高中数学函数图象以及其变换专题.doc
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【最新整理，下载后即可编辑】专题 函数图象及其变换考点精要1．理解指数函数的概念、图象及性质． 2．理解对数函数的概念图象和性质． 3．理解幂函数y=x ，y=x 2，y=x3，1y x=，12y x =的图象及其性质．4．掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质． 5．理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换．热点分析函数的图象是函数的一种重要表示方法，利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质.基本初等函数的图像及其变换，是考查的热点；利用变换作图，也是考查的重点，利用形数结合的数学思想解题，看图想性质，数形转化灵活解题．知识梳理函数的图象及其变换 基础知识：1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况． 体现：映射与反演、形数结合的数学思想． 2．基本初等函数图象y=x n y=a x y=log a x y=sin x y=cos x y=tan x 初等函数图像：y=kx y=kx+b y=ax 2+bx+ck y x=b y ax x=+3．作图基本方法（1）利用描点法作图：①确定函数的定义域：图象沿x 轴展布范围及渐近线； ②化简函数解析式：等价变形； ③讨论函数的性质：奇偶性：关于图象对称性 单调性：关于图象升降性 周期性：关于图象重要性极值、最值：关于图象最高点、最低点 截距：与x 轴、y 轴交点坐标④画出函数的图象（2）利用基本初等函数的图象的变换作图：①平移变换0,0,||()h hh h y f x ><=−−−−→右移左移y=f （x h ）0,0,()k k k k y f x ><=−−−−−→上移下移||y=f （x ）+k②伸（放）缩变换： 沿x 轴： ()y f x ω=()0ω>沿y 轴： y = A f （x ） （A >0）③对称变换：y=f （x ） y= f （x ） y=f （x ） y= f （x ） y=f （x ） y=f （2a x ）y=f （x ） y=f 1（x ）y=f （x ） y=f （x ）y=f （x ） y=f （|x |） y=f （x ）y=|f （x ）|④几种基本变换的合成. y=f （x ）−−−−→()y A f x k ωφ=++ 待三角函数的复习中再集中进行研究．例题精讲:例1 作出函数211x y x +=+的图像，并指出函数的单调区间，图象的对称中心．例2 作出函数的图像： （1）223y xx =--（2）|1|12x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）3x y x=（4）21x y x +=- （5）2log 1y x =- （6）lg y x =（7）22x y +=例3 已知函数f （x ）和g （x ）的图像关于原点对称、且f （x ）=x 2+2x ． （1）求函数g （x ）的解析式； （2）解不等式()()|1|g x f x x ≥--．例4、若不等式2log 0a x x -<对1(0,)2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是A 、01a <<B 、1116a ≤< C 、1016a <≤D 、1a >例6、若直线y x m =-与曲线y x =-12有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是___________。
高一数学函数图象的变换优秀课件
(3)伸缩变换：
y=f(x)
x
ωx (ω>1)
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1倍 ω
y=f(x)
x
ωx ( 0 < ω < 1)
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1倍 ω
y=f(x)
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1) 到原来的A倍，横坐标不变
y=f(ω x) y=f(ω x)
y= A f( x)
(4)翻折变换：分为左折与上折
y=f(x) 去掉y轴左边图象，保留y轴右边
图象，再作其关于y轴对称图象
y=f(x)
保留x 轴上方图象，再作
x轴下方部分关于x轴对称
y=f(|x|) y= |f(x) |
例1、作出函数y 2x1和y 2x 1的图象,并思考 与y 2x的图象的关联.
2x 2 x 1
例3.函数y 3x的图象经过怎样的变换得到y 3x1的图象？
y 3x
关键点
y 3x1
x 1 0
y
1
x 1
y
1
右移1个单位 (1,1) y 1
y 301 3
图象分析
例3.函数y 3x的图象经过怎样的变换得到y 3x1的图象？
解析式分析： y 3x
y (1)x 3
y 3x1 y 3( x1)
四个函数图象之间的关联.
y 2x y f (x)
y 2x y f (x)
b f [(a)] (a,b)
(a,b) b f (a)
b f [(a)] (a,b)
y f (x) y 2x
(a,b) b f (a)
y f (x) y 2x
函数图象的对称变换： y f ( x)与y f ( x)的图象关于y轴对称 y f ( x)与y f ( x)的图象关于x轴对称 y f ( x)与y f ( x)的图象关于原点对称
三角函数图像与变换
三角函数图像与变换一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将从三角函数的图像出发，探讨其与变换的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
二、三角函数的基本图像1. 正弦函数的图像正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像呈现周期性的波动形态。
当自变量为0时，正弦函数的值为0；当自变量为90度（或π/2弧度）时，正弦函数的值为1；当自变量为180度（或π弧度）时，正弦函数的值为0；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，正弦函数的值为-1；以此类推，正弦函数的图像在每个周期内都呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
2. 余弦函数的图像余弦函数与正弦函数非常相似，它们的图像在形态上只有一个平移。
当自变量为0时，余弦函数的值为1；当自变量为90度（或π/2弧度）时，余弦函数的值为0；当自变量为180度（或π弧度）时，余弦函数的值为-1；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，余弦函数的值为0；以此类推，余弦函数的图像也呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
3. 正切函数的图像正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像呈现出周期性的波动形态。
正切函数的图像在每个周期内都有一个渐进线，即在自变量接近90度（或π/2弧度）和270度（或3π/2弧度）时，函数值趋近于无穷大。
三、三角函数的变换1. 平移变换平移变换是指将函数的图像沿x轴或y轴方向移动一定的距离。
对于正弦函数和余弦函数，平移变换可以通过改变自变量的值来实现。
例如，将正弦函数的自变量增加π/4，可以使函数图像向左平移π/4个单位；将正弦函数的自变量减少π/4，可以使函数图像向右平移π/4个单位。
同样的，对于余弦函数，也可以通过改变自变量的值来实现平移变换。
2. 伸缩变换伸缩变换是指将函数的图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
对于正弦函数和余弦函数，伸缩变换可以通过改变自变量的系数来实现。
例如，将正弦函数的自变量乘以2，可以使函数图像在x轴方向压缩一倍；将正弦函数的自变量除以2，可以使函数图像在x轴方向拉伸一倍。
高一数学 函数图像的变换
函数图像的变换一、知识梳理1.水平平移：函数)(a x f y +=的图像是将函数)(x f y =的图像沿x 轴方向向左（a ＞0）或向右（a ＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的左、右平移变换. 2.竖直平移：函数a x f y +=)(的图像是将函数)(x f y =的图像沿y 轴方向向上（a ＞0）或向下（a ＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的上、下平移变换. 3.要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象y 轴右侧的部分对称到y 轴左侧去，而y 轴左侧的原来图象消失.称之为关于y 轴的右到左对称变换（简称去左翻右）. 4.要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象x 轴下方的部分对折到x 轴上方即可.叫做关于x 轴的下部折上变换（简称去下翻上）.5.要作)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以y 轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到y 轴左侧去.同时，将y 轴左侧的部分折到y 轴右侧去.叫做关于y 轴的翻转变换.6.要作函数)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以x 轴为对折线，把x 轴上方的图形折到x 轴下方去，同时又把x 轴下方的图象折到x 轴上方去即可.叫做关于x 轴的翻转变换.7.要作函数)(ax f y =（a ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短（a ＞1）或伸长（0＜a ＜1）到原来的a1倍（纵坐标不变）即可（若a ＜0，还得同时进行关于y 轴的翻转变换.这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换.8.要作函数)(x Af y =（Ａ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）或缩短（0＜Ａ＜1）到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可.这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于x 轴的翻转变换）.9.要作函数)(x a f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线x ＝2a的翻转变换即可. 实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于y 轴翻转变换的复合，即先把)(x f y =图象发生左右平移得到函数)(a x f y +=的图象，再关于y 轴翻转便得到)(x a f y -=的图象. 10.要作函数)(x f h y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线y ＝2h的翻转变换即可.实质上，这种变换是函数图象的关于x 轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数)(x f y =的图象发生关于x 轴的翻转变换得到)(x f y -=的图象，再把)(x f y -=的图象向上（h ＞0）或向下（h ＜0）平移｜h ｜个单位便得到函数)(x f h y -=的图象.综合第9、第10变换，要作函数)(x a f h y --=的图象，只需做出函数)(x f y =图象的关于点（2a ，2h）的中心对称图形即可. 二、方法归纳1.作图象：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法.作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（即单调性、奇偶性、周期性、有界性及变化趋势（渐进性质）；④描点连线，画出函数的图象.用图象变换法作函数图象，①要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换；②是确定实施怎样的变换.2.识图象：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面的观察，获取有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面的信息.3.关注函数图像的变换对函数的性质的影响.三、典型例题精讲【例1】函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为（ ）错解分析：错解一：由||log x a ≥0，得1||log +x a ≥1，即)(x f ≥1，故选B.错误在于误将||log x a 等同于|log |x a ，做出误判||log x a ≥0.错解二：没注意10<<a ，而默认为1>a ，故选Ｃ.解析：考虑10<<a ，当0>x 时，1log )(+=x x f a 为减函数，淘汰B 、Ｃ.当1=x 时，1)(=x f ，故选A. 又例：函数xy 3log 3=的图象大致是（ ）解析： 由x 3log ≥0，得x y 3log 3=≥1，故选A.【例2】函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）解析：因函数x x f 2log 1)(+=的图象是由x y 2log =的图象向上平移1个单位得到，故B 、C 、D 满足； 又函数11)21(2)(-+-==x x x g ，其图象为x y )21(=的图象向右平移1个单位得到， 故A 、C 满足.由此选C.技巧提示：本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择.本题亦可用特殊值法得到正确的选项.由1)1(=f ，可知B 、C 、D 满足；又2)0(=g ，可知A 、C 满足.故选C.又例：函数)32(-x f 的图象，可由函数)32(+x f 的图象经过下述哪个变换得到（ ）A.向左平移6个单位B.向右平移6个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析：将函数)32(+x f 中的x 用3-x 代之，即可得到函数)32(-x f ，所以将函数)32(+x f 的图象向右平移3个单位即可得到函数)32(-x f 的图象， 故选D.【例3】函数xy 3=的图象与函数2)31(-=x y 的图象关于（ ）A.点（－1，0）对称B.直线x ＝1对称C.点（1，0）对称D.直线x ＝－1对称解析：若记xx f y 3)(==，则)2(3)31(22x f x x -==--， 由于)(x f y =与)2(x f y -=的图象关于直线x ＝1对称，∴ 选B.技巧提示：若)(x f 自身满足)2()(x a f x f -=，则)(x f y =的图象关于直线x ＝a 对称；若)(x f 自身满足)2()(x a f x f --=，则)(x f y =的图象关于点（a ，0）对称. 两个函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图象关于直线x ＝a 对称； 两个函数)(x f y =与)2(x a f y --=的图象关于点（a ，0）对称.【例4】设22)(x x f -=，若0<<b a ，且)()(b f a f =，则ab 的取值范围是（ ）A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,解析：保留函数22x y -=在x 轴上方的图象，将其在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数22)(x x f -=的图象.通过观察图像，可知)(x f 在区间]2,(--∞上是减函数，在区间]0,2[-上是增函数， 由0<<b a ，且)()(b f a f =.可知02<<-<b a ， 所以2)(2-=a a f ，22)(b b f -=， 从而2222b a -=-，即422=+b a ，又ab ab b a b a 242)(222-=-+=-＞0，所以20<<ab .故选A.技巧提示：本题考查函数图象的翻折变换，体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数22x y -=的图象和性质，进而得到22)(x x f -=的图像和性质.由0<<b a ，且)()(b f a f =，得到422=+b a 才使得问题变得容易.又例：直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则a 的取值范围是 .解析：因为函数a x xy +-=2是偶函数，所以曲线a x x y +-=2关于y 轴对称.当x ≥0时，a x x y +-=2＝41)21(2-+-a x ， 其图象如下：由直线1=y 与曲线有四个交点，得⎪⎩⎪⎨⎧<->1411a a ，解得451<<a .故a 的取值范围是)45,1(.再例：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，1234_________.x x x x +++=解析：因为定义在R 上的奇函数，满足)()4(x f x f -=-，所以)()4(x f x f =-，函数图象关于直线2x =对称，且(0)0f =，再由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[－2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ， 不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-.【例5】定义在R 函数)(x f ＝mx xm +-2)2(的图象如下图所示，则m 的取值范围是（ ） A.（－∞，－1） B.(－1，2) C.(0，2) D.(1，2)解析：方法一（排除法）：若m ≤0，则函数mx xm x f +-=2)2()(的定义域不为R ，与图象信息定义域为R 不符，故排除掉A 、B. 取m ＝1，)(x f ＝12+x x，此函数当x ＝±1时，)(x f 取得极值， 与所给图形不符，排除C.选D.方法二：显然)(x f 为奇函数，又)1(f ＞0，)1(-f ＜0，即mm +-12＜0，解得－1＜m ＜2. 又)(x f 取得最大值时，x ＝m ＞1， ∴ m ＞1，∴ 1＜m ＜2.故选D.技巧提示：根据已给图形确定解析式，需要全面扑捉图象信息.m 对奇偶性影响不大，但对定义域、极值点影响明显.又例：当参数21,λλ=λ时，连续函数xx y λ+=1)0(≥x 的图像分别对应曲线1C 和2C ，则（ ） A.210λ<λ< B.120λ<λ< C.021<λ<λ D.012<λ<λ 解析：由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数0,021>λ>λ，即排除C ，D 项， 又取1x =，知对应函数值1111λ+=y ，2211λ+=y ，由图可知12,y y <所以12λλ>，即选B 项.【例6】定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -，已知函数|log |)(21x x f =的定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为 .错解分析：函数|log |)(21x x f =的图象如图.令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x . ∴2)4()41(==f f ，又0)1(=f ，∴],[b a 长度的最大值为314=-；最小值为43411=-. 故所求最大值与最小值的差为49433=-. 解析：函数|log |)(21x x f =的图象如上图.令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x . ∴],[b a 长度的最大值为415414=-；最小值为43411=-. 故所求最大值与最小值的差为343415=-. 技巧提示：准确作出函数的图象，正确理解区间长度的意义是解决此类问题的关键.又例:已知函数)12(log )(-+=b x f xa )1,0(≠>a a 的图象如图所示，则ab ，满足的关系是（ ）A.101a b -<<< B.101b a -<<< C.101ba -<<<-D.1101ab --<<<解析：由图易得1>a ，∴101<<-a取特殊点0=x ，0log )0(1<=<-b f a . 即1log log 1log 1a a ab a<<=-， x∴101<<<-b a .故选A.【例7】若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间[]b a ,，且b －a ＝2，则k = .分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出219x y -=，2)2(2-+=x k y 的图像，根据图像确定k 的值。
高中数学--函数图像变换（教案）-4页
平移a 个单位，（左（左++右—）右—）. . ②y =f (x ) ) →→y ＝f (x )±b (b >0)>0)图象图象图象 纵向 对称对称对称. . ③y =f (x ) ) →→y =－f (－x )图象关于原点x 对称对称. .⑤y =f (x ) ) →→y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称对称. . ⑥y =f (x ) ) →→y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称；对称； ⑦y =f (x ) ) →→y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称对称. . ⑧y =f (x ) ) →→y =2b －f (2a －x )图象关于点图象关于点((a ,b ) ) 对称对称对称. . 若f (x )=f (2a －x )()(或或f (a ＋x )=f (a －x ))))则函数自身的图象关于直线则函数自身的图象关于直线x =a 对称对称. .若函数()y f x=)图2—3 函数图像与函数图像与变换变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考高考要求B ），熟悉常见的函数图像（，熟悉常见的函数图像（平移平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）.教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。
变换。
教学过程：教学过程：一.知识要点：知识要点：1.1.常见函数图像及其性质：常见函数图像及其性质：常见函数图像及其性质： （1）平移变换：）平移变换： ①y =f (x ) ) →→y ＝f (x ±a )(a >0)>0)图象图象图象 横向 平移b 个单位，个单位，((上+下—下—) )③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；的图象； ④若将④若将曲线曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象的图象. . （2）对称变换：）对称变换： ①y =f (x ) ) →→y =f (－x )图象关于图象关于 y 轴 对称对称对称; ; ; 若若f (－x )=f (x ),),则函数自身的图象关于则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =f (x ) ) →→y =－f (x )图象关于x 轴 对称对称对称; ; ; 若若f (－x )=)=－－f (x ),),则函数自身的图象关则函数自身的图象关于原点对称于原点对称. .④y =f (x ) ) →→y =f －1(x )图象关于图象关于直线直线y =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx Û+=-()()f a b mx f mx Û+-=（3）翻折变换主要有）翻折变换主要有 ①y =f (x ) ) →→y ＝f (|x |)|)的图象在的图象在y 轴右侧轴右侧((x >0)>0)的部分与的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称轴对称. .②y =f (x ) ) →→y ＝|f (x )|)|的图象在的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的轴的对称图形对称图形. 二.基础练习：基础练习： 1.1.若把函数若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1(1，，0)0)变换成点变换成点Q (2(2，－，－，－1)1)1)，， 则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数的图象经此变换后所得图象的函数解析式解析式为 ( A )A.y ＝f (x －1)1)－－1B.y ＝f (x ＋1)1)－－1C.y ＝f (x －1)1)＋＋1D.y ＝f (x ＋1)1)＋＋1 2.2.已知函数已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x=0 解：解： 设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称轴对称. .5.5.函数函数y =12--x x的图象关于点的图象关于点(1(1(1，－，－，－1)_1)_1)_对称对称对称. .解：解： y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x 1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为而得到，故对称点为(1(1(1，－，－，－1). 1). 三例题精讲：例题精讲：例1.(1)1.(1)函数函数y=||x xa x (0(0＜＜a ＜1)1)的图象的大致形状是的图象的大致形状是的图象的大致形状是 （（ D D ））(2).(2).（（20092009·郑州模拟）定义运算·郑州模拟）定义运算,)()(îíì>£=Äb a bb a a b a 则函数f(x)=x21Ä的图象是的图象是 ( A ) ( A )(3). (3).已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的图象如图①所示，的图象如图①所示，的图象如图①所示，y=g(x)y=g(x)y=g(x)的图象如图②所示，则函数的图象如图②所示，则函数y=f(x)y=f(x)··g(x)的图象可能是图中的（的图象可能是图中的（ C C C ））例2. 2. 作出下列函数的图象作出下列函数的图象作出下列函数的图象..（1）.f (x )＝x 22－2|x |＋1 （2）f (x )＝x 22－2|x |＋1（3）f (x )＝|x 22－1|（4）f (x )＝ x 22＋2x ＋1 （5）y=112--x x ; （6）y=)21(|x||x|.（ （77）（2）y=|log 21（1-x 1-x））|；.解：解： y =f (|x |)|)是偶函数，是偶函数，是偶函数，图象图象关于y 轴对称.3.3.设函数设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于关于直线直线x =2对称，那么这个函数是y =24－x解 ∵y =f (x )的图象与y =f (4(4－－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4(4－－x )=24－x4.4.设函数设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1(1－－x ),),那么那么f (x )的图象有对称轴的图象有对称轴 直线直线x (8)y=21(lgx+|lgx|);例3.3.（（1）定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为__{0}.【解析】 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称的图象关于原点对称..即若y =f (x )上任一点上任一点((x ,y ),),则也有点则也有点则也有点((－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y ););根据根据根据函数的定义函数的定义，对于任一x ∈R,R,只能有惟一的只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0=0，，故函数的值域为故函数的值域为{0}. {0}.（2）已知函数f (x )定义域为R ，则下列命题中，则下列命题中①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)2)的图象关于的图象关于y 轴对称轴对称. . ②y =f (x ＋2)2)为偶函数，则为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称对称. . ③若f (x －2)=f (2(2－－x ),),则则y =f (x )关于直线x =2对称x 的图象的图象. . . 扩展：扩展：y ＝a x ＋ b a=21.④y =f (x —2)2)和和y =f (2(2－－x )的图象关于x =2对称. 其中正确命题序号有其中正确命题序号有__②④②④_(_(_(填上所有正确命题序号填上所有正确命题序号填上所有正确命题序号). ). 【解析】【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)2)是将是将f (x )的图象向左的图象向左平移平移2个单位得到的，个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,2,所以所以f (x ＋2)2)图象关于图象关于图象关于直线直线x =－2对称对称. . ②y =f (x ＋2)2)为偶函数，则为偶函数，则f (x ＋2)=f (2(2－－x ),),所以所以y =f (x )图象关于直线x =2对称对称. . ③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位， 分别得到f (x －2)2)与与f (2(2－－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 例4.4.设设f (x )是定义在R 上的上的奇函数奇函数，且f (x ＋2)=2)=－－f (x ),),又当－又当－又当－11≤x ≤1时，时，f(x)=f(x)=x 3. (1)(1)证明直线证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；的图象的一条对称轴；(2)(2)(2)当当x ∈［∈［1,51,51,5］时，求］时，求f (x )的解析式. 【解】【解】 (1) (1) (1)设设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为对称的点为((x 1,y 1), 则y 0=y 1,x 0=2=2－－x 1,∴y 1=f (2(2－－x 1)=)=－－f (－x 1)=f (x 1)∴(x 1,y 1)也在y =f (x )的图象上，命题成立的图象上，命题成立. .(2)(2)∵∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2)=(2－－x )3又当3<x ≤5时，时，－1<x －4≤1,1,此时此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=ïîïíì£<-££-)53(,)4()31(,)2(33x x x x 例5.5.设函数设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3-2|x|-1 (-3≤≤x ≤3). （1）证明：）证明：f(x)f(x)f(x)是偶函数；是偶函数；是偶函数； （（2）画出函数的图象； （3）指出函数f(x)f(x)的单调的单调的单调区间区间； （4）求函数的）求函数的值域值域.（1）证明证明 f(-x)=(-x) f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x 2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),∴∴f(x)f(x)是偶函数是偶函数是偶函数..（（2）解）解 当x ≥0时，时，f(x)=x f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，时，f(x)=x f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2, 即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22îíì<£--+££--x xx x根据二次函数的根据二次函数的作图作图方法，可得函数图象如图所示方法，可得函数图象如图所示.. （3）解）解 函数f(x)f(x)的单调区间为［的单调区间为［的单调区间为［-3-3-3，，-1-1）），［-1-1，，0），［0，1），［1，3］. f （x ）在区间［）在区间［-3-3-3，，-1-1）和［）和［）和［00，1）上为减函数，在［）上为减函数，在［-1-1-1，，0），［1，3］上为增函数］上为增函数..（4）解）解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为的最小值为-2,-2,-2,最大值为最大值为f(3)=2;当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为的最小值为-2,-2, 最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)f(x)的值域为［的值域为［的值域为［-2-2-2，，2］. 例6.6.作函数作函数y ＝x ＋ 1x（a ＞0，b ＞0）的）的图像图像.例7.7.（（1）已知函数y=f(x)y=f(x)的的定义域为R ，且当x ∈R 时f(m+x)=f(m-x)f(m+x)=f(m-x)恒成立恒成立恒成立. . 求证：求证：y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=m 对称； （2）若函数y=log 2|ax-1||ax-1|的图象的对称轴是的图象的对称轴是x=2,x=2,求非零实数求非零实数a 的值的值.. （1）证明）证明 设P （x 0,y 0）是y=f(x)y=f(x)图象上任意一点，则图象上任意一点，则y 0=f(x 0). 又设P 点关于x=m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为（′的坐标为（2m-x 2m-x 0,y 0）.由已知f(m+x)=f(m-x), 得得f(2m-x 0)=f )=f［［m+(m-x 0)］=f =f［［m-(m-x 0)］ =f(x 0)=y 0.即),-(200y x m P ¢在y=f(x)y=f(x)图象上，图象上，图象上，∴y=f y=f（（x ）的图象关于直线x=m 对称对称.. （2）解）解 ∵对定义域内的任意x,x,有有f(2-x)=f(2+x)f(2-x)=f(2+x)恒成立恒成立恒成立.. ∴|a |a（（2-x 2-x））-1|=|a -1|=|a（（2+x 2+x））-1|-1|恒成立，即恒成立， 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)||-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)||-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立恒成立恒成立.. 又a ≠0,0,∴∴2a-1=0,2a-1=0,得得自我检测自我检测1.1.（（20082008·全国Ⅱ理，·全国Ⅱ理，·全国Ⅱ理，33）函数f(x)=x1-x 的图象关于的图象关于 y=112+-x x . . （（3）y ＝îïíïìx ＋1 x ≤112（5－x ） 1 1＜＜x ≤34－x x ＞33.3.已知已知f(x)=[][],1,0,10,1,12îíìÎ+-Î+x x x x 则f(x-1)f(x-1)的图象是的图象是的图象是4.4.若函数若函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)g(x)的图象关于的图象关于的图象关于 y=x y=x y=x 对称，则函数对称，则函数g(x)= 2x-35. 5. 函数函数y=f(x)y=f(x)与函数与函数y=g(x)y=g(x)的图象如图的图象如图的图象如图,,则函数y=f(x)y=f(x)··g(x)g(x)的图象可能是的图象可能是的图象可能是 （（ A A ））6.6.设设a ＞1,1,实数实数x,y 满足满足|x|-log |x|-log a y 1=0,=0,则则y 关于x 的函数的图象形状大致是的函数的图象形状大致是 ( B ) ( B )7.7.使使log 2(-x)(-x)＜＜x+1成立的x 的取值范围是x=21对称；②对称；②f(x)f(x)f(x)在在(21,1),1)上单调递增；上单调递增；上单调递增； ③对任意的x ∈Z ，都有f(x)=0f(x)=0；；④函数()0,2p .其中正确命题的序号是_12x =-____坐标原点坐标原点对称对称2.2.作出下列函数的图象作出下列函数的图象作出下列函数的图象. . . （（1）y=2-2x；（2） .答案 答案 （-1-1，，0） 8.8.设设f(x)f(x)是定义在是定义在R上奇函数，在（0，21）上单调递减，上单调递减，且且f(x)=f(-x-1).f(x)=f(-x-1).给出下列四个结论：给出下列四个结论：①函数f(x)f(x)的图象关于的图象关于的图象关于直线直线y=f )2(x -p的图象是中心的图象是中心对称图对称图形，形，且对称中心为且对称中心为 .答案 答案 ①②③④①②③④9.9.当当x ∈(1,2)(1,2)时时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立恒成立,,则a 的取值范围为的取值范围为 . .答案 答案 (1,2 (1,2 (1,2］］ 10.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_y __轴对称的图像，再向__右__平移3个单位而得到单位而得到11.函数()lg(2)1f x x x =×+-的图象与x 轴的轴的交点交点个数有__2__个12.如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴的对称轴方程方程是。
高考复习函数图象及其变换课件
需要进一步研究和探讨的问题
对于一些复杂的函数图象及其变换，需要深入 研究其性质和特点，探讨其在实际问题中的应 用。
在函数图象及其变换的教学中，如何更好地结 合几何直观和代数推导，让学生更好地理解和 掌握相关知识点，是一个值得探讨的问题。
详细描述
通过函数图象的平移、对称、伸缩等变换，可以直观地观察到函数性质的变化 ，如函数的周期性可以通过观察图象的重复规律来理解，函数的奇偶性可以通 过观察图象的对称性来理解。
04
高考中函数图象及其变换的考查方式与解题 策略
CHAPTER
考查方式
函数图象的识别与绘制
考生需要能够根据函数表达式识别其图象的基本形状，并能够根 据给定的条件绘制出函数的图象。
谢谢
THANKS
将函数图象沿x轴方向向左或向 右移动，对应于函数解析式中的 x替换为x±h。
将函数图象沿y轴方向向上或向 下移动，对应于函数解析式中的 y替换为y±k。
伸缩变换
伸缩变换
将函数图象在x轴或y轴方向上进 行缩放。
横向伸缩
将函数图象在x轴方向上压缩或拉 伸，对应于函数解析式中的x替换 为λx（λ>1为拉伸，0<λ<1为压缩 ）。
掌握基本方法
Байду номын сангаас对于如何绘制函数图象、如何进行图象变换等基本方法，考生需要 熟练掌握，并能灵活运用。
多做练习
通过大量的练习，提高考生对函数图象及其变换的理解和掌握程度， 培养考生的解题思维和技巧。
高考真题解析
真题一
给出函数$f(x) = sin x$的图象，要求考生通过平移得到函数$g(x) = sin(x + frac{pi}{6})$的图象。
函数图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
高中数学高考重点难点讲解函数图像与图像变换
难点10 函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求b 的范围.●案例探究［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x 的值均有f(x+a)=f(a －x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a 对称；(2)若函数f(x)对一切实数x 都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目. 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化. 技巧与方法：数形结合、等价转化.(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a －x),∴f(2a －x0)=f ［a+(a －x0)］=f ［a －(a －x0)］=f(x0)=y0,∴(2a －x0,y0)也在函数的图象上，而2)2(00x x a +-=a,∴点(x0,y0)与(2a －x0,y0)关于直线x=a 对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.［例2］如图，点A 、B 、C 都在函数y=x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a+1、a+2.又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f(a),△A ′BC ′的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. 错解分析：图形面积不会拆拼. 技巧与方法：数形结合、等价转化.解：(1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f(a)=S △AB ′C=S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B=21(A ′A+C ′C)=21(2++a a ),g(a)=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B=B ′B=1+a .0)11121(21)]1()12[(21)122(21)()()2(<++-+++=-+-+-+=+-++=-a a a a a a a a a a a a g a f ∴f(a)<g(a). ●锦囊妙计1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)当a ≠0时，y=ax+b 和y=bax 的图象只可能是()2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()二、填空题3.(★★★★★)已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________. 三、解答题4.(★★★★)如图，在函数y=lgx 的图象上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1).(1)若△ABC 面积为S ，求S=f(m); (2)判断S=f(m)的增减性.5.(★★★★)如图，函数y=23|x|在x ∈［－1,1］的图象上有两点A 、B ，AB ∥Ox 轴，点M(1，m)(m ∈R 且m>23)是△ABC 的BC 边的中点.(1)写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S=f(t); (2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C 点坐标.6.(★★★★★)已知函数f(x)是y=1102+x－1(x ∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－21-x 的图象关于y 轴对称，设F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数F(x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由.7.(★★★★★)已知函数f1(x)=21x -,f2(x)=x+2,(1)设y=f(x)=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[),(3)0,1[),(21x x f x x f ，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a 的范围.(3)若f1(x)>f2(x －b)的解集为［－1，21］，求b 的值.8.(★★★★★)设函数f(x)=x+x 1的图象为C1，C1关于点A(2，1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).(1)求g(x)的解析表达式；(2)若直线y=b 与C2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标；(3)解不等式logag(x)<loga 29(0<a<1).参考答案难点磁场解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1，0)，∴f(x)=a+b+c ①,又有f(－1)＜0,即－a+b －c ＜0②,①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0) 解法二：如图f(0)=0有三根，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x －1)(x －2)=ax3－3ax2+2ax,∴b= －3a,∵a>0,∴b ＜0. 歼灭难点训练一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B 中a>0,b>1,∴ba>1,C 中a ＜0,b>1,∴0＜ba ＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴ba>1.故选择支B 、C 、D 均与指数函数y=(ba)x 的图象不符合. 答案：A2.解析：由题意可知，当x=0时，y 最大，所以排除A 、C.又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降. 答案：D二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>－2) F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2)=log21441log 441log )2(122222+++=+++=++x x x x x x x x )1(21111log 2->++++=x x x∵x+1>0,∴F(x)≤41log 211)1(21log 22=++⋅+x x =－2当且仅当x+1= 11+x ,即x=0时取等号.∴F(x)max=F(0)=－2. 答案：－2三、4.解：(1)S △ABC=S 梯形AA ′B ′B+S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C. (2)S=f(m)为减函数.5.解：(1)依题意，设B(t,23 t),A(－t, 23t)(t>0),C(x0,y0). ∵M 是BC 的中点.∴20x t +=1,223y t + =m.∴x0=2－t,y0=2m －23t.在△ABC 中，|AB|=2t,AB 边上的高hAB=y0－23t=2m －3t. ∴S=21|AB|·hAB= 21·2t ·(2m －3t),即f(t)=－3t2+2mt,t ∈(0,1).(2)∵S=－3t2+2mt=－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t=3m 时，Smax=32m ,相应的C 点坐标是(2－3m , 23m),若3m>1,即m>3.S=f(t)(0，1］上是增函数，∴Smax=f(1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3).6.解：(1)y=1102+x－1的反函数为f(x)=lg x x+-11(－1＜x ＜1). 由已知得g(x)=21+x ,∴F(x)=lg x x +-11+21+x ,定义域为(－1，1).(2)用定义可证明函数u=x x +-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y=lgu 是增函数.∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B.7.解：(1）y=f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x .图略.y=f(x)的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+2)π. (2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1.(3)若f1(x)>f2(x －b)的解集为［－1，21］，则可解得b=235-.8.(1)g(x)=x －2+41-x .(2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0). (3)不等式的解集为{x|4＜x ＜29或x>6}.。
高中数学函数图象及其变换专题.doc
专题函数图象及其变换考点精要1.理解指数函数的概念、图彖及性质.2•理解对数函数的概念图象和性质.1 13•理解幕函数y三X, y=x2, y三？，尸一，y = x2的图象及其性质.x4.掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质. 5•理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换.热点分析函数的图象是函数的一种重要表示方法，利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质.基本初等函数的图像及其变换，是考查的热点；利用变换作图，也是考查的重点，利用形数结合的数学思想解题，看图想性质，数形转化灵活解题.知识梳理函数的图象及其变换基础矢口识・1.图W：就是用函数图象表示两个变量之间的关系优点：能直观形象地表示出函数的变化情况.体现：映射与反演、形数结合的数学思想.2.基本初等函数图象y=x n y=a^ y=\og（l x y=siru: y=cos^ }?=taiLv 初等函数图像：y=kx y=kx+b y=aX1-^-bx+c y = - y = ax+ -x x3.作图基本方法（1）利用描点法作图：①确定函数的定义域：图象沿兀轴展布范围及渐近线；②化简函数解析式：等价变形；③讨论函数的性质：奇偶性：关于图象对称性单调性：关于图象升降性周期性：关于图象重要性极值、最值：关于图象最高点、最低点截距：与x轴、y轴交点坐标④画出函数的图象（2）利用基本初等函数的图象的变换作图：①平移变换y=f（^ >y=f（皿尸/⑴忌■驟〉y=f M②伸（放）缩变换：③ 对称变换:y=f (x) ——―> y= -f (x) y-f (x)―> y-f (-x) 冃(x) 冃(x)y=f (兀) y=f (^)待三角函数的复习屮再集屮进行研究. 例题精讲：例I 作出函数尸欝的图像，并指出函数的单调区间，图象的对称中心.例2作岀函数的图像:(7) y = 2X+2例4、若不等式x 2-lo g</x<0对施（0丄）恒成立，则实数Q 的取值范围是沿兀轴: 沿y 轴:y = /(x)0«o<l-伸K 到丄倍y = f(cox) （69>0）0<4<1.» 短？M 倍尸/⑴小伸2钿/厂心（兀）3>0）> W （M ） y=f (x)上方图紀上掉用卜•方■片把卜方图娥对納fesu> y=\f (x)④几种基本变换的合成.y=f （x ） -------------- > y = A /(ex + 0) + k (1) y= x 2 -2x-3(3) y =—X(4)(］屮T (2) y=丄(2丿(5) y = |log 2x-1(6) y= lgx已知函数/（x ）和g （兀） 的图像关于原点对称、且/ （x ） =F+2X .（1）求函数g （x ）的解析式;(2)解不等式g(x)>f(x)-\x-l\.l ，L -Vr=<j > y=f (2a-x)> y= -f (-x)侧血轴右型图紀恸粕 右边用線.井把仃边图後対称到左边x + 2A 、0<tz< 1B 、—<a<lC 、0<6i<—D 、a > 1 16 16例6、若直线y = x-m 与曲线『=Jl-x?有两个不同的交点,则实数加的取值范IH 是 ___________ o针对训练1. 函数f(x) = --x 的图像关于XA. y 轴对称C.坐标原点对称2. 函数y=l+cosx 的图像A.关于兀轴对称B. 直线y=-兀对称 D.直线〉=兀对称B. 关于y 轴对称D.关于直线•怕对在区间(—,0)上单调递减C. 是奇函数，在区间(0, + oo)上单调递增7. 函数y = l-—的图像是x-1在区间(0,4-oo)上单调递减 C.关于原点对称3. 称设 函数 y 二(x-a) 2 (x-b)的图像可能是4. 5.与曲线y =—・关于原点对称的曲线为 x-1A. y = —!—• 1 +兀 函数 y=lg|x| A ・是偶函数，yA / 0/9cC. y 1~l-xy/V()/-1在区间(YO ,0)上单调递增B. 是偶函数,D. 是奇函数,-VD.D15.函数f(x)=-4x-4 X 2-4X + 3Bx<\的图像和函数g (X )=10g2兀的图彖的交点个数是8.是函数f (x) =\x-a\在区间［1, + x)上为增函数的A ・充分不必要条件 B.必要不充分条件C ・充要条件D.既不充分也不必要条件9. 已知定义域为R 的函数/(%)在区间(& + oo)上为减函数，且函数y=f (x+8) 为偶函数，则A- f (6) >f (7) B. f (6) >f (9) C. f (7) >f (9) D./(7)>f(10) 10. 函数/ (兀)的图象如右图，其中G, b 为常数，则下列结论正确的是B. a>\, b>0 D. 0<a<\, b<0 11. 若0SV1, bv-1,则函数y 寸(Q =/+b 的图彖不经过A.第一彖限B.第二彖限 C ・第三象限 D.第四彖限 12. 函数y=f (x)的图像与函数g (x) =log 2x (x>0)的图象关于原点对称，则 f (x)的表达式为 A ・ /O)= —(兀 >0) B. /(x) = log 2(-x) (x<0) log 2xI Iy1 1 111 1O 'vA. a>\, b<0C. 0<6/<1, b>0C ・ /(x) = -log 2x(x>0)13・向高为力的水瓶注水，注满为止, 示，那么水瓶的形状是D ・ f(x) = -log 2(-x) (x < 0)若注水量v 与水深h 的函数关系如右图所ACD14.函数尸严环-1|的图像大致是hD.X答案:针对训练1. C2. B 3・ C 4. A 5・ B 6. A 7・ B 8. A 9・ D 10. D 11. A12. D 13. B 14. D 15. 3高考链接1（06北京理）在下列四个函数屮，满足性质：“对于区间（1,2）上的任意兀］，兀2（兀I 工兀2），l/（-r i）_/（X2）l<l X2_X l IB成立”的只有(A) /(x)=-(B)/(x) =|x|(C) f(x) = 2X(D) /(x) = x22（全国）若0<a<\,/?<-1,则函数y寸（x）的图象不经过A.第一象限B.第二象限C・第三象限 D.第四象限3（08北京）如图，函数/（x）的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0,4(全国)函数y=\g\x\A・是偶函数,在区间(—,0)上单调递增 B.是偶函数，在区间(-8, 0)上单调递减C・是奇函数，在区间(0, + oo)上单调递增 D.是奇函数，在区间(0, + oo)上单调递减5(08山东)函数f (x) =a x^的图象如右图，其中d, b为常数,则下列结论正确的是A. d>\, b<0C.0<a<\, b>0答案:1A 2 A 3 2_ 4B 5 D B. a>\ b>0 D> 0<a<l, b<0。
高中数学函数图象变换
函数图象变换1. 画函数图的方法：（1）描点法：为了通过描少量点就能得到比较准确的图象，常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质进行讨论；（2）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出图象；（3）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的函数的要先变形，并注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。
2. 图象变换（1）平移变换①水平平移：y ＝f （x ±a ）（a ＞0）的图象，可由y ＝f （x ）的图象向左（＋）或向右（－）平移a 个单位而得到。
②竖直平移：y ＝f （x ）±b （b ＞0）的图象，可由y ＝f （x ）的图象向上（＋）或向下（－）平移b 个单位而得到。
（2）对称变换①y ＝f （－x ）与y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称。
②y ＝－f （x ）与y ＝f （x ）的图象关于x 轴对称。
③y ＝－f （－x ）与y ＝f （x ）的图象关于原点对称。
④y ＝f －1（x ）与y ＝f （x ）的图象关于直线y ＝x 对称。
（3）翻折变换①作为y ＝f （x ）的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f （x ）|的图象。
②作为y ＝f （x ）在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得到y ＝f （|x |）的图象。
（4）伸缩变换①y ＝af （x ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每点的纵坐标伸（a ＞1时）缩（a ＜1时）到原来的a 倍。
②y ＝f （ax ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）的图象上每点的横坐标伸（a ＜1时）缩（a ＞1时）到原来的a1。
总结：①左右平移把函数()y f x =的全部图象沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图象②上下平移把函数()y f x =的全部图象沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图象例题翻折变换 画出下列函数的图象223y x x =-- 答案：总结： ①关于形如()y f x =的图象画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-。
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专题
函数图象及其变换
考点精要
1．理解指数函数的概念、图象及性质．
2．理解对数函数的概念图象和性质．
1
3．理解幂函数 y=x ， y=x 2，y=x 3
， y
1
，
y x 2
的图象及其性质．
x
4．掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质． 5．理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换．
热点分析
函数的图象是函数的一种重要表示方法， 利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质 . 基本初等函数的图像及其变换，是考查的热点；利用变换作图，也是考查的重点，利用形数结合的数学思想解题，看图想性质，数形转化灵活解题．
知识梳理
函数的图象及其变换
基础知识：
1．图象法： 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况． 体现：映射与反演、形数结合的数学思想． 2．基本初等函数图象
y=x n y=a x y=log a x y=sin x y=cosx y=tan x
初等函数图像：
2
k b y=kx y=kx+b y=ax +bx+c
y
y ax
x
x
3．作图基本方法
（1）利用描点法作图：
①确定函数的定义域：图象沿x 轴展布范围及渐近线；
②化简函数解析式：等价变形；
③讨论函数的性质：
奇偶性：关于图象对称性
单调性：关于图象升降性
周期性：关于图象重要性
极值、最值：关于图象最高点、最低点
截距：与 x 轴、 y 轴交点坐标
④画出函数的图象
（2）利用基本初等函数的图象的变换作图：
①平移变换
y f (x) h 0, 右移 h y=f （ x h）
h 0, 左移 |h |
y f ( x) k 0, 上移 k y=f （x）+k
k 0, 下移 | k |
②伸（放）缩变换：
沿 x 轴：y f ( x) 0
沿 y 轴： y = A f （ x）（A>0）
③对称变换：
y=f （x）y= f （ x）
y=f （x）y= f （x）
y=f （x）y=f （ 2a x）
y=f （x）y=f 1（ x）
y=f （x）y= f （x）
y=f （x）y=f （ | x| ）
y=f （x） y=| f （ x） |
④几种基本变换的合成 . y=f （ x）
待三角函数的复习中再集中进行研究．
y A f ( x) k 例题精讲 :
例 1 作出函数 y 2x 1
的图像，并指出函数的单调区间，图象的对称中心．
x 1
例 2作出函数的图像：
|x 1|
（ 1）y x2 2x 3 1
（ 2）y
2
（3）x3 （）x 2 （ 5）y log 2 x 1 （）
y 4 y
1 6 y lg x
x x （ 7）y2x 2
例
3 已知函数 f （x）和 g（x）的图像关于原点对称、且 f （ x） x2 x．
= +2
（1）求函数 g（x）的解析式；（2）解不等式g (x) f (x) | x1| ．
例 4、若不等式 x
2
log a x 0 对 x (0, 1
) 恒成立，则实数 a 的取值范围是
2
A 、 0 a 1
B 、
1
a 1 C 、 0 a
1
D 、 a 1
16
16
例 6、若直线 y
x m 与曲线 y
1 x
2 有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 ___________。
针对训练
1 1．函数 f ( x)
x 的图像关于
x
． y 轴对称 ．直线 y= x 对称 A
B
C ．坐标原点对称
D ．直线 y=x 对称
2．函数 y=x 的图像
1+cos
A ．关于 x 轴对称
B ．关于 y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线 x
π
对称
2
3．设 a<b ，函数 y=（x
a ）2（ x
b ）的图像可能是
4．与曲线 y
1
关于原点对称的曲线为
x 1
A ． y
1
B ． y
1 1 1
1 x
C ． y
D ． y
1 x
1 x
1 x
5．函数 y=lg| x|
A ．是偶函数，在区间 ( , 0) 上单调递增
B ．是偶函数，在区间 ( , 0) 上单调递减
C ．是奇函数，在区间 (0,
) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间 (0, ) 上单调递
减
．当 a >1 时，在同一坐标系中，函数 y=a x 与 y= log a x 的图像是 6
7．函数 y 1
1
的图像是
x 1
8．“ a= ”是函数 f （x ） =| x
a 在区间 1, 上为增函数的
1
|
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
．已知定义域为 R 的函数 f （x ）在区间 (8,
) 上为减函数，且函数 y=f （x
）为偶函数，则 9
+8
A ． f （6） >f （7）
B ．f （6）>f （9）
C ． f （ 7） >f （9）
D ．f （7）>f （ 10）
10．函数 f （ x ） =a x b 的图象如右图，其中
a ，
b 为常数，则下列结论正确的是
A ． a>1，b<0
B ． a>1，b>0
C ． 0<a<1，b>0
D ． 0<a<1，b<0
11．若 0<a<1，b<
1，则函数 y=f （x ） =a x +b 的图象不经过
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
．函数 y=f （x ）的图像与函数 g （ x ） =log 2x （x ）的图象关于原点对称，则 f （x ）的表达式为 12 >0
A ． f ( x)
1 ． f ( x)
log ( x) (x 0)
( x 0) B
2
log 2 x
C ． f ( x) log 2
x (x 0)
D
2
( x) ( x 0)
． f ( x)
log
13．向高为 h 的水瓶注水，注满为止，若注水量 v 与水深 h 的函数关系如右图所示，那么水瓶的形状是
．函数 y=e |ln x| | x 1| 的图像大致是 14
．函数 f (x) 4 x 4
x 1 的图像和函数 g （x ）
2x
的图象的交点个数是
15
x 2 4 x 3 x
1
=log
_________
答案 :
例 1 ．
对称中心 ( 1, 2) 增区间 ( , 1), ( 1,
)
例 2 ．（ 1）（2）
例
3 ．（ 1） g ( x )= x
2x （ ） x | 1 x 1
+2 2 2
针对训练
1． C 2 ．B 3 ．C 4 ．A
5 ．B
6 ． A
7 ． B
8 ． A
9 ．D 10 ．D 11 ．A 12 ． D 13 ．B 14 ． D
15．3
高考链接
1 （ 06 北京理）在下列四个函数中，满足性质：“ 对于区间(1,2)上的任意x1, x2( x1 x
2 ) ，
| f ( x1) f ( x2 ) | | x2 x1 | 恒成立”的只有
（ A） 1 （）
f x | x |
f (x) B
x
（ C）( ) 2x （） 2
f x f ( x) x
D
2（全国）若 0<a<1， b< 1，则函数 y=f （x）=a x +b 的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（北京）如图，函数 f
( x 的图象是折线段ABC 其中 A B C的坐标分别为（，），（，），（，），
3 08 ) , , , 0 42 06
4 则 f ( f (0))=;
4（全国）函数 y=lg| x|
A．是偶函数，在区间C．是奇函数，在区间( , 0) 上单调递增B．是偶函数，在区间( , 0) 上单调递减
(0,) 上单调递增D．是奇函数，在区间(0,) 上单调递
减
5（ 08 山东）函数 f（x）=a x b的图象如右图，其中a， b 为常数，则下列结论正确的是
A． a>1，b<0 B． a>1，b>0 C． 0<a<1，b>0 D． 0<a<1，b<0
答案 1 A 2 A 3 2 4 B 5 D。