2021年中考学霸必刷压轴题几何最值第三讲阿氏圆问题中考真题试题解析

2021年中考学霸必刷压轴题几何最值第三讲阿氏圆问题中考

真题试题解析

一．填空题（共2小题）

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．

2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则

PD−1

2PC的最大值为．

二．解答题（共1小题）

3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、P A，当点P运动到某一位

置时，PC+1

2P A的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

2021阿氏

参考答案与试题解析

一．填空题（共2小题）

1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，以点C 为圆心，6为半径的圆上

有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD +3BD 的最小值是 12√10 ．

【专题】推理填空题；图形的相似；运算能力；推理能力．

【解答】解：如图，在CA 上截取CM ，使CM ＝4，连接DM ，BM ，

∵CD ＝6，CM ＝4，CA ＝9，

∴CD 2＝CM •CA ，

∴CD CM =CA CD ，

∵∠DCM ＝∠ACD ，

∴△DCM ∽△ACD ，

∴DM AD =CD AC =23， ∴DM =23AD ，

∴23AD +BD ＝DM +BD ， ∵DM +BD ≥BM ，

在Rt △CBM 中，∵∠CMB ＝90°，CM ＝4，BC ＝12，

∴BM =√CM 2+BC 2=4√10，

∴23

AD +BD ≥4√10， ∴23AD +BD 的最小值为4√10，

∴2AD +3BD 的最小值是12√10．

故答案为：12√10．

2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则

PD −12

PC 的最大值为 5 ．

【专题】几何图形．

【解答】解：在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，如图，

∵

PB BG =21=2，BC PB =42=2， ∴PB BG =BC PB

， ∵∠PBG ＝∠PBC ，

∴△PBG ∽△CBP ，

∴PG PC =BG PB =12， ∴PG =12PC ，

当点P 在DG 的延长线上时，PD −12PC 的值最大，最大值为DG =√42+32=5． 故答案为：5

二．解答题（共1小题）

3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物

线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ．

（1）求抛物线解析式及B 点坐标；

（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；

（3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

【专题】代数几何综合题；数形结合；转化思想；构造法；面积法；一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；图形的相似．

【解答】解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5

∴C （0，5）

y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1

∴A （1，0）

∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点

∴{1+b +c =00+0+c =5 解得：{b =−6c =5

∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5

当y ＝x 2﹣6x +5＝0时，解得：x 1＝1，x 2＝5

∴B （5，0）

（2）如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于点H

∵A （1，0），B （5，0），C （0，5）

∴AB ＝5﹣1＝4，OC ＝5

∴S △ABC =12AB •OC =12

×4×5＝10 ∵点M 为x 轴下方抛物线上的点

∴设M （m ，m 2﹣6m +5）（1＜m ＜5）

∴MH ＝|m 2﹣6m +5|＝﹣m 2+6m ﹣5

∴S △ABM =12AB •MH =12×4（﹣m 2+6m ﹣5）＝﹣2m 2+12m ﹣10＝﹣2（m ﹣3）2+8 ∴S 四边形AMBC ＝S △ABC +S △ABM ＝10+[﹣2（m ﹣3）2+8]＝﹣2（m ﹣3）2+18 ∴当m ＝3，即M （3，﹣4）时，四边形AMBC 面积最大，最大面积等于18 （可以直接利用点M 是抛物线的顶点时，面积最大求解）

（3）如图2，在x 轴上取点D （4，0），连接PD 、CD

∴BD ＝5﹣4＝1

∵AB ＝4，BP ＝2

∴BD BP =BP AB =12 ∵∠PBD ＝∠ABP

∴△PBD ∽△ABP

∴PD AP =BD BP =12， ∴PD =12AP

∴PC +12P A ＝PC +PD

∴当点C 、P 、D 在同一直线上时，PC +12P A ＝PC +PD ＝CD 最小

∵CD =√OC 2+OD 2=√52+42=√41

∴PC +12P A 的最小值为√41