流体力学第三章伯努利方程及动量方程
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21
第三节 恒定总流的伯努利方程
测压管水头:
v2 H p H 2g
测压管水头坡度:
Jp
dH p dl
测压管水头下降 时Jp为正
22
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失与局部水头损失画法不同
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
18
第三节 恒定总流的伯努利方程
19
第三节 恒定总流的伯努利方程
20
第三节 恒定总流的伯努利方程
总水头线和测压管水头线
总水头=位置水头+压强水头+流速水头
H z p v2
2g
H1 H2 hw 或 H2 H1 hw
v2 H H p 2g
水力坡度: J dH dhw dl dl
12
第三节 恒定总流的伯努利方程
三、能量损失积分
hw dQ
Q
表单位时间通过断面的流体克服 1-2段阻力做功所损失的能量
hw dQ hw Q
hw
Q
平均单位重量流体的能量损失
13
第三节 恒定总流的伯努利方程
总结：
( z1
p1
1v12 )
2g
Q
(z2
p2
g
2v22
2g
)
Q hw
Q
——总流总能量方程
单位时间流入上游断面的能量，等于单位时间 流出下游断面的能量，加上流段所损失的能 量。
14
第三节 恒定总流的伯努利方程
( z1
p1
1v12
2g
)
Q
(z2
p2
g
2v22
2g
)
Q hw
Q
——总流总能量方程
单位重量流体的能 量方程
z1
p1
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
恒定总流能量方程式，恒定总流伯努利方程
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
5
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流：非严格均匀流，接近于均匀流 渐变流： 1）流线近似于平行直线。 2）惯性力忽略不计。 3）过流断面近似于平面。 4）过流断面上，压强分布可认为服从流体静力学规律。
p2
g
u22 2g
gdQ
Q
hw gdQ
A1
p1
Z1
u12 2g
dQ
A2
p2
Z2
u22 2g
dQ Q
hw dQ
分三种类型积分
8
第三节 恒定总流的伯努利方程
一、势能积分
p
Z
dQ
p
Z
dQ
表单位时间通过断面的流体势
能
渐变流过流断面上： Z p C
p1 Z1dQ
p1
v3dA
v3 A
——动能修正系数
11
第三节 恒定总流的伯努利方程
2g
u13dA
A1
2g
1v13dA
A1
1v12
2g
Q
2g
u23dA
A2
2g
2v23dA
A1 2
2v22
2g
Q
流速分布越不均匀, 之值越大。 流速分布均匀 1 实际工程计算， 常取 1
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
对于总流，流速的变化包括上述两部分
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
均匀流中，不存在惯性力，在均 匀流空间，是重力、压力和粘性 力的平衡。
粘性力对垂直于流速方向的过流 断面上的压强变化不起作用。过 流断面上仅仅考虑重力和压力的 平衡。
3
第三节 恒定总流的伯Leabharlann Baidu利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u)u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。
渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
z p c
g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
流速的变化 流速是向量
大小的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
出现离心惯性力 压强沿断面变化
总水头线 H
测压管水头线
2
0
20
24
第三节 恒定总流的伯努利方程
例：定性作水头线
总水头线
总水头线 测压管水头线
p
测压管水头线
p
25
第三节 恒定总流的伯努利方程
总水头线 测压管水头线
p
26
第三节 恒定总流的伯努利方程
p 总水头线 测压管水头线
27
第三节 恒定总流的伯努利方程
能量方程式的应用
文丘里流量计
Z1
dQ
p1
Z1
dQ
p1
Z1
Q
9
第三节 恒定总流的伯努利方程
同理：
p2 Z2 dQ
p2
Z2
dQ
p2
Z2
dQ
p2
Z2
Q
10
第三节 恒定总流的伯努利方程
二、动能积分 u2 dQ u3 dA u3dA
Q 2g
A 2g
2g A
表单位时间通过断面的流体动 能
v
Q
udA
A
AA
u3dA u3dA
渐缩管 喉管 渐扩管
0 p1 v12 0 p2 v22
2g
2g
28
第三节 恒定总流的伯努利方程
p1 p2 v22 v12 h
2g 2g
连续性方程
v1
4
d12
v2
4
d
2 2
v2 v1
d1 d2
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
H
0
0
v22 2g
hw
1
1
v2 2gH hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s 作水头线
15
第三节 恒定总流的伯努利方程
z1, z2
选定的1、2渐变流断面上任一点相对于 选定基准面的高程。
p1, p2
v1, v2
1,2
hw
相应断面同一选定点的压强，同时用相对压强 或同时用绝对压强。 相应断面的平均流速
相应断面的动能修正系数
1、2两断面间的平均单位水头损失。
16
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流近似于均匀流
6
第三节 恒定总流的伯努利方程
元流的伯努利方程:
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
1-1断面 2-2断面
渐变流段面
7
第三节 恒定总流的伯努利方程
两边同乘以ρgdQ= ρgu1dA1= ρgu2dA2 ，积分
Z1 A1
p1
g
u12 2g
gdQ
Z2 A2
水头损失
沿程水头损失：沿管长均匀发生 的均匀流损失
局部水头损失：局部障碍引起的 急变流损失。
适用范围：
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
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第三节 恒定总流的伯努利方程
断面上的压强 p 和 位置高度 z 必须去取同一点的值！！！
第三节 恒定总流的伯努利方程
测压管水头:
v2 H p H 2g
测压管水头坡度:
Jp
dH p dl
测压管水头下降 时Jp为正
22
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失与局部水头损失画法不同
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
18
第三节 恒定总流的伯努利方程
19
第三节 恒定总流的伯努利方程
20
第三节 恒定总流的伯努利方程
总水头线和测压管水头线
总水头=位置水头+压强水头+流速水头
H z p v2
2g
H1 H2 hw 或 H2 H1 hw
v2 H H p 2g
水力坡度: J dH dhw dl dl
12
第三节 恒定总流的伯努利方程
三、能量损失积分
hw dQ
Q
表单位时间通过断面的流体克服 1-2段阻力做功所损失的能量
hw dQ hw Q
hw
Q
平均单位重量流体的能量损失
13
第三节 恒定总流的伯努利方程
总结：
( z1
p1
1v12 )
2g
Q
(z2
p2
g
2v22
2g
)
Q hw
Q
——总流总能量方程
单位时间流入上游断面的能量，等于单位时间 流出下游断面的能量，加上流段所损失的能 量。
14
第三节 恒定总流的伯努利方程
( z1
p1
1v12
2g
)
Q
(z2
p2
g
2v22
2g
)
Q hw
Q
——总流总能量方程
单位重量流体的能 量方程
z1
p1
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
恒定总流能量方程式，恒定总流伯努利方程
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
5
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流：非严格均匀流，接近于均匀流 渐变流： 1）流线近似于平行直线。 2）惯性力忽略不计。 3）过流断面近似于平面。 4）过流断面上，压强分布可认为服从流体静力学规律。
p2
g
u22 2g
gdQ
Q
hw gdQ
A1
p1
Z1
u12 2g
dQ
A2
p2
Z2
u22 2g
dQ Q
hw dQ
分三种类型积分
8
第三节 恒定总流的伯努利方程
一、势能积分
p
Z
dQ
p
Z
dQ
表单位时间通过断面的流体势
能
渐变流过流断面上： Z p C
p1 Z1dQ
p1
v3dA
v3 A
——动能修正系数
11
第三节 恒定总流的伯努利方程
2g
u13dA
A1
2g
1v13dA
A1
1v12
2g
Q
2g
u23dA
A2
2g
2v23dA
A1 2
2v22
2g
Q
流速分布越不均匀, 之值越大。 流速分布均匀 1 实际工程计算， 常取 1
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
对于总流，流速的变化包括上述两部分
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
均匀流中，不存在惯性力，在均 匀流空间，是重力、压力和粘性 力的平衡。
粘性力对垂直于流速方向的过流 断面上的压强变化不起作用。过 流断面上仅仅考虑重力和压力的 平衡。
3
第三节 恒定总流的伯Leabharlann Baidu利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u)u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。
渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
z p c
g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
流速的变化 流速是向量
大小的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
出现离心惯性力 压强沿断面变化
总水头线 H
测压管水头线
2
0
20
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第三节 恒定总流的伯努利方程
例：定性作水头线
总水头线
总水头线 测压管水头线
p
测压管水头线
p
25
第三节 恒定总流的伯努利方程
总水头线 测压管水头线
p
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第三节 恒定总流的伯努利方程
p 总水头线 测压管水头线
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第三节 恒定总流的伯努利方程
能量方程式的应用
文丘里流量计
Z1
dQ
p1
Z1
dQ
p1
Z1
Q
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第三节 恒定总流的伯努利方程
同理：
p2 Z2 dQ
p2
Z2
dQ
p2
Z2
dQ
p2
Z2
Q
10
第三节 恒定总流的伯努利方程
二、动能积分 u2 dQ u3 dA u3dA
Q 2g
A 2g
2g A
表单位时间通过断面的流体动 能
v
Q
udA
A
AA
u3dA u3dA
渐缩管 喉管 渐扩管
0 p1 v12 0 p2 v22
2g
2g
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第三节 恒定总流的伯努利方程
p1 p2 v22 v12 h
2g 2g
连续性方程
v1
4
d12
v2
4
d
2 2
v2 v1
d1 d2
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
H
0
0
v22 2g
hw
1
1
v2 2gH hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s 作水头线
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第三节 恒定总流的伯努利方程
z1, z2
选定的1、2渐变流断面上任一点相对于 选定基准面的高程。
p1, p2
v1, v2
1,2
hw
相应断面同一选定点的压强，同时用相对压强 或同时用绝对压强。 相应断面的平均流速
相应断面的动能修正系数
1、2两断面间的平均单位水头损失。
16
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流近似于均匀流
6
第三节 恒定总流的伯努利方程
元流的伯努利方程:
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
1-1断面 2-2断面
渐变流段面
7
第三节 恒定总流的伯努利方程
两边同乘以ρgdQ= ρgu1dA1= ρgu2dA2 ，积分
Z1 A1
p1
g
u12 2g
gdQ
Z2 A2
水头损失
沿程水头损失：沿管长均匀发生 的均匀流损失
局部水头损失：局部障碍引起的 急变流损失。
适用范围：
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
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第三节 恒定总流的伯努利方程
断面上的压强 p 和 位置高度 z 必须去取同一点的值！！！