第36讲 图形的相似(综合运用)

第36讲 图形的相似（综合运用）
一、【课标考点解读】
1．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

2．运用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。

二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分： 1．（2012•北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm ，
EF=20cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=8m ，则树高AB= ___________m ．
第1题 第2题 第3题
2．（2011•天水）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7m 的点E 处，然后观测考沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=2.7m ，观测者目高CD=1.6m ，则树高AB 约是______ ．（精确到0.1m ）
3.（2011•广州）如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm ，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ． 4．（2011•深圳）如图4，△AB C 与△DEF 均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为（ ）
A
B
C ．5:3
D ．不确定
5．（2011•河源） 如图5，点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上，连结BP 并
延长与AD 的延长线交于点Q ．
（1）求证：△DQP ∽△CBP ； （2）当△DQP ≌△CBP ，且AB=8时，
求DP 的长． 三、【知识要点梳理—知识链接】
1. 位似多边形的性质与相似多边形的性质类似。

相似多边形的所有对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的_______。

2. 位似变换：取一定点O ，把图形上任意一点P 对应射线OP(或它的反向延长线)上一点P ’，使得线段O P ’与OP 的比等于____________，点O 对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O 叫做_______， ____________叫做位似比。

3. 一个图形经过____________得到的图形叫做原图形的位似图形。

两个位似图形一定是相似图形，但两个相似的图形______________是位似图形。

4. 位似图形的性质：两个位似图形上的每一对_________
都与位似中心在一条直线上，并且新图形
A B C D
F
E
O 第4题
C
A
第5题
C B
A
O
P D 与原图形上________到位似中心的距离之比等于位似比。

四、【中考名题---考点链接】 考点 相似三角形的应用
例1. （2012•德州）为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（ ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组F
【点评】本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出. 答案选C ．
考点 位似变换
例2.（2012•阜新） 如图，△ABC 与△A1B1C1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面积为3，那么△A1B1C1的面积是______ ．
【点评】此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．答案为：12．
考点 相似形的综合应用 例3. （2012•宜昌）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．点
E 为底AD 上一点，将△ABE 沿直线BE 折叠，点A 落在梯形对角线BD 上的G 处，EG 的延长线交直线BC 于点
F ．
（1）点E 可以是AD 的中点吗？为什么？ （2）求证：△ABG ∽△BFE ； （3）设AD=a ，AB=b ，BC=c
①当四边形EFCD 为平行四边形时，求a ，b ，c 应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a 的值是唯一的，求∠C 的度数．
【点评】本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关
系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．
五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________ 1．（2002•湛江）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC
，若
，则
= _________ ．
2．（2010•湛江）如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD ⊥AC 于点D ，且PD 与⊙O 相切．
(1)求证：AB ＝AC ；(2)若BC ＝6，AB ＝4，求CD 的值． 3．（2006•湛江）如图9，AB 是O 的直径，AE 平分BAF ∠，交O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ．
（1）求证：CD 是O 的切线； （2）若2CB =，4CE =，求AE 的长．
E 图9
4．（2002•湛江）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直于AB于点F，交BC于点G，∠A=∠BCP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点C在劣弧上运动，其他条件不变，问应再具备什么条件可使
结论BG2=BF•BO成立？（要求画出示意图并说明理由）
（3）在满足问题（2）的条件下，你还能推出哪些形如BG2=BF•BO的正
确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能
出现在结论中，不写推理过程，写出不包括BG2=BF•BO的7个结论）
六、【中考演练二----2010-2012年中考题】得分___________
1．画位似图形的步骤：（1）确定___________；（2）______________把位似中心与连线（或延长）；（3）根据_______________在所连直线上截取相应线段；（4）把所截各点用实线连接．2．（2011•汕头）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A n F n B n D n C n E n F n的面积为_________．
第2题第3题
3．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）
A．点M B．点N C．点O D．点P
4．（2010•丹东）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，
若AB=2cm，则A′B′= ______cm，请在图中画出位似中心O．
5．（2012•菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中
的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，
不写作法与证明）．
七、【中考演练三---备考核心演练】 得分___________ 1．（2011•漳州）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为（ ）
A ．0.6m
B ．1.2m
C ．1.3m
D ．1.4m
2．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度（ ）
A ．增大1.5米
B ．减小1.5米
C ．增大3.5米
D ．减小3.5米
第1题 第2题 第3题
3．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A ．6米
B ．8米
C ．18米
D ．24米 4．（2010•绍兴）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_______ ．
5．如图所示，平移方格纸中的图形，使点A 平移到A ′处，画出放大一倍后的图形．（所画图中线段必须借助直尺画直，并用阴影表示）． 6．（2011•南平）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A （1，2）， B （3，1），C （2，3），以原点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍得△A ′B ′C ′．
（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A ′B ′C ′；（不要求写画法）
（2）△A ′B ′C ′的面积是：__________ ． 7．（2012•常州）已知，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2，点M 为边BC 的中点，点P 为边CD 上的动点（点P 异于C ，D 两点）．连接PM ，过点P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E （如图），设CP=x ，DE=y ． （1）写出y 与x 之间的关系式_____ ； （2）若点E 与点A 重合，则x 的值为____ ； （3）是否存在点P ，使得点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．
第4题 第5题。