江西师大附中、临川一中2020届联考数学试卷(文)

江西师大附中、临川一中2020届联考数学试卷（文）
一、选择题：
1．已知a ∈R ，设集合A ＝{x ||x －1|≤2a －a 2－2}，则A 的子集个数共有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 2．函数y ＝log 12
x (x ＞2)的反函数是
A ．y ＝2x (x ＜－1)
B ． y ＝(1
2)x (x ＞－1)
C ．y ＝2－
x (x ＜－1) D ．y ＝(12)－x (x ＞－1)
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝78，a 7＋a 12＝10，则a 17＝ A ．2 B ．3 C ．4 D ．14 4．下列函数中，为偶函数的是 A ．f (x )＝sin(2009π
2＋x )
B ．f (x )＝cos(2009π
2＋x )
C ．f (x )＝tan(2009π
2
＋x )
D ．f (x )＝cot(2009π
2
＋x )
5．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是
A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2
B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2
C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1b
D ．若a ＜b ＜0，则b a ＞a
b
6．已知函数()24
2
m x f x x -+=
- (m ≠0)满足条件：f (x ＋a )＋f (a －x )＝b (x ∈R ，x ≠2)，则a
＋b 的值为 A ．0 B ．2
C ．4
D ．－2
7．函数()3
2
1f x x x x =--+在x ∈[－1，1]上的最大值等于
A ．427
B ．827
C ．1627
D ．32
27
8．设正三棱锥P －ABC 的内切球半径为r ，高为h ，则条件h ＝4r 是正三棱锥P －ABC 成为正四面体的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋12 (x ≤12
)2x －1 (12
＜x ＜1)
x －1 (x ≥1)
，若数列{a n }满足a 1＝7
3，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，
则a 2020＝
A ．43
B ．13
C ．56
D ．2
3
10．满足A ＝300，BC ＝10的△ABC 恰好有不同两个，则边AB 的长的取值范围为 A ．(10, 20) B ．(5, 10) C ．(20，＋∞) D ．(5, 10)∪(20，＋∞) 11．如图所示，在△OAB 中，OA ＞OB ，OC ＝OB ，设OA →
＝a ，
OB →＝b ，若AC →＝λ·AB →，则实数λ的值为 A ．a 2－b 2|a －b |2 B ．a ·(a －b )|a －b |2
C ．a 2－b 2
|a －b | D ．a ·(a －b )|a －b |
12．已知函数()()2
45f x x a x a =--+-+在[1，2]是减函数，则实数a 的取值范围是 A ．[－1, ＋∞) B ．(－∞, －2]∪[2，3] C ．[2，3] D ．(－∞, －1]∪[2，3] 二、填空题：
13．已知OP 1 →＝(cos θ，sin θ)，OP 2 →＝(3－cos θ，4－sin θ)，若OP 1 →∥OP 2 →
，则cos2θ＝ ． 14．设等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋a ，等差数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2－2n ＋b ， 则a ＋b ＝ ．
15．已知函数f (x )满足条件①f (x )＞0；②对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )；
③x ＞0时，0＜f (x )＜1．则不等式f －1(x 2－4x ＋3)＞f －
1(3)的解集为 ．
16．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P
的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动，有以下四个命题：
A ．平面M
B 1P ⊥ND 1； B ．平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1；
C ．△MB 1P 在底面ABC
D 上的射影图形的面积为定值； D ．△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：
17．已知函数f (x )＝3a sin ωx －a cos ωx (a ＞0，ω＞0)的图象上两相邻最高点的坐标分别为
(π3，2)和(4π
3
，2)． （1）求a 与ω的值；
（2）函数f (x )的图象是否能按向量a →
＝(m ，n )(－π2＜m ＜π2
)平移得到函数g (x )＝2cos2x
＋2的图象，若能，求出向量a →
，若不能，请说明理由．
C
A
A 1
18．已知函数()23log f x x a x ⎛⎫
=+
- ⎪⎝⎭
的定义域为A ，值域为B ． （1）当a ＝4时，求集合A ；
（2）集合M ＝{x |y ＝x 2－x ＋1
(a －5)x 2＋2(a －5)x －4}，若M ∩B ＝R ，求实数a 的取值范围．
19．如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA 、OB 分别相交于点
M 、N ，若OM —→＝x OA —→，ON —→＝y OB —→
．
（1）把y 用x 表示出来（即求y ＝f (x )的解析式）； （2）设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足：
S n ＝f (S n －1)(n ≥2)，求数列{a n }通项公式．
20．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，侧棱AA 1与底面ABC 成600角，
∠BAA 1＝∠CAA 1，BC ＝AA 1＝2，又点M 是BC 的中点，点O 是AM 的中点． （1）求证：A 1O ⊥平面ABC ；
（2）求二面角A 1―AC ―B 的大小； （3）求点B 到平面C 1AM 的距离．
21．若函数()32
f x ax bx cx d =+++是奇函数，且f (x )极小值＝f (－33)＝－239
．
O
A
B
P
M
N
A
B
C
C 1 M
A 1
B 1 O N
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）求函数f (x )在[－1，m ](m ＞－1)上的最大值．
22．设方程3tan 2πx －4tan πx ＋3＝0在[n －1，n )(n ∈N *)内的所有解之和为a n ．
（1）求a 1的值，并求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{a n
2
n }的前n 项和S n ；
（3）设数列{b n }满足条件：b 1＝2，b n ＋1≥a b n ，求证：
12b 1－3＋12b 2－3＋…＋1
2b n －3
＜2．
2020届联考数学试题（文）
参考答案
一、选择题：BCAA BDDC DAAD
二、填空题：13．－7
25； 14．－1； 15．(0，1)∪(3，4)； 16．BC
三、解答题：
17．解（1）f (x )＝3a sin ωx －a cos ωx ＝2a sin(ωx －π
6
)
由已知知周期T ＝4π3－π
3
＝π，
故a ＝1，ω＝2；……………………6分
（2）由（1）得f (x )＝2sin(2x －π6)＝2cos(2x －π6－π2)＝2cos(2x －2π
3
)……8分
∴⎩⎪⎨
⎪⎧2x /＝2x －2π3y /－2＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x /＝x －π
3y /＝y ＋2
， 故存在向量a →
＝(－π3
，2)．………12分
18．解：（1）当a ＝4时，由x ＋3
x －4＝x 2－4x ＋3x ＝(x －1)(x －3)x ＞0，
解得0＜x ＜1或x ＞3，
故A ＝{x |0＜x ＜1或x ＞3}………6分
（2）若B ＝R ，只要u ＝x ＋3
x －a 可取到一切正实数，
则x ＞0及u min ≤0，∴u min ＝23－a ≤0， 解得a ≥23……①…………8分
若M ＝R ，则a ＝5或⎩⎨⎧a －5≠0
△＝4(a －5)2＋16(a －5)＜0
解得1＜a ≤5……②…………10分
由①②得实数a 的取值范围为[23，5]……………………12分 19．解：（1）OP —→＝AB —→＝OB —→－OA —→
，
则NM —→＝OM —→－ON —→＝x OA —→－y OB —→
，
MP —→＝OP —→－OM —→＝(OB —→－OA —→)－x OA —→＝－(1＋x )OA —→＋OB —→
又NM —→∥MP —→
，有x －y (1＋x )＝0，即y ＝x x ＋1
(x ＞0)；…………6分
O
A
B
P
M
N
（2）当n ≥2时，由S n ＝f (S n －1)＝S n －1S n －1＋1，则1S n ＝S n －1＋1S n －1＝1
S n －1＋1………8分
又S 1＝a 1＝1，那么数列{1
S n }是首项和公差都为1的等差数列，
则1S n ＝1＋(n －1)＝n ，即S n ＝1
n
，……………………10分
故a n ＝⎩⎨⎧1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1 (n ＝1)
－
1n (n －1)
(n ≥2)
．………………12分
20．（1）证明：
⎭
⎬⎫
AB ＝AC ∠BAA 1＝∠CAA 1⇒A 1在底面ABC 上的射影H 必 在∠BAC 的平分线AM 上，
⎭⎬⎫
在△AA 1H 中，∠HAA 1＝600，AA 1＝2，得AH ＝1又在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝2，得AM ＝2⇒H 为AM 的中点，
即H 与O 重合，故A 1O ⊥平面ABC ；………………4分 （2）如图，过O 作ON ⊥AC 于N ，连A 1N ，由三垂线定理知 ∠ONA 1就是二面角A 1―AC ―B 的平面角， 在Rt △ONA 1中，ON ＝12AM·MC AC ＝5
5
，
A 1O ＝3，则tan ONA 1＝15
故二面角A 1―AC ―B 为arctan 15；…………8分
（3）如图，过C 作CP ∥AM ，且CP ＝AO ，延长AM 至Q ， 使MQ ＝AO ，连PQ ，则平行四边形PQMC ，
则点B 到平面C 1AM 的距离＝点C 到平面C 1AM 的距离 ＝点P 到平面C 1AM 的距离d ，
⎭
⎬⎫⎭
⎪⎬⎪⎫
⎭⎬⎫
CM ⊥AA 1AA 1∥CC 1⇒CM ⊥CC 1CM ⊥AM ⇒CM ⊥平面C 1AM
PQ ∥CM
⇒PQ ⊥平面C 1AM ，又PQ ⊂平面C 1PQ ，
平面C 1PQ ⊥平面C 1AM ，
过P 作PS ⊥C 1Q 于S ，则PS ⊥平面C 1AM ， 即PS 就是点P 到平面C 1AM 的距离d ，
在△C 1PQ 中，
PS ＝d ＝PQ·C 1P C 1Q ＝3·12＝3
2
．…………12分
故点B 到平面C 1AM 的距离为
3
2
． (第（2）（3）问用向量坐标法按相应步骤给分)
21．解：（1）函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，则b ＝d ＝0， ∴f /
(x )＝3ax 2＋c ，
A
B
C
M
A 1
B 1
O N C 1
A 1
B
C
M O
B 1
Q
S
A
则⎩⎨⎧f /
(－33)＝a ＋c ＝0f (－33)＝－3a 9－3c 3＝－23
9
⇒⎩⎨⎧a ＝－1c ＝1
故f (x )＝－x 3＋
x ；………………6分
（2）∵f /
(x )＝－3x 2＋1＝－3(x ＋
33)(x －3
3
) ∴f (x )在(－∞，－
33)，(33，＋∞)上是增函数，在[－33，3
3
]上是减函数， 由f (x )＝0解得x ＝±1，x ＝0， 如图所示，
当－1＜m ＜0时，
f (x )max ＝f (－1)＝0； 当0≤m ＜3
3
时，f (x )max ＝f (m )＝－m 3＋m ， 当m ≥
33时，f (x )max ＝f (33)＝239
． 故f (x )max
＝⎩⎪⎨
⎪⎧0 (－1＜m ＜0)－m 3
＋m (0≤m ＜33)
239 (m ≥33
)．………………12分 22．解：方程3tan 2πx －4tan πx ＋3＝(3tan πx －1)(tan πx －3)＝0 得tan πx ＝3
3
或tan πx ＝ 3
（1）当n ＝1时，x ∈[0，1)，即πx ∈[0，π) 由tan πx ＝
33，或tan πx ＝3得πx ＝π6或πx ＝π3
当x ∈[n －1，n )时，πx ∈[(n －1)π，n π)
由tan πx ＝
33，或tan πx ＝3得πx ＝π6＋(n －1)π或πx ＝π
3
＋(n －1)π 得x ＝16＋(n －1)或x ＝1
3
＋(n －1)，
故a n ＝16＋(n －1)＋13＋(n －1)＝2n －3
2………………4分
（2）S n ＝12·12＋52·122＋92·123＋…＋(2n －32)1
2
n …………①
12S n ＝ 12·122＋52·123＋…＋(2n －72)12n ＋(2n －32)1
2n ＋1…………②
①－②得12S n ＝12·12＋2(122＋123＋…＋12n )－(2n －32)1
2n ＋1………7分
＝14＋1－12
n －1
－(2n －32)1
2n ＋1
故S n ＝52－4n ＋5
2n ＋1；………9分
（3）由（1）得b n ＋1≥a b n ＝2b n －3
2
即b n ＋1－32≥a b n ＝2(b n －32)≥22(b n －1－32)≥…≥2n (b 1－32)＝2n －
1＞0……11分
则
1
b n ＋1－
32≤12n －1，即12b n ＋1－3≤12n ……………………12分 12b 1－3＋12b 2－3＋…＋12b n －3≤1＋12＋…＋12n －1＝2－1
2
n －1＜2．……14分。