝4或n =43；当直线PM 斜率为0时，x 1x 2+y 1y 2=−3+4n ，也符合上式．综上，n ＝4或n =43．（2）当n =43时，由（1）知，OP →⋅OM →=0，即OP ⊥OM ，同理OP ⊥ON ，即M ，O ，N 三点共线，所以S △PMN ＝2S △PMO ＝|PM |•r ＝|PM |，当直线PM 斜率不为0时，由（1）可知y 1+y 2=−2mt m 2+3，y 1y 2=t 2−4m 2+3，故S △PMN ＝|PM |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=•2√4m 2−3t 2+12m 2+3√1+m 2， 因为t 2＝1+m 2，S △PMN =√1+m 22√m 2+9m 2+3=2√(m 2+3−2)(m 2+3+6)m 2+3，令m 2+3＝k ≥3， 所以S △PMN=2√(k−2)(k+6)k =2√k 2+4k−12k 2=2√−12k2+4k +1， 所以当k ＝3时，S △PMN 的最小值为2， 当k ＝6时，S △PMN 的最大值为4√33， 当直线PM 斜率为0时，S △PMN =2∈[2，4√33]， 综上，S △PMN 的取值范围为[2，4√33]．。
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2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。
超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。
1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的大小关系为A.a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最小值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若方程f(x)=-2x+m 有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出 A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C. 有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D. 有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[，]上单调递増C. 若|f(x 1)-f(x 2)|=2,则|x 1-x 2\的最小值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11. 如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则A. 直线BD 1丄平面A 1C 1DB. 三棱锥P-A 1C 1D 的体积为定值C. 异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°,90°]D. 直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为12. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P(x 1,y 1),G(x 2,y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则 A. 若X 1+X 2=6.则|PQ|=8B. 以PQ 为直径的圆与准线l 相切满意 不满意男30 20 女4010P(k 2≥k) 0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635C.设M（O,1）,则|PM|+|PP1|≥D.过点M（0,1）与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条三、填空題：本題共4小題，每小题5分，共20分。
13.己知向量a,b满足|a|=l,|b|=,a⊥（a+b）,则a与b夹角为.14.已知随机变量X N（1,2）,P（-1<X<1）=0.4,则P（X≥3）= .15.设点P是曲线y=e x+x2上任一点，则点P到直线x-y-1=O的最小距离为.16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA丄平面ABC，PA=6,AB=2,AC=2,BC=4，则：（1）球O的表面积为；（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是。
（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。
17.（10分）在条件①(a+b)(sinA-sinB）=（c-b）sinC,②asinB=bcos(A+),③bsin=asinB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, b+c=6,a=, ________________ ,求ΔABC的面积.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n満足2S n=(n+1)a n（n∈N）且a1=2.（1）求数列｛a n｝的通项公式;（2）设b n=（a n-1）2an.求数列{b n}的前n项和T n.19.(12 分)20.如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC,BC⊥CD，平面SCD丄平面ABCD.ΔSCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,E为BS上一点，且BE=2ES.(1)证明：直线SD∥平面ACE；(2)求二面角S-AC-E的余弦值。
21.(12 分)已知椭圆的的离心率为，F是其右焦点，直线y=kx与椭圆交于A,B 两点，|AF|+|BF|=8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设Q(3,0),若∠AQB为锐角,求实数k的取值范围.22.(12 分)某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n=1与n=2之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润一维修工人工资)23.(12分)已知函数,其中O<a<e.(1)求函数f(x)的单调区冋；(2)讨论函数f(x)零点的个数；(3)若f(x)存在两个不同的零点x1,x2,求证：x1x2<e2.2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案一、单项选择题1.C2.D3.C4.A5.C6. D7.B8.A 二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC 三、填空题13. 34π 14. 0.1 16. 52π，4π 四、解答题17.解：若选①：由正弦定理得 ()()()a b a b c b c +-=-， ………………………………2分 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， ……………………………………4分 因为(0,)A π∈，所以3A π=. …………………………………………6分又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =， …………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= ……………………………10分若选 ②：由正弦定理得 sin sin sin cos()6A B B A π=+. …………………………2分因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 22A A A =-， ………………………………………4分即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=. …………………………6分又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以22bc =，即24bc =- ……………8分所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- ………………10分若选 ③：由正弦定理得 sin sin sin sin 2B CB A B +=， ……………………………2分因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sin sin 2B CA +=，又因为BC A π+=-，所以cos2sin cos 222A A A=， ………………………………………………4分 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，∴1sin 22A =，26A π=，所以3A π=. ……………………………6分又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =， ………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= …………………………10分18.解：（1）因为2(1)n n S n a =+，*n ∈N ，所以112(2)n n S n a ++=+，*n ∈N .两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得 1(1)n n na n a +=+，. ………………………………………………2分 即11n n a a n n +=+，*n ∈N ，所以{}n an 为常数列. 所以121n a an ==， ………………………………………4分所以 2n a n =. …………………………………………………5分（2）(1)2=(21)4n a nn n b a n =--. ……………………………………………6分所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-L231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-⋅+-⋅L . ……7分两式相减得：23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--⋅L ， …………………9分2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯--⋅-， …………………11分 化简得 120(65)4+99n n n T +-=. ……………………………………12分 19.解：（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF .因为//AD BC ，所以AFD ∆与BCF ∆相似.所以2BF BC FD AD ==. ………………………………………………1分又=2BE BF ES FD=，所以//EF SD . ……………………………………2分 因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊄平面ACE ，所以直线//SD 平面ACE .……………………………………4分（2）平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD I 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD . …………………………………5分以C 为坐标原点，,CD CB u u u r u u u r所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与,CD CB u u u r u u u r均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. ……6分则(0,0,0)C ，(1,1,0)S ，(0,2,2)A ，224(,,)333E ，(0,2,2)CA =u u u r ，(1,1,0)CS =u u u r ，224(,,)333CE =. ………7分设平面SAC 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00CA CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r gu u u r gm m ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 不妨令1z =，得1x =，1y =-，于是(1,1,1)=-m . …………………9分 设平面EAC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则CA CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n n ，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 不妨令1z =，得1x =-，1y =-，于是(1,1,1)=--m . …………………11分设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，则1cos 3θ==g m n m n .所以二面角S AC E --的余弦值为13. (1)2分 20.解：（1）设1F 为椭圆的左焦点，连接1F B ，由椭圆的对称性可知，1AF F B =，所以128AF BF BF BF a +=+==，所以4a =， …………………2分又2ce a==，222a b c =+，解得2b =，c =. ………………4分 所以椭圆的标准方程为221164x y +=. ……………………………………5分（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ，则11(3,)QA x y =-u u u r ，22(3,)QB x y =-u u u r，……6分联立221164x y k x y =⎧+=⎪⎨⎪⎩，得22(41)160k x +-=，所以120x x += ，1221641x x k -=+， ……………………………………8分 因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB >u u u r u u u rg . ……………………………………9分 所以1212(3)(3)QA QB x x y y =--+u u u r u u u r g12121293()x x x x y y =-+++2121293()(1)x x k x x =-+++ ……………………………10分2216(1)9041k k +=->+，解得10k >或10k <-. ……………………………………12分21．解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ，则1(3,)3X B :. ……………………………………………………2分因此112312124(1)()()=33279P X C ===. ……………………………………4分（2）①当1n =时，设该企业每月的实际获利为1Y 万元.若0X =，则1123135Y =⨯-=； 若1X =，则1122+81131Y =⨯⨯-=；若2X =，则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=；若3X =，则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=； ……………………6分又0033128(0)()()3327P X C ===，2213126(2)()()3327P X C ===，3303121(3)()()3327P X C ===， ………………8分 此时，实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ………………9分 ②当2n =时，设该企业每月的实际获利为2Y 万元. 若0X =，则2123234Y =⨯-=；若1X =，则2122+81230Y =⨯⨯-=； 若2X =，则2121+82226Y =⨯⨯-=；若3X =，则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=； ………………………11分28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ 因为12EY EY <.于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用2n =. ………………………………………………12分22. 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >.()2113'()ln ()222f x x a x x ax a x x =-+-⋅+-， ………………1分()(ln 1)x a x =--令()0f x '=，得x a =或e x =. ………………………………………… 2分 因为0e a <<，当0x a <<或e x >时，()'0f x >，()f x 单调递增；当e a x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以()f x 的增区间为()0,a ，()e,+∞，减区间为()e ,a . …………………………………………………………………4分（2）取=min{1,2}a δ，则当(0,)x δ∈时，102x a -<，ln 0x <，3204a x ->， 13()()ln (2)024f x x x a x x a x =-+->；又因为0e a <<，由（1）可知()f x 在(0,)a 上单增，因此,当(0,]x a ∈，恒()0f x >，即()f x 在(0,]a 上无零点. …………………………5分 下面讨论x a >的情况：①当e04a <<时，因为()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且()0f a >，e (e)e()04f a =-<，241(e )=e 04f >，根据零点存在定理，()f x 有两个不同的零点. ……………………6分②当e=4a 时，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且(e)0f =，此时()f x 有唯一零点e . ……………………………………7分③若e e 4a <<，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，e()(e)e()04f x f a ≥=->，此时()f x 无零点. ……………………………………………8分综上，若e 04a <<，()f x 有两个不同的零点；若e=4a ，()f x 有唯一零点e ；若ee 4a <<，()f x 无零点. （3）证明：由（2）知，e04a <<，且12e a x x <<<.构造函数2e ()()()F xf x f x =-，(,e)x a ∈. ………………………………9分则()F x '=4232e e()(ln 1)()(ln 1)x a x a x x x-----43243e e (ln 1)x ax ax x x-+-=-. ……………………………………10分 令4324()e e g x x ax ax =-+-，(,e)x a ∈.因为当(,e)x a ∈时，22e 0x ax +->,22e 0x -<，所以43242222()e e =(e )(e )<0g x x ax ax x ax x =-+-+--又ln 1lne 10x -<-=，所以()0F x '>恒成立，即()F x 在(,)a e 单增.于是当e a x <<时，()(e)0F x F <=，即 2e()()f x f x<. ………………11分因为1(,e)x a ∈，所211e ()()f x f x <，又12()()f x f x =，所以221e ()()f x f x <，因为2e x >，221e e e ex >=，且()f x 在(e,)+∞单增， 所以由221e ()()f x f x <，可得221e x x <，即212e x x <. ………………………12分。