2.1.2 求曲线的方程 课件
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2.1.2求曲线的方程课件人教新课标1
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2 M1A M1B
y
.M
(x, y)
F(.0, 2)
0
lB x
6
课堂练习:
练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)
的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y)
∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x2 ( y 4)2
∴ y = x2 ( y 4)2
∴ y2 x2 y2 8y 16 ∴ x2 8y 16 这就是所求的轨迹方程.
活用几何性质来找关系
yB
思维漂亮!
(x, y) C
M
0Ax
8
例2、已知直角坐标平面上点Q(2，0) 和圆Ox:2 y2 1.
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数( 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
y M
N
0
Q2 (2m 1)x m2 1(m R) 的顶
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化)
化简
7
思考:(P37 练习第 3 题)
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA
与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB
与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的
课件4：2.1.2 求曲线的方程
由已知 d＝2|PA|得：|x－8|＝2 （x－2）2＋y2，化简得：3x2＋4y2 ＝48.故动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48.
答案：(1)x2＋y2＝4 (2)3x2＋4y2＝48
题型二 定义法求曲线方程
例 2 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程．
规律方法：代入法求轨迹方程就是利用所求动点 P(x，y)与相关 动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则 可用所求动点 P 的坐标(x，y)表示相关动点 Q 的坐标(x0，y0)，即利 用 x，y 表示 x0，y0，然后把 x0，y0 代入已知曲线方程即可求得所求 动点 P 的轨迹方程．
题型三 代入法求曲线方程
例 3 设定点 M(－3，4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP(O 为坐标原点)，求点 P 的轨迹方程．
解析：如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为(x2，2y)，线段 MN 的中点坐标为 (x0－2 3，y0＋2 4)，因为平行四边形的对角线互相平分 ，所以x0－2 3＝x2，y0＋2 4＝2y，从而 x0＝x＋3，y0＝y－ 4，由 N(x＋3，y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因 此所求 P 点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去 两点：(－59，152)和(－251，258)．
解析：方法一 设点 M 的坐标为(x，y)， ∵M 为线段 AB 的中点，∴A(2x，0)，B(0，2y)． 又∵P(2，4)， ∴P→A＝(2x－2，－4)，P→B＝(－2，2y－4)． ∵l1⊥l2，∴P→A⊥P→B. ∴P→A·P→B＝(2x－2)×(－2)＋(－4)×(2y－4)＝0， 即 x＋2y－5＝0. ∴M 点的轨迹方程是 x＋2y－5＝0.
答案：(1)x2＋y2＝4 (2)3x2＋4y2＝48
题型二 定义法求曲线方程
例 2 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程．
规律方法：代入法求轨迹方程就是利用所求动点 P(x，y)与相关 动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则 可用所求动点 P 的坐标(x，y)表示相关动点 Q 的坐标(x0，y0)，即利 用 x，y 表示 x0，y0，然后把 x0，y0 代入已知曲线方程即可求得所求 动点 P 的轨迹方程．
题型三 代入法求曲线方程
例 3 设定点 M(－3，4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP(O 为坐标原点)，求点 P 的轨迹方程．
解析：如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为(x2，2y)，线段 MN 的中点坐标为 (x0－2 3，y0＋2 4)，因为平行四边形的对角线互相平分 ，所以x0－2 3＝x2，y0＋2 4＝2y，从而 x0＝x＋3，y0＝y－ 4，由 N(x＋3，y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因 此所求 P 点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去 两点：(－59，152)和(－251，258)．
解析：方法一 设点 M 的坐标为(x，y)， ∵M 为线段 AB 的中点，∴A(2x，0)，B(0，2y)． 又∵P(2，4)， ∴P→A＝(2x－2，－4)，P→B＝(－2，2y－4)． ∵l1⊥l2，∴P→A⊥P→B. ∴P→A·P→B＝(2x－2)×(－2)＋(－4)×(2y－4)＝0， 即 x＋2y－5＝0. ∴M 点的轨迹方程是 x＋2y－5＝0.
课件8：2.1.2 求曲线的方程
－1＝0(－1≤x≤5)．
答案：3x－2y－1＝0(－1≤x≤5)
研
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点
习 新
的轨迹方程是________．
知
解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线．
互
动
答案：x＋y－1＝0
课 堂
5．动点P在曲线y＝2x2＋1上运动，求点P
研 习
新
与定点(0，－1)连线的中点M的轨迹方程．
研
当 λ>0 且 λ≠1 时，P 点轨迹方程为
习 新
x＋a11－＋λλ222＋y2＝12－aλλ22，
知
互
轨迹是以－a11－＋λλ22，0为圆心，
动 课 堂
半径为12－aλλ2的圆．
迁移体验4 已知sinθ，cosθ是方程x2－ax＋b＝0 研
习
的两根，求P(a，b)的轨迹方程．
新 知
解：由根与系数的关系知ssiinnθθ＋·cocsoθs＝θ＝b a
新 知
求曲线方程时，(1)在第一步中，如果原题中没
互
有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取 动 课
特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴．建立 堂
适当的坐标系，会给运算带来方便．
(2)第二步是求方程的重要一环，要仔细分
研
习
析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲 新 知
线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等
A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则
研 习
新
A点的坐标为(0，b)．设△ABC的外心为M(x，y)， 知
作MN⊥BC于N，则直线MN是BC的垂直平分线． 互 动 课 堂
图1
∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，
课件2：2.1.2 求曲线的方程
[答案] 8x－4y＋3＝0
[解析] 设点 M、P 的坐标分别为 M(x0，y0)，P(x，y)，由
x＝41＋＋33x0 题设及向量共线条件可得y＝21＋＋33y0
，
∴xy00＝ ＝44xy－ －33 42
，
因为点 M(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上，
所以 2×4x－3 4－4y－3 2＋3＝0， 即 8x－4y＋3＝0 从而点 P 的轨迹方程为 8x－4y＋3＝0.
第二章 圆锥曲线与方程 §2.1.2 求曲线的方程
高中数学选修2-1·同步课件
目标解读
1．进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌 握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法．
2．了解求曲线方程的几种常用方法，能够利用它们 去求曲线的方程．
自主预习
1．解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程 ； (2)通过曲线的方程，研究 曲线的性质 ．
2．求曲线的方程的步骤
要点点拨
求曲线方程的常用方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关 于动点的几何关系，再利用解析几何的有关公式进行整 理、化简． (2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先 设定方程，再确定其中的基本量．
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出 其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
二、填空题 3．一个动点到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2,0)距离 的 2 倍，则动点的轨迹方程为________．
[答案] 3x2＋4y2＝48
[解析] 设 M(x，y)为轨迹上任一点，那么 |x－8|＝2 x－2 2＋y2，整理得，3x2＋4y2＝48.
4．M 为直线 l：2x－y＋3＝0 上的一动点，A(4,2)为一 定点，又点 P 在直线 AM 上运动，且 AP：PM＝3，则动 点 P 的轨迹方程为________．
[解析] 设点 M、P 的坐标分别为 M(x0，y0)，P(x，y)，由
x＝41＋＋33x0 题设及向量共线条件可得y＝21＋＋33y0
，
∴xy00＝ ＝44xy－ －33 42
，
因为点 M(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上，
所以 2×4x－3 4－4y－3 2＋3＝0， 即 8x－4y＋3＝0 从而点 P 的轨迹方程为 8x－4y＋3＝0.
第二章 圆锥曲线与方程 §2.1.2 求曲线的方程
高中数学选修2-1·同步课件
目标解读
1．进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌 握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法．
2．了解求曲线方程的几种常用方法，能够利用它们 去求曲线的方程．
自主预习
1．解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程 ； (2)通过曲线的方程，研究 曲线的性质 ．
2．求曲线的方程的步骤
要点点拨
求曲线方程的常用方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关 于动点的几何关系，再利用解析几何的有关公式进行整 理、化简． (2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先 设定方程，再确定其中的基本量．
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出 其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
二、填空题 3．一个动点到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2,0)距离 的 2 倍，则动点的轨迹方程为________．
[答案] 3x2＋4y2＝48
[解析] 设 M(x，y)为轨迹上任一点，那么 |x－8|＝2 x－2 2＋y2，整理得，3x2＋4y2＝48.
4．M 为直线 l：2x－y＋3＝0 上的一动点，A(4,2)为一 定点，又点 P 在直线 AM 上运动，且 AP：PM＝3，则动 点 P 的轨迹方程为________．
高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教版选修2-1
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类型 一 直接法求曲线方程
【典型例题】
1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,
则点M的轨迹方程为
.
2.(2013·珠海高二检测)已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与
直线BP相交于点P,它们的斜率之积为- ,求点P的轨迹方程.
1 4
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13
【解题探究】1.从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐 标系? 2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示: 1.因题1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系. 2.一般地,当动点满足的条件非常明显,可以很容易地建立条件 等式,这时一般可采用直接法求曲线的方程.
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类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中点
的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作
平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
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4
二、求曲线方程的一般步骤
有序实数对(x,y)
{M|p(M)}
坐标 最简
曲线上
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5
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已 经建立了平面直角坐标系.( ) (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )
课件1：2.1.2 求曲线的方程
变式训练
下列方程分别表示什么曲线，为什么？
(1)x2＋xy－x－y＝0；(2)(x－2)2＋ y2－4＝0.
【解】 (1)原方程化为(x＋y)(x－1)＝0，
∴x＋y＝0 或 x＝1.
因此，原方程表示 x＋y＝0 和 x＝1 两条直线．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0，得
x－2＝0， y2－4＝0，
3．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的．若是 求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求 轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、 大小都要加以说明、讨论等．
双基达标
1．已知圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4 及直线 l：x＋2y－2＝0， 则点 M(4，－1)( )
A．不在圆 C 上，但在直线 l 上 B．在圆 C 上，但不在直线 l 上 C．既在圆 C 上，也在直线 l 上 D．既不在圆 C 上，也不在直线 l 上
(2)设点：写出适合条件 P 的点 M 的集合 P＝{M|P(x)}； (3)列式：用坐标表示条件 P(x)，列出方程 F(x，y)＝0； (4)化简：化方程 F(x，y)＝0 为最简形式； (5)检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 上．
互动探究
题型1：对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解
变式训练 若曲线 xy＋y＋(k－5)x＋2＝0 和直线 x－y－k＝0 的 交点的横坐标为正，求实数 k 的范围．
【解】 将两曲线方程联立得：
xy＋y＋ k－5 x＋2＝0
y＝x－k
.
消去 y 得：x2－4x＋2－k＝0，x＝4± 82＋4k，
∴x1＝2＋ 2＋k，x2＝2－ 2＋k，
∴k＋2≥0，∴k≥－2，且 2＞ 2＋k.
课件3：2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，这个方程并未变化， 因此方程的图象关于y轴对称.
在方程|x|·|y|=1中，以－y代替y，这个方程也 未变化，因此方程的图象关于x轴对称;
在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，同时以－y 代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于原点 中心对称.
由以上分析可知，这个方程所表示的曲线，既是轴对 称图形，也是中心对称图形.因此我们在研究方程的 曲线时，只要研究它在第一象限的那一部分曲线即可.
④ 曲线的变化情况 由曲线的对称性质，我们只考虑第一象限的情况 (x>0，y>0)，由方程可知，当变量x逐渐变大时， 变量y的值逐渐变小，曲线无限地靠近x轴； 当变量x逐渐变小时，变量y的值逐渐变大， 曲线无限地靠近y轴；
⑤ 画出方程的曲线
列表：
x…1
1
1
2
3…
3
2
y…3
2
1
1
1
…
2
3
由以上对方程的分析和列表，可以画出方程的曲线 在第一象限那一部分；再根据曲线的对称性，可画 出方程所表示的整个曲线.
2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
学习要求 1．掌握求轨迹方程时建立坐标系的一般方法，熟悉 求曲线方程的四个步骤以及利用方程研究曲线五个 方面的性质． 2．掌握求轨迹方程的几种常用方法．
学法指导 通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程 研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的 作用和数形结合思想.
典例精析
一、由曲线求它的方程： （一） 直接法
例1：已知一条直线在x轴的上方，它上面的 点到A(0，2)的距离减去它到x轴的距离的差都 是2，求此曲线的方程？
解：设M（x, y)为曲线上的任意一点，MB x轴，垂足为B.
在方程|x|·|y|=1中，以－y代替y，这个方程也 未变化，因此方程的图象关于x轴对称;
在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，同时以－y 代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于原点 中心对称.
由以上分析可知，这个方程所表示的曲线，既是轴对 称图形，也是中心对称图形.因此我们在研究方程的 曲线时，只要研究它在第一象限的那一部分曲线即可.
④ 曲线的变化情况 由曲线的对称性质，我们只考虑第一象限的情况 (x>0，y>0)，由方程可知，当变量x逐渐变大时， 变量y的值逐渐变小，曲线无限地靠近x轴； 当变量x逐渐变小时，变量y的值逐渐变大， 曲线无限地靠近y轴；
⑤ 画出方程的曲线
列表：
x…1
1
1
2
3…
3
2
y…3
2
1
1
1
…
2
3
由以上对方程的分析和列表，可以画出方程的曲线 在第一象限那一部分；再根据曲线的对称性，可画 出方程所表示的整个曲线.
2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
学习要求 1．掌握求轨迹方程时建立坐标系的一般方法，熟悉 求曲线方程的四个步骤以及利用方程研究曲线五个 方面的性质． 2．掌握求轨迹方程的几种常用方法．
学法指导 通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程 研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的 作用和数形结合思想.
典例精析
一、由曲线求它的方程： （一） 直接法
例1：已知一条直线在x轴的上方，它上面的 点到A(0，2)的距离减去它到x轴的距离的差都 是2，求此曲线的方程？
解：设M（x, y)为曲线上的任意一点，MB x轴，垂足为B.
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.1《求曲线的方程》(第二课时)课件
离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y
2)2
(y
2)2,化简得 y Nhomakorabea1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件， 选择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰
在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为
直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出
一个方程吗？
南沙群岛风光视频
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识 形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y
2)2
(y
2)2,化简得 y Nhomakorabea1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件， 选择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰
在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为
直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出
一个方程吗？
南沙群岛风光视频
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识 形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
定稿2.1.2求曲线的方程(李用).ppt
找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为
x0 y0
f (x, g(x,
y) y)
然后将其代入已知曲线的方程即得到点 Q 的轨迹
方程．
规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,
求另一动点的轨迹方程的问题,而解决这类问题的解法称
为代入法(或相关点法).而此法的关键是如何来表示出相关
.精品课件.
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49 化简
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程.我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
24
的点.
例、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y
M
B
A
o
x
.精品课件.
25
解：设点M的坐标是（x,y),点A的坐标是
，由
于点B的坐标是（4,3），且点M是线段AB的中点，所
以
x x0 4 , y y0 3
6. 经过两圆2x2+2y2－3x+4y=0与x2+y2+ 2x+6y－6=0的交点的直线方程为
x0 y0
f (x, g(x,
y) y)
然后将其代入已知曲线的方程即得到点 Q 的轨迹
方程．
规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,
求另一动点的轨迹方程的问题,而解决这类问题的解法称
为代入法(或相关点法).而此法的关键是如何来表示出相关
.精品课件.
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49 化简
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程.我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
24
的点.
例、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y
M
B
A
o
x
.精品课件.
25
解：设点M的坐标是（x,y),点A的坐标是
，由
于点B的坐标是（4,3），且点M是线段AB的中点，所
以
x x0 4 , y y0 3
6. 经过两圆2x2+2y2－3x+4y=0与x2+y2+ 2x+6y－6=0的交点的直线方程为
课件16：2.1.1 曲线与方程~2.1.2 求曲线的方程
规律总结
说明曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y) ＝0是曲线C的方程时，必须严格考察纯粹性和完备 性，即“多一点不行，少一点不可”．
跟踪练习1 说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x| ＝2之间的关系． 解：过点A(2,0)平行于y轴的直线l是x＝2，而|x|＝2是直线 x＝2和x＝－2，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，但 以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在直线l上． 因此，方程|x|＝2不是直线l的方程． l是方程|x|＝2的曲线的一部分．
新知导学
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么， 这个方程叫做__曲__线__的__方__程____，这条曲线叫做 ___方__程__的__曲__线__．
预习自测
1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2 ＝0，则点M(4，－1) ( C ) A．不在圆C上，但在直线l上 B．在圆C上，但不在直线l上 C．既在圆C上，也在直线l上 D．既不在圆C上，也不在直线l上
x＝0 x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔x2＋y2－1＝0
x＝0 ⇔y＝±1
表示点(0,1)、(0曲线，必要时要对方程适当变形， 变形过程中一定要注意与原方程等价，既不能扩大也 不能缩小变量的取值范围．
跟踪练习 2 已知方程 x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)、Q( 2，3)是否在此方程表示的 曲线上； (2)若点 M(m2 ，－m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值．
课堂验收
1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是 “曲线C的方程是f(x，y)＝0”的 ( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
高中数学(人教A版)课件 选修2-1：2.1.2求曲线方程
是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上。
则这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。
4
2.解析几何有两类问题:
一是利用曲线求方程;
二是利用方程研究曲线的性质.
其中最基本的方法是坐标法.
5
二.新课
1. 如何求曲线(点的轨迹)方程？
在直角坐标系下：
点M
Ex2.△ABC顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0)， BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。
(x－2)2+y2=9
(x≠5且x≠-1) y
A
以这个方程的解为坐标的点是否都在 曲线上？
B
D
C
x
9
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； 2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;
Ex1.已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点 的距离相等，求动点P的轨迹方程。
7
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （如果题目中已确定坐标系就不必再建立） 2.寻找条件:写出适合条件 P的点M的集合; P={M︱p(M)}, zxxkw 学 科网 3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； 5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 8
3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0；
4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 检验是否产生增解或漏解 10
则这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。
4
2.解析几何有两类问题:
一是利用曲线求方程;
二是利用方程研究曲线的性质.
其中最基本的方法是坐标法.
5
二.新课
1. 如何求曲线(点的轨迹)方程？
在直角坐标系下：
点M
Ex2.△ABC顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0)， BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。
(x－2)2+y2=9
(x≠5且x≠-1) y
A
以这个方程的解为坐标的点是否都在 曲线上？
B
D
C
x
9
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； 2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;
Ex1.已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点 的距离相等，求动点P的轨迹方程。
7
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （如果题目中已确定坐标系就不必再建立） 2.寻找条件:写出适合条件 P的点M的集合; P={M︱p(M)}, zxxkw 学 科网 3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； 5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 8
3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0；
4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 检验是否产生增解或漏解 10
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.1.2 求曲线的方程 课件
(1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y） 表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁）
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
第十页，编辑于星期一：点 十五分。
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
数方程的过程.(因此求曲线方程时要注意挖 掘题中形成曲线的等量关系);
第二十三页，编辑于星期一：点 十五分。
3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第 二步、第五步；
4.注意:(1)建系要适当； (2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的
完备性和纯粹性).
第二十四页，编辑于星期一：点 十五分。
P {M MA MB }.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2.
上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0.
①
第七页，编辑于星期一：点 十五分。
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的
离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距
离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这
条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示， 从而使曲线方程的形式简单一些.
第十二页，编辑于星期一：点 十五分。
解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,
2.1.2 求曲线的方程
第一页，编辑于星期一：点 十五分。
“天宫一号”运行要经过两次轨道控制，从 入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道.
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
第十页，编辑于星期一：点 十五分。
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
数方程的过程.(因此求曲线方程时要注意挖 掘题中形成曲线的等量关系);
第二十三页，编辑于星期一：点 十五分。
3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第 二步、第五步；
4.注意:(1)建系要适当； (2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的
完备性和纯粹性).
第二十四页，编辑于星期一：点 十五分。
P {M MA MB }.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2.
上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0.
①
第七页，编辑于星期一：点 十五分。
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的
离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距
离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这
条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示， 从而使曲线方程的形式简单一些.
第十二页，编辑于星期一：点 十五分。
解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,
2.1.2 求曲线的方程
第一页，编辑于星期一：点 十五分。
“天宫一号”运行要经过两次轨道控制，从 入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道.
高二数学选修2-1_求曲线的方程(二)_ppt
y
解法二(定义法)：
P 由解法一知，∠OPC=900 1 O MC 故动点P在以M( ,0) 为圆心， 2 OC为直径的圆上 Q x
从而所求的圆的方程为
1 1 2 x y , 0 x≤1 2 4
2
28
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
2
4
• 3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、 l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求 线段AB的中点M的轨迹方程．
19
解析： ∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O、A、P、B 四点共圆，且该圆的圆心为 M. ∴|MP|＝|MO|. ∴点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂线， 4－0 ∵kOP＝ ＝2，OP 的中点坐标为(1,2)， 2－0 1 ∴点 M 的轨迹方程是 y－2＝－ (x－1)， 2 即 x＋2y－5＝0.
设OQ为过O的一条弦， P(x,y)为OQ的中点，
1 则CP⊥OQ，OC的中点为M( ,0) 2 1 1 而|PM|= |OC|= 从而所求的方程为 2 2
1 1 2 x y . 0 x≤1 2 4
2
27
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
(∵m≠3,m≠-1)
25
2.设单位圆x2+y2=1,A1,A2是此圆的一条直径 的两个端点, P1P2是与 A1A2垂直的弦,求直线 A1P1与A2P2的交点 P的轨迹方程. x2-y2=1(y≠0)
解 : 如图, 将A1 ,A2取在x轴上,则P P2 x轴. 1 设P ( x, y ), P ( x0 , y0 ), 则P2 ( x0 , y0 ).又A1 ( 1, 0),P1 1 x (1) y0 y 0 x (1) (1) 0 0 A2 (1, 0), 有 . A1 y 0 x 1 (2) y0 0 x0 1 y2 x2 1 2 2 由(1) (2)得 2 .又 x0 y0 1, y0 2 x0 1
解法二(定义法)：
P 由解法一知，∠OPC=900 1 O MC 故动点P在以M( ,0) 为圆心， 2 OC为直径的圆上 Q x
从而所求的圆的方程为
1 1 2 x y , 0 x≤1 2 4
2
28
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
2
4
• 3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、 l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求 线段AB的中点M的轨迹方程．
19
解析： ∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O、A、P、B 四点共圆，且该圆的圆心为 M. ∴|MP|＝|MO|. ∴点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂线， 4－0 ∵kOP＝ ＝2，OP 的中点坐标为(1,2)， 2－0 1 ∴点 M 的轨迹方程是 y－2＝－ (x－1)， 2 即 x＋2y－5＝0.
设OQ为过O的一条弦， P(x,y)为OQ的中点，
1 则CP⊥OQ，OC的中点为M( ,0) 2 1 1 而|PM|= |OC|= 从而所求的方程为 2 2
1 1 2 x y . 0 x≤1 2 4
2
27
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
(∵m≠3,m≠-1)
25
2.设单位圆x2+y2=1,A1,A2是此圆的一条直径 的两个端点, P1P2是与 A1A2垂直的弦,求直线 A1P1与A2P2的交点 P的轨迹方程. x2-y2=1(y≠0)
解 : 如图, 将A1 ,A2取在x轴上,则P P2 x轴. 1 设P ( x, y ), P ( x0 , y0 ), 则P2 ( x0 , y0 ).又A1 ( 1, 0),P1 1 x (1) y0 y 0 x (1) (1) 0 0 A2 (1, 0), 有 . A1 y 0 x 1 (2) y0 0 x0 1 y2 x2 1 2 2 由(1) (2)得 2 .又 x0 y0 1, y0 2 x0 1
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发散2：△ABC顶点B、C的坐标分别是（0，0）和 （4，0），BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹 方程。
(x－2)2+y2=9 (x≠5且x ≠-1)
y A
以这个方程的解 为坐标的点是否 都在曲线上？
B
C
x
求曲线方程的一般步骤：
1.建系设点－－ 建立适当的直角坐标系，用有
序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；
y B
o A
x
思考：①如果把这条垂直平分线看成是动点 运动的轨迹，那么这条垂直平分线上任意一 点应该满足怎样的几何条件？ ②几何条件能否转化为代数方程？用什么方 法进行转化？ ③用新方法求得的直线方程，是否已符合要 求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关 系,必须满足什么条件?)
发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两 端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。
小结：
1.知识方面： 2.能力方面： 3.数学思想方法： 4.由本节课的学习得到的体会和想法。
（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）
2.寻找条件－－ 写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出
方程f(x,y)=0； 4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上.)
你能说出它的轨迹吗？
思考 1.与例1相比，有什么显著的不同点？ 2.你准备如何建立坐标系，为什么？
3.比较所求的轨迹方程有什么区别？ 从中得到什么体会?
（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系；
（2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。
思考：1如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？
4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
建立坐标系的原则:
一、建立的坐标系有利于求出题目的结果； 二、尽可能多的使图形上的点（或已知点）， 落在坐标轴上； 三、充分利用图形本身的对称性； 若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标轴, 也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点. 四、保持图形整体性.
第二章 圆锥曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
引例：在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海
里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上 看甲乙两岛，保持视角为直角，你认为军舰巡逻的 路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个方程吗？
例1、设A、B两点的坐标是（－1，－1）和（2， 3），求线段AB的垂直平分线的方程？