线性代数下有理系数多项式

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线性代数-第6章

线性代数-第6章

第6章接下来的问题是如何求矩阵的特征值和特征向量?一个方案是从定义A*ai=λi*ai出发,直接寻找满足这样要求的λi 和ai,但这一般是不容易做到的,故还有必要去建立一种更为普遍的方法。

设A*ai=λi*ai<=>(A-λi*E)*ai=0<=>对λi来说,ai是齐次线性方程组(A-λi*E)*X=0的一个非零解(因为ai构成的向量组线性无关)<=>方程组的系数行列式det(A-λi*E)=0由此可见,每一个特征值λi都是多项式det(A-λ*E)在指定数域(一般是实数域)上的根,我们称这个多项式为矩阵A的特征多项式,不难验证,它是一个λ的n次多项式。

依据特征方程det(A-λ*E)=0,即可求出矩阵A的全部特征值。

对矩阵A的每个特征值λi,求齐次线性方程组(A-λi*E)*X=0的解,得到的全部非零解(一般可用基础解系表示)就是A的属于特征值λi的全部特征向量。

由此可得到两点启示:对同一个特征值来说,特征向量不唯一;对同一特征值来说,特征向量的线性组合仍为特征向量。

相似的矩阵有相同的特征多项式和特征值,但有相同特征多项式的两个矩阵不一定相似。

相似的矩阵有相同的秩,故一个可对角化矩阵的非零特征值的数目即为其秩。

在求出矩阵的全部特征值和全部特征向量以后,剩下的问题就是判断这些所有的特征向量中有没有n个是线性无关的?如果有,意味着矩阵可对角化,如果没有,则矩阵不可对角化。

对一个矩阵A来说,考虑到其n个特征值可能相同也可能不同,故最一般的情况应该是把A的这n个特征值分为m组,分别为λ1, λ2, …, λm,每组的个数分别为j1,j2,…,jm (注意有j1+j2+…+jm=n),对每个λi(i=1,2,…,m),齐次线性方程组(A-λi*E)*X=0的基础解系解向量的个数分别为r1,r2,…,rm,这些基础解系各自当然都是A的线性无关的特征向量,自然会进一步联想,把这m组共r1+r2+…+rm个向量合在一起情况如何,是否仍线性无关?经过考察发现,矩阵A的属于不同的特征值的特征向量一定线性无关。

线性代数:第一章多项式2

线性代数:第一章多项式2

线性代数:第⼀章多项式2§6 重因式⼀、重因式的定义定义9 不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.如果,那么根本不是的因式;如果,那么称为的单因式;如果,那么称为的重因式.注意. 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然,如果的标准分解式为,那么分别是的重,重,… ,重因式.指数的那些不可约因式是单因式;指数的那些不可约因式是重因式.不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.⼆、重因式的判别设有多项式,规定它的微商(也称导数或⼀阶导数)是.通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:同样可以定义⾼阶微商的概念.微商称为的⼀阶微商;的微商称为的⼆阶微商;等等. 的阶微商记为.⼀个次多项式的微商是⼀个次多项式;它的阶微商是⼀个常数;它的阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是微商的重因式.分析: 要证是微商的重因式,须证,但.注意:定理6的逆定理不成⽴.如, ,是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.推论1 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是,,…,的因式,但不是的因式.推论2 不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.推论3 多项式没有重因式这个推论表明,判别⼀个多项式有⽆重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决,这个⽅法甚⾄是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都⽆改变,所以由定理6有以下结论:若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某⼀数域上的多项式时, 也没有重因式.例1 判断多项式有⽆重因式三、去掉重因式的⽅法设有重因式,其标准分解式为.那么由定理5此处不能被任何整除.于是⽤去除所得的商为这样得到⼀个没有重因式的多项式.且若不计重数, 与含有完全相同的不可约因式.把由找的⽅法叫做去掉重因式⽅法.例2 求多项式的标准分解式.§7 多项式函数到⽬前为⽌,我们始终是纯形式地讨论多项式,也就是把多项式看作形式表达式.在这⼀节,将从另⼀个观点,即函数的观点来考察多项式.⼀、多项式函数设(1)是中的多项式,是中的数,在(1)中⽤代所得的数称为当时的值,记为.这样,多项式就定义了⼀个数域上的函数.可以由⼀个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为在与数域中的数进⾏运算时适合与数的运算相同的运算规律,所以不难看出,如果那么定理7(余数定理)⽤⼀次多项式去除多项式,所得的余式是⼀个常数,这个常数等于函数值.如果在时函数值,那么就称为的⼀个根或零点.由余数定理得到根与⼀次因式的关系.推论是的根的充要条件是.由这个关系,可以定义重根的概念. 称为的重根,如果是的重因式.当时,称为单根;当时,称为重根.定理8 中次多项式在数域中的根不可能多于个,重根按重数计算.⼆、多项式相等与多项式函数相等的关系在上⾯看到,每个多项式函数都可以由⼀个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢?这就是问,是否可能有,⽽对于中所有的数都有由定理8不难对这个问题给出⼀个否定的回答.定理9 如果多项式,的次数都不超过,⽽它们对n+1个不同的数有相同的值即,,那么=.因为数域中有⽆穷多个数,所以定理9说明了,不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数,就称为恒等,上⾯结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是⼀致的.换句话说,数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理,也可以作为函数来处理.但是应该指出,考虑到今后的应⽤与推⼴,多项式看成形式表达式要⽅便些.三、综合除法根据余数定理,要求当时的值,只需⽤带余除法求出⽤除所得的余式.但是还有⼀个更简便的⽅法,叫做综合除法.设并且设. (2)其中⽐较等式(2)中两端同次项的系数.得到这样,欲求系数,只要把前⼀系数乘以再加上对应系数,⽽余式也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例1 ⽤除.例2 求使能被整除注意 :若缺少某⼀项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗⽇插值公式已知次数的多项式在的值.设依次令代⼊,得这个公式叫做拉格朗⽇(Lagrange)插值公式.例3 求次数⼩于3的多项式,使.下⾯介绍将⼀个多项式表成⼀次多项式的⽅幂和的⽅法.所谓次多项式表成的⽅幂和,就是把表⽰成的形式.如何求系数,把上式改写成,就可看出就是被除所得的余数,⽽就是被除所得的商式.⼜因为.⼜可看出是商式被除所得的余式,⽽.就是被除所得商式.这样逐次⽤除所得的商式,那么所得的余数就是.例4 将展开成的多项式.解令,则.于是.问题变为把多项式表成(即)的⽅幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以.注意:将表成的⽅幂和,把写在综合除法的左边,将的⽅幂和展开成的多项式,那么相当于将表成的⽅幂和,要把写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解⼀、复系数多项式因式分解定理代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有⼀个根.利⽤根与⼀次因式的关系,代数基本定理可以等价地叙述为:每个次数的复系数多项式在复数域上⼀定有⼀个⼀次因式.由此可知,在复数域上所有次数⼤于1的多项式都是可约的.换句话说,不可约多项式只有⼀次多项式.于是,因式分解定理在复数域上可以叙述成:复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式的乘积.因此,复系数多项式具有标准分解式其中是不同的复数,是正整数.标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).⼆、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式,以下事实是基本的:如果是实系数多项式的复根,那么的共轭数也是的根,并且与有同⼀重数.即实系数多项式的⾮实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式与含⼀对⾮实共轭复数根的⼆次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复数根的⼆次多项式.因此,实系数多项式具有标准分解式其中全是实数,,是正整数,并且是不可约的,也就是适合条件..代数基本定理虽然肯定了次⽅程有个复根,但是并没有给出根的⼀个具体的求法.⾼次⽅程求根的问题还远远没有解决.特别是应⽤⽅⾯,⽅程求根是⼀个重要的问题,这个问题是相当复杂的,它构成了计算数学的⼀个分⽀.三、次多项式的根与系数的关系.令(1)是⼀个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因⽽在中完全分解为⼀次因式的乘积:展开这⼀等式右端的括号,合并同次项,然后⽐较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第个等式的右端是⼀切可能的个根的乘积之和,乘以.若多项式的⾸项系数那么应⽤根与系数的关系时须先⽤除所有的系数,这样做多项式的根并⽆改变.这时根与系数的关系取以下形式:利⽤根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有⼆重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的⼀个特殊情形,有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何⼀个给定的多项式,要具体地作出它的分解式却是⼀个很复杂的问题,即使要判别⼀个有理系数多项式是否可约也不是⼀个容易解决的问题,这⼀点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这⼀节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实:第⼀,有理系数多项式的因式分解的问题,可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,并进⽽解决求有理系数多项式的有理根的问题.第⼆,在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.⼀、有理系数多项式的有理根设是⼀个有理系数多项式.选取适当的整数乘,总可以使是⼀个整系数多项式.如果的各项系数有公因⼦,就可以提出来,得到,也就是其中是整系数多项式,且各项系数没有异于±1的公因⼦.如果⼀个⾮零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因⼦,也就是说它们是互素的,它就称为⼀个本原多项式.上⾯的分析表明,任何⼀个⾮零的有理系数多项式都可以表⽰成⼀个有理数与⼀个本原多项式的乘积,即.可以证明,这种表⽰法除了差⼀个正负号是唯⼀的.亦即,如果,其中都是本原多项式,那么必有因为与只差⼀个常数倍,所以的因式分解问题,可以归结为本原多项式的因式分解问题.下⾯进⼀步指出,⼀个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是⼀致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果⼀⾮零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它⼀定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论设,是整系数多项式,且是本原多项式,如果,其中是有理系数多项式,那么⼀定是整系数多项式.这个推论提供了⼀个求整系数多项式的全部有理根的⽅法.定理12 设是⼀个整系数多项式.⽽是它的⼀个有理根,其中互素,那么(1) ;特别如果的⾸项系数,那么的有理根都是整根,⽽且是的因⼦.(2)其中是⼀个整系数多项式.给了⼀个整系数多项式,设它的最⾼次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数⽤综合除法来进⾏试验.当有理数的个数很多时,对它们逐个进⾏试验还是⽐较⿇烦的.下⾯的讨论能够简化计算.⾸先,1和-1永远在有理数中出现,⽽计算与并不困难.另⼀⽅⾯,若有理数是的根,那么由定理12,⽽也是⼀个整系数多项式.因此商都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进⾏试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以⽤或除⽽考虑所得的商.)例1 求多项式的有理根.例2 证明在有理数域上不可约.⼆、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设是⼀个整系数多项式.若有⼀个素数,使得1. ;2. ;3. .则多项式在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是⼀个充分条件.有时对于某⼀个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应⽤,但把适当变形后,就可以应⽤这个判断法.例3 设是⼀个素数,多项式叫做⼀个分圆多项式,证明在中不可约.证明:令,则由于,,令,于是,由艾森斯坦判断法,在有理数域上不可约,也在有理数域上不可约.第⼀章多项式(⼩结)⼀元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最⼤公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核⼼.⼀、基本概念.1.⼀元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,⼀元多项式环.2.基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满⾜⼀些运算规律.(2)(3) 多项式乘积的常数项(最⾼次项系数)等于因⼦的常数项(最⾼次项系数)的乘积.⼆、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设.因此多项式的整除性不因数域的扩⼤⽽改变.3. 最⼤公因式和互素.(1) 最⼤公因式,互素的概念.(2) 最⼤公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设是与的最⼤公因式,则.反之不然.(4) .(5)三、因式分解理论1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(3) 整系数多项式在有理数域上可约它在整数环上可约.(4) 艾森斯坦判断法.2.因式分解的有关结果:(1) 因式分解及唯⼀性定理.(2) 次数⼤于零的复系数多项式都可以分解成⼀次因式的乘积.(3) 次数⼤于零的实系数多项式都可以分解成⼀次因式和⼆次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式是的重因式,则是的重因式.(3) 没有重因式.(4) 消去重因式的⽅法:是⼀个没有重因式的多项式,它与具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.去除所得的余式为,则3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个次复系数多项式在复数域中⾄少有⼀个根.因⽽次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.7.根的个数定理.F[x]中次多项式在数域F中⾄多有个根.8.多项式函数相等与多项式相等是⼀致的.重点:⼀元多项式的因式分解理论.难点:最⼤公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.本章主要内容之间的内在联系可⽤下列图表表⽰:。

线性代数

线性代数

线性代数时隔一年,总算把特征值特征向量以及二次型部分给大家补上了:)还是那句话,个人水平有限,加上不同人的不同的思维习惯,所以只能说我把自己的思路提供出来给大家作为参考,希望能起到点提纲挈领的作用吧。

说实话,写最后这部分时,还是感觉到有些压力,最主要怕写出来不如前四章那样让大家满意,呵呵,不过无论如何,我已经尽力了,线代的知识框架总结也算是形成了一个完整的篇章,至少有始有终吧。

最近一段时间课题任务比较重,可能要过个把月才有空把高数部分重新修订了。

最后一个小说明,因为这个系列文章的重点是挖掘、梳理各知识点之间的相互联系和脉络,所以内容上并没有全盘覆盖课本,而是有所侧重,打个比方,相当于是勾勒出的一个线性代数的基本框架,那么建议大家在此基础上多开阔思路,通过发散思维把框架之外的剩余部分囊括到自己的脑海中来:)线性代数知识点框架(五)由矩阵乘法的特点可知,计算一个矩阵A的n次方,相对于数乘运算来说要繁琐得多。

我们注意到,如果存在可逆矩阵P和对角矩阵∧,使得A=P*∧*P逆,那么有:A^n=(P*∧*P逆)^n=(P*∧*P逆)(P*∧*P逆)…(P*∧*P逆)=P*∧^n*P 逆由于对角矩阵的乘方容易计算,从而问题得到大幅简化。

对矩阵A、B来说,如果存在着可逆矩阵P,使得A=P *B*P逆,我们称A与B是相似的。

特别地,如果A与对角矩阵∧相似,则称A可对角化。

由此可见,如果矩阵A可对角化,那么A^n的计算将变得简单许多。

故可把相似的说法理解为一个在寻找矩阵乘方简便运算的过程中提出来的概念。

相似的矩阵有许多共同的性质,如有相同的秩和相同的行列式值,相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆,等等。

设矩阵A相似于对角矩阵∧,那么:A=P*∧*P逆<=>AP=P∧,其中P为可逆矩阵<=> A*(a1, a2, …, an)=(a1, a2, …, an)*∧,其中a1, a2, …, an 分别为可逆矩阵P的列向量,λ1, λ2, …, λn分别为对角矩阵∧的主对角线上元素<=> A*a1=λ1*a1,A*a2=λ2*a2,…,A*an=λn*an也就是说,矩阵A能对角化的关键,在于找到n个常数λ1, λ2, …, λn和n 个线性无关的向量a1, a2, …, an(因为这些向量构成的矩阵可逆,这也决定了零向量不是特征向量),使得A*ai=λi*ai(i=1,2,3,…,n)。

线代(2)期末复习题集1706

线代(2)期末复习题集1706

σ 是正交变换当且仅当 AT GA = G ; σ 是自伴变换(对称变换)当且仅当 AT G = GA 。
关于镜面反射,课本上已经有一到较为完善的比较灵活的习题,这里给出。 【习题 21】*(镜面反射,正交变换的第一类与第二类) (课本习题 10.7)
= 若 η 是 n 维欧式空间 V 中的一个单位向量, 定义 σ (α )
G (α1 , , α n ) =
( α1 , α1 ) ( α1 , α 2 ) ( α 2 , α1 ) ( α 2 , α 2 ) ( α n , α1 ) ( α n , α 2 )


( α1 , α n ) (α 2 , α n ) (α n , α n )

上学期的一道作业已经证明了向量组的 Gram 矩阵正定当且仅当向量组线性无关 (线性 相关时为半正定,这是 10 年期末考题) 。我们这里看一些别 Gram 矩阵的性质。 【习题 19】*(Gram 矩阵与基变换) (姚慕生高代习题书) 设 {e1 , en } 及 { f1 , f n } 为 n 维欧式空间 V 的两个基底,并设 {e1 , en } 到 { f1 , f n } 的过渡矩阵为 C 。证明 G ( f1 , f n ) = C T G (e1 , en )C 。 利用习题 18,可以很方便地解出下面的题目(其中包括了 12 年期末考题) 。 【习题 20】*(线性变换的矩阵和 Gram 矩阵的关系) 设 n 维欧式空间 V 的基底 {α1 , , α n } 的 Gram 矩阵为 G , V 上的线性变换 σ 在该基下 的矩阵为 A ,证明下面的两条结论。 (1) (2)
【习题 13】 (Jordan 标准型的计算) (15 年期末考题)
1 2 1 的 Jordan 标准型 J 。 求矩阵 A = 2 1 1 5 1

解析几何与线性代数(二)期中试卷

解析几何与线性代数(二)期中试卷

《解析几何与线性代数(二)》期中试卷一. 单项选择题1.两个同级矩阵相似的充分必要条件是( )A. 它们有相同的因子B.两个矩阵相等C.两个矩阵互逆D.两个矩阵的行列式相等2. f(x 1x 2……x n ) 是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数x 1x 2……x n, 如果都有f(x 1x 2……x n )<0,那么f(x 1x 2……x n )称为 ( )A. 负定B. 半正定C. 半负定D.不定3.下列说法错误的是( )A. 2341是一个4级排列B.对换改变排列的奇偶性C. 2341是一个奇排列D. 45321是一个奇排列4.找出下面错误的结论( )B. 次数≧1的复系数多项式的分解式是若干个一次因式的乘积C. 次数>1的复系数多项式都可约D. n 次复系数多项式有n 个复根E. n 次复系数多项式复根的个数可能少于n 个5.下面结论中有一个是错误的,它是( )A. 次数≧1的实系数多项式在复数域上至少有一个根B. 次数≧1的实系数多项式在复数域上至少含有一个一次因式C. 复系数域上所有次数大于1的多项式一定可分解为两个次数比它低的多项式的乘积D. 复数域上任意多项式都至少有一根6.下面的结论中有一个是错误的,它是( )A. 若非零有理系数多项式在有理域上可约,那么它在整数环上可约B. 若非零整系数多项式在有理域上可约,那么它在整数环上可约C. 若非零整系数多项式在整数环上可约,那么它在有理域上可约7.A 是s 行n 列的矩阵,B 是t 行m 列的矩阵,AB 满足什么条件时才能相加?( )A. s=n,t=mB.n=m,a ij =b ijC.s=t,n=mD.s=m,n=t8.当多项式f(x),g(x)满足以下哪个条件时互素?( )A.(f(x),g(x))=0B. (f(x),g(x))=1C. (f(x),g(x))=2D. (f(x),g(x))=39.45321是一个多少级的排列( )A.3B.4C.5D.610. 5.计算此排列415362的逆序数为( )。

《线性代数》学习笔记十二

《线性代数》学习笔记十二

主 题: 《线性代数》学习笔记 内 容:《线性代数》学习笔记十二 ——二次型1、二次型的矩阵表示 定义1 n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n na x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型,简称二次型(quadratic form).当ij a 为复数时,称f 为复二次型;当ij a 为实数时,称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型. 取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n n n nn n n n nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n nij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x 这里,显然有A A '=,即A 为实对称矩阵. 例如:二次型用矩阵可表示为()22223120213,,1223012f x y z xy yz x x y z y z =-+-+⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭二次型f 还可表示成向量内积形式()[][]f A A A '==x x x =x,x x,x .二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.由此可见,如果,A B 都是n 阶对称矩阵,且f A B ''=x x =x x ,则A B =.因此,若f A '=x x ,其中A A '=,则称A 为二次型f 的矩阵;称f 为对称矩阵A 的二次型;称()R A 为f 的秩. 例1 写出二次型221231233(,,)(22)f x x x x x x x =++-的矩阵A ,并求f 的秩. 2、二次型的标准形对于二次型11n nij i ji j f a x x ===∑∑,我们讨论的主要问题是:寻找可逆的线性变换C x =y ,使二次型只含平方项,使得2221122n nf y y y λλλ=+++,称为二次型f 的标准形.即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x =y y =y y λλλλλλ其中Λ=diag 12(,,,)n λλλ.因此,我们的问题就转化为:对给定对称矩阵A ,求可逆矩阵C ,使得C AC '为对角阵.一般地,有以下定义:定义2 设,A B 为n 阶矩阵,若有可逆矩阵C ,使B C AC '=,则称A 与B 合同. 因为若C 可逆,则C '也可逆,所以,由定义,若A 与B 合同,则A 与B 等价.从而,我们有(1)矩阵的合同关系具有反身性:A E AE '=;对称性:由B C AC '=即得11()A C BC --'=;和传递性:由111A C AC '=和2212A C AC '=即得21212()()A C C A C C '=; (2)若A 与B 合同,则()()R A R B =.(3)若A 是对称矩阵,且若A 与B 合同,则B 也是对称矩阵. 3。

大学 高等代数 线性代数

大学 高等代数 线性代数

复根(重根按重数计算).
二、实系数多项式
命题:若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根,则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根.
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 0 , 证:设 ai R
若 为根,则
f ( ) a n n a n 1 n 1 a 0 0
k 1 , , k s , l1 , , l s Z ,
p 2 4q 0, i 1, 2 r ,即 x 2 pi x qi 为 且
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式,所有次数≥3的多项式皆可约.
若 不为实数,则 也是 f ( x ) 的复根,于是
f ( x ) ( x )( x ) f 2 ( x ) ( x 2 ( ) x ) f 2 ( x )
设 a bi ,则
a bi ,
2a R , a 2 b 2 R
此时, f ( x ) 有重根, x 1 为 f ( x )的三重根.
ii) 若 r1 ( x ) 0, t
15 4
0,
即 t 15 , 4
1 2

f ( x ), f ( x )
x
此时, f ( x ) 有重根, x 1 为 f ( x )的二重根. 2
例3
举例说明下面命题是不对的.
" 是 f ' ( x )的 n重根 是 f ( x )的 n 1重根 "
1 3 解:令 f ( x ) x x 2 x 5, 则 3

线性代数应该这样学6:积空间,商空间,多项式

线性代数应该这样学6:积空间,商空间,多项式

线性代数应该这样学6:积空间,商空间,多项式在本系列中,我的个⼈见解将使⽤斜体标注。

每篇⽂章的最后,我将选择摘录⼀些例题。

由于⽂章是我独⾃整理的,缺乏审阅,难免出现错误,如有发现欢迎在评论区中指正。

⽬录Part 1:积空间积空间与和空间都是把多个向量空间联系在⼀起的⼯具,最后也会给出它们的联系。

向量空间的积(product of vector spaces) 设V1,⋯,V m都为F上的向量空间,规定它们的积为V1×⋯×V m={(v1,⋯,v m):v1∈V1,⋯,v m∈V m}.⼜被称为笛卡尔直积,在规定了向量空间积上的加法、标量乘法后,向量空间的积空间也成为向量空间。

V1×⋯×V m上的加法:(u1,⋯,u m)+(v1,⋯,v m)=(u1+v1,⋯,u m+v m).V1×⋯×V m上的乘法:λ(v1,⋯,v m)=(λv1,⋯,v m).要把积空间上的元素与m元组区分开。

m元组中每⼀个分量都是F上的数,积空间上的元素每⼀个分量都是V i(F)上的向量,因此⼆者的维数是不同的。

积的维数等于维数的和设V1,⋯,V m都是有限维向量空间,则V1×⋯×V m都是有限维的,且dim(V1×⋯×V m)=dim V1+⋯+dim V m.证明这个结论,只需要找到V1×⋯V m的⼀组基即可。

设e i,k是V i上的第k个基向量,则,⋯,0)(e1,1,⋯,0)⋯(e1,dim V1⋮⋮)(0,⋯,e m,1)⋯(0,⋯,e m,dim Vm以上向量阵中第i⾏拥有dim V i个元素,且容易证明它们线性⽆关、张成V1×⋯×V m,所以是积空间的⼀组基。

积空间与和设U1,⋯,U m都是V的⼦空间,线性映射Γ:U1×⋯×U m→U1+⋯+U m定义为Γ(u1,⋯,u m)=u1+⋯+u m,则U1+⋯+U m是直和当且仅当Γ是单射。

《线性代数的几何意义》之三(行列式的几何意义)

《线性代数的几何意义》之三(行列式的几何意义)

----图解线性代数----任广千胡翠芳编著2010.06.01《线性代数的几何意义》几何意义名言录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了,因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。

-------笛卡尔算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式;没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。

--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展,那它的进步十分缓慢,而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展,则就会相互加强,并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。

”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考,而不会正确思考的人不过是行尸走肉。

--------柏拉图无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。

学习一条数学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了, 我才认为真正懂了。

--------中国当代数学家徐利治第三章 行列式的几何意义在中国古代,用筹算表示联立一次方程未知量的系数时,就有了行列式的萌芽-----排列的方式。

日本吸收了这种思想,在1683年,日本学者关孝和(Seki Takakusu)对行列式的概念和它的展开已有了清楚的叙述。

到18世纪,瑞士数学家克莱姆(G.Gramer)和法国数学家拉普拉斯(place)建立了行列式理论。

行列式的几何意义具有深刻的含义。

它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有向体积。

这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。

在我们逐步地讨论这个几何意义之前,先来回顾一下行列式的定义。

3.1. 行列式的定义行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。

当然,如果行列式中含有未知数,那么行列式就是一个多项式。

它本质上代表一个数值,这点请与矩阵区别开来。

矩阵只是一个数表,行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。

行列式分阶,比如二阶行列式、三阶行列式直至n 阶行列式。

线性代数总结

线性代数总结

第一章1、矩阵乘法矩阵乘法通常满足分配律而一般不满足交换律即AB!=BAf(x),g(x)为多项式,有:f(A)g(A)=g(A)f(A)f(A)g(B)!=g(B)f(A)2、矩阵的转置(A+B)^T=A^T+B^T (AB)^T=B^TA^T(kA)^T=kA^T(A^T)^T=A若A^t=-A 称A为反对称矩阵(斜对称矩阵)任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和。

3、矩阵的初等变换4、逆矩阵B唯一,B的逆为A。

(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)(kA)^(-1)=(1/k)A^(-1)①A可逆②AX=0只有零解③Ab=0有唯一解〔①、③即为克拉默法则〕④A≌Ⅰ(等价)最简判断方法:det!=0逆矩阵求法:(A , I)—→(I , A^(-1))5、分块矩阵(注意使用即可)第二章1、性质(①、②为矩阵的某两行)某一行全为零,det=0某两行对应元成比例,则det=0 ①→k·①,则det→k·det①→k·②+①,则det不变①←→②,则det→(-det)detA=det(A^T)detA^-1=1/detAdetAB…N=detAdetB……detN det(kA)=k^n(detA)#伴随矩阵的性质y推导基础:AA*=A*A=(detA)Ⅰ若A可逆,则A^(-1) = (1/detA)A* det(A*)=(detA)^(n-1)(kA)*=k^(n-1)A*(A*)^(-1)= A^(-1)*(A^T)* =(A*)^T(AB)* = B*A*(A*)*=(detA)^(n-2) Ar(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA<n-1)} 2、矩阵的秩定义:矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩,零矩阵的秩为0。

性质:A可逆←→R(A)=nR(A)=0←→A=0R(A)=R(A^T)k≠0时,R(kA)=R(A)若P,Q为可逆矩阵,则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)A≌B←→R(A)=R(B)(1) 有:初等变换不改变矩阵的秩经过行初等变化把矩阵换为行最简,即可得到秩。

第一章多项式

第一章多项式

二、数域P上的一元多项式的运算

f x an x an 1 x
n n 1
a0 ai xi .
i 0 m
j 0
n
g x bm x m bm1 x m1 b0 b j x j .
是数域P上的两个多项式且设 m n.
(1) 证:若 f ( x ) 0,
2 2

2
x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 于是 从而
( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数.
i j i 0 j 0 k 0 n m l
现证 f x g x h x f x g x h x
左边 f x g x 中s次项的系数是: ai b j
左边 f x g x h x t次项的系数是:
an x n 称为多项式f(x)的首项, an 称为首项
系数,n称为多项式f(x)的次数,记为:
f x n.
例如
f x 3x 2 2 x 1,
f x 3,
f x 2,
f x 0
注:
数域上的每一个非零多项式有一个唯一确定的次数; 首项是零次项的多项式的次数为0; 零多项式是唯一不定义次数的多项式;
f x 3 ix 5 x 2 是C上多项式。
3 1 x 3x 2 2 3 x , ax , x x 1
都不是多项式。
2 多项式相等与零多项式

线性代数

线性代数

九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成,然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际 上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法,在中国古代的数学著作《九 章算术·方程》章中,已经作了比较完整的叙述,其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施 行初等变换,消去未知量的方法。
凯莱矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因若当的工作而达到了它的顶点。1888年,皮亚诺以公理的方式 定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体(domain)上的最一般的向量空 间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。
学术地位
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机 广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基 础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的 逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练,增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展,我们 不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性 化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以被计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代 数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容。
所谓“线性”,指的就是如下的数学关系:。其中,f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”,指的就是用符 号代替元素和运算,也就是说:我们不关心上面的x,y是实数还是函数,也不关心f是多项式还是微分,我们统 一把他们都抽象成一个记号,或是一类矩阵。合在一起,线性代数研究的就是:满足线性关系的线性算子f都有哪 几类,以及他们分别都有什么性质。

线性代数判断题(上)

线性代数判断题(上)

线性代数判断题(上)一.多项式 1.任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。

( )2. 若(),()[]f x g x P x ∈,且((),())1f x g x =,则(()(),()())1f x g x f x g x +=。

( )3.(),()[]f x g x Z x ∈,且()g x 为本原多项式,若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。

( )4.若一整系数多项式()f x 有有理根,则()f x 在有理数域上可约。

( )5. 设p(x)是数域p 上不可约多项式,那么如果p(x)是f(x)的k 重因式,则p(x)是f(x)的k-1重因式。

( )6、如果f(x)在有理数域上是可约的,则f(x)必有有理根。

( )7、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 ( )8、若p(x)是f’(x)内的k 重因式,则p(x)是f(x)的k+1重因式( )9、如果f(x)没有有理根,则它在有理数域上不可约。

( )10.奇次数的实系数多项式必有实根。

( )11. f(x)=x 6+x 3+1在有理数域上可约。

( )12.数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域( )13.f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。

( )14.数集}{为整数n n |2是数域 ( )15.n p x +,p 为素数在有理数域上是可约的。

( )16.有理数域是最小的数域 ( )17.f(x) g(x) h(x),是实数域上的多项式,若222()()()f x xg x xh x =+,那么f(x)=g(x) =h(x)=0.18.1()f x x x =+是一个多项式( )19若证明某个集合对加减乘除封闭,则它是一个数域。

( )20.对于任何正整数n(>=2)都有n 次不可约的有理系数多项式 ( )二.行列式1、若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于n 2-n ,则D=0 ( )2、设A 为n 级方阵:|A|=2 ,则|-3A|= -6 ( )3、设A 为n 级方阵:|A|=2,则|-A|=(-1)n 2 ( )4、6级行列式中,项a 32 a 45 a 51 a 66 a 25带负号 ( )5、0107310111187654321=--- ( ) 6.一个偶排列的逆序数为a,那么至少经过a 次变换成为自然顺序( )7.行列式的展开定理为(12)1211(1)j j jn n j njn j j j a a τ-∑ 三.线性方程组1、若向量组的秩为r ,则其中任意r+1个向量都线性相关。

线性代数下02最大公因式与因式分解

线性代数下02最大公因式与因式分解

f(x)与 g(x) 互素.
定理2 设 f(x), g(x)∈F[x],则 (f(x), g(x)) = 1 ⇐⇒ ∃u(x), v(x)∈F[x],s.t. u(x)f (x)+v(x)g(x) = 1. 证明思路:“⇒”由定理1即得 “⇐”若d(x)|f(x),d(x)|g(x), 则d(x)|1 ⇒ d(x)=1.
多项式的最大公因式 & 因式分解
1
上讲复习
1、代数基本系统简介
群(Group):集合+运算+4个条件(凤姐咬你) 环(Ring):集合+2运算(凤姐咬你脚、凤姐) 域(Field):集合+2运算(凤姐咬你双脚) 数域:包含 的域 (最小ℚ ,最大 )
2、多项式环F[x]: F上全体多项式对加法和乘法构成环
多项式的最大公因式 & 因式分解
一、多项式的最大公因式 二、互素多项式 三、唯一分解定理 四、 [x]中的因式分解 五、 [x]中的因式分解
4
一、多项式的最大公因式
问题: 中的最大公因子如何定义? 公因子+最大 这个概念是否可移植到多项式环F[x]中? 何谓最大? 定义1 (最大公因式) 设f(x), g(x)∈F[x],若∃d(x)∈F[x],s.t. (1) d(x) | f(x), 且 d(x) | g(x); (2) ∀h(x)∈F[x], h(x) | f(x), h(x) | g(x) =⇒ h(x) | d(x), 则称 d(x)是 f(x)与g(x)的最大公因式 (the Greatest Common Divisor). 并记 d(x)=gcd(f(x),g(x))=(f(x),g(x)) 注记:与 类似,条件(1)+(2 ⟺ 公因子+最大; 但这样定义的GCD不唯一! GCD( f , g ) d1 | d d q1d1 d q1qd deg( q1q ) 0 d d1 d | d1 d1 qd 约定:GCD为首一多项式(首项系数为1)——从而GCD唯一! 5

大学 高等代数 线性代数

大学 高等代数 线性代数

其中 ( r2 ( x )) ( r1 ( x )) 或 r2 ( x ) 0 . 若 r2 ( x ) 0 ,用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ,得
r1 ( x ) q3 ( x )r2 ( x ) r3 ( x ),
……
如此辗转下去,显然,所得余式的次数不断降低, 即
于是有
u( x ) f ( x )h( x ) v( x ) g( x )h( x ) h( x ) f ( x ) | f ( x )h( x )
又 f ( x ) | g( x )h( x ),
f ( x ) | h( x ).
推论
若 f1 ( x ) | g( x ), f 2 ( x ) | g( x ) ,且
证: " " 显然.
" " 设 ( x )为 f ( x ), g( x ) 的任一公因式,则
( x ) f ( x ), ( x ) g( x ), 从而 ( x ) 1, 又 1 ( x ),
( x ) c, c 0.
故 ( f ( x ), g( x )) 1.
………………
ri 2 ( x ) qi ( x )ri-1 ( x ) ri ( x )
……………… rs 3 ( x ) qs1 ( x )rs 2 ( x ) rs1 ( x )
rs 2 ( x ) qs ( x )rs1 ( x ) rs ( x ) rs1 ( x ) qs1 ( x )rs ( x ) 0
( f ( x )、g( x )) u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
注:
若仅求 ( f ( x )、g( x )) ,为了避免辗转相除时出现

(完整word版)《高等代数》课程教学大纲

(完整word版)《高等代数》课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲课程编号:090085、090022总学时:162学分:8适用专业:数学与应用数学、信息与计算科学课程类型:专业必修课开课单位:一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学,使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力;使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法,进而加深对中学代数的理解;使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力;使学生学习数学学科后续课程(如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等)提供一些所需要的基础理论和知识;使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。

《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一,也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。

讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质,基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。

本课程的主要任务是通过教学的主要环节(课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等),使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论(行列式、线性方程组、矩阵、λ矩阵)及线性代数的几何理论(线性空间、线性变换、欧氏空间)。

二次型、-二、课程教学内容和基础要求(1)理解多项式的定义,掌握最大公因式,互素,不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。

(2)理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质;理解向量组的线性相关性,掌握线性方程组的通解求法;理解矩阵的概念和运算,掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵的等价关系的性质及应用;理解二次型的定义,掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。

(3)理解线性空间的定义,掌握交空间、和空间及直和的判定及性质;理解线性变换的定义及简单性质,掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问题;会求矩阵的若当标准形;理解欧氏空间及对称变换的定义,掌握对称变换与实对称矩阵之间的关系的有关性质。

多项式x组合数学x线性代数总结

多项式x组合数学x线性代数总结

多项式x组合数学x线性代数总结多项式×组合数学×线性代数这是⼀篇总结......Part 1 多项式OI中的多项式常见的就是推卷积式⼦和⽣成函数,⼀般很少出现直接给式⼦的题⽬,与组合数学的联系相对⽐较紧密[HEOI2016/TJOI2016] 求和计算f(n)=n∑i=0i∑j=0ij×2j×j!,其中ij为第⼆类斯特林数考虑到i<j时S(i,j)=0推式⼦:\begin{array} _f(n) &= \sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^n \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix} \times 2^j \times j! \\ &= \sum\limits_{j=0}^n 2^j j! \sum\limits_{i=0}^n\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix} \\ &= \sum\limits_{j=0}^n 2^j j! \sum\limits_{i=0}^n \frac{1}{j!} \sum\limits_{k=0}^j (-1)^k \binom{j}{k} (j-k)^i \\ &= \sum\limits_{j=0}^n 2^j j!\sum\limits_{i=0}^n \sum\limits_{k=0}^j \frac{(-1)^k}{k!} \frac{(j-k)^i}{(j-k)!} \\ &= \sum\limits_{j=0}^n 2^j j! \sum\limits_{k=0}^j \frac{(-1)^k}{k!} \frac{\sum\limits_{i=0}^n(j-k)^i}{(j-k)!}\end{array}\sum\limits_{i=0}^n (j-k)^i可以预处理计算,⾥⾯的东西可以NTT求出,于是便可以O(nlogn)求出答案CF755G PolandBall and Many Other Balls给出⼀排n个球,定义⼀组只可以包括⼀个球或两个相邻球,⼀个球只能分到⼀个组中,求取出k组的⽅案数先考虑⼀个朴素的DP,记f_{i,j}表⽰i个球放j组的⽅案数,于是我们有:f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}+f_{i-2,j-1}表⽰可以不选,也可以单独⼀组,也可以和前⼀个球共同组成⼀组设F_i表⽰f_i的⽣成函数,于是,我们有:F_i=F_{i-1}+xF_{i-1}+xF_{i-2}得到F_i-(x+1)F_{i-1}-xF_{i-2}=0,发现这是个简单的递推,设特征⽅程:\lambda^2-(x+1)\lambda-x=0解得:\lambda_1=\frac{(x+1)+\sqrt{x^2+6x+1}}{2},\lambda_2=\frac{(x+1)-\sqrt{x^2+6x+1}}{2},即F_i=c_1\lambda_1^i+c_2\lambda_2^i,代⼊F_0,F_1\begin{cases} c_1+c_2=1 \\ c_1\lambda_1+c_2\lambda_2=x+1 \end{cases}解得:\begin{cases}c_1=\frac{(x+1)+\sqrt{x^2+6x+1}}{2\sqrt{x^2+6x+1}}\\c_2=\frac{-(x+1)+\sqrt{x^2+6x+1}}{2\sqrt{x^2+6x+1}}\end{cases}所以F_n=\frac{1}{\sqrt{x^2+6x+1}}(\frac{(x+1)+\sqrt{x^2+6x+1}}{2})^{n+1}+\frac{-(x+1)+\sqrt{x^2+6x+1}}{2\sqrt{x^2+6x+1}}(\frac{(x+1)-\sqrt{x^2+6x+1}}{2})^n发现后⾯的式⼦\mod x^{n+1}等于0,也就是说完全⽤不上,所以只要算第⼀个式⼦多项式全家桶就⾏[CTSC2006]歌唱王国字符集⼤⼩为n,有⼀个长为m的字符串S,在空串T后随机加⼀个字符,当S是T的连续字串后停⽌,问T的期望长度给出概率⽣成函数PGF的定义,如果对于某个离散型随机变量x,存在\{a_n\}满⾜P(x=i)=a_i,记\{a_n\}的概率⽣成函数为F_i=\sum\limits\limits_{i=0}^{+\infty}a_ix^i概率⽣成函数有以下性质:F(1)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}a_i=1E(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}ia_i=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}[x_i]F(1)'\begin{array} _D(x) &=E[(x-E(x))^2] \\ &=E(x^2)-E(x)^2 \\ &=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}[i(i-1)+i]a_i-[\sum\limits_{i=0}^{+\infty}[x_i]F(x)']^2 \\ &=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}[x^i] [F(x)''+F(x)'-(F(x)')^2 \end{array}设长度为i时结束的概率为f_i,未结束的概率为g_i我们可以得出以下两个式⼦:\begin{cases} g_{i-1}=f_i+g_i \\ g_i \times (\frac{1}{n})^m=\sum\limits_{j=1}^m border_j \times f_{i+j} \times \frac{1}{n}^{m-j} \end{cases}第⼀个表⽰i-1时未结束的概率是i时结束/未结束的概率之和第⼆个表⽰i时未结束,在T后⾯加⼀个名字,其中有可能在加第j个字符时就结束了,⽽此时加的j个字符⼀定满⾜S[1 \cdots j]=S[n-j+1 \cdots n],也就是说S的前j个字符是S的⼀个border记f的⽣成函数为F,g的⽣成函数为G{}{}Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js所以:\begin{cases} xG+1=F+G \\ G \times \frac{1}{n}^m=\sum\limits_{i=1}^m border_i \times F \times (\frac{1}{n}x)^{m-j} \end{cases}我们要求的就是E(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}[x_i]F(1)'对第⼀个式⼦求导,把x=1代⼊,得\begin{cases} F(1)'=G(1) \\ G(1)=\sum\limits_{i=1}^m border_i \times F(1) \times (\frac{1}{n})^{m-j} \end{cases}⼜有F(1)=1,故可以累加得到答案Part 2 组合数学注意⼀些常见套路和⼀些式⼦的组合意义,⼀些常⽤的组合恒等式需要能熟练应⽤[FJOI2016]建筑师有n个建筑,⾼分别为1~n,给出从左右看分别能看到的建筑个数A,B,求⽅案数肯定,⾼为n的建筑⼀定会被看见,考虑其它n-1个建筑会被分成A+B-2个部分,每⼀部分中最⾼的建筑的位置已经确定了,于是每⼀个部分就相当于⼀个起始段固定的圆排列,再考虑哪些部分放左边,答案就为\dbinom{A+B-2}{A-1}\begin{bmatrix}n-1\\A+B-2\end{bmatrix}[CTSC2017] 吉夫特给定⼀个长为n的序列a_1,\cdots,a_n,问有多少个长度⼤于等于2的不上升⼦序列b_i满⾜\prod\limits_{i=1}^{n}\dbinom{a_{b_i-1}}{a_{b_i}}\mod 2>0看到组合数和\mod 2,卢卡斯公式便是⼀个⼗分⾃然且优秀的想法\dbinom{n}{m}=\dbinom{n/2}{m/2} \times \dbinom{n \mod 2}{m \mod 2}实质上就是把n和m⼆进制分解考虑到\dbinom{1}{0}=1,\dbinom{1}{1}=1,\dbinom{0}{0}=1,\dbinom{0}{1}=0上式⼤于0当且仅当n某⼀⼆进制位为0时m也为0,即m是n的⼦集于是记f_i表⽰以i结尾的满⾜条件的⼦序列的⽅案数,枚举⼦集转移即可[PKUWC2018] 随机游⾛给出⼀颗n个结点的树,从x出发,每次等概率选择相邻的⼀条边⾛去,给出m次询问,给出⼀个集合S,求S中所有点⾄少经过⼀次的期望步数⾄少经过⼀次很不好求,考虑⽤Min-Max容斥转换成第⼀次经过记f_{u,s}表⽰当前在u,第⼀次经过s中的点的期望步数,有:f_{u,s}=\frac{1}{d_u}(\sum\limits_{v \in son}f_{v,s}+f_{fa,s})+1暴⼒解需要⾼斯消元,复杂度显然难以接受,考虑到这是⼀棵树,尝试分离⼉⼦和⽗亲的贡献,把f_i,s写成关于f_{fa,s}的函数设f_{i,s}=A_if_{fa,s}+B_i,重写⽅程:f_{i,s}=\frac{1}{du}(\sum\limits_{v \in son}(A_vf_{i,s}+B_v)+f_{fa,s})+1移项整理得:f_{i,s}=\frac{d_u}{(d_u-sum_A)}f_{fa,s}+\frac{d_u+sum_B}{(d_u-sum_A)}这样便可⼀次树形DP求出f_{x,s}记F_{x,s}为从x出发,⾄少经过s⼀次的期望步数,则F_{x,S}=\sum\limits_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1}f_{x,T}不需要每次询问都计算⼀次,可以⽤FWT预处理⼦集和优化Part 3 线性代数线性代数在OI中有很多应⽤,从⼴为⼈知的矩阵快速幂,线性基,⾼斯消元,到Matrix-Tree定理,到LGV引理LGV引理在⼀个有向⽆环图中,边有边权,出发点A:\{a_1,\cdots,a_n\},⽬标点B:\{b_1,\cdots,b_n\},a到b的⼀条路径记作P:a \rightarrow b,记w(u,v)=\sum\limits_{P:a\rightarrow b}\prod\limits_{e \in P}w_e记G=\begin{pmatrix}w(a_1,b_1)&\cdots&w(a_1,b_n)\\\vdots&\ddots&\vdots\\w(a_n,b_1)&\cdots&w(a_n,b_n)\end{pmatrix},有:|G|=\sum\limits_{(P_1,\cdots,P_n):A \rightarrow B} sign(\sigma(P))\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{e \in P_i} w_e即|G|是所有A到B的不相交路径P:(P_1,\cdots,P_n)的带符号和倘若把边权设为1,得到的就是不相交路径的⽅案数[模板]LGV引理给出⼀个n \times n的棋盘,只能向上或向右⾛,给出m个起点和终点,分别为(a_i,1),\cdots,(a_m,1)和(b_1,n),\cdots,(b_m,n),求不相交路径⽅案数容易看出从(a,1)⾛到(b,n)的⽅案数为\dbinom{b-a+n-1}{n-1},构造矩阵求出⾏列式即可Unknown给出⼀个图,每个边有⿊⽩两种颜⾊,求恰好有k条⽩边的⽣成树个数我们把⽩边的边权看作x,⿊边的边权看作1,这样,⽅案数就是⼀个关于x的n次多项式,我们要求的也就是x^k的系数把x分别带⼊0,1,\cdots,k,多点插值即可。

pdf1.7有理数域上的多项式(线性代数)

pdf1.7有理数域上的多项式(线性代数)

g ( x) = bn x n + 是两个本原多项式.令
h( x) = f ( x) g ( x) = cm + n x
i+ j =k
m+n
+
+ c1 x + c0 ,
其中ck = ∑ ai b j ,假设h( x)不是本原多项式, 则有素数 p 能整除 h( x)的所有系数.因为f ( x), g ( x) 都是本原多项式,故有i, j (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) 使得 p | a0 ,… , p | ai 1 , p ai , p | b0 ,… , p | b j 1 , p b j .
注意到 ci + j = a0bi + j +
+ ai 1b j +1 + ai b j + ai +1b j 1 +
+ ai + j b0 ,
而且 p整除上式中除ai b j以外的所有项,因此,也 必有p | ai b j .因为 p是素数,故p | ai或p | b j ,与假设 矛盾,因此h( x)是本原多项式.
引理7.1 每个非零的有理系数多项式均可分解成 一个有理数和一个本原多项式之积, 而且这样的分 解在不计 ± 号时是唯一的.
证明 设f ( x)是Q上的非零多项式, 则有整数a 使得af ( x)的系数均为整数.设b是af ( x)的所有 系数的最大公因子, 则有af ( x) = bg ( x), 其中g ( x) 是一个本原多项式, 从而f ( x) = (a / b) g ( x)是 一个有理数a / b和一个本原多项式g ( x)之积.
例如, 设f ( x) = 3 x x 6 x + 2.

有理系数多项式的复数根

有理系数多项式的复数根

有理系数多项式的复数根蔡改香【摘要】有理数域上有任意次的不可约多项式,这些不可约的有理系数多项式是没有有理根的,因此,探讨有理系数多项式复数根的一些性质是有意义的.【期刊名称】《廊坊师范学院学报(自然科学版)》【年(卷),期】2017(017)001【总页数】3页(P15-16,20)【关键词】有理数域;多项式;不可约;复数根【作者】蔡改香【作者单位】安庆师范大学,安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O151.21线性代数和多项式代数是高等代数的基本内容,多项式代数是研究多项式和多项式系统所定义的代数与几何对象的结构、性质、特征、表示及计算的非线性代数。

高等代数中多项式代数所研究的内容,包括整除性理论、最大公因式、重因式等。

而多项式的根在判断多项式整除、互素以及求最大公因式等都有作用。

由有理系数多项式不可约的Eistein判别法,我们知道,有理数域上存在任意次的不可约多项式,也就是说这些多项式都不存在有理根。

所以研究有理系数多项式的无理根以及复数根是很有意义和必要的。

文献[1-4]给出了有理系数多项式存在无理根的一些结论,文献[5]研究了有理系数多项式无理根的一些结果。

本文研究有理系数多项式复数根的一些相关结论。

定义1[6] 设Q是有理数域,x是一个符号,n是一个非负整数,称表达式为系数在有理数域Q中的一元多项式,简称为有理数系数多项式,有理数域Q上的一元多项式的全体记为Q[x]。

如果an≠0,则n为多项式f(x)的次数,记作∂(f(x))=n。

定义2[6] 如果f(x)在x=α时的函数值f(α)=0,那么称α是f(x)的一个根。

定义3[7] 设p(x)是数域P上的一个多项式,∂(p(x))≥1,如果p(x)不能表示成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积,则称p(x)是数域P上的一个不可约多项式,否则称其为可约多项式。

定理1[7] 如果α是实系数多项式f(x)的虚根,那么α的共轭复数,也是f(x)的根。

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p r2 2
(
x
)
prs s
(
x
)
中:
n
p r1 1
pr2 2

p rs s
4、 [x]中的因式分解:
完全分解为一次项 f ( x) c( x c1 )r1 ( x c2 )r2 ( x cs )rs
韦达公式
,⋯,
, 其中 k=1,2,···,n
5、 [x]中的因式分解:
实根孤独虚根成对 f ( x) c( x c1 )r1 ( x c2 )r2 ( x ck )rk
分解为1、2次项
( x2 p1x q1 )m1 ( x2 pl x ql )ml
本讲提要
有理系数多项式 & 线性映射复习
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理 二、整系数多项式的有理零点 三、Eisenstein判则 四、复习:线性映射与矩阵
《线性代数2》
杨晶
2012年 3月5日
第三讲
有理系数多项式 & 线性映射复习
1

特性
整数环
讲 乘法交换(交换环)

乘法消去律(无零因子)

复 可比大小(全序关系)
数值
习 带余除法(欧氏环)

整除关系+可约性
√,素数合数
公约数
最大公因子,最小公倍数
唯一分解定理(UFD)

1、最大公因式:
公因式+最大 条件, d(x)=gcd(f(x),g(x))
5
更具体地,有以下两个Claims:
Claim 1:ℚ[x]中多项式总可写为一个有理数及一个本原多 项的乘积, 即 f ( x) rf1( x) (r , f1 [x] primitive)
Claim 2: ℚ[x]中多项式 f 若有上述两种不同的写法,即 f ( x) rf1( x) sf2( x), r s, f1( x) f2(x)
其中 r, s , f1, f2 [x] primitive.
问题:本原多项式有何运算规律?
6
定理1 (Gauss引理) 两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式.
证明思路:设 f an xn an1xn1 a1x a0
g bm xm bm1xm1 b1x b0
4
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理
问题:ℚ[x]与 [x]有和区别何联系? 对任意有理系数多项式 f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 [x] 总存在 c ,s.t. cf ( x) [x]
把cf(x)的系数的最大公因子d提出来得 cf ( x) dg( x)
约定:GCD为首一多项式 : 从而GCD唯一!
算法:辗转相除法
多项式环F[x]

√ 次数 (deg 0=-∞)
√ √,不可约多项式
√,首1GCD

r1 q1r0 r1 r0 q2r1 r2 r1 q3r2 r3
ri1 qi1ri ri1
rs1 qs1rs rs1

f ( x) d g( x) rg( x)
c
其中r=d/c∈ℚ,g(x)∈ [x]系数的最大公因子为
定义1 (本原多项式) 设g(x)∈ [x],若它的系数的最大公因子 为 ,则称g(x)是本原多项式(primitive polynomial).
说明:ℚ[x]与 [x]中的多项式均可化为本原多项式来研究.

fg

cnm xnm

c xnm1 nm1

c1x

c0
其中ck a0bk apbk p akb0
反证法:若fg不是本原多项式,则存在素数p, s.t.
p | c0, p | c1 , , p | cmn
但由f,g是本原的知,存在i,j, 使得 p | ai , p | bj
f pq ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
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