函数的极值与导数经典教案

3.3.2函数的极值与导数

[教材分析]：

《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

[学情分析]：

学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。

[教学目标]：

知识与技能：

•了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；

•掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；

•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

过程与方法：

•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

情感态度与价值观：

•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；

•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；

•激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。

[教学重点和教学难点]：

教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

[教法学法分析]：

教法分析和教学用具：

本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。

学法分析

通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。通过用导数求不超过三次的

通过板书，给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系。

我的说课到此结束，谢谢大家。

2008年12月12日

3.3.2函数的极大值和极小值

一．教学目标

(一)知识目标

结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； (二)能力目标

掌握利用导数判别可导函数极值的方法； (三)情感目标

体验导数知识和数学方法的作用，逐步形成科学地分析、解决问题的能力；

二、教学重点

利用导数判别可导函数极值的方法.

三、教学难点

对极大、极小值概念的理解，对可导函数极值点的必要条件和充分条件的理解.

四、教学过程

（一）引入课题

上节课我们利用导数来研究函数的单调性，这节课我们要利用导数来研究函数的另一种性质——函数的极值.

（二）传授新知

１．我们观察一下两张图象中，点a 与点b 处的函数值.与它们附近点的函数值有什么关系？

图1 图2

从图1可以看出，点a 处的函数值f (a )比点a 附近的点的函数值大；而从图2可以看出，点b 处的函数值f (b )比点b 附近的点的函数值小.

如果c x =是函数y =f (x )在某个开区间（v u ,）上的最大值点，即不等式)()(x f c f ≥对一切),(v u x ∈成立，就说函数f (x )在c x =处取到极大值)(c f ，并称c 为f (x )的一个极大值点，)(c f 为f (x )的一个极大值.

如果c x =是函数y =f (x )在某个开区间（v u ,）上的最小值点，即不等式)()(x f c f ≤对一切),(v u x ∈成立，就说函数f (x )在c x =处取到极小值)(c f ，并称c 为f (x )的一个极小值点，)(c f 为f (x )的一个极小值.

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称极值点.

２．观察课本图3－13到3－18，看出函数在极值点的导数为零. 观察课本图3－23，看出如果函数的曲线在局部最高点处有切线，这切线应与x 轴平行.同样，如果函数的曲线在局部最低点处有切线，这切线应与x 轴平行.换句话说，函数在极值点的导数为零.（这里的前提是函数在极值点有导数）

３．可导函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗？ 举个例子：3

x y =，)0(f '＝0，但x =0不是极值点.

y =｜x ｜，在x ＝0处取到极小值，但)0(f '不存在.

也就是说若)(c f '存在，)(c f '＝0是f (x )在c x =处取到极值的必要条件，但不是充分条件. 通常，若)(c f '＝0，则c x =叫作函数f (x )的驻点.

４．判别可导函数f (x )极大、极小值的方法 （１）求导数f ′(x )；

（２）求f (x )的驻点，即求f ′(x )＝0的根；

（３）检查f ′(x )在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个驻点处取得极大值；如果在驻点左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数)(x f y =在这个驻点处取得极小值.

５．几点注意：

（１）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（２）函数的极值不是唯一的不止一个

（３）极大值与极小值之间无确定的大小关系极小值也未必小于极大值.

（４）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

（三）讲解例题

例1 求函数()f x ＝x x sin +的驻点和极值点.

分析：0cos 1)(≥+='x x f ，()f x 的驻点集合是：{}

Z k k x ∈+=π)12(.

)(x f '在驻点左右的符号均为正，所以函数)(x f 没有极值.

例2 求函数)3()(2

x x x g -=的极大值和极小值. 分析：236)(x x x g -='