定积分的应用之微元法
定积分应用的微元法
n
其中称 f ( x) 为被积函数, f ( x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a, b 分别称为积分下限和上限.
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
x dx t dt .一般地， 0 0
证 将性质 5 中不等式除以 b a ，得 1 b f ( x ) d x ≤ M. m≤ a ba 1 b a, b f ( x)dx ,即 m M .由于 f ( x) 为 设 a ba 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大 值之间的任何一个数值 （这就是连续函数的介值定理） . 因此在a, b 上至少有一点 ，使得 f ( ) ，即 1 b f ( x)dx f ( ), ba a
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n
(4)i
1i n
n
取极限 令小区间长度的最大值 maxxi
趋于零,则和式 的精确值，即
f ( )x 的极限就是曲边梯形面积 A
x2
五 、 微积分基本公式
引例 设物体以速度v v(t ) 作直线运动，要求计算 [T1 , T2 ] 时间内的路程 s. 从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[T1 , T2 ]
所经过的路程为 v(t )dt .
T1 T2
若从不定积分概念出发，则知道函数为 v(t )dt s(t ) C , 其中 s(t ) v(t ) ，于是[T1 , T2 ]时间内所走 路程就是 s (T2 ) s (T1 ) . T2 综合上述两个方面，得到 v(t )dt s(T2 ) s(T1 ) .
定积分的部分应用
第六章 定积分的应用§6-1 微元法用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.若某量在[a ，b ]上的变化率f (x )，求它在[a ，b]上的总累积量S ： 因为分割区间、取i 都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：再简化一下，则变成：称为微元．以求曲边梯形面积A 问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x ，x +dx ]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA =f (x )dx ，所以A =⎰ba dx x f )(．§6－2定积分在几何中的应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积 (1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线x =a，x =b (a <b )及两条连续曲线y =f 1(x )， y =f 2(x )，(f 1(x )≤f 2(x ))所围成的平面图形称为X y =d (c <d )y ) ≤g 2(y ))注意 构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点．把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形．１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，x ∈[a ，b ]．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，该微段上的图形的面积dA 可以用高为f 2(x )－f 1(x )、底为dx 的矩形的面积近似代替．因此dA =[ f 2(x )－f 1(x )]dx ， 从而 A =.)]()([ 12⎰-ba dx x f x f (1)２）微元法分析Y －型图形的面积A =.)]()([ 12⎰-dc dy y g y g (2)对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积．例1 求由两条抛物线y 2=x ， y =x 2所围成图形的面积A ．解 解方程组,,22x y x y ==得交点(0，0)，(1，1)．将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分 区间为[0，1]．由公式(1)，所求图形的面积为A =1 0 31 0 23132)(23x x dx x x -=-⎰=31． 例2 求由曲线y 2=2x 与直线y =－2x +2所围成图形的面积A ． 解解方程组,22 ,22+-==x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)． 积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]．所求图形的面积为 A =12- 31 2- 22]6141[]21)211[(y y y dy y y ⎰--=--=49．例3 求由曲线y =sin x ，y =cos x 和直线x =2π及y 轴所围成图形的面积A ．解 在x =0与x =2π之间，两条曲线有两个交点： B (4π，22)，C (45π，－22)． 由图易知，整个图形可以划分为[0，4π]，[4π，45π]，[45π，2π]三段，在每一段上都是X －型图形．应用公式(1)，所求平面图形的面积为A =⎰⎰⎰-+-+-4455 02)sin (cos )cos (sin )sin (cos πππππdx x x dx x x dx x x =42．2. 极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线r =r (θ)及两条射线θ=α， θ=β，(α<β)所围成的平面图形为曲边扇形．在[α，β]上任取一微段[θ，θ+d θ]，面积微元dA 表示1这个角内的小曲边扇形面积，dA =21[r (θ)]2d θ 所以 A =⎰βαθθ 2)]([21d r ． (3) 例5 求心形线r =a (1+cos θ)，(a >0)所围成图形的积A ．解 因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积 A 是极轴上方图形A 1的两倍．极轴上方部分所对应的极角变化范围为θ∈[0，π]，由 公式(3)，所求图形的面积为A =2⨯⎰βαθθ 2)]([21d r=⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)23|2sin 41sin 22302=++ ⎝⎛πθθθa πa 2．二、空间立体的体积 1. 一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面x =a ， x =b 之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中a <b ，如图所示．如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为A =A (x )，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式．过微段[x ，x +dx ]两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元dV =A (x )dx ． 因此立体体积V =.)( ⎰ba dx x A (4)例5 经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块， 求此楔形块的体积V ．解 据图，椭圆方程为64422y x +=1． 过任意x ∈[－2，2]处作垂直于x 轴的平面，与楔形块 截交面为图示直角三角形，其面积为A (x )=21y ⋅y tan α=21y 2tan α=32(1－42x )tan α=8(4－x 2)tan α， 应用公式(4)V =⎰--22 2)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α．2. 旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴．把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积A (x )是很容易得到的．如图，设曲边方程为y =f (x )， x ∈[a ，b ](a <b )，旋转体体积记作V x ．过任意x ∈[a ，b ]处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为|f (x )|的圆，因此截面面积 A (x )= π|f (x )|2．应用公式(4)，即得V x =π⎰ba dx x f 2)]([ (5)类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积V y 计算公式 V y =π⎰d c dy y g 2)]([ (6)其中的x =g (y )是曲边方程，c ，d (c <d )为曲边梯形的上下界．例6 求曲线y =sin x (0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V x ．解 V x =π⎰b a dx x f 2)]([=π⎰π0 2)(sin dx x=⎰-=-ππππ0 0 ]22sin [2)2cos 1(2x x dx x =22π． 例7 计算椭圆2222bya x +=1(a >b >0)绕x 轴及y 轴旋转而成的椭球体的体积V x ，V y ． 解 (1)绕x 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作上半椭圆y =22x a ab-及x 轴围成的单曲边梯形绕x 轴旋转而成的，由公式(5)得V x =π⎰-a a dx x a a b - 222)(=⎰-a dx x a a b 02222)(2π =a 0 3222]3[2x x a a b -π=34πab 2．(2)绕y 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作右半 椭圆x =22y b ba-及y 轴围成的单曲边梯形绕y 轴旋转而成的，由公式(6)得V y =π⎰-bb dy y b b a - 222)(=⎰-b dy y b ba 0 2222)(2π =b 0 3222]3[2y y b ba -π=34πa 2b ．f (x当a =b =R 时，即得球体的体积公式V =34πR 3． 例8 求由抛物线y =x 与直线y =0，y =1和y 轴围成的平面图形，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V y ．解 抛物线方程改写为x =y 2，y ∈[0，1]． 由公式(６)可得所求旋转体的体积为 V y =π55])[(1 0514122ππ===⎰⎰y dy y dy y ．三、平面曲线的弧长1. 表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线．若光滑曲线C 由直角坐标方程y =f (x )，(a ≤x ≤b )，则导数f '(x )在[a ，b ]上连续．如图所示，在[a ，b ]上任意取一微段[x ，x +dx ]，对应的曲线微段为AB ，C 在点A 处的切线也有对应微段AP ．以AP 替代AB ，注意切线改变量是微分，即得曲线长度微元d s 的计算公式d s=22)()(dy dx +， (7) 得到的公式称为弧微分公式．以C 的方程y =f (x )代入，得 ds =2)]([1x f '+dx.据微元法，即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式s =⎰ba ds =⎰'+ba dx x f 2)]([1 (8)若光滑曲线C 由方程x =g (y )(c ≤y ≤d )给出，则g '(y )在[c ，d ]上连续，根据弧微分公式(7)及微元法，同样可得曲线C 的弧长计算公式为 s =⎰'+d cdy y g 2)]([1 (9)例9 求曲线y =41x 2－21ln x (1≤x ≤e )的弧长s ． 解 y '=21x －x 21=21(x －x1)，ds =2)]([1x f '+dx =)1(21)1(4112x dx x x +=-+dx ， 所求弧长为s =⎰ba ds =41]ln 21[21)1(21e1 2 1=+=+⎰x x dx x x e (e 2+1)． 例10 求心形线r =a (1+cos θ) (a >0)的全长．解 θ∈[0，2π]；又因为心形线关于极轴对称，全长是其半长的两倍，所以θ∈[0，π]．ds =22)]([)]([θθr r +'d θ=2)cos 1(2θ+d θ=2a cos 2θd θ，所以 s =2⎰πθθ2cos2d a =8a ．§6—3 定积分在物理中的部分应用一、变力做功物体在一个常力F 的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s 时，F 所作的功W =F ⋅s ．物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解．设力F 的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F 的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动．取物体运动路径为x 轴，位移量为x ，则F =F (x )．现物体从点x =a 移动到点x =b ，求力F 作功W ．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，力F 在此微段上做功微元为dW ．由于F (x )的连续性，物体移动在这一微段时，力F (x )的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段dx 上就可以使用常力做功的公式．于是，功的微元为dW =F (x )dx ． 作功W 是功微元dW 在[a ，b ]上的累积，据微元法W =⎰ba dW =⎰ba dx x F )(． (12)例1 在弹簧弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧，需要克服弹力作功．已知弹簧每拉长0.02m 要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1m 时，外力所做的功W ．解 据虎克定律，在弹性限度内，拉伸弹簧所需要的外力F 和弹簧的伸长量x 成正比，即 F (x )=kx ，其中k 为弹性系数． 据题设，x =0.02m 时，F =9.8N ，所以 9.8=0.02k ，得k =4.9⨯102(N/m).所以外力需要克服的弹力为 F (x )=4.9⨯102x ．由(12)可知，当弹簧被拉长0.1m 时，外力克服弹力作功W =⎰⨯1.0 0 2109.4xdx =21⨯4.9⨯1021.0 0 2x =2.45(J)．例2 一个点电荷O 会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A 产生沿径向OA作用的引力或斥力；电场内单位正电荷所受的力称为电场强度．据库仑定律，距点电荷r =OA 处的电场强度为F (r )=k 2r q(k 为比例常数，q 为点电荷O 的电量)． 现若电场中单位正电荷A 沿OA 从r =OA =a 移到r =OB =b (a <b )，求电场对它所作的功W ．解 这是在变力F (r )对移动物体作用下作功问题．因 为作用力和移动路径在同一直线上，故以r 为积分变量，可应用公式(12)，得W =⎰b adr rq k 2=kq b a r ]1[-=kq (b a 11-)．二、液体的压力单位面积上所受的垂直于面的压力称为压强，即p=ρ⋅h，(其中ρ是液体密度，单位是kg/3m，h是深度，单位是m)．如果沉于一定深度的承压面平行于液体表面，则此时承压面上所有点处的h是常数，承压面所受的压力P=ρ⋅h⋅A，其中A是单位为m2的承压面的面积．若承压面不平行于液体表面，此时承压面不同点处的深度未必相同，压强也就因点而异．考虑一种特殊情况：设承压面如图那样为一垂直于液体表面的薄板，薄板在深度为x 处的宽度为f(x)，求液体对薄板的压力．薄板沿深度为x的水平线上压强相同，为ρ⋅x，现在在薄板深x处取一高为dx的微条(见图中斜线阴影区域)，设其面积为dA．微条上受液体压力为压力微元dP．近似认为在该微条上压强相同，为ρ⋅x，则dP=ρ⋅xdA；又深度为x处薄板宽为f(x)，故dA=f(x)dx，因此dP=ρ⋅x⋅f(x)dx．若承压面的入水深度从a到b(a<b)，则薄板承压面上液体总压力是x从a到b所有压力微元dP的累积．据微元法P=⎰badxxxf)(ρ=ρ⎰badxxxf)(．(13)。
定积分的应用之微元法
定积分应用的微元法： 定积分应用的微元法
) (一 在 区间 [a,b] 上任取一 个微小 区间 [x, x + dx] ，然后写 出 值， 为 在 个 这 小区 上的 分 ∆F 的 似 ，记 dF = f (x)dx (称 F 间 部 量 近 值 为 的微元) 的微元);
[ 上积分（无限累加） d ，即得 （二） 将微元 F 在a,b] 上积分（无限累加） 即得 ，
各部分量之和， 各部分量之和，即F = ∑F . i
上的分布是不均匀的， (2) 所求量 F 在区间 [a,b] 上的分布是不均匀的， 比. 也 是说 F 的 与 就 ， 值 区间 [a,b] 的 不 正 .（ 则 长 成 比 否 的 得， 了） 话 F使 初 方 ， 用 等 法即 求 ， 勿 可 得 而 需用 分 法 ） 积 方 了 .
y = x2 , 得交点（ 解方程组 2 得交点（0，0）及（1，1）. y = x,
选择积分变量，写出面积微元， (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可 习惯上 x 均可， 取竖条， 取 为积分变量， 围为[0 [0， ， 取竖条 即 x 为积分变量， 变化范 ， 围为 ， [0 1]， 1]，于是 2
n i=1
第三步：写出整体量 F 的近似值，F = ∑∆F ≈∑ f (ξi )∆xi ； 的近似值， 第三步： i
i=1
n
第四步： 极限， 第四步：取λ = max{∆xi } →0时的∑ f (ξi )∆xi 极限，则得
i=1
n
F = lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx .
b
a b
y
y = f ( x)
y y = f ( x)
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
22考研复习全书选讲 第五讲 一元函数积分学(3)2021.4.30
2021年4月
第五讲 一元函数积分学(3)
定积分的应用
定积分应用的基本原理——微元法
在用定积分求面积、体积、平均值、表面积、弧长、功、引力、压力等问题时,常常要
利用微元法思想,其基本步骤如下:
（1）所求量 U 是与区间[a, b]以及定义在其上的函数 f (x)有关的量；
其中 (t)、 (t)在[, ]上具有一阶连续导数, 且 (t)、 (t)不同
时为零(极,坐则标曲方线程弧)设长曲为线S弧=由 极坐2(标t)方程2
(t)
r
dt
=
. r
(θ)
(
α
≤
θ
≤
β)
给
出, 其中 r (θ)在[, ]上具有一阶连续导数, 则曲线弧长为
S r2( ) r2( ) d .
直线 x=1 所成的旋转体体积 V1.(3) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得
旋转体的体积 V2. (3) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V2
1 (e x )2 dx
1 (ex)2 dx e2 .
0
6
V2 2
e y( y ln y)dy e2 .
0e
6
全书一，P123[例2]；全书二，P119[例2]；
0
2
a2( 1 cos )2 ( a sin )2 d
0
2 2a c osd
0
2
a8
si
2
n0
=
8a|
.
全书三，P114[例5]；
例 8(2010 数 3) 设位于曲线 y
1
( e x<+ )下方, x 轴上方的
定积分的应用：定积分的微元法
step3:
计 算A
b
f(x)dx
a
பைடு நூலகம்
这种方法称为定积分的微元法。
构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 [x,xd]x [a,b]上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f (x)dx ． a
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围；
③在[x, xdx]上求出微元解析式（积分式）。
④把所求的量表示成定积分
b a
f
( x )dx.
3。局 部 A if(量 i) A i,且误 o ( x i)差为
实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：
step1: 选取积分变量及积分 区间（如x属于[a, b]）
step2: 取微区间[x, x+dx]
求出 D A f(x)dx(局 部 量 )
并 记 d A f( x ) d x 称 为 面 积 元 素
通过对不均匀量如曲边梯形的面积变速直线运动的路程的分析采用分割近似代替求和取极限四个基本步骤确定了它们的值并由此抽象出定积分的概念我们发现定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具
定积分的微元法
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？
微元法与定积分的应用
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y
4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的 平均速度．
解 因为自由落体的速度为 v = gt， 所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解 因为图形关于 x 轴、y
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).
第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。
3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。
现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。
复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。
设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。
二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。
微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。
微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。
通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。
虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。
我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。
定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。
在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。
2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。
在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。
在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。
微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。
在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。
需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。
通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。
2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分学中的重要内容，而微元法是研究定积分的一种求解方法。
微元法也称为微分法，其基本思想是将被积函数进行分割，然后对每个小区间进行近似计算，再将所有小区间的结果求和，最终得到定积分的结果。
微元法在定积分的求解中起到了至关重要的作用。
通过将函数进行分割，我们可以将被积函数在每个小区间上近似看作是常数函数，这样就可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题。
通过逐步累加每个小区间的结果，最终得到的就是原函数在整个区间上的定积分。
微元法的应用非常广泛，其中最经典的应用之一是求曲线下的面积。
通过将曲线进行分割，我们可以得到多个矩形的面积，再将这些矩形的面积求和，最终得到的结果就是曲线下的面积。
这个应用非常有实际意义，例如在物理学中，可以用微元法求解物体的质量、压力等物理量。
另一个常见的应用是求弧长。
通过将曲线进行分割，我们可以得到多个小线段，再求出每个小线段的长度，最终将这些长度求和，就可以得到整个曲线的弧长。
这个应用在几何学中常见，可以用来求解曲线的长度、曲率等问题。
微元法还可以用来求解旋转体体积和曲面旋转体积。
通过将旋转体或曲面进行分割，我们可以得到多个圆柱体或圆锥体的体积，再将这些体积求和，最终得到整个旋转体或曲面旋转体的体积。
这个应用在几何学和物理学中非常常见。
微元法是定积分中一种重要的求解方法，其应用非常广泛。
通过将函数进行分割，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题，从而求解各种与曲线、曲面相关的物理量。
微元法在实际应用中具有重要的意义，为数学建模和实际问题的求解提供了有力的数学工具。
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 研究背景定积分中微元法及其应用研究引言定积分是微积分的重要组成部分，是对曲线下方面积的概念。
在实际问题中，我们经常需要求解曲线下的面积，例如计算图形的面积、求解物体的质量和体积等。
定积分中的微元法是一种重要的计算方法，通过将曲线分成无穷小的微元，然后对每个微元进行求和从而得到整个曲线下的面积。
微元法的应用可以帮助我们更准确、快速地计算定积分，提高计算效率。
在过去的研究中，人们对微元法在定积分中的应用逐渐深入探讨，积累了大量的经验和知识。
随着科学技术的不断发展和社会需求的不断增加，对定积分中微元法的研究也面临着新的挑战和机遇。
有必要对定积分中微元法及其应用进行深入研究，以满足不断增长的科学研究和工程实践的需要。
【内容到此结束】1.2 研究目的研究目的是深入探究定积分中微元法及其应用，通过对定积分的基本概念和微元法的具体应用进行分析和研究，探讨微元法在定积分中的实际应用价值和解决问题的能力。
通过研究微元法在定积分中的求解过程和步骤，揭示微元法在不定积分、定积分和定积分应用中的差异和联系，从而为定积分中微元法的理论基础提供更加全面的理解和认识。
结合定积分中微元法在实际问题中的应用，探讨微元法在解决实际问题和应用方面的优势和局限性，为定积分中微元法的未来研究和应用提供启示和指导。
通过对定积分中微元法的研究目的和意义的探讨，旨在加深对定积分中微元法的理论认识和应用实践，提高定积分问题求解的准确性和效率，为相关学科领域的学术研究和技术应用提供理论支持和指导。
1.3 研究意义定积分中微元法及其应用研究的研究意义在于深化对定积分概念的理解，拓展数学方法在实际问题中的应用。
微元法作为定积分中的重要方法，通过将函数分割成无限小的小块，将复杂问题简化为简单的求和问题，极大地提高了计算效率和准确性。
定积分中微元法的研究意义在于通过微元法的应用，可以更好地解决现实生活中复杂的变化问题，如曲线的长度、曲线围成的面积等。
定积分应用-微元法
——微元法
1
主要内容
理
名 称 释 译
论
依
据
的所 特求 点量
微 元 法 解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
2
定积分的应用举例
1. 几何方面 :
1) 平面图形的面积(直角坐标、极坐标、参数方程) 2) 体积
3) 平面曲线的弧长
4) 表面积
2. 物理方面 :
作功、转动惯量、重心、侧压力、引力、电学有效值
a a
7
II. 总量U在区间上具有可加性，即把区间分成几个
小区间时总量等于各个小区间上的局部量ΔU之和
III. 局部量ΔU可用 f ( i )xi 近似表示，它们之间只 相差一个xi 的高阶无穷小
xi 0
lim f (i )xi U f (i )xi U xi
微元形状: 条、带、段、片 、扇、环、壳 等
3
一、回顾定积分的引出----求曲边梯形面积 设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上，求Ｕ的步骤
1. 分割 2. 近似 3. 求和
n个小区间 [ xi 1 , xi ], xi xi xi 1
U i f ( i )xi , i [ xi 1, xi ]
U U i f ( i )xi
i 1 i 1
n b
a x0 x1 xn1 xn b
n
n
4. 取极限 U lim f ( i )xi f ( x )dx 0
max
xi
i 1
a
4
ห้องสมุดไป่ตู้ 定积分问题举例——求曲边梯形面积
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究导言在数学中，定积分是微积分中的一个重要概念，也是解决许多实际问题的有效工具之一。
而在定积分的求解过程中，微元法则是一个非常重要的方法，它通过将整体分割成无穷小的微元，从而将其转化为求和的问题，进而求得定积分的值。
微元法的应用范围非常广泛，涉及到物理、工程、经济、生物等各个领域。
本文将对定积分中微元法及其应用进行系统性的研究和探讨，旨在全面了解微元法的理论基础和实际应用，为相关领域的进一步研究提供理论支持。
一、定积分中微元法的基本理论1. 定积分的概念定积分是微积分学中的一个概念，是对一个区间上函数的积分。
在函数图像与 x 轴之间的部分都是函数曲线围成的图形，定积分表示这个图形的面积。
定积分的定义是通过微积分学中的极限概念和无穷小量来进行的。
2. 微元法的原理微元法是定积分中的一种基本方法，它是建立在以微元为基础的积分定理基础上的。
微元法的基本原理是将一个整体分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整体的结果。
在定积分中，微元法是通过无穷小的微元来逼近整体的结果，是定积分求解过程中的一个关键步骤。
3. 定积分中微元法的公式在定积分中，微元法的公式是根据具体的问题而定的。
对于不同的函数曲线和求解目的，微元法的公式也会有所不同。
在求解定积分中的面积时，微元法可以用定积分的区间，将函数曲线分割成无穷小的横截面积，然后对这些横截面积进行求和，最终获得整体的面积。
而在求解定积分中的体积时，微元法可以用定积分的区间，将函数曲线分割成无穷小的立体积，然后对这些立体积进行求和，最终获得整体的体积。
二、定积分中微元法的应用研究1. 物理学中的应用微元法在物理学中有着广泛的应用，特别是在求解物体的质心、转动惯量、流体压力等问题时。
在求解物体的质心时，可以将物体分割成无穷小的微元，然后对这些微元的质心进行求和，最终得到整体的质心位置。
在求解物体的转动惯量时，可以将物体分割成无穷小的微元，然后对这些微元的转动惯量进行求和，最终得到整体的转动惯量大小。
定积分的应用之微元法
(3)将 A 表示成定积分，并计算
A
1
(
0
x
x2
)dx
2 3
3
x2
1 3
x3
1
1 3.
0
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
在区间 [a,b] 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为
A(x) πf 2 (x).
在 x的变化区间[a,b] 内积分，得旋转体体积为
V π b f 2 (x)dx. a
y
类似地，由曲线 x (y) ，直线
y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形 绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下
dA 1 r 2 ( )d ,
2
将dA在[ , ]上积分,便得曲边
扇形面积为
A 1 r2 ( )d . 2
O
r r(θ)
d
x
例 4 计算双纽线r 2 a2 cos 2 (a 0) 所围成的图形 的面积（如下图所示）.
y
θ π4
ax O
解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，
3
π 3
(1
2 cos
1
cos 2
)d
9
0
2
2
π
π2(1 cos 2 )d
3
π
π
3
2
定积分的微元分析法
总结词
通过微元法，可以将不规则图形划分为多个 小矩形，然后求和计算总面积。
详细描述
首先，选取一个微小的长度Δx，然后在每 个Δx上取一个矩形，其高为y(x)Δx，其中 y(x)是函数y=f(x)在x处的值。将这些矩形的 面积加起来，即得到不规则图形的面积。
计算旋转体的体积
总结词
通过微元法，可以将旋转体划分为多个小圆柱体，然后求和计算总体积。
在工程领域，微元法广泛应用于结构分析、材料力学等领域 ，为工程设计和优化提供了重要的理论支持。
微元法的理论发展与完善
随着数学和物理学的发展，微元法的理论体系也在不断发展和完善。
新的数学工具和方法不断被引入到微元法中，使得微元法的应用范围和精度得到了极大的提升。
05
微元法的实际案例分析
计算不规则图形的面积
定积分的几何意义
定积分表示曲线y=f(x)与直线x=a, x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
若函数y=f(x)在区间[a, b]上连续且非 负，则定积分∫baf(x)dx表示以曲线 y=f(x)为曲边、以[a, b]为底的曲边梯 形的面积。
当f(x)≥0时，定积分表示曲边梯形的 面积；当f(x)<0时，定积分表示曲边 梯形面积的负值。
详细描述
选取一个微小的长度Δx，然后在每个Δx上取一个圆柱体，其高为Δx，底面半径为y(x)Δx，其中y(x)是函 数y=f(x)在x处的值。将这些圆柱体的体积加起来，即得到旋转体的体积。
解决流体动力学问题
总结词
微元法在流体动力学中用于分析流体的微观 运动状态，如速度、压力和密度等。
详细描述
通过将流体划分为无数个微小单元，并分析 每个微元的速度、加速度、压力和密度等物 理量，可以了解流体的整体运动状态和规律 。这种方法有助于解决流体动力学中的复杂
微元法及定积分的几何应用
定积分的定义
定义
定积分是积分区间[a,b]上，由函数f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积，记作 ∫baf(x)dx。
几何意义
定积分的值等于积分区间[a,b]上曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所围成的 平面图形的面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf( x)+f(x)dx
微元法可以用于分析流体动力学 问题，例如计算流体流动的速度 场和压力场。
感谢您的观看
THANKS
微元法的计算方法
01
微元法的计算步骤包括：选取微元、确定微元的几何意义、建 立微元的数学模型、进行微元分析、求和得到整体解。
02
在选取微元时，需要保证微元的几何意义明确，数学模型简单，
便于分析和计算。
在进行微元分析时，可以采用积分的方法，将无穷多个微元的
03
值相加得到整体解。
02
定积分பைடு நூலகம்基本概念
定积分在微元法中的应用
解决实际问题
数学建模
定积分的应用范围非常广泛，可以用于解决 各种实际问题，如计算变速直线运动的位移、 求解变力做功等问题。
定积分在数学建模中也有广泛应用，如通过 定积分建立描述自然现象和社会现象的数学 模型。
05
微元法及定积分的实际应用
在物理学中的应用
计算曲线长度
在物理学中，微元法常用于计算曲线或曲面的长 度，例如行星轨道、磁场线等。
区间可加性
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫baf( x)dx，c∈(a,b)
积分中值定理
若f(x)在[a,b]上连续，则存在 一点ξ∈[a,b]，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)
《定积分的微元法》课件
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稳定性
对于某些函数，微元法的计算可能不稳定，而数值积分方法通常具 有较好的稳定性。
与解析积分的比较
适用范围
解析积分方法适用于可以找到原函数的积分 ，而微元法适用于无法找到原函数的积分。
计算复杂度
解析积分方法通常需要找到原函数，这可能涉及到 复杂的数学运算，而微元法的计算相对简单。
精度
对于可以找到原函数的积分，解析积分方法 通常给出精确解，而微元法可能只给出近似 解。
计算体积
总结词
利用微元法，可以将定积分转化为求 和的形式，从而计算出旋转体体积。
详细描述
在计算旋转体体积时，首先将旋转体 进行分割，每个小区域近似为一个圆 柱体。然后，根据微元法的思想，将 每个小圆柱体的体积乘以相应的函数 值，并求和得到总体积。
计算长度
总结词
通过微元法，可以将定积分转化为求和的形式，从而计算出曲线长度。
解决物理、工程等领域中的复杂问题，如电磁场 、流体动力学等。
微元法的计算步骤
确定积分区间和被积函数。
将所有小区间的贡献相加，得到整体的 解。
将每个小区间的代表点上的函数值乘以 小区间的长度$Delta x$，得到该小区间 的贡献。
将积分区间划分为若干个小区间，每个 小区间的长度为$Delta x$。
定积分的几何意义
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积 。
02
当函数图像在x轴上方时，定积分 为正；在x轴下方时，定积分为负 ；与x轴相交时，定积分为零。
02
微元法的基本思想
微元法的概念
微元法是一种将复杂问题简化的数学方法，通过将整体划分 为若干个微小的单元，对每个单元进行单独处理，再求和得 到整体解。