四川省成都市届高三数学摸底零诊考试试题文含解析

四川省成都市2015届高三摸底（零诊）
数学（文）试题
【试卷综析】本试卷是高三摸底试卷，考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：数列、三角、概率、导数、圆锥曲线、立体几何综合问题、程序框图、平面向量、基本不等式、函数等；考查学生解决实际问题的综合能力。

是份非常好的试卷.
第I 卷（选择题，共50分）
一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1）
【知识点】向量的坐标运算
【答案解析】D 解析：解：由向量的坐标运算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以选D.
【思路点拨】本题主要考查的是向量加法的坐标运算，可直接结合向量加法的运算法则计算.
2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（
U
S ）T 等于
（A ）{2，4} （B ）{4} （C ）∅ （D ）{1,3,4} 【知识点】集合的运算
【答案解析】A 解析：解：因为
U
S={2，4}，所以（
U
S ）T={2，4}，选A.
【思路点拨】本题主要考查的是集合的基本运算，可先结合补集的含义求S 在U 中的补集，再结合并集的含义求S 的补集与T 的并集. 3．已知命题p ：x ∀∈R ，2x
=5，则⌝p 为 （A ）x ∀∉R,2x
=5 （B ）x ∀∈R,2x
≠5
（C ）
0x ∃∈R ，20x =5 （D ）0x ∃∈R ，20x ≠5
【知识点】全称命题及其否定
【答案解析】D 解析：解：结合全称命题的含义及其否定的格式：全称变特称，结论改否定，即可得⌝p 为
0x ∃∈R ，20x ≠5，所以选D.
【思路点拨】全称命题与特称命题的否定有固定格式，掌握其固定格式即可快速判断其否定.
4．计算21og63 +log64的结果是
（A ）log62 （B ）2 （C ）log63 （D ）3 【知识点】对数的运算
【答案解析】B 解析：解：21og63 +log64=1og69+log64=1og636=2，所以选B.
【思路点拨】在进行对数运算时，结合对数的运算法则，一般先把对数化成同底的系数相同的对数的和与差再进行运算，注意熟记常用的对数的运算性质.
5．已知实数x ，y 满足
002x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则z=4x+y 的最大值为
（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 【知识点】简单的线性规划 【答案解析】B 解析：解：作出不等式组表示的平面区域为如图中的三角形AOB 对应的区域，平移直线4x+y=0，经过点B 时得最大值，将点B
坐标(2，0)代入目标函数得最大值为8，选B.
【思路点拨】对于线性规划问题，通常先作出其可行域，再对目标函数进行平行移动找出使其取得最大值的点，或者把各顶点坐标代入寻求最值点.
6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是
（A ）若a ∥b ．b α⊂，则a ααα⊂αααα7．是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是
（A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等
（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位散相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等
【知识点】茎叶图、中位数、众数、平均数
【答案解析】C 解析：解：因为甲、乙监测站读数的极差分别为55，57，所以A 选项错误，10日内甲、乙监测站读数的中位数分别为74，68，所以B 选项错误，10日内乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C 正确，而正确的选项只有一个，因此选C.
【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键，同时要理解中位数、众数、平均数各自的含义及求法.
8．已知函数f （x ）
cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于x ，则f （x ）的单调递减区间是
（A ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （B ）,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦,k ∈z （C ）42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣
⎦,k ∈z （D ）52,21212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z 【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【答案解析】A 解析：解：因为
()2sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭，则图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于一个周期，所以2π
π
ω
=，得ω=2，由
()3222,2
6
2k x k k Z π
π
πππ+
≤+
≤+
∈，得()263k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈，所以其单调
递减区间是2,63k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦,k ∈z 选A. 【思路点拨】注意该题中直线y=－2的特殊性：－2正好为函数的最小值，所以其与函数的
两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期.
9．已知双曲线22
2
21x y a b -=（a>0,b>0）的一条渐近线与圆(x －3)2+y2=9相交于A,B 两点，
若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为
（A ）8 （B
） （C ）3 （D ）3
2
【知识点】直线与圆的位置关系，双曲线的性质
【答案解析】C 解析：解：因为|AB|=2，圆的半径为3，所以圆心(3， 0)到渐进线y=b x a 的
==，
得
2
2
383c a
b a a a ====，所以e=，则选C.
【思路点拨】一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于a，b，c的关系式，再求
c
a即可；在直线与圆的位置关系中，当出现弦长问题时经常转化为圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离建立等量关系.
10．已知定义在R上的函数 f (x)的周期为4，且当x∈(-1，3]时，f (x) =
(]
2,(1,1)
1cos,1,3
2
x x
x x
π
⎧∈-
⎪
⎨
+∈
⎪⎩
,则函数g（x）=f（x）－1og6x的零点个数为
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
【知识点】函数的零点、函数的图象及函数的周期性的应用
【答案解析】B解析：解：函数g（x）=f（x）－1og6x的零点个数即f（x）=1og6x的零点个数，也就是函数y=f（x）与y=1og6x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图，因为当x=6时6
log6
=1，所以两个函数的图象有5个交点，选B
.
【思路点拨】判断函数零点个数的方法有直接求零点和图象法，当直接求零点不方便时通常通过观察图象与x轴的交点个数，若直接做对应函数的图象不方便时可转化为两个函数的图象交点个数进行判断.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。

11．已知a∈
4
0,,cos
25
π
α
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭，则sin()
πα
-=。

【知识点】诱导公式、同角三角函数基本关系式.
【答案解析】
3
5解析：解：因为
0,
2
π
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭，所以
()23
sin sin1cos
5
πααα
-==-=
. 【思路点拨】在三角求值中有诱导公式特征的应先用诱导公式化简，本题先化简再利用同角三角函数中的余弦和正弦的平方关系计算，注意开方时要结合角所在的象限确定开方的符号.
当x>1时，函数y=x+
1
1
x-的最小值是____ 。

【知识点】基本不等式
【答案解析】3解析：解：因为x>1，所以x－1＞0，则函数y=x+
1
1
x-=x－1+
1
1
x-+1≥()1
21
1
x
x
-⨯
-+1=3，当且仅当
1
1
1
x
x
-=
-即x=2时等号成立，所以最小值为3.
【思路点拨】对于函数求最值问题，若具有基本不等式特征可考虑用基本不等式求最值，用基本不等式求最值应注意得到最值的三个要素：一正，二定，三相等.
13．如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是。

【知识点】由三视图求几何体的表面积.
【答案解析】26122
+
柱，则其侧面积为
(2222624122
++⨯=+
1
2×2×2×2=4，所以该几何体的表面积为28122
+
【思路点拨】由三视图求几何体的表面积问题，可先结合三视图还原原几何体，再结合几何体的特征计算.
运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是____ 。

【答案解析】
4
5解析：解：该程序框图为循环结构，第一次执行循环体得S=
11
1
122
=-
⨯，i=2，第二次执行循环体得S=
1111
11
2233
=-+-=-
，i=3，第三次执行循环体得S=
1111
11
3344
-+-=-
，i=4，第四次执行循环体得S=
11114
11
44555
-+-=-=
，此时满足
判断框，跳出循环体，所以输出结果为4
5.
【思路点拨】对于循环结构的程序框图，可依次执行循环体，直到满足判断框，若需要循环的次数较多时，可结合数列知识进行解答.
已知
y=ax (a>0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；
P （x ，y)是椭圆22169x y +
=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P 关于直线y=x+1对称，记114
y -的所有可能取值构成集合B 。

若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2
λ的概率是____ 。

【知识点】几何概型、椭圆性质、直线与曲线位置关系的应用
【答案解析】34解析：解：若直线y=k
14x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与曲线y x =恰有两个不同交点，联立方程得22221110216k x k x k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由△=0得k=±1，结合图形知若过点1,04⎛⎫
- ⎪⎝⎭的直线
与抛物线
2
y x =在x 轴上方有2个不同交点，则有0＜k ＜1，所以A={k │0＜k ＜1}；又点 P1（x1，y1）关于直线y=x+l 对称点坐标为()111,1y x -+，则[]111,144y x
-=∈-，即
B=[－1，1]，则总体为两个集合构成的矩形区域ABCD ，所求的事件为四边形OBCD 对应的区
域，因为矩形区域ABCD 的面积为2，三角形AOD 的面积为12，所以所求的概率为
1
3
2124-=.
【思路点拨】一般由曲线交点个数问题求参数范围，可结合图象分析；熟记点关于形如直线
y=±x+m 对称点的规律可减少运算量，若所求事件的概率问题与两个连续变量有关，可归结为几何概型的面积问题解答.
三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤。

16．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且a2=3，S7=49，n ∈N*。

（I ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设1
2(1)2n n a b n -+⋅=
，求数列{bn}的前n 项和Tn ．
【知识点】等差数列与等比数列的通项公式与求和公式 【答案解析】（I ）
21
n a n =-；（Ⅱ）1
22n n T +=-.解析：解：（I ）设公差为d ，因为
113
76
7492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()1121n a a n d n =+-=-，即所求数列的通项公
式为*
21,n a n n N =-∈；
（Ⅱ）由（I ）得
()1122n n n
n
a b n
-+==，所以
()()11*
121222,112
n n n n b q T n N q
+--=
=
=-∈--
【思路点拨】在解答题中一般遇到等差数列与等比数列通常利用其通项公式与求和公式 列出首项与公差或公比的方程组，通过解方程组求出首项与公差或公比再进行解答. 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，已知向量m=（a －b ，c －a ），n=（a+b ，c ）且m ·n=0。

（I ）求角B 的大小；
（Ⅱ）求函数f （A ）=sin 6A π⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的值域。

【知识点】向量的数量积的坐标运算，余弦定理、三角函数的值域
【答案解析】（I ）3π
；（Ⅱ）1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦解析：解：由m ·n=0得222
a c
b a
c +-=，由余弦定理
得
2221cos 22a c b B ac +-==，又因为B 为三角形内角，所以3B π=
； （Ⅱ）由（I ）得
20,33
A C π
π
π⎛⎫
=-
-∈ ⎪⎝⎭，所以51,,sin ,166662A A ππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎤+∈+∈ ⎪ ⎪ ⎥
⎝⎭⎝⎭⎝⎦，
则所求函数的值域为1,12⎛⎤
⎥
⎝⎦.
【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用，在三角函数给定区间求值域问题，通常先由所给角的范围得辅角范围，再利用三角函数的单调性确定值域. 18．（本小题满分12分）
某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如下表：
（I）已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？
（Ⅱ）在A，B．C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率。

【知识点】抽样方法、古典概型
【答案解析】（I）7650名；（Ⅱ）3 5
解析：解：（I）42500×36
200=7650(名)；
（Ⅱ）从这六名学生随机抽去两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示至少有一位学生认为作业多，符合要求的事件有{A，B}，{A，C}，
{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共9个，所以
()93
155
P G==
，
所以至少有一名学生认为作业多的概率为3 5.
【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型，若总体个数有限为古典概型，利用古典概型计算公式计算，若总体个数无限为几何概型，利用几何概型计算公式计算.
19．（本小题满分12分）
如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面
ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点。

（I）求证：BC⊥平面VAC；
（Ⅱ）若AC=l，求直线AM与平面VAC所成角的大小。

【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角
【答案解析】（I）略；（Ⅱ）4
π
解析：解：（I）证明：因为VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC⊂平面VAC，VC∩AC=C，所以BC ⊥平面VAC.
（Ⅱ）如图，
取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面VAC ，所以MN ⊥平面VAC ，则∠MAN 为直线AM 与平面VAC 所成的角.因为
MN=22
222211312,112
22BC AN AC CN =-==+=+=
tan ∠MAN=1，则∠MAN=4π，所以直线AM 与平面VAC 所成角的大小为4π
.
【思路点拨】在证明直线与平面垂直时，一般结合直线与平面垂直的判定定理，只需证明直线与平面内两条相交直线垂直；对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求解，当直接寻求其平面角不方便时要注意建立适当空间直角坐标系，借助于平面的法向量解答. 20．（本小题满分13分）
已知椭圆F ：222
21x y a b -=（a>b>0）经过D （2，0），E （1，3
）两点。

（I ）求椭圆F 的方程；
（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m 与F 交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点,点O 为坐标原点，设射线OG 交F 于点Q ，且
2.OQ OG =
①证明：4m2=4k2+1；
②求△AOB 的面积。

【知识点】轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线位置关系、向量的坐标运算
【答案解析】（I ）2
21
4x y +=；（Ⅱ）①略，②32.
解析：解：（I ）由题意得2
224
1213114a a b a b ⎧=⎪=⎧⎪⎨
⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得，所以所求的椭圆方程为2214x y +=；
（
Ⅱ
）
①
令
()()
1122,,,A x y B x y ，由
()222
22
,148440440
y kx m k x kmx m x y =+⎧+++-=⎨+-=⎩得，所以
()()()222
22121222
2
212122
28414440 1488141444441414km k m m k km km x x x x k k m m x x x x k k ⎧⎧∆=-+->⎪⎪<+⎪⎪
--⎪⎪
+=+=⎨⎨++⎪⎪⎪⎪--==⎪⎪++⎩⎩
即①，所以
()()12122282221414k km m
y y k x x m m k k -+=++=
+=
++，由中点坐标公式得
224,1414km m G k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，根据OQ OG λ=，得224,1414km m Q k k λλ-⎛⎫
⎪
++⎝⎭，将其代入椭圆方程，
有
()()222
22
2
2
2241
1414k m m k k λλ+
=++.化简得2
2
2
14m k λ=+②
②由①②得m ≠0
，且12x x -==③，
在△AOB 中，
12
1
2S m x x ∆AOB
=•-④，
由②③④得
AOB S ∆==，所以△AOB 的
面积是.
【思路点拨】已知轨迹类型求轨迹方程，可用待定系数法求解，在遇到直线与圆锥曲线位置关系问题时，经常把问题转化为坐标关系，通过联立方程借助于韦达定理、中点坐标公式及弦长公式寻求等量关系，若遇到向量关系，先看有无直接的几何条件特征进行转化，否则就把向量关系利用向量的坐标运算转化为坐标关系解答. 21．（本小题满分14分，
巳知函数f （x ）=1
3ax2－bx －1nx ，其中a ，b ∈R 。

（I ）当a=3，b=-1时，求函数f （x ）的最小值； （Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（e ，f(e ））处的切线方程为2x －3y －e=0（e=…为自然对数的底数），求a ，b 的值；
（Ⅲ）当a>0，且a 为常数时，若函数h （x ）=x[f （x ）+1nx]对任意的x1>x2≥4，总
有
1212
()()
1
h x h x x x ->--成立，试用a 表示出b 的取值范围；
【知识点】导数的综合应用
【答案解析】（I ）3ln 24+（Ⅱ）11,a b e e ==-（Ⅲ）当1016a <<
时
(
b ∈-∞，当116a ≥时，1,28b a ⎛⎤∈-∞+ ⎥⎝⎦
解
析
：
解
：
因
为
()()
2ln ,0,f x x x x x =+-∈+∞，所以
()()()2111'21x x f x x x x -+=+-=，令()1
'0,12f x x ==-得或，所以f(x)在102⎛⎫ ⎪
⎝⎭，上单调递减，在12
⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭，上单调递增，则f(x)在12x =处取得最小值为13
ln 224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；
（Ⅱ）因为
()()21212
','333f x ax b f e ae b x e =--=--=
所以①，又因为切点(e ，f(e))在直线2x －3y －e=0上，所以切点为,3e e ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，所以
()21133e
f e ae be =--=②，联立①②解得
11
,a b e e ==-
. （Ⅲ）由题意，对于任意124x x >≥，总有()()112212
h x x h x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-成立，令
()()[)
321
,4,3p x h x x ax bx x x =+=-+∈+∞，则函数p(x)在x ∈[4，＋∞)上单调递增，
所
以
()[)
2'2104,p x ax bx =-+≥∈+∞在x 上恒成立.构造函数
()()()10,0,F x ax a x x =+>∈+∞，则()222
11'ax F x a x x -=-=，所以F(x)
在0,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,
在
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (1)
当14016a a ><<即时，F(x)
在⎛ ⎝⎭
上单调递减，在
⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.所以F(x)
的最小值为2F b b a ⎛⎫
=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭所以得；
(2)当
1416
a a ≤≥即时F(x)在(4，＋∞)上单调递增，
()11244,248b F a b a ≤=+≤+即，综上，当
1016a <<时(
,b a ⎤∈-∞⎦，当1
16a ≥时，1,28b a ⎛
⎤∈-∞+ ⎥
⎝
⎦
【思路点拨】本题主要考查的是利用导数求函数的最值及利用导数研究曲线的切线，利用导数求最值一般先判断函数的单调性，再结合单调性确定最值位置，对于由不等式恒成立求参数参数范围问题通常转化为函数的最值问题解答.。