线性代数 正定二次型ppt课件
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5.4_正定二次型
d f 正定的充要条件为： i 0, i 1,2,, n
(3) 非退化线性替换不改变二次型的正定性.
AX 证明：设正定二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) X
经过非退化线性替换X＝CY化成：
f ( x1, x2 ,, xn ) Y (CAC )Y g ( y1, y2 ,, yn )
§5.4 正定二次型
一 、正定二次型
1、定义：实二次型 f ( x1, x2 ,, xn )若对任意一组不全为零 的实数c1,c2,…cn，都有：
f (c1, c2 ,, cn ) 0
则称f 为正定二次型。
2 如，二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xi 是正定的； i 1 n
又由于C可逆， 0 0 ，所以 X 0 0, Y 即 c1 , c2 ,, cn不全为0。
g (k1, k2 ,, kn ) f (c1, c2 ,, cn ) 0
g ( y1, y2 ,, yn )正定.
反之，实二次型 g ( y1, y2 ,, yn ) 可经过非退化线性替换
k k
x1 x ( x1 , x2 ,, xk ) A(1,2,, k ) 2 x k
i 1 j 1
对任意一不全为零的数 c1 , c2 ,, ck , 有：
f k (c1, c2 ,, ck ) f (c1, c2 ,, ck ,0,,0) 0
Y C -1 X
变到实二次型：f ( x1, x2 ,, xn ),
同理，若g正定，则f正定。 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性。
r (4) n元实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 正定的充要条件为： ( f ) p n
第6章 第4讲 正定二次型 课件(共26张PPT)- 《概率论与数理统计(慕课版)》同步教学(人民邮
之差为2r – m为符号差.
3
01
正定二次型的定义
惯性定理
任意二次型 X T AX 都可通过非退化线性变换化为规范形
z12 z22
z 2p z 2p 1
z 2p q，
其中 p 为正惯性指数，q 为负惯性指数，p + q为二次型的秩
且 p 、q 由二次型唯一确定，即规范情势唯一的.
霍尔维茨定理
例5
方程3x 2 5 y 2 5z 2 4 xy 4 xz 10 yz 1表示何种二次曲面.
2
2
2
f
x
,
y
,
z
解 因为
3x 5 y 5z 4 xy 4 xz 10 yz
是一个二次型，
3 2 -2
其矩阵A= 2 5 -5 ，由 A - E 0 得
因为 3 2 3 0，
所以A不是正定矩阵，从而二次型不是正定二次型.
10
01
正定二次型的定义
例3
已知A为n阶正定矩阵，E为n阶单位矩阵，证明 | A E | 1.
解
设A的特征值为 1 , 2 ,
, n， 由A为正定矩阵知
1 0, 2 0,
A + E 的特征值为 1 1, 2 1,
4
01
正定二次型的定义
定义6.3
对应矩阵A 称为正定矩阵.
实二次型 f ( x1 , x2 ,
恒有 f (c1 , c2 ,
, xn ) X T AX，若对任意 (c1 , c2 ,
, cn ) 0，则称 f ( x1 , x2 ,
, cn )T 0，
高等代数课件 第三节 正定二次型
第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
e1 e2 T Ae1 e2 a d c d 0 b c 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
•若A
1 b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
a
2
c2
1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
e1 e2 T Ae1 e2 a d c d 0 b c 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
•若A
1 b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
a
2
c2
1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
线性代数 二次型 课件
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
四、小结、思考题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形的正交变换法
五、小结、思考题
一、二次型及其标准形的概念
[ x1 ,
x2 ,
x ]T
,
则
由
T 3
x
0知
x1 x2 x3 0
由此可得A的对应于特征值 1的线性无关特征向量
1 [1, 1, 0]T , 2 [1, 0, 1]T 0]T , 2
2
1 [1, 1, 2]T 6
因此，正交变换 x Qy为
x1
a1n x1 a2n x2 ann xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为实对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2
2
A I 2 14 4 182 9
2
4 14
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将 9代入 A I x 0,得基础解系 1 (1 2, 1, 1)T 1
将2 3 18代入 A I x 0,得基础解系
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
四、小结、思考题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形的正交变换法
五、小结、思考题
一、二次型及其标准形的概念
[ x1 ,
x2 ,
x ]T
,
则
由
T 3
x
0知
x1 x2 x3 0
由此可得A的对应于特征值 1的线性无关特征向量
1 [1, 1, 0]T , 2 [1, 0, 1]T 0]T , 2
2
1 [1, 1, 2]T 6
因此，正交变换 x Qy为
x1
a1n x1 a2n x2 ann xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为实对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2
2
A I 2 14 4 182 9
2
4 14
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将 9代入 A I x 0,得基础解系 1 (1 2, 1, 1)T 1
将2 3 18代入 A I x 0,得基础解系
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
《线性代数教学PPT》二次型的正定型
P2
5 2
2 26 0,
6
P3 | A | 80 0,
f 负定.
数
即 (-1)k Pk > 0 (k = 1, 2, 3) = =
基本要求
线
(1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示, 性 了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯
性定理等概念.
代
(2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,
线
若f (x) xT Ax正定,即x Rn , x 0, 恒有xT Ax 0,
性
于是y Rn , y 0,有Cy 0(否则Cy 0,则C 1Cy 0,
即y 0,这与y 0矛盾),因此y Rn , y 0,有
代
yT (CT AC) y (Cy)T A(Cy) 0
线
解
A t 4 0
需
1 0 2
性
P1 1 0,
P2
1
t
t 4 t 2 0,
4
P3 | A | 4 2t 2 0,
代
4 2t2 0
4
t2
0
数
=
2t 2
所以，当 2 t 2 时f 为正定次型
所以,二次型yT (CT AC) y正定.同理可证,当
数
yT (CT AC) y正定时, 有xT Ax正定.
命题1亦表明A与CT AC有相同的正定性.即合同的
=
矩阵有相同的正定性.
=
例 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB
也是正定矩阵 (k > 0, l > 0).
正定二次型和正定矩阵.ppt
24
detA := 832176
a 2 2ab b 2 (a b) 2 0, 1 2 ab (a b 2 ). 2
f f 99 x 130 x 71x
2 1 2 2
2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 ( x1 x2 ) 48 ( x1 x3 ) 60 ( x2 x3 ) 2 2 2 2 2 2 99 x1 130 x2 71x3 6( x x ) 24( x x ) 30( x x )
6 2 | A2 | 30 4 26 0, 2 5 6 | A3 | 2 2 2 2 5 0 0 210 20 28 162 0. 7
22
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
3. A P T P , P 可逆.
17
a11 As a s1
的行列式.
a1 s , a ss
a11 , An a n1
a1n A . ann
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零. 证明 必要性
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
detA := 832176
a 2 2ab b 2 (a b) 2 0, 1 2 ab (a b 2 ). 2
f f 99 x 130 x 71x
2 1 2 2
2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 ( x1 x2 ) 48 ( x1 x3 ) 60 ( x2 x3 ) 2 2 2 2 2 2 99 x1 130 x2 71x3 6( x x ) 24( x x ) 30( x x )
6 2 | A2 | 30 4 26 0, 2 5 6 | A3 | 2 2 2 2 5 0 0 210 20 28 162 0. 7
22
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
3. A P T P , P 可逆.
17
a11 As a s1
的行列式.
a1 s , a ss
a11 , An a n1
a1n A . ann
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零. 证明 必要性
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
线性代数第5章课件：二次型
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
正定二次型及正定矩阵.ppt
1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn
正定二 次型
1 1 0 当且仅当 x1 x2 x3 0 时 f (x1 ，x2 ，x3 ) 0 ，故 f (x1 ，x2 ，x3 ) 是半负定的，其对应的矩阵 1 2 1 是半负定
0 1 3 矩阵．
二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，不具备有定性的二次型及其矩 阵称为不定的．
1.2 正定矩阵的判别法
对于半正定（半负定）矩阵，可以证明下列结论等价： ① 对称矩阵 A 是半正定（半负定）的； ② A 的所有主子式大于（小于）或等于零； ③ A 的全部特征值大于（小于）或等于零．
1.2 正定矩阵的判别法
例 4 已知二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 4x22 4x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3 是正定的，试求 t 的取值范围．
1.2 正定矩阵的判别法
定理 4 设 n 元实二次型 f ( x) xT Ax 的规范形为 f z12 z22
z
2 p
z2 p 1
zr2 ，则
（1）f 负定的充分必要条件是 p 0 且 r n （即负定二次型的规范形为 f z12 z22 zn2 ）．
（2）f 半正定的充分必要条件是 p r n （即半正定二次型的规范形为 f z12 z22 zr2 ，r n ）．
则
T i
D
i
di
0 (i
1，2，
，n) ．
充分性．对任一非零向量 x，至少有 x 的某个分量 xk 0 ，又 dk 0 故 dk xk2 0 ；而当 i k 时 di xi2
n
此， xT Dx di xi2 0 ，即 D 为正定矩阵． i 1
0 ．因
1.2 正定矩阵的判别法
推论 1 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是它的特征值全大于零． 定理 3 矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的正惯性指数 p n ，即 A 与 E 合同． 推论 2 若矩阵 A 为正定矩阵，则 A 0 ． 证明 由定理 3 知存在可逆矩阵 C 使 A CTC ，于是 A CTC C 2 0．
0 1 3 矩阵．
二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，不具备有定性的二次型及其矩 阵称为不定的．
1.2 正定矩阵的判别法
对于半正定（半负定）矩阵，可以证明下列结论等价： ① 对称矩阵 A 是半正定（半负定）的； ② A 的所有主子式大于（小于）或等于零； ③ A 的全部特征值大于（小于）或等于零．
1.2 正定矩阵的判别法
例 4 已知二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 4x22 4x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3 是正定的，试求 t 的取值范围．
1.2 正定矩阵的判别法
定理 4 设 n 元实二次型 f ( x) xT Ax 的规范形为 f z12 z22
z
2 p
z2 p 1
zr2 ，则
（1）f 负定的充分必要条件是 p 0 且 r n （即负定二次型的规范形为 f z12 z22 zn2 ）．
（2）f 半正定的充分必要条件是 p r n （即半正定二次型的规范形为 f z12 z22 zr2 ，r n ）．
则
T i
D
i
di
0 (i
1，2，
，n) ．
充分性．对任一非零向量 x，至少有 x 的某个分量 xk 0 ，又 dk 0 故 dk xk2 0 ；而当 i k 时 di xi2
n
此， xT Dx di xi2 0 ，即 D 为正定矩阵． i 1
0 ．因
1.2 正定矩阵的判别法
推论 1 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是它的特征值全大于零． 定理 3 矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的正惯性指数 p n ，即 A 与 E 合同． 推论 2 若矩阵 A 为正定矩阵，则 A 0 ． 证明 由定理 3 知存在可逆矩阵 C 使 A CTC ，于是 A CTC C 2 0．
线性代数 正定二次型 ppt课件
, a110,
a11 a21
a12 0, a22
0;
an1 ann
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a11 a1r
1r
0, r1,2, ,n.
ar1 a判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
推 论 1 二 次 型 正 定 的 充 要 条 件 是 它 的 标 准 型 为
fX = y 1 2+ y 2 2+ y n 2
推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 a1n
P205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明: 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵,且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
P 205 ex 2 设 A 为对称矩阵，证明当 t充分大时， tI A 是正定矩阵。 证明：因为 A为对称矩阵， A可对角化，存在可逆 矩阵 P，使得，
奇数阶顺序主子式为负而偶数阶顺序主子式为正即判别二次型xzxy22211211大家学习辛苦了还是要坚持大家学习辛苦了还是要坚持继续保持安静继续保持安静是a的特征值gx为任一多项式则g是ga的特征值
线性代数课件-正定二次型 15页PPT文档
是否正定.
解
fx1,x2,x3的矩阵 52 为 12
4 2
,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5
2 10,
5 2
2 4 1 2 10,
2 1
4 2 5
故上述二次型是正定的.
例2 判别二次型 f 5 x 2 6 y 2 4 z 2 4 x 4 y xz
第二节 正定二次型
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
fx1 23x2 2
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理 1 实二次f 型xT Ax为正定的充分必要条
件是 :它的标准n形 个的 系数全.为正
定理2 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶主子式为正，即
a11 a1n
, a110,
a11 a21
a12 0, a22
0;
an1 ann
正定矩阵具有以下一些简单性质
1.设 A 为正定,则 实 A T,A 对 1,A 称 均阵 为 定矩 ; 阵
2.若 A ,B 均n 阶 为正,则 定 A B 也 矩是 阵正 矩. 阵
例1 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3
北京航空航天大学线性代数第六章64正定二次型和正定矩阵.ppt
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
84正定二次型培训课件.ppt
是否正定．
3 2 0
解
该二次型的矩阵为
A
2 0
4 2
2 5
前页 后页 返回
A的一切顺序主子式为
3 2 0
3 0,
3 2
2 4
8 0,
A
2 0
4 2
2 5
28
0,
由定理8.4.3知，该二次型是正定的．
例2 设二次型 f ( x1x2 xn ) X T AXP1源自
z1
Pn1 zn1
Pn2
前页 后页 返回
令
C2
D
0
0
1
, 取C=C1C2 , 则二次型
f ( x1x2 xn ) X T AX
经可逆线性替换X=CY有
f ( x1, x2 ,
, xn )
P1 y12
I n1 0
QT
1
T
I
n1
TQ
QT
ann
I n1 0
QT
1
I n1 0
0
d
其中 d ann TQQT
前页 后页 返回
将上式两边求行列式得 d A C1 2 C2 2 0
又令
In1 0
C3
0
1 d
也有 从而C
1
C3
0 d
C1C2C3 的行列式有
1
C C1 C2 C3 Q
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2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
是否正定.
5 2 4
解
f x1, x2 , x3 的矩阵为
2
1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
5 2 4
52
5 0,
1 0, 2 1 2 1 0,
21
4 2 5
故上述二次型是正定的.
例2 判别二次型
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3
P205 ex2设A为对称矩阵，证明当t充分大时， tI A是正定矩阵。
证明：因为A为对称矩阵，A可对角化，存在可逆
矩阵P，使得，
1
1
A
P
1
P，tI
A
P
1
P
tI
n
n
1
1 t
P
1
P
P 1tIP
第二节 正定二次型
一、正定二次型的概念 二、正(负)定二次型的判定
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x) xT Ax, 如果对任何 x 0( x ( x1, x2 ,, xn )T ), 都有f ( x) 0,
则称f 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；
的正定性.
解
f的矩阵为
5 A 2
2 6
2 0 ,
2 0 4
a11 5 0,
a11 a12 5
2 26 0,
a21 a22 2 6
A 80 0, 根据定理3知f为负定.
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为 正 定 矩 阵;
a12 0, a22
0;
an1 ann
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a11 a1r
1r
0, r 1,2,, n.
ar1 arr 这个定理称为霍尔维茨定理．
例1 判别二次型
f x1, x2 , x3 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
P205 ex3 设A、B为正定矩阵，证明B A也是正定矩阵。 证明：因为A、B为正定矩阵，由定义它们都为对称矩阵, 对任意向量X 0，X T AX 0, X T BX 0,则 由定义B A也是正定矩阵。
P 205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明 : 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵, 且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
推论1 二次型正定的充要条件是它的标准型为
f
X
=
y12
+
y
2 2
+
y
2 n
推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 a1n
, a11 0,
a11 a21
如果对任何x 0,都有f ( x) 0,
则称f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3 x22
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
是否正定.
5 2 4
解
f x1, x2 , x3 的矩阵为
2
1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
5 2 4
52
5 0,
1 0, 2 1 2 1 0,
21
4 2 5
故上述二次型是正定的.
例2 判别二次型
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3
P205 ex2设A为对称矩阵，证明当t充分大时， tI A是正定矩阵。
证明：因为A为对称矩阵，A可对角化，存在可逆
矩阵P，使得，
1
1
A
P
1
P，tI
A
P
1
P
tI
n
n
1
1 t
P
1
P
P 1tIP
第二节 正定二次型
一、正定二次型的概念 二、正(负)定二次型的判定
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x) xT Ax, 如果对任何 x 0( x ( x1, x2 ,, xn )T ), 都有f ( x) 0,
则称f 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；
的正定性.
解
f的矩阵为
5 A 2
2 6
2 0 ,
2 0 4
a11 5 0,
a11 a12 5
2 26 0,
a21 a22 2 6
A 80 0, 根据定理3知f为负定.
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为 正 定 矩 阵;
a12 0, a22
0;
an1 ann
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a11 a1r
1r
0, r 1,2,, n.
ar1 arr 这个定理称为霍尔维茨定理．
例1 判别二次型
f x1, x2 , x3 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
P205 ex3 设A、B为正定矩阵，证明B A也是正定矩阵。 证明：因为A、B为正定矩阵，由定义它们都为对称矩阵, 对任意向量X 0，X T AX 0, X T BX 0,则 由定义B A也是正定矩阵。
P 205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明 : 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵, 且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
推论1 二次型正定的充要条件是它的标准型为
f
X
=
y12
+
y
2 2
+
y
2 n
推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 a1n
, a11 0,
a11 a21
如果对任何x 0,都有f ( x) 0,
则称f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3 x22
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正.