第36讲 图形的相似(综合运用)

第36讲 图形的相似（综合运用）

一、【课标考点解读】

1．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

2．运用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。 二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分： 1．（2012•北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm ，

EF=20cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=8m ，则树高AB= ___________m ．

第1题 第2题 第3题

2．（2011•天水）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7m 的点E 处，然后观测考沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=2.7m ，观测者目高CD=1.6m ，则树高AB 约是______ ．（精确到0.1m ）

3.（2011•广州）如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm ，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ． 4．（2011•深圳）如图4，△AB C 与△DEF 均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为（ ）

A

B

C ．5:3

D ．不确定

5．（2011•河源） 如图5，点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上，连结BP 并

延长与AD 的延长线交于点Q ．

（1）求证：△DQP ∽△CBP ； （2）当△DQP ≌△CBP ，且AB=8时，

求DP 的长． 三、【知识要点梳理—知识链接】

1. 位似多边形的性质与相似多边形的性质类似。相似多边形的所有对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的_______。

2. 位似变换：取一定点O ，把图形上任意一点P 对应射线OP(或它的反向延长线)上一点P ’，使得线段O P ’与OP 的比等于____________，点O 对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O 叫做_______， ____________叫做位似比。

3. 一个图形经过____________得到的图形叫做原图形的位似图形。两个位似图形一定是相似图形，但两个相似的图形______________是位似图形。

4. 位似图形的性质：两个位似图形上的每一对_________

都与位似中心在一条直线上，并且新图形

A B C D

F

E

O 第4题

C

A

第5题

C B

A

O

P D 与原图形上________到位似中心的距离之比等于位似比。 四、【中考名题---考点链接】 考点 相似三角形的应用

例1. （2012•德州）为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（ ）

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组F

【点评】本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出. 答案选C ．

考点 位似变换

例2.（2012•阜新） 如图，△ABC 与△A1B1C1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面积为3，那么△A1B1C1的面积是______ ．

【点评】此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．答案为：12．

考点 相似形的综合应用 例3. （2012•宜昌）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．点

E 为底AD 上一点，将△ABE 沿直线BE 折叠，点A 落在梯形对角线BD 上的G 处，EG 的延长线交直线BC 于点

F ．

（1）点E 可以是AD 的中点吗？为什么？ （2）求证：△ABG ∽△BFE ； （3）设AD=a ，AB=b ，BC=c

①当四边形EFCD 为平行四边形时，求a ，b ，c 应满足的关系；

②在①的条件下，当b=2时，a 的值是唯一的，求∠C 的度数．

【点评】本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关

系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．

五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________ 1．（2002•湛江）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC

，若

，则

= _________ ．

2．（2010•湛江）如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD ⊥AC 于点D ，且PD 与⊙O 相切．

(1)求证：AB ＝AC ；(2)若BC ＝6，AB ＝4，求CD 的值． 3．（2006•湛江）如图9，AB 是O 的直径，AE 平分BAF ∠，交O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ．

（1）求证：CD 是O 的切线； （2）若2CB =，4CE =，求AE 的长．

E 图9