两点式和截距式方程

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1.1.3直线的方程(第2课时直线方程的两点式截距式)课件高二上学期数学北师大版选择性(1)

C(0,2),求:
(1)边AC所在直线的方程;
(2)边BC上的中线所在直线的方程.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
解 (1)∵A(-5,0),C(0,2),∴直线AC的方程的截距式为

-5
+

=1
,化简得
2
2x-5y+10=0.
即边AC所在直线的方程为2x-5y+10=0.
已知条件
两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
式
其中x1≠x2,y1≠y2
示意图
方程
-1
-1
=
2 -1 2 -1
使用范围
斜率存在
且不为0
名师点睛
1.当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能
用两点式表示,即两点式不能表示与坐标轴垂直的直线.
即
2
y=- x-2.故
5
=
-5
,
0-5
BC 所在直线的方程为 2x+5y+10=0.
②设 BC 的中点为 M(x0,y0),则
又 BC 边上的中线经过点
5+0
x0=
2
=
5
(-4)+(-2)
5
,y0=
=-3.∴M ,-3)
2
2
2
-2
A(-3,2),∴由直线方程的两点式得-3-2
10 8
y=- x- .
11 11
故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x+11y+8=0.
-(-3)
=5
2
,即

福建省福清元载中学高中数学必修二第三章 3.2.2 直线的两点式与截距式方程

则直线的方程：；
注意：①不能表示与轴和轴垂直的直程可以适应在于任何一条直线.
（2）截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：；
注意：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使用.
[教学反思]
5.（选做）某房地产公司要在荒地ABCDE（如下图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.（精确到1 m2）
【课堂检测】
1．过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线方程是（）
A. ；B. ；
C. ；D. (
2.过点A 和B 的直线两点式方程是；
(A) ; (B) 或
(C) ；(D) 或
2.已知三个顶点是，， ,求BC边中线AD所在直线方程为
________________.
3.过点A（1，4）且纵、横截距的绝对值相等的直线共有条.
4.过两点和的直线在轴上的截距为（）.
A. B. C. D. 2
【小结与反馈】
(1)两点式：若已知直线经过和两点，且（），
2.截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.
3.两点式不能表示;截距式不能表示.
4.线段中点坐标公式
即学即练：
1．过两点和的直线的方程为（）.
A. B. C. D.
2.直线在x轴和y轴上的截距分别为________、________.
3.求过点，并且与两轴围成等腰三角形的直线方程..
【课外拓展】
1.已知△ 顶点为，求过点且将△ 面积平分的直线方程.
2.已知直线过点，且在两条坐标轴上的截距和为0，求直线的方程．

直线的两点式方程课件

2．对直线方程一般式的四点说明 (1)方程是关于 x，y 的二元一次方程． (2)方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y 的先后顺序排列． (3)x 的系数一般不为分数和负数． (4)虽然直线方程的一般式有三个系数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
3．五种直线方程形式的比较
名称
已知条件
类型三直线方程的一般式 [例 3] 把直线 l 的一般式方程 x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴、y 轴上的截距，并画出图形．
【解】将直线 l 的一般式方程化成斜截式 y＝12x＋3，
因此直线 l 的斜率 k＝12，它在 y 轴上的截距是 3，在直线 l 的方程 x－2y＋6＝0 中，令 y＝0，得 x＝－6，即直线 l 在 x 轴上的截距为－6.
原点的直线
知识点二线段的中点坐标公式若点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
则xy＝＝xy11＋＋22 xy22， .
知识点三直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：
2．直线的一般式方程式子：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0；条件：A，B 不同时为零；简称：一般式．
|素养提升|
1．对直线的两点式方程的三点说明 (1)如果将直线的两点式方程转化为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x －x1)，此时可以表示已知不重合的两个点确定的直线． (2)当已知的两点为 A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)时，由两点式可得直线方程ax＋by＝1，此方程为直线的截距式． ①其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距； ②截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线． (3)记忆特点： ①左边全为 y，右边全为 x； ②两边的分母全为常数； ③分子，分母中的减数相同．

直线的两点式与截距式方程

吕梁贺昌中学数学组
王晓彦
直线的截距式方程例2:已知直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学数学组
王晓彦
忽视截距为0的情形例3：已知直线l过点P(2,-1),且在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
直线的一般式方程【例1】根据下列条件分别写出直线的方程, 并化为一般式方程. (1)斜率是 3,且经过点 A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”.
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学数学组
王晓彦
问题 2：求经过两点 P ( a, 0), Q (0, b) 的直线 l 的过两点 P ( a, 0), Q (0, b) ，所以直线的两点式方程为
y0 xa b0 0a
直线的方程 —— 两点式与截距式吕梁贺昌中学数学组王晓彦
截距式方程
x y 整理得 1 a b
直线的方程 —— 两点式与截距式吕梁贺昌中学数学组王晓彦
x y 整理得 1 a b
注意：
（１）其中 a 为直线在 x 轴上的截距， b 为直线在 y 轴上的截距；
（２）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．
直线的方程 —— 两点式与截距式吕梁贺昌中学数学组王晓彦
那么经过两个定点的直线的方
程能否用“公式”直接写出来呢？
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学数学组

152940_直线的方程(2)——两点式、截距式_滕宏银

§7.1
直线的方程( 直线的方程(2)
例2,菱形的对角线长分别为和6,并 ,菱形的对角线长分别为8和 , 且分别位于x 轴上, 且分别位于轴和 y轴上,求菱形的各轴上边所在直线的方程. 边所在直线的方程.
§7.1
直线的方程( 直线的方程(2)
的直线L与轴例3,过点 ,过点P(-5,4)的直线与x轴,y轴分的直线轴分别交于A, 两点两点, 别交于 ,B两点,且P分有向线段分有向线段的比是2, 的方程. 的比是 ,求L的方程. 的方程
AB
§7.1
直线的方程( 直线的方程(2)
例4,求过点P(2, 3),并且在两坐标轴 ,求过点 , 上的截距相等的直线的方程. 上的截距相等的直线的方程. 变题1:上题中改为求截距的绝对值相变题 : 等的直线方程,结果如何? 等的直线方程,结果如何? 变题2:求过点P(2, 3),并且在轴上变题 :求过点 ,并且在x轴上的截距是在y轴上的截距轴上的截距2倍的直线的的截距是在轴上的截距倍的直线的方程. 方程.
当y1≠y2时
y y1 x x1 = y2 y1 x2 x1
§7.1
直线的方程( 直线的方程(2)
注:两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线. 的直线. 练习1:课本第41页 1 练习 :课本第页
§7.1
直线的方程( 直线的方程(2)
2,直线方程的截距式 ,直线方程的截距式若直线L与轴交点为若直线与x轴交点为 (a, 0),与y轴交 , 轴交其中a≠0,b≠0,由两点式 , 点为 (0, b), 其中 , ,
0 得 y 0 = x a b 0 0a
即
a b
叫做直线在x轴上的截距; 叫做直线在轴上的截距; 轴上的截距叫做直线在y轴上的截距叫做直线在轴上的截距. 轴上的截距

直线的方程-2两点式、截距式)PPT课件

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感谢您的观看
在交通领域，例如在道路规划中，可以使用这两种方程形式来表示道路的走向和交点。
在物理学中，例如在电场分析中，可以使用这两种方程形式来描述电场线的分布和方向。
04 练习与巩固
基础练习题
01
02
03
题目1
已知两点$P_1(x_1, y_1)$ 和$P_2(x_2, y_2)$，求直线方程的两点式。
直线的方程。
截距式方程
截距式方程是另一种形式的直线方程，它表示直线在x轴和y轴上的截距。
直线方程的应用
了解直线方程在实际问题中的应用，如几何、物理和工程问题。
学习心得体会
通过学习本章，我掌握了直线方程的两种形式，即两点式和截距式，并了解了它们在实际问题中的应用。
学习过程中，我遇到了一些困难，如理解截距式方程的推导过程和如何应用直线方程解决实际问题。但通过反复阅读教材和与同学讨论，我逐
在实际生活中，例如道路修建、桥梁设计等工程领域，常常需要使用到截距式直线方程来描述道路或桥梁的走向。
在解析几何中，截距式直线方程也是一种重要的直线方程形式，用于解决一些特定的问题。
03 两种直线方程的比较
异同点比较
相同点
两点式和截距式都是用来表示直线方程的方法，它们都可以表示直线上的点。
渐克服了这些困难。
学习本章后，我意识到数学在实际问题中的重要性，并计划在未来的学习中更加注重数学知识的应用。
下一步学习计划
深入学习直线的其他方程形式，如点斜式和斜截式。
学习如何利用直线方程解决更复杂的实际问题，如解析几何和物
理问题。
复习和巩固已学过的直线方程知识，确保自己能够熟练掌握和应

直线截距式、一般式

(
x1
x2 ,y1
y2)
两点
截距式
x a
y b
1a
,b
0
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程: Ax+By+C=0
（A，B不同时为0）
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线为：
(1)平行于x轴 A=0且B≠0且C ≠0 (2)平行于y轴 B=0且A≠0且C ≠0 (3)与x轴重合 A=0 且C=0且B≠0 (4)与y轴重合 B=0 且C=0且A ≠0
1、过点1（、0过，5）点，（0（，5）5，0，）（5，0）直线方程为：5x
y 5
1
2、过点（2、0，过3）点，（（0，34），0，）（4，0）直线方程为：x y 1
,0）的直线方程（. 其中a 0,b 0）
ly
（0, b）
O （a,0） x
x y 1 ab
小结
1. 直线方程常见的几种形式及其特点和适用范围.
2. 直线的一般式方程
P99 练习 1 P100习题3.2 A. 8,9
谢谢！再见！
直线的截距式，一般式
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程：
[已知两定点(不适合与x轴或y轴垂直的直线)]
引入已知下列条件，求直线方程
C
.
不
经
过
原
点
的
直
线都
可
以
用

直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳

直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程2．(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．3．直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【例2】直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程．(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．【例3】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【类题通法】1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)若l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0(或A1C2－A2C1=0)．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【练习反馈】1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．参考答案【例1】由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【对点训练】1．答案：(1)x ＝2 (2)－2【例2】[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.【对点训练】2．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1. ∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y 1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 【例3】[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0.l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【对点训练】3．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.(2)法一：设直线l 的斜率为k .∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直，∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12. 又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0.∵直线l 经过点A (2,1)，∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1.2．解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式． 3．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0. 答案：x －y ＋3＝04．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝05．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0. 整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0.又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y －5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。

两点式截距式方程

（1）直线上任意一点的坐标是方程的解（满足方程）
（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标
(Ⅲ)两点式方程
思考：已知两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), (其中x1≠x2,y1≠y2),
如何求出通过这两个点的直线方程呢？
l
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y2)
O
x
注意：既不垂直x轴，也不垂直y轴!
中点
第三步：点斜式求方程
y 3 2(x 3)
y 2x 3
▪ 例6 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截距的两倍，求直线l的方程.
▪ 解法1：设直线l的方程为y+1=k(x+4), ▪ 令x=0,得y=4k-1;令y=0,得x=(1/k)-4. ▪ 由(1/k)-4=2(4k-1),得8k2+2k-1=0. ▪ 可解得k=-1/2,k=1/4. ▪ 所求直线方程为：x+2y+6=0或x-4y=0.
例3 如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程. y B(0，b)
l
A(a，0)
O
x
注意：既不垂直x轴
纵截距
横截距
，也不垂直y轴,且不过原点!
a叫做直线在x轴上的截距；
b叫做直线在y轴上的截距.
截距式
P96例4
y
C(0,2)
A(-5,0)
▪ 作业
▪ B：P100 A1 (4)(6)， A3， A4, A9.
▪ 例6 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截距的两倍，求直线l的方程.
我们发现少了一条直线！怎样发生的？
是由截距式方程形式限制了直线不能过原点！

两点式与截距式

新课引入:
求分别经过下列两点的直线的方程: (1)P1(2,1)、P2（4，3）（2）P1（x1,y1)、P2（x2,y2). x1 , x 2 , y1 , y2 0
直线的两点式
y y1 y2 y1

x x1 其中 x1≠x2,y1≠y2 x2 x1
2.求过下列两点的直线的两点式方程, 再化为斜截式方程:
(1)求这个三角形三边所在直线的方程。
(2)求这个三角形边AB中线所在的直线方程
(3)求这个三角形边AB上的高所在的直线方程
例2、若直线l在x轴上的截距为 , 在y轴上的截距为 2 3 求直线l的方程
变式：求直线l的方程
若直线l在两坐标轴上的截距之和为0，且过点（， 2 3）
变：求过点P( 2, 3)的直线与两坐标轴正半轴
所围成的三角形的面积最小时的直线方程。
(1)P1(3,2),P2(-1,6);(2)P1(3,-4),P2(0,0)
(3)P1(0,-2),P2(3,0);(4)P1(a,0),P2(0,b).
直线的截距式
若直线l经过点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方程：
x y 1 0), B(3,-3), C(0, 2)

2.2.2 直线的两点式方程(解析版)..

2．2.2直线的两点式方程知识梳理知识点直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点题型探究题型一、直线的两点式方程1．已知点(1,2)A 、(1,2)B --，则直线AB 的两点式方程是______．【答案】2142y x --=--【详解】直线的两点式方程为：112121y y x x y y x x --=--，将点(1,2)A 、(1,2)B --代入得：2142y x --=--.故答案为：2142y x --=--.2．已知ABC 的三个顶点分别为)(7,4A ，)(3,1B -，)(5,2C -．(1)求ABC 的三边所在直线的方程；(2)求ABC 的三条中线所在直线的方程．【答案】(1):54190AB x y --=；:3810BC x y +-=；:6170AC x y -+=；(2)BC 边上的中线716150x y -+=；AB 边上的中线20350x y +-=；AC 边上的中线250x y +-=【详解】(1)由)(7,4A ，)(3,1B -，)(5,2C -知直线AB 的方程为471437y x --=---，整理得54190x y --=直线BC 的方程为(1)32(1)53y x ---=----整理得3810x y +-=直线AC 的方程为472457y x --=---，整理得6170x y -+=(2)BC 的中点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又)(7,4A 所以BC 边上的中线所在的直线方程为1(1)217(1)42y x ---=---，整理得716150x y -+=AB 的中点坐标为35,2⎛⎫⎪⎝⎭，又)(5,2C -所以AB 边上的中线所在的直线方程为35235522y x --=---，整理得20350.x y +-=AC 的中点坐标为()1,3，又)(3,1B -所以AC 边上的中线所在的直线方程为311331y x --=---，整理得250x y +-=．3．已知直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，求这条直线的方程．【详解】由直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．(1)当直线斜率不存在，即m ＝1时，直线方程为x ＝1；(2)当直线斜率存在，即m ≠1时，利用两点式，可得直线方程为y －01－0＝x －1m －1，即x －(m －1)y －1＝0.综上可得，当m ＝1时，直线方程为x ＝1；当m ≠1时，直线方程为x －(m －1)y －1＝0.题型二、直线的截距式方程1．回答下列问题：(1)任一条直线都有x 轴上的截距和y 轴上的截距吗？(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，那么它们在y 轴上的截距可能相同吗？(3)如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距可能相同吗？(4)任一条直线都可以用截距式方程表示吗？【答案】(1)不是都有；(2)不可能相同；(3)不可能相同；(4)不都可以.【详解】(1)直线10x -=在x 轴上的截距为1，在y 轴上无截距.则任一条直线不是都有x 轴上的截距和y 轴上的截距.(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，则这两条直线互相平行，那么它们在y 轴上的截距不相同.(3)假设两条直线在x 轴上的截距相同，又两条直线在y 轴上的截距相同，则这两条直线斜率相同，这与已知中两直线斜率不同矛盾.故如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距不可能相同.(4)直线10x -=在x 轴上的截距为1，在y 轴上无截距，不能用截距式方程表示.故任一条直线不都可以用截距式方程表示2．已知直线经过点)(2,5M -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，求该直线的方程．【答案】520x y +=或280x y ++=【详解】若直线经过原点()0,0，满足题意要求，此时直线方程为52y x =-，整理得520x y +=.若直线不经过原点，不妨设直线方程为12x ya a+=，又其过点()2,5M -，故可得151a a -=，解得4a =-，故此时直线方程为184x y -=-，整理得280x y ++=；综上所述，所求直线方程为：520x y +=或280x y ++=.3．已知不过原点的直线l 过点()3,2-且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程是______．【答案】50x y -+=【详解】l 不过原点且在两个坐标轴上的截距互为相反数，∴可设其方程为1x ya a-=，又l 过点()3,2-，321a a ∴--=，解得：5a =-，:155x yl ∴-+=，即l 方程为：50x y -+=.故答案为：50x y -+=.4．若直线1,(0,0)x ya b a b+=>>过点()2,4，则2a b +的最小值为___________.【答案】16【详解】因为直线1(00)x y a b a b +=>>，过点()2,4，所以241a b+=，因为0,0a b >>所以()24821622448216a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82a bb a=，即4,8a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为16故答案为：165．求经过点()1,4P ，且分别满足下列条件的直线方程：(1)在两坐标轴上的截距相等；(2)在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小．【答案】(1)5x y +=或4y x =；(2)260x y +-=【详解】(1)①当过(0,0)O 时，两坐标轴上截距为0，40410k -==-，所以直线方程为:4l y x =；②当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，即x y a +=，过点(1,4)A ，14a ∴+=，5a =，∴直线方程:5l x y +=.综上：直线方程:5l x y +=或4y x =(2)设直线的方程为1(0,0)x ya b a b +=>>，则有141a b+=，144()1()()5549b aa b a b a b a b a b∴+=+⨯=+⨯+=+++= ，当且仅当4b aa b=，即3a =，6b =时取“=”．∴直线方程为260x y +-=．跟踪训练1．已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3),(0,2)A B C --，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【答案】5360x y +-=；1350x y ++=．【详解】过(3,3),(0,2)B C -的两点式方程为203230y x --=---，整理得5360x y +-=．即BC 边所在直线的方程为5360x y +-=，BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为3032,22+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．过(5,0)A -，31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线的方程为05130522y x -+=--+，即11350222x y ++=．整理得1350x y ++=．所以BC 边上中线所在直线的方程为1350x y ++=．2．（1）已知直线l 经过点()()2,1,2,7A B -，求直线l 的方程；（2）已知点(3,)P m 在过点()()2,1,3,4A B --的直线上，求m 的值；（3）三角形的三个顶点分别是()()()1,0,3,1,1,3A B C --，求三角形三边所在直线的方程.【答案】（1）2x =；（2）2m =-；（3）AB ：410x y ++=；BC ：250x y +-=；AC ：3230x y -+=.【详解】（1）因为点A 与点B 的横坐标相等，故直线的斜率不存在，故所求直线方程为2x =.（2）由两点式方程，得过A ，B 两点的直线方程为(1)24(1)32y x ---=----，即10x y +-=.又因为点(3,)P m 在直线AB 上，所以310m +-=，得2m =-.（3）由两点式，得边AB 所在直线的方程为(1)30(1)13y x ---=----，即410x y ++=.同理，边BC 所在直线的方程为311331y x --=---，即250x y +-=.边AC 所在直线的方程为310311y x --=---，即3230x y -+=.3．判断命题“如果直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，则l 的斜率是ba”的真假．()【答案】错误【详解】由直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，可得直线过点()(),0,0,a b ，∴直线的斜率为00b bk a a-==--.∴命题“如果直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，则l 的斜率是ba”为假命题.故答案为：错误.4．求下列直线的方程：(1)通过(2,3),(1,2)A B --的直线；(2)通过(4,5),(0,0)M B 的直线；(3)在x 轴上的截距是2-，在y 轴上的截距是5-的直线；(4)在x 轴与y 轴上的截距都是12-的直线．【答案】(1)5310x y --=；(2)540x y -=；(3)52100x y ++=；(4)2210x y ++=【详解】(1)(2,3),(1,2)A B --,235123k --∴==--,∴直线方程为53(2)3y x -=-，即5310x y --=.(2)(4,5),(0,0)M B ,505404k -∴==-,∴直线方程为54y x =，即540x y -=.(3)在x 轴上的截距是2-，在y 轴上的截距是5-的直线,∴直线的方程为125x y +=--，即52100x y ++=.(4)在x 轴与y 轴上的截距都是12-∴直线的方程为11122x y +=--，即2210x y ++=.5．已知直线l 过点()2,1，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的两倍，则直线l 的方程为___________.【答案】20x y -=或240x y +-=【详解】当截距为0时，设直线方程为y kx =，直线l 过点()2,1，所以12k =，解得12k =，直线方程为12y x =，即20x y -=；当截距不为0时，设直线方程为12x ya a +=，直线l 过点()2,1，所以2112a a+=，解得2a =，直线方程为142x y+=，即240x y +-=；故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=.故答案为：20x y -=或240x y +-=.6．求过点(1,2)且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为92的直线方程．【答案】30x y +-=或460x y +-=.【详解】依题意，设直线在x ，y 轴上的截距分别为,a b (0,0a b >>)，则此直线的方程为1x ya b+=，因直线过点(1,2)，则121a b +=，又1922ab =，解得33a b =⎧⎨=⎩或326a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，于是有133x y +=或1362x y+=，即30x y +-=或460x y +-=，所以所求直线方程为30x y +-=或460x y +-=.高分突破1．已知0a b >>0，，直线x y b a+=在x 轴上的截距为1，则9a b +的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．10【答案】B【详解】因为直线x y b a+=在x 轴上的截距为1，所以10b a+=，即1ab =，因为0a b >>0，，所以9296a b ab +≥=，当且仅当9a b =，即13,3a b ==时取等号，所以9a b +的最小值为6，故选：B2．直线221x ya b-=在y 轴上的截距是()A ．||b B ．2b -C ．2b D ．b±【答案】B【详解】根据直线的截距式可知直线咋y 轴上的截距为-b 2故选：B3．（多选）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A ．320x y -=B ．10x y -+=C ．50x y +-=D ．4250x y -+=【答案】AB【详解】若直线l 过原点，则直线的方程为y kx =，将点(2,3)P 代入得32k =，所以直线方程为32y x =，即320x y -=；若直线l 不过原点，根据题意，设直线方程为1x ya a-=，将点(2,3)P 代入得1a =-，故直线l 的方程为10x y -+=；所以直线l 的方程为：320x y -=或10x y -+=．故选：AB ．4．(多选)下列说法中不正确的是()A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式【答案】ABC5．已知直线l 过点()1,3G -，()2,1H -，则直线l 的方程为__________．【答案】4350x y ++=【详解】由直线方程的两点式可得123112y x -+=--+,化简得4350x y ++=,故答案为：4350x y ++=.6．设m 为实数，若直线:210l x y m -+-=在y 轴上的截距为12，则m 的值为______．【答案】2【详解】直线:210l x y m -+-=,令x =0,则12m y -=，根据题意可知11,222m m -==，故答案为：27．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．【答案】3【详解】直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为32，2时，xy 取得最大值3.8．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求AB 边的高所在直线方程.【答案】(1)6110x y -+=；(2)6220x y +-=【详解】(1)因为A （-1，5）、B （-2，-1），所以由两点式方程可得511521y x -+=---+，化为一般式可得：6110x y -+=；(2)直线AB 的斜率为51612+=-+.所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=.9．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l 的方程．解∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a (a ≠0)，则直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为－a (a ≠0)，故直线方程为xa ＋y －a ＝1，即x －y －a ＝0.∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.10．已知直线l 过点()2,1P .(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点且斜率为负，O 为坐标原点，求OA OB +的最小值.【答案】(1)12y x =或3x y +=；(2)223+【详解】(1)当直线l 过原点时，则直线l 的方程为12y x =在两坐标轴上的截距相等；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a+=，将点()2,1P 代入得211a a+=，解得3a =，所以直线l 的方程为3x y +=，综上所述直线l 的方程为12y x =或3x y +=；(2)设直线l 的方程为()12,0y k x k -=-<，当0x =时，21y k =-+，当0y =时，12x k=-+，故()()1123223223OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+-+≥-⋅-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当()12k k⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即22k =-时取等号，所以OA OB +的最小值为223+.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的截距式方程．【详解】(1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M 0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y －52＝1.12．已知直线l 过点()1,2P ，与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若OAB 的面积为254，求直线l 的方程；(2)求OAB 的面积的最小值．【答案】(1):250l x y +-=或8100x y +-=；(2)4【详解】(1)法一：（1）设直线():1,0x y l a b a b +=>，则12112524a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得552a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或5410a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线:250l x y +-=或8100x y +-=．法二：设直线():21l y k x -=-，0k <，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -．则()21225122178024S k k k k ⎛⎫=--=⇒++= ⎪⎝⎭，∴12k =-或﹣8所以直线:250l x y +-=或8100x y +-=．(2)法一：∵121212a b a b =+≥⋅，∴8ab ≥，∴142S ab =≥，此时2a =，4b =．∴ABC 面积的最小值为4，此时直线:24l x y +=．法二：∵0k <，∴()()()121414124424222S k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+-+-≥+-⋅-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，此时2k =-，∴ABC 面积的最小值为4，此时直线:24l x y +=．。

直线的方程第二课时两点式、截距式

变题1：上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程，结果如何？变题2：求过点P(2, 3)，并且在x轴上的截距是在y轴上的截距2倍的直线的方程。
例5、求过点P( 2, 1)的直线与两坐标轴正
半轴所围成的三角形的面积最小时的直
线方程
练习3： 1、直线ax+by=1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是___________; 2、已知一直线在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，并且经过点P (6, -2),求此直线的方程。
k y 2 y1 x 2 x1
代入点斜式，得
当y1≠y2时
y y1 y 2 y1
y y1
y 2 y1 x 2 x1
( x x1 )

x x1
x 2 x1
注：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线。
练习1：课本第41页 1
2、直线方程的截距式若直线L与x轴交点为 (a, 0)，与y轴交点
直线的两点式、截距式方程
北师大版必修2第二章
§7.1 一、复习
直线的方程（2）
1、什么是直线的点斜式方程？
2、求分别过以下两点直线的方程
(1)A(8, -1) (2) C (x1, y1) B (-2 , 4) D (x2 ,y2) (x1≠x2, y1≠y2)
二、新课 1、直线方程的两点式若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，并且x1≠x2，则它的斜率
§7.1 小结：
直线的方程（2）
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
（1）两点式：
（2）截距式： x
a

y b
1
注意：两种形式方程的适Байду номын сангаас范围。

直线两点式截距式方程

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复习
直线的方程—一般式
1、直线的倾斜角、斜率
2、直线方程的点y斜 y式 1 k( x x1 )
3、直线方程的斜y截式 kx b
4、直线方程的两yy2点 y式 y11
x x1 x2 x1
5、直线方程的截x距式 y 1 ab
新课
以上的四种直线方程形式都是方程，但都有局限性。
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2、过点 P(0,1) 的直线 l，它在两直线 l1 : x 3 y 10 0与 l2 : 2x y 8 0 间截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程
3、两直线 A1 x B1 y 1 0 (A12 B12 0)和
A2 x
B2
y
1
0 (A22
B
2 2
0)相交于点P(3,2)，
变式2、求过点B 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程
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练习
直线的方程—两点式、截距式
2、求过点 P(2,4)在两坐标轴上的截距之和为15的直线方程
变式1、求过P (2,4)且与两坐标轴正方向围成面积为18的三角形的直线方程
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b0 0a
直线方程的截距式
x y 1 ab
直线方程的截距式不能表示哪些直线？
截距式适用于的_横__、__纵__截__距__都__存__在__且__都__不__为__0__直线.
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练习
1、三角形的顶点A(5,0)，B(3,3)， C (0,2)，求这个三角形三边所在的直线方程
变式1、求AB边上的中线所在的直线方程和ABC的重心坐标

直线的截距式方程

2、斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b。
3、两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)， P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1 ＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4、截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1。
直线截距式方程：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为a＋y/b＝1。
截距就是直线与坐标轴的交点的横（纵）坐标，注意斜率不能不存在或等于0，因为当斜率不存在时，直线垂直于X轴，没有纵截距，当斜率等于0时，直线平行于X轴，没有横截距。
直线方程的五种形式
1、点斜式：已知直线过点（x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)。
5、一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为0)的形式。

两点式_截距式方程

变式4:过点A的将△ABC面积两等分的直线方程
例2、过点A(2,-3),并且它的斜率等于直线
y 1 3 x 的斜率的2倍的直线方程.
变式1、过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直
线y
1 3
x 的倾斜角的2倍的直线方程
变式2、过点A(2,-3),并且它的倾斜角与直线
y 1 3 x 的倾斜角互补的直线方程
例7、已知直线 l : kx y 1 2k 0, ( k R ) (1)证明直线 l经过定点；（2）若 l交x负半轴于 A，与 y正半轴交于 B，求S OAB 最小值及相应的直线方 ( 3)若直线不经过三象限，
当k 0时，令x 0, 得y 2k 1 2k 1 令y 0, 得x k 直不过象线经三限
变式1：直线(m+2)x-(2m-1)y-(3m+3)=0所经过的
9 3 ( , ) 定点__________ 5 5
变式2：已知3m-n=1,则直线mx+ny=2所经过的
(6,2) 定点__________
变式3：已知m+n=k(k≠0),则直线mx+ny=2所经过
2 2 ( , ) 的定点__________ k k
.
C
变式1:BC边上中线的方程? 变式2:BC边上高所在直线的方程?
变式3:BC边上垂直平分线的方程? 3x-5y-7=0
例1、三角形的顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3) 求三边所在的直线的方程
变式1、求BC边上的高所在的直线的方程变式2、求BC边上的中线所在的直线的方程
变式3、求BC边的垂直平分线的方程
l
A(a，0) x
0

3.2.2 -直线的两点式与截距式方程

例7、直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截距的两倍，求直线l的方程.
小结
斜率和一点坐标斜率k和截距b
点斜式
斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式两点坐标点斜式两个截距截距式
y y0 k ( x x0 )
3.2.2直线的两点式及截距式方程
一、复习引入
复习
1). 直线的点斜式方程： y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点当知道斜率和一点坐标时用点斜式
巩固
2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b k为斜率，b为截距
当知道斜率k和截距b时用斜截式
3)特殊情况
1 已知直线l : y x 1， 2 求点P(3, 4)关于直线l的对称点
y
思考题2：
P(3, 4)
O
x
解：设对称点为Q(x,y)
PQ与L垂直
1 过PQ的直线的斜率为：k 2 1
过PQ的直线方程为：y-4=- ( x 3) 2
即x+2y-11=0
x3 y4 而PQ的中点在L上且中点坐标为( , ) 2 2 y4 x3 2( ) 1 (2) 2 2
B(-2,-4) 直线AB和L的交点，即三点共线时， |QA|-|QB|最大
解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
五、直线方程的应用例5、已知三角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。

直线的两点式和截距式方程

直线的两点式和截距式方程（导学案）知识目标：1•能根据点斜式方程推导两点式方程、根据两点式方程推导截距式方程2.掌握直线的两点式方程和截距式方程，会应用两点式方程和截距式方程解决相关问题（重点）3.能已知条件的特点，恰当选取方程的形式来求方程探究1写出下列经过A、B两点的直线的方程：(1) A (8，- -1)， B (-2, 4)解:(2) A (6，- -4)， B (-1, 2)解:y) B (X2, y2),其中X1M x2 , y M y(3) A （X1，解：思考1：上面问题的求解过程可以简化吗？已知两点Pg , y i） , P2 （ X2 , y2）,其中x i丰X2 , y i丰目2，则经过这两点的直线方程为思考2：若P1 , P2中有x1 = x2或y1 = y2，此时过这两点的直线方程是什么？综上所述，在运用两点式公式时应注意什么？探究2 已知直线I与x轴的交点为A （a，0），与y轴的交点为B （0，b），其中aM 0， bM 0，求直线I的方程。

思考3:应用截距式公式时应注意什么问题?y — y 0 = k(x-x 0)适用于不垂直于x 轴的任意直线;②斜截式y= kx + b 适用于不垂直x 轴的任意直线;x-計1适用于不垂直x轴的任意直线. 伊严例4已知三角形的三个顶点A (— 5, 0), B (3,— 3), C (0 , 2), 求BC 边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程。

例2根据下列条件，写出直线的方程(1) 倾斜角为30°,经过A (8,— 2);(2) 经过点B ( — 2, 0),且与x 轴垂直；(3) 斜率为一4,在y 轴上的截距为7;(4) 经过点 A (— 1, 8), B (4,— 2);(5) 在y 轴上的截距是2,且与x 轴平行；(6) 在x 轴，y 轴上的截距分别是4,— 3;例5经过点A (1, 2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线方程。

截距式斜截式两点式一般式

截距式斜截式两点式一般式平面直线表达式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)适用于所有直线，A1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A，纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)适用于不垂直于x轴的直线，表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b适用于不垂直于x轴的直线，表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) (x1≠x2，y1≠y2)适用于不垂直于x轴、y轴的直线，表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线这些都是平面几何中直线的表达式，从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。

在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。

因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。