初中数学《矩形的性质与判定》优秀课件北师大版1

因此 △ABC≌△DCB. (SSS)
从而 ∠ABC=∠DCB. 又∠ABC+∠DCB =180°，
于是 ∠ABC=90°.
所以 □ABCD是矩形.
图2-47
结论
由此得到矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形.
议一议
对角线相等的四边形是矩形吗？
例2 如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O. （1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样
(三个角是直角的四边形是矩形.)
2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB= 2，AC= 4，求□ABCD的面积.
解： ∵ OA= 1 AC=2，AB= 2， 2
∴ △OAB是等腰三角形. 又∠AOB = 60°， ∴ △OAB是等边三角形.
∴ OA=OB=2， ∴ AC=BD=4. ∴ □ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.)
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于 直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称 图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边 AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，
DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
的三角形？ （2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么
□ABCD是矩形吗？
图2-48
解 （1） ∵□ABCD是矩形，
∴ AC与DB相等且互相平分.
∴ OB 1 DB 1 AC OC .
2
2
∴ △OBC是等腰三角形.
（2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB = OC， ∴ AC = 2OC = 2OB = BD.
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9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
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4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
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5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
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6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
平行四边形 有一个角是直角 矩形
结论
可以知道：
矩形的四个角都是直角，对边相等， 对角线互相平分.
结论
由于矩形是平行四边形，因此
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心.
动脑筋
如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角 线AC与DB相等吗？
图2-42
如图，四边形ABCD是矩形，
于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ，
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2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
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3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
F
A
D
M
O
N
B
C
E
结论
由此得到： 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点
的直线都是矩形的对称轴.
练习
1. 已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的 一个夹角为60°，求矩形的各边长.
答：矩形的各边长分别为1cm和 3cm.
2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于
图2-46
结论
三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也 是直角，由此得到：
三个角是直角的四边形是矩形.
四边形中只有两个角 是直角，我想到了下边的图形：
动脑筋
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受 到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？ 这样的矩形有多少个？
过点O 画两条线段AC，BD，使得 OA=OC=2cm，OB =OD=2cm. 连接AB， BC，CD，DA. 则四边形ABCD 是矩形， 且它的对角线长度为4 cm，如图2-47. 这样 的矩形有无穷多个.
作OE⊥AD于点E.
在Rt △OAE中，AO=2，OE= 1 AB=1，
E
2
∴ AE 3，
∴ AD 2 3 .
∴ S矩形 ABCD =AD AB 2 3 2 4 3 .
中考 试题
例
在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，
交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边
形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可
2cm 2cm
图2-47
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？
如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对 角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角 线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行 四边形是矩形吗？
我们来进行证明.
在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，
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7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
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8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
BC=CB.
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
从而
AC=BD.
即矩形的对角线相等.
图2-42
结论
由此得到矩形的性质： 矩形的对角线相等.
例1 如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相 交于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的长.
图2-43
解
∵ □ABCD是矩形，
解析 由矩形性质及∠AOB=60°， 可得∠ ACB=30°. 在Rt△ABC中， ∵AB=4， ∴AC=2AB=8cm.
如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此AB∥DC，
AD∥BC，从而四边形ABCD 是平行四边形. 所以□ABCD
是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.
斜边的一半.
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形，
从而OA=OC
=
1 2
AC
，
OB=OD
=Hale Waihona Puke Baidu
1 2
BD
.
（矩形的对角线互相平分.）
又 AC=BD，(矩形的对角线相等.)
∴
OB=OA=OC
=
1 2
AC.
中考 试题
例
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长 为 8 cm.
∴ □ABCD是矩形.
图2-48
例3 如图：在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O,EF⊥AC, O 是垂足，EF分别交AB、CD于点E、F，且BE=OE=0.5AE 求证: ABCD是矩形
练习
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D， 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D ， 四边形的内角和为360°， 所以∠A=∠B=∠C=∠D= 90° ， 所以四边形ABCD是矩形.
图2-44
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.
F
A
D
O
B
C
E
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.
由于
OB
=
1 2
BD
=
1 2
AC
=OC
，因此△OBC是等腰三角
形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.
F
A
D
O
B
C
E
由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是 线段AD的垂直平分线.
以是 AC=BD 或 ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD
之中有任一个角为直角
.
解析 依据矩形的判定，对角线相等的平行 四边形是矩形或有一个角是直角的平行 四边形是矩形.
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1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
从而
OA=OB
=
1 2
AC
= 2cm.
又∠AOB = 60°，
∴ △AOB是等边三角形.
∴ AB=OA=2cm.
∵ ∠ABC = 90°， ∴ 在Rt△ABC中，
图2-43
BC AC 2 AB2 42 22 2 3(cm).
做一做
在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来， 怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这 个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图 形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
第一章 特殊平行四边形
观察
在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特 点呢？
图2-41
我发现这些长
方形的对边平行且 相等，因此，它们 是平行四边形.
这些四边形的四 个角都是直角.
在一个平行四边形中， 只要有一个角是直角，那 么其他三个角都是直角.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也称为长方形.