直线的一般式方程-PPT课件
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新教材人教A版选择性必修第一册 2.2.3 直线的一般式方程 课件(43张)
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知直线l经过点P(2,3)且斜率为- 3 ,试求下列直线的一般式方程:
2
(1)直线l.
(2)与直线l平行,且过点(-3,1)的直线.
(3)与直线l垂直,且过点(0,-1)的直线.
【思维·引】1.化为斜截式,利用斜率、y轴上截距的符号判断. 2.根据条件,利用点斜式、斜截式写出直线方程,再化成一般式.
3.直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=
()
A.3 B.-2 C.2 D.-3
【解析】选D.3x+2y+6=0中,令x=0得y=-3,所以在y轴上的截距b=-3.
关键能力·素养形成
பைடு நூலகம்
类型一 直线的一般式方程
【典例】1.已知直线Ax+By+C=0(AB>0,BC>0),则直线不经过
()
A.第一象限
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
【解析】(1)由点斜式得y-(-2)=- 1(x-8),
2
即x+2y-4=0.
(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得 x ＋=y1,即2x-y-3=0.
3 3 2
(4)由两点式得 y 2 ＝,即x x3+y-1=0. 4 2 5 3
a
a
2,
则a-2= a 2,解得a=1或a=2,故直线l的方程为x+y+1=0或2x+y=0.
a
【内化·悟】 直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题? 提示:必须考虑B是否为0,当B不等于0时才能化成斜截式方程,不确定时需要对B 分情况讨论.
直线的一般式方程--ppt课件精选全文完整版
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同pp时t课件为0.
2
ppt课件
3
Ax By C 0
问:所有的直线都可以用二元一次方程表示？
①当B≠0时 方程可化为 y A x C
BB
这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
A1 B1 C1 A2 B2 C2
(B1 0, B2 0, )
l1与l2重合
A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
l1与l2平行 l1与l2相交
(2)当l1 l2时，上述方程系数有何联系？
2
.l1
l ppt课件 2
A1A2
B1B2
014
练习1:已知直线l1：x+(a+1)y-2+a=0和 l2：2ax+4y+16=0，若l1//l2，求a的值.
o
x
ppt课件
7
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响: 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
y
l
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
o
x
ppt课件
8
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
a=1
练习2:已知直线l1：x-ay-1=0和 l2：a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
a=1或a=0
ppt课件
15
2.2.3直线的一般式方程 ---(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
[易错警示] 利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所 求直线的斜率时要注意斜率不存在或者为0的情况.
[针对训练](1)过点(1,0),且与直线x-2y-2=0平行的直
线方程是( )
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析：(1)所求直线与直线x-2y-2=0 平行，故所求直线的斜 率 又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一 条确定的 直线 ;反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一 个确定的 二 元 一 次 方 程 _表示.
预 习自测
1.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )
A.x-2y+7=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0
D.2x+y-5=0
解析：设与直线x-2y+3=0平行的直线是x-2y+c=0(c≠3), 代入点(-1,3)得-1-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-
2y+7=0.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A,B应满足的条件为
( D)
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2+B2≠0
解析：A,B不能同时为0,则A²+B²≠0.
3x+4y-9=0.
法二 由 I′与 I平行，可设I′的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将点(-1,3) 代入得m=-9.所以直线I′ 的方程为3x+4y-9=0.
[例3] 已知直线1的方程为3x+4y-12=0, 求直线l′ 的方程，使1′
[针对训练](1)过点(1,0),且与直线x-2y-2=0平行的直
线方程是( )
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析：(1)所求直线与直线x-2y-2=0 平行，故所求直线的斜 率 又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一 条确定的 直线 ;反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一 个确定的 二 元 一 次 方 程 _表示.
预 习自测
1.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )
A.x-2y+7=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0
D.2x+y-5=0
解析：设与直线x-2y+3=0平行的直线是x-2y+c=0(c≠3), 代入点(-1,3)得-1-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-
2y+7=0.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A,B应满足的条件为
( D)
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2+B2≠0
解析：A,B不能同时为0,则A²+B²≠0.
3x+4y-9=0.
法二 由 I′与 I平行，可设I′的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将点(-1,3) 代入得m=-9.所以直线I′ 的方程为3x+4y-9=0.
[例3] 已知直线1的方程为3x+4y-12=0, 求直线l′ 的方程，使1′
2.2.3直线的一般式方程课件(人教版)(1)
x (2)
y
1；
(3)x+2y=0;
(4)7x-6y+4=0.
45
(4)6y=7x+4， y 7 x 2
63
斜率为7 ，在y轴上的截距为2；
6
3
2
3
4 7
3、若直线ax+by+c=0的图像经过第一、二、三象限，则( D )
A、ab>0，bc>0
B、ab>0，bc<0
C、ab<0，bc>0
D、ab<0，bc<0
它表示过点
(0，
C B
)，斜率为
A B
的直线.
B
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可变形为 x
B C
，
它表示过点
(
C A
，0)且垂直于x轴的直线.
A
由上可知，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
我们把关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0
(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(general form)
4 (2) 5 3 化成一般式为x+y–1=0
(4)在x轴，y轴上的截距分别是
3 ， 2
3
(4)
x 3
y 3
1
2
化成一般式为2x-y–3=0
2、(P66T2)求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形：
(1)3x+y–5=0;
x (2)
y
1；
(3)x+2y=0;
(4)7x-6y+4=0.
思考： (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程 表示吗？ (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
2.2.3直线的一般式方程(教学课件(人教版))
解(1)若方程不能表示直线，则 m2＋5m＋6＝0 且 m2＋3m＝0.
解方程组
m 2＋5m＋6＝0，得 m 2＋3m＝0，
m＝－3
(2)由已知 m2m2－2＋mm≠－0，3＝－（m2－m），解由得已m知＝－24mm12－ .＋1m＝－2m3≠2＋ 0，m－3，
例4（一般式下直线的平行与垂直问题）
BB
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为 x C . A
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表 示一条直线.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的 一般式方程, 简称一般式. 探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
两点式
过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
直线方程 y y0 k( x x0 )
y kx b y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
应用范围
不含与x轴垂
直的直线
不含与x轴垂
直的直线
不含与x, y轴
垂直的直线
截距式
过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0)
已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求： (1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A 和直线l垂直的直线方程．
解 (1)将与直线 l 平行的方程设为 3x＋4y＋C1＝0，
又过点 A(2,2)，所以 3×2＋4×2＋C1＝0，所以 C1＝－14.
2.2.3直线的一般式式方程课件(人教版)
学习新知 直线的一般式方程:
Ax By C （0 A, B不同时为0）
探究： 在方程Ax By C 0中，A, B,C为何值时，方程 表示的直线为：
(1)平行于x轴 _A____0_且__C___0_ (2)平行于y轴 _B____0_且__C___0_ (3)与x轴重合 _A____0且 __C____0_ (4)与y轴重合 _B____0_且__C___0_
截距式方程: x y 1 ab
不能表示过原点和与坐标轴平行或重合的直线
学习新知
直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式
方程都是关于x，y的方程，这些方程所属的类型是
什么？
二元一次方程
思考2:二元一次方程的一般情势是什么？
Ax+By+C=0
思考3:平面直角坐标系中的任意一条直线方程都 可以写成Ax+By+C=0的情势吗？
方法小结 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在 的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要 注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的 系数间的关系得出结论.
直线l1：A1x+B1y+C1=0和直线l2：A2x+B2y+C2=0
巩固练习
3.当a为何值时,直线l1 : (a 2)x (1-a) y-1=0与直线
l2 : (a-1)x (2a 3) y 2=0互相垂直？
解 :方法一由题意知，直线l1 l2. (1)若1 a 0,即a 1时,直线l1 : 3x 1 0与直线l2 : 5 y 2 0垂直.
l1 / /l2 A1B2 A2B1 0且C1 A2 C2 A1 0或C1B2 C2B1 0
直线的一般式方程(课件)高二数学
4 ＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为43， 又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得 m＝－9. ∴所求直线方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设其方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线方程为 4x－3y＋13＝0.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y
的二元一次方程来表示．( √ )
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( √ )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB.( × ) (4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线．(
(1) 若 l1∥l2 ⇔ A1B2 － A2B1 ＝ 0 且 B1C2 － B2C1≠0( 或 A1C2 － A2C1≠0)．
(2)若 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝ 0，(m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝ 0.
上的截距)； 当 B＝0，A≠0 时，则－C＝a(x 轴上的截距)，此时不存在斜率． A
[方法技巧] 解读直线方程的一般式： ①方程是关于 x，y 的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排 列． ③x 的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件 即可求得直线的方程．
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为43， 又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得 m＝－9. ∴所求直线方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设其方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线方程为 4x－3y＋13＝0.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y
的二元一次方程来表示．( √ )
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( √ )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB.( × ) (4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线．(
(1) 若 l1∥l2 ⇔ A1B2 － A2B1 ＝ 0 且 B1C2 － B2C1≠0( 或 A1C2 － A2C1≠0)．
(2)若 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝ 0，(m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝ 0.
上的截距)； 当 B＝0，A≠0 时，则－C＝a(x 轴上的截距)，此时不存在斜率． A
[方法技巧] 解读直线方程的一般式： ①方程是关于 x，y 的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排 列． ③x 的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件 即可求得直线的方程．
直线的一般式方程 课件
(2)要学会借助图形的直观，寻找量的关系．
思考题 3 (1)直线 Ax＋By＋C＝0，当 A>0，B<0，C>0
时，直线必经过的象限是( )
A．一、二、三
B．一、二、四
C．二、三、四
D．一、三、四
(2)直线 y＝ax＋b(a＋b＝0)的图像是( )
(3)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示与两条坐标轴都相交的直线，
【解析】 设 l 与 l1，l2 的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， ∵(x1，y1)，(x2，y2)关于原点对称，∴xy22＝＝－－xy11.， 又∵43x（1＋－yx11＋）6－＝50（，－y1）－6＝0，∴x1＝－3263，y1＝263. 由两点式得方程2y63＝－x3263，即 x＋6y＝0.
若 AC<0，BC<0，知 A、C 异号，B、C 异号． ∴A、B 同号，即 AB>0. ∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除 B. 故 A、B、C 同号． 【答案】 A
探究 3 (1)该题主要考查二元一次方程与直线的位置关系， 充分体现了数形结合思想的重要性．方法一是常用方法，其通过 分析斜率与截距的符号，来刻画直线的特征；方法二是解决选择 题的常用方法，即排除法，分析过程中要注意特殊值的巧妙应用．
探究 5 方法一用的是代入法，代入法是求曲线方程、函数 解析式经常采用的方法，代入法往往跟对称联系在一起．
思考题 5 (1)求直线 2x＋3y－6＝0 关于点 A(1，－1)对称 的直线方程．
【思路分析】 利用所求直线上任意一点 P 关于点 A 的对称点 P′在已知直线上的关系求解．
【解析】 设 P(x，y)为所求直线上任一点，则 P 关于 A(1， －1)的对称点 P′(x0，y0)在已知直线 2x＋3y－6＝0 上．
思考题 3 (1)直线 Ax＋By＋C＝0，当 A>0，B<0，C>0
时，直线必经过的象限是( )
A．一、二、三
B．一、二、四
C．二、三、四
D．一、三、四
(2)直线 y＝ax＋b(a＋b＝0)的图像是( )
(3)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示与两条坐标轴都相交的直线，
【解析】 设 l 与 l1，l2 的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， ∵(x1，y1)，(x2，y2)关于原点对称，∴xy22＝＝－－xy11.， 又∵43x（1＋－yx11＋）6－＝50（，－y1）－6＝0，∴x1＝－3263，y1＝263. 由两点式得方程2y63＝－x3263，即 x＋6y＝0.
若 AC<0，BC<0，知 A、C 异号，B、C 异号． ∴A、B 同号，即 AB>0. ∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除 B. 故 A、B、C 同号． 【答案】 A
探究 3 (1)该题主要考查二元一次方程与直线的位置关系， 充分体现了数形结合思想的重要性．方法一是常用方法，其通过 分析斜率与截距的符号，来刻画直线的特征；方法二是解决选择 题的常用方法，即排除法，分析过程中要注意特殊值的巧妙应用．
探究 5 方法一用的是代入法，代入法是求曲线方程、函数 解析式经常采用的方法，代入法往往跟对称联系在一起．
思考题 5 (1)求直线 2x＋3y－6＝0 关于点 A(1，－1)对称 的直线方程．
【思路分析】 利用所求直线上任意一点 P 关于点 A 的对称点 P′在已知直线上的关系求解．
【解析】 设 P(x，y)为所求直线上任一点，则 P 关于 A(1， －1)的对称点 P′(x0，y0)在已知直线 2x＋3y－6＝0 上．
2.2.3直线的一般式方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式
表示.
约 定 ：对于直线方程的一般式， 一般作如下约定： x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现 分数， 一般按含x 项，含y 项、常数项顺序排列.
思考：当A=0 或B=0 或C=0 时，方程Ax+By+C=0 分别表
示什么样的直线?
化成 一 般式得4
y =2
y-2=0
+-=
)
2x—y-3=C x+y—1=0
直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
点斜式
y-y1=k(xx₁)
两点式
y-y₁
-y
二 X 一X1
一般式 B≠0
Ax+By+C=0 (A与B不同
时为零)
斜截式
y=kx+b
ABC≠0
截距式
x+ 号=1
【例1】(1)已知直线l的一般式方程为2x-3y+6=0, 请把一
②若 2a+3=0, 即
时，直线l:x+5y-2=0 与直线l₂:
5x-4=0 不垂直.
③若1-a≠0 且2a+3≠0, 则直线l,l₂ 的斜率k,k₂ 都存在，
当l₁⊥l₂时 ，k₁ ·k₂=-1,
∴a=—1.
综上可知，当a=1 或a=—1 时，直线 l₁⊥l₂.
思考：还有其他方法吗?
(2)已知两直线l:ax+2y+6=0 若l₁⊥l₂, 求实数a 的值.
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程； ( 2 ) 关 于x,y的二元一次图象又都是一条直线. 2.直线方程的一般式与特殊式的互化.
注意B=0 3.两条直线平行与垂直的判定.
2_2_3直线的一般式方程课件-数学人教A版(2019)选择性必修第一册
•4.过点P(1,4)作直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上
•的截距之和最小时，求此直线的方程. •解1 由已知可设直线方程为 y 4 k( x 1). ： 令 x 0 , 得纵截距为 b k 4 ; 令 y 0 , 得横截距为 a 4 1 . k
•y
. •P(1,4)
试讨论：(1) l1 // l2 的条件是什么？
(2)l1 l2 的条件是什么？
方法一 (A2 0,
A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 A2 B2
B2
0l,1C与2 l2重0) 合方法1二l1
//
l2
BA11CB22
A2 B1 B2C1
•y
. •P(1,4)
•O
•x
即a 3, b 6时，a b达到最小值9，
此时直线的方程为x y 1, 即2x y 6 0. 36
优化设计小本
12.(多选题)三条直线 x+y=0,x-y=0,x+ay=3 围成一个三角形,则 a 的取值可以是 ( )
A.-1
B.1
C.2
D.5
典例
设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
解 由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1， 令 y＝0，则 x＝m22－m2－m6－3， ∴m22－m2－m6－3＝－3，得 m＝－53或 m＝3(舍去). ∴m＝－53.
12.CD 直线 x+y=0,x-y=0 都经过原点,而无论 a 为何值,直线 x+ay=3 总不能经过原点,
故只需直线 x+ay=3 与另两条直线均不平行即可,即 a≠±1.
直线的一般式方程ppt课件
2
m 2
率为 ，由两条直线互相垂直得− ⋅
5
4 5
= −1，解得m = 10，故选D.
方法二：由两条直线互相垂直得m ⋅ 2 + 4 × −5 = 0，解得m = 10.故选D.
课中探究
（2）已知直线l：ax − 2y − a + 4 = 0.
①求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
解：证明：直线l的方程可化为 x − 1 a = 2 y − 2 ，
1
2
+ = 1，解得a = − ，所以直线的方程为
x + 2y + 1 = 0；
当直线过原点时，设所求直线的方程为y = kx，则−5k = 2，解得k =
2
5
以直线的方程为y = − x，即2x + 5y = 0.
综上，所求直线的方程为2x + 5y = 0或x + 2y + 1 = 0.
2
− ，所
② l1 ⊥ l2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0 .
（2）与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为Ax + By + m = 0 m ≠ C ；
与直线Ax + By + C = 0垂直的直线方程可设为Bx − Ay + m = 0.
课中探究
拓展
已知直线l：Ax + By + C = 0．
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】
1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.
2.能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行互化.
课前预习
m 2
率为 ，由两条直线互相垂直得− ⋅
5
4 5
= −1，解得m = 10，故选D.
方法二：由两条直线互相垂直得m ⋅ 2 + 4 × −5 = 0，解得m = 10.故选D.
课中探究
（2）已知直线l：ax − 2y − a + 4 = 0.
①求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
解：证明：直线l的方程可化为 x − 1 a = 2 y − 2 ，
1
2
+ = 1，解得a = − ，所以直线的方程为
x + 2y + 1 = 0；
当直线过原点时，设所求直线的方程为y = kx，则−5k = 2，解得k =
2
5
以直线的方程为y = − x，即2x + 5y = 0.
综上，所求直线的方程为2x + 5y = 0或x + 2y + 1 = 0.
2
− ，所
② l1 ⊥ l2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0 .
（2）与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为Ax + By + m = 0 m ≠ C ；
与直线Ax + By + C = 0垂直的直线方程可设为Bx − Ay + m = 0.
课中探究
拓展
已知直线l：Ax + By + C = 0．
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】
1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.
2.能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行互化.
课前预习
新人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线的一般式方程全套课件
A ．平行
√B．垂直
C ．不平行也不垂直 D．与m，n的取值有关
解析：因为两直线斜率之积等于－1，所以两直线垂直．
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1234
3．若直线的截距式xa ＋by ＝1 化为斜截式为 y＝－2x＋b，化为一般式为
bx＋ay－8＝0 且 a>0，则 a＋b＝________． 解析：由xa ＋by ＝1，得 y＝－ba x＋b，一般式为 bx＋ay－ab＝0，所以－
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1234
(2)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍． 解：因为 3x＋8y－1＝0 可化为 y＝－38 x＋18 ， 所以直线 3x＋8y－1＝0 的斜率为－38 ， 则所求直线的斜率 k＝2×－38 ＝－34 .
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1234
又直线经过点(－1，－3)， 所以所求直线的方程为 y＋3＝－34 (x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0.
C ． x＋2y－1＝0 √D．2x＋y－2＝0
解析：直线 x－2y－2＝0 的斜率为12 ，则所求直线的斜率为－2， 即所求直线的方程为 y－0＝－2(x－1)， 即 2x＋y－2＝0.故选 D.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为
√A.3x＋2y－1＝0
C.2x－3y＋5＝0
B．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：依题意可设所求直线方程为3x＋2y＋c＝0，
又直线l过点(－1，2)，代入可得c＝－1，
故所求直线方程为3x＋2y－1＝0.
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2．已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2 时，m＝________；当l1∥l2时，m＝________． 解析：若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0； 若l1∥l2，则m2－1＝0，且(－1－m)×1－m(－2m－2)≠0，解得m＝1. 答案：0 1
【课件】直线的一般式方程(课件)-2022-2023学年人教A版选择性必修第一册
二、直线方程几种形式的相互转化
二、直线方程几种形式的相互转化
例4（2022山东济宁期中）直线3x + 2y +6 = 0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则（ ）
A.k = - 2 ,b = 3 3
B.k = - 2 ,b = -2 3
C.k = 3 ,b = -3 2
D.k = - 2,b = -3Байду номын сангаас3
则 k1＝－35，b1＝65；k2＝－35，b2＝－130. ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2.
(法二) ∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2.
三、直线一般式方程的应用
【练2】判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
叫做直线的一般式方程，简称为一般式。 适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线
一、直线的一般式方程
一、直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
此方程叫做直线的一般式方程，简称为一般式。
适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线
几种特殊：
（1）A
0，B
确定C2.
三、直线一般式方程的应用
【练2】判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，
l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，
l2：x＝1.
人教版高中数学必修2(A版) 3.2.3 直线的一般式方程 PPT课件
§3.2.3直线的一般式方程
复习引入
1、写出前面学过的直线方程的各种不同形式， 并指出其局限性：
直线方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 形式 限制条件
复习引入
2、 问题一：上述四种直线方程的表示形式都有其 局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可 以表示平面中的所有直线？ 提 示：上述四种形式的直线方程有何共同特 征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x、y的二元一次方程）
新课讲授
1、 探究直线和二元一次方程的关系：
问题二①：平面内任意一条直线是否都可以用形如 Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的方程来表示？
结论：在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用 二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。
新课讲授
问题二②：方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0） 是否可以表示平面内任意一条直线？
例题精讲
4 例5、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 ， 3
求直线的点斜式和一般式方程。
注意
对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的 系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列。
例题精讲
例6、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式，求出 直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
则直线PB的方程是(
A.2y-x-4=0
)
B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0Leabharlann D.2x+y-7=0
3、设直线的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1）直线在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1。
复习引入
1、写出前面学过的直线方程的各种不同形式， 并指出其局限性：
直线方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 形式 限制条件
复习引入
2、 问题一：上述四种直线方程的表示形式都有其 局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可 以表示平面中的所有直线？ 提 示：上述四种形式的直线方程有何共同特 征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x、y的二元一次方程）
新课讲授
1、 探究直线和二元一次方程的关系：
问题二①：平面内任意一条直线是否都可以用形如 Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的方程来表示？
结论：在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用 二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。
新课讲授
问题二②：方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0） 是否可以表示平面内任意一条直线？
例题精讲
4 例5、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 ， 3
求直线的点斜式和一般式方程。
注意
对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的 系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列。
例题精讲
例6、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式，求出 直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
则直线PB的方程是(
A.2y-x-4=0
)
B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0Leabharlann D.2x+y-7=0
3、设直线的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1）直线在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1。
直线方程的一般式 课件
解法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0 ∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0． (2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x－3y－2＝0．
『规律方法』 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋ By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0．
则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即 3x＋y＝0； 若 a≠2，由题设 l 在两轴上的截距相等，∴aa－ ＋21＝a－2 即 a＋1＝1，∴a＝0，方程即 x＋y＋2＝0． ∴l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0． (2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2 ∴欲使 l 不经过第二象限，当且仅当－ a－a2＋≤10>0或－ a－a2＋≤10＝0，∴a≤－1． 综上可知 a 的取值范围是 a≤－1．
[正解] 由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3． 当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0． 两直线显然不重合，即l1∥l2． 当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0． 两直线重合．故m的值为－1．
[警示] (1)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 A1B2 －A2B1＝0⇔l1∥l2 或 l1 与 l2 பைடு நூலகம்合．
命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用
典例 2 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
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思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程?
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
思考2：对于任意一个二元一次方程
Ax By C 0 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？
当 B 0 时,方程变为 y A x C
表示过点 (0 C ) B
BB
斜率为 A 的直线
B
当 B 0 时,方程变为 x C （A 0)
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(6)A≠0，B≠0;
0
x
若方程(2m2+m-3)x+（m2-m）y-4m+1=0 满足下列条件之一,求m的取值范围.
直线的一般式方程
复习回顾
名称 几 何 条 件
方程
适用范围
点斜式
点P(x0,y0)和斜率k
y y0 k(x x0)
有斜率的 直线
斜率k,y轴上的 斜截式 纵截距b
y kxb
有斜率的直 线
两点式 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a,
在y轴上的截距b
y y1 x x1 不垂直于x、 y1 y2 x1 x2 y轴的直线
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
2.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6， 根据下列条件分别确定m的值。
(1)l在x轴上的截距是-3；
(2)l的斜率是-1。
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率 k＝－ A
B
（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出
y C B
值，则
bC B
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 x C 值，则 a C
A
A
拓展训练题:
1. 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
(1)表示一条直线;
(2)表示过原点的一条直线; (3)表示倾斜角为135º的一条直线; (4)表示在x轴上的截距为1的一条直线; (5)表示与y轴平行的一条直线;
3.一般式方程与其他形式方程的转化
（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转 化为一般式，把握直线方程一般式的特点
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一
B
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点; （6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
般式： 1.过点A(6,-4),斜率为-
4 3
;
y+4=-
4 3
(x-6)4x+3y-12=0
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
y+2 -4+2
=
x-3 5-3
x+y-1=0
3.在x轴,y轴上的截距分别是
3 2
,-3;
xy 3 + -3 =1 2x-y-3=0
2
注：对于直线方程的一般式，一般作如下 约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数 项一般不出现分数；无特别说明时，最好 将所求直线方程的结果写成一般式。
y
(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(5) C=0，A、B不同时为0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
x y 1 ab
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不垂直于x、y 轴的直线，不 过原点的直线
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的 方程是___y-_1_=_2_(x_-_2_)__ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方 程是_____y_=_1____ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直 线的方程是__x_=_2_____
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知 直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法
例2 把直线 l : 3x 5y 15 0 化成斜截式，求出直
线的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
解：将直线的一般式方程化为斜截式：y 3 x 3， 5
它的斜率为： 3 ，它在y轴上的截距是3 5
A
表示垂直于x轴的一条直线
总结:
由上面讨论可知,
(1)平面上任一条直线都可以用一个 关于x,y的二元一次方程表示,
(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)
叫做直线的一般式方程,简称一般式
当B 0时，表示斜率不存在的直线 当B 0时，表示斜率k A的直线
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
思考2：对于任意一个二元一次方程
Ax By C 0 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？
当 B 0 时,方程变为 y A x C
表示过点 (0 C ) B
BB
斜率为 A 的直线
B
当 B 0 时,方程变为 x C （A 0)
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(6)A≠0，B≠0;
0
x
若方程(2m2+m-3)x+（m2-m）y-4m+1=0 满足下列条件之一,求m的取值范围.
直线的一般式方程
复习回顾
名称 几 何 条 件
方程
适用范围
点斜式
点P(x0,y0)和斜率k
y y0 k(x x0)
有斜率的 直线
斜率k,y轴上的 斜截式 纵截距b
y kxb
有斜率的直 线
两点式 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a,
在y轴上的截距b
y y1 x x1 不垂直于x、 y1 y2 x1 x2 y轴的直线
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
2.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6， 根据下列条件分别确定m的值。
(1)l在x轴上的截距是-3；
(2)l的斜率是-1。
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率 k＝－ A
B
（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出
y C B
值，则
bC B
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 x C 值，则 a C
A
A
拓展训练题:
1. 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
(1)表示一条直线;
(2)表示过原点的一条直线; (3)表示倾斜角为135º的一条直线; (4)表示在x轴上的截距为1的一条直线; (5)表示与y轴平行的一条直线;
3.一般式方程与其他形式方程的转化
（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转 化为一般式，把握直线方程一般式的特点
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一
B
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点; （6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
般式： 1.过点A(6,-4),斜率为-
4 3
;
y+4=-
4 3
(x-6)4x+3y-12=0
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
y+2 -4+2
=
x-3 5-3
x+y-1=0
3.在x轴,y轴上的截距分别是
3 2
,-3;
xy 3 + -3 =1 2x-y-3=0
2
注：对于直线方程的一般式，一般作如下 约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数 项一般不出现分数；无特别说明时，最好 将所求直线方程的结果写成一般式。
y
(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(5) C=0，A、B不同时为0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
x y 1 ab
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不垂直于x、y 轴的直线，不 过原点的直线
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的 方程是___y-_1_=_2_(x_-_2_)__ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方 程是_____y_=_1____ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直 线的方程是__x_=_2_____
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知 直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法
例2 把直线 l : 3x 5y 15 0 化成斜截式，求出直
线的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
解：将直线的一般式方程化为斜截式：y 3 x 3， 5
它的斜率为： 3 ，它在y轴上的截距是3 5
A
表示垂直于x轴的一条直线
总结:
由上面讨论可知,
(1)平面上任一条直线都可以用一个 关于x,y的二元一次方程表示,
(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)
叫做直线的一般式方程,简称一般式
当B 0时，表示斜率不存在的直线 当B 0时，表示斜率k A的直线