高中数学：向量法解立体几何总结

向量法解立体几何

1、直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.

⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作

n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．

②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．

③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．

④根据法向量定义建立方程组0

n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.

⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明

a u ⊥，即0a u ⋅=.

⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、

，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=.

⑵线面垂直

①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a

∥u ，即a u λ=.

②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、

，若0

,.0

a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨

⋅=⎪⎩则 ⑶面面垂直。 若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=.

4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角

已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD

θ⋅=

⑵求直线和平面所成的角

求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .in a u a u

ϕθ⋅==

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.

如图：

求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、

，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、

的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m n

θϕ⋅==

， 即arccos

m n m n

θ⋅=；

O

A

B

O

A

B

l

如果θ是钝角，则cos cos m n

m n

θϕ⋅=-=-， 即arccos m n m n θ⎛⎫

⋅ ⎪=-

⎪⎝⎭

. 5、利用法向量求空间距离

⑴点Q 到直线l 距离

若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l

距离为 1

(||||

h a b a =⑵点A 到平面α的距离

若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.

即cos ,d MP n MP

=n MP MP n MP

⋅=⋅

n MP n

⋅=

⑶直线a 与平面α之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即.n MP d n

⋅=

⑷两平行平面,αβ之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即

.n MP d n

⋅=

⑸异面直线间的距离

设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是

MP 在向量n 方向上投影的绝对值。 即.n MP d n

⋅=