线性代数下有理系数多项式

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
约定:GCD为首一多项式 : 从而GCD唯一!
算法:辗转相除法
多项式环F[x]

√ 次数 (deg 0=-∞)
√ √,不可约多项式
√,首1GCD

r1 q1r0 r1 r0 q2r1 r2 r1 q3r2 r3
ri1 qi1ri ri1
rs1 qs1rs rs1

fg

cnm xnm

c xnm1 nm1

c1x

c0
其中ck a0bk apbk p akb0
反证法:若fg不是本原多项式,则存在素数p, s.t.
p | c0, p | c1 , , p | cmn
但由f,g是本原的知,存在i,j, 使得 p | ai , p | bj
f pq ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
实根孤独虚根成对 f ( x) c( x c1 )r1 ( x c2 )r2 ( x ck )rk
分解为1、2次项
( x2 p1x q1 )m1 ( x2 pl x ql )ml
本讲提要
有理系数多项式 & 线性映射复习
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理 二、整系数多项式的有理零点 三、Eisenstein判则 四、复习:线性映射与矩阵

f ( x) d g( x) rg( x)
c
其中r=d/c∈ℚ,g(x)∈ [x]系数的最大公因子为
定义1 (本原多项式) 设g(x)∈ [x],若它的系数的最大公因子 为 ,则称g(x)是本原多项式(primitive polynomial).
说明:ℚ[x]与 [x]中的多项式均可化为本原多项式来研究.
其中 r, s , f1, f2 [x] primitive.
问题:本原多项式有何运算规律?
6
定理1 (Gauss引理) 两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式.
证明思路:设 f an xn an1xn1 a1x a0
g bm xm bm1xm1 b1x b0
《线性代数2》
杨晶
2012年 3月5日
第三讲
有理系数多项式 & 线性映射复习
1

特性
整数环
讲 乘法交换(交换环)

乘法消去律(无零因子)

复 可比大小(全序关系)
数值
习 带余除法(欧氏环)

整除关系+可约性
√,素数合数
公约数
最大公因子,最小公倍数
唯一分解定理(UFD)

1、最大公因式:
公因式+最大 条件, d(x)=gcd(f(x),g(x))
4
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理
问题:ℚ[x]与 [x]有和区别何联系? 对任意有理系数多项式 f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 [x] 总存在 c ,s.t. cf ( x) [x]
把cf(x)的系数的最大公因子d提出来得 cf ( x) dg( x)
考虑 ci j a0bi j ai1bj1 aibj ai1bj1 ai jb0
利用取最小i,j的技巧(射螃蟹技巧), 可推出矛盾!
7
定理2 设非零多项式 f ∈ [x],则 f gh ( g, h [x] , deg g,deg h deg f)
p r2 2
(
x
)
prs s
(
x
)
中:
n
p r1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
pr2 2

p rs s
4、 [x]中的因式分解:
完全分解为一次项 f ( x) c( x c1 )r1 ( x c2 )r2 ( x cs )rs
韦达公式
,⋯,
, 其中 k=1,2,···,n
5、 [x]中的因式分解:
5
更具体地,有以下两个Claims:
Claim 1:ℚ[x]中多项式总可写为一个有理数及一个本原多 项的乘积, 即 f ( x) rf1( x) (r , f1 [x] primitive)
Claim 2: ℚ[x]中多项式 f 若有上述两种不同的写法,即 f ( x) rf1( x) sf2( x), r s, f1( x) f2(x)
rs qs r 2 s1
上讲复习 Bezout等式:gcd(f,g)=d ⇒ uf + vg = d
反之, uf + vg = d ⇒ gcd(f,g) | d
2、互素多项式:gcd(f,g)=1 ⇐⇒ uf + vg = 1
3、唯一分解定理:
F[x]中:
f
(
x
)

cp1r1
(
x
)
相关文档
最新文档