第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件习题和答案详解

1．(2019·人大附中段考)命题“若x 2<1，则－1

A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1

B ．若－1

C ．若x>1或x<－1，则x 2>1

D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1

答案 D

解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1

2．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 B

解析 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.

3．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( )

A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0

B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0

C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0

D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0

答案 B

解析 否命题既否定条件又否定结论．

4．下列命题中为真命题的是( )

A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题

B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题

C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题

D ．命题“若a>b ，则1a <1b

”的逆否命题 答案 A

解析 A 中原命题的逆命题是“若x>|y|，则x>y ”，由x>|y|≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x>1”，是假命题，因为x 2>1⇔x>1或x<－1；C 中原命题的否

命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题的逆命题是“若1a ≥1b

，则a ≤b ”是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1，故选A.

5．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( )

A ．逆命题

B ．否命题

C ．逆否命题

D ．p 与q 是同一命题

答案 A

解析 设p ：若A ，则B ，则p 的否命题为若綈A ，则綈B ，从而命题q 为若B ，则A ，则命题p 是命题q 的逆命题，故选A.

6．(2017·课标全国Ⅰ)设有下面四个命题：

p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；

p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；

p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .

其中的真命题为( )

A ．p 1，p 3

B ．p 1，p 4

C ．p 2，p 3

D ．p 2，p 4

答案 B

解析 对于p 1，由1z ∈R ，即z －z·z

－∈R 得z －|z|2∈R ，∴z －∈R ，∴z ∈R .故p 1为真命题． 对于p 2，显然i 2＝－1，但i ∉R .故p 2为假命题．

对于p 3，若z 1＝1，z 2＝2，则z 1z 2＝2，满足z 1z 2∈R ，而它们的实部不相等，不是共轭复数．故p 3为假命题．

对于p 4，z ∈R ，则z －∈R .故p 4为真命题，故选B.

7．(2018·《高考调研》原创题)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 p ⇒q ，而q p ，∴选A. 8．“α＝π6＋2kπ(k ∈Z )”是“cos2α＝12

”的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 由α＝π6＋2kπ(k ∈Z )，知2α＝π3＋4kπ(k ∈Z )，

则cos2α＝cos π3＝12成立，当cos2α＝12时，2α＝2kπ±π3，即α＝kπ±π6

(k ∈Z )，故选A. 9．(2019·皖南八校联考)“1x

>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 ∵1x

>1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1. ∴“1x

>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件． 10．(高考真题·天津卷)设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 C

解析 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．

因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a>b ⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C.

11．(2019·《高考调研》原创题)“(m －1)(a －1)>0”是“l og a m>0”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧00，故选B.

12．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，

则

p 是q 的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 (x －1)2＋(y －1)2≤2表示以(1，1)为圆心，以2为半径的圆内区域(包括边界)；满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，的可行域如图中阴影部分所示，故p 是q 的必要不充分条件，故选A.