高中数学函数图象以及其变换专题.doc

专题

函数图象及其变换

考点精要

1．理解指数函数的概念、图象及性质．

2．理解对数函数的概念图象和性质．

1

3．理解幂函数 y=x ， y=x 2，y=x 3

， y

1

，

y x 2

的图象及其性质．

x

4．掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质． 5．理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换．

热点分析

函数的图象是函数的一种重要表示方法， 利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质 . 基本初等函数的图像及其变换，是考查的热点；利用变换作图，也是考查的重点，利用形数结合的数学思想解题，看图想性质，数形转化灵活解题．

知识梳理

函数的图象及其变换

基础知识：

1．图象法： 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况． 体现：映射与反演、形数结合的数学思想． 2．基本初等函数图象

y=x n y=a x y=log a x y=sin x y=cosx y=tan x

初等函数图像：

2

k b y=kx y=kx+b y=ax +bx+c

y

y ax

x

x

3．作图基本方法

（1）利用描点法作图：

①确定函数的定义域：图象沿x 轴展布范围及渐近线；

②化简函数解析式：等价变形；

③讨论函数的性质：

奇偶性：关于图象对称性

单调性：关于图象升降性

周期性：关于图象重要性

极值、最值：关于图象最高点、最低点

截距：与 x 轴、 y 轴交点坐标

④画出函数的图象

（2）利用基本初等函数的图象的变换作图：

①平移变换

y f (x) h 0, 右移 h y=f （ x h）

h 0, 左移 |h |

y f ( x) k 0, 上移 k y=f （x）+k

k 0, 下移 | k |

②伸（放）缩变换：

沿 x 轴：y f ( x) 0

沿 y 轴： y = A f （ x）（A>0）

③对称变换：

y=f （x）y= f （ x）

y=f （x）y= f （x）

y=f （x）y=f （ 2a x）

y=f （x）y=f 1（ x）

y=f （x）y= f （x）

y=f （x）y=f （ | x| ）

y=f （x） y=| f （ x） |

④几种基本变换的合成 . y=f （ x）

待三角函数的复习中再集中进行研究．

y A f ( x) k 例题精讲 :

例 1 作出函数 y 2x 1

的图像，并指出函数的单调区间，图象的对称中心．

x 1

例 2作出函数的图像：

|x 1|

（ 1）y x2 2x 3 1

（ 2）y

2

（3）x3 （）x 2 （ 5）y log 2 x 1 （）

y 4 y

1 6 y lg x

x x （ 7）y2x 2

例

3 已知函数 f （x）和 g（x）的图像关于原点对称、且 f （ x） x2 x．

= +2

（1）求函数 g（x）的解析式；（2）解不等式g (x) f (x) | x1| ．

例 4、若不等式 x

2

log a x 0 对 x (0, 1

) 恒成立，则实数 a 的取值范围是

2

A 、 0 a 1

B 、

1

a 1 C 、 0 a

1

D 、 a 1

16

16

例 6、若直线 y

x m 与曲线 y

1 x

2 有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 ___________。

针对训练

1 1．函数 f ( x)

x 的图像关于

x

． y 轴对称 ．直线 y= x 对称 A

B

C ．坐标原点对称

D ．直线 y=x 对称

2．函数 y=x 的图像

1+cos

A ．关于 x 轴对称

B ．关于 y 轴对称

C ．关于原点对称

D ．关于直线 x

π

对称

2

3．设 a

a ）2（ x

b ）的图像可能是

4．与曲线 y

1

关于原点对称的曲线为

x 1

A ． y

1

B ． y

1 1 1

1 x

C ． y

D ． y

1 x

1 x

1 x

5．函数 y=lg| x|

A ．是偶函数，在区间 ( , 0) 上单调递增

B ．是偶函数，在区间 ( , 0) 上单调递减

C ．是奇函数，在区间 (0,

) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间 (0, ) 上单调递

减

．当 a >1 时，在同一坐标系中，函数 y=a x 与 y= log a x 的图像是 6

7．函数 y 1

1

的图像是

x 1

8．“ a= ”是函数 f （x ） =| x

a 在区间 1, 上为增函数的

1

|

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

．已知定义域为 R 的函数 f （x ）在区间 (8,

) 上为减函数，且函数 y=f （x

）为偶函数，则 9

+8

A ． f （6） >f （7）

B ．f （6）>f （9）

C ． f （ 7） >f （9）

D ．f （7）>f （ 10）

10．函数 f （ x ） =a x b 的图象如右图，其中

a ，

b 为常数，则下列结论正确的是

A ． a>1，b<0

B ． a>1，b>0

C ． 00

D ． 0

11．若 0

1，则函数 y=f （x ） =a x +b 的图象不经过

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限