高等数学课件D101对弧长讲义和曲线积分

23.02.2021
高等数学课件
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
L f( x ,y ) d s f[( t) ,( t)] 2 ( t) 2 ( t) d t
证: 根据定义
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
f
(x,
y)ds
lim f
0k1
(k,k)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f(x,y)ds.
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问Lds表示什?么
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
2 X ds
2 a 3 2X2a
3
圆的形心 在原点, 故
X0
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例6. 计算
其中为球面 x2 y2
z2
9 2
(k,k,k)
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
可得 M
A
k 1
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2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k,k,k)
y
I y2ds L
o
L: x y R R c si o ns( )
L
Rx
R 2 s2 in ( R si ) 2 n ( R co ) 2 d s
R3si2nd2R32si4n2
0
R3(sinco )s
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例3. 计算
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n
பைடு நூலகம் lim f 0k1
(k,k)sk
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设各分点对应参数为
点 (k,k)对应参数为
skttkk 1 2(t)2(t)dt
2 (k ) 2 (k ) tk,
则
n
lim
0
k
f[(k),(k)]
1
注意 2(t)2(t)连续
n
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3. 性质
(1 ) f(x,y,z)g(x,y,z)ds f(x,y,z)dsg(x,y,z)ds
（k 为常数)
(3) f(x,y,z)dsf(x ,y ,z )d s f(x ,y ,z )d s
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
n
记作
lim
0
k 1
f(k, k, k) sk
f (x, y,z)ds
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
Mk Mskk1
称为被积函数， 称为积分弧段 .
曲线形构件的质量 M(x,y,z)ds
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如果曲线 L 的方程为
则有
b
f
(x,(x))
a
12(x)dx
如果方程为极坐标形式: L :r r ()()则,
f(r()c o,rs ()s in )r2()r2()d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x ( t ) y , ( t ) , z ( t ) ( t )
精品
高等数学课件D101对弧长和 曲线积分
第一节
第十章
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
1
0 x
1
x
14x2dx
0
112(14x2)3210
1 (5 51) 12
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y B(1,1) y x2
L
o
1x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
则 f(x,y,z)ds
f((t),(t) ,(t))2 (t) 2 (t) 2 (t)d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L :y x 2(0 x 1 )
例4. 计算曲线积分 线
解: (x2y2z2)ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2k2 2[a2k2t2]dt 0
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2 a 2k2(3 a 24 2 k2)
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例5. 计算
其中为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由对称性可知 x2 ds y2 ds z2 ds
x 2d s 1(x 2 y 2 z2 )d s
3
1 a2 ds 1a22 a
3
3
2 a3
3
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思考: 例5中 改为 计算
, 如何
解: 令
X Y
Z
x 1 y 1,
z
则 : X2 XY2YZZ2 0 a2
(X1)2ds
其中L为双纽线
( x 2 y 2 ) 2 a 2 ( x 2 y 2 )( a 0 )
解: 在极坐标系下
y
它在第一象限部分为
L 1 :r a c2 o( 0 s 4 )
o
x
利用对称性 , 得
404rco sr2()r2()d
4 4a2cosd 0
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lim
0
k 1
f[(k), (k)]
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因此
说明:
( 1 ) s k 0 , t k 0 , 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2(d y)2
y
2(t)2(t)dt
ds dy dx
因此上述计算公式相当于“换元法”. o x x