椭圆及其标准方程第一课时

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建式 系 列 化 设 简 点
椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a，则2a>2c
y
P(2x , y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c + y 2 = 2a

x + c
2
2
, 0 ca , 0- O x -F 2c + + y 2F= c2 y2 1 -2
x
2
y
F2
O
x + c + y 2 = 4a 2 - 4a
2 2
x - c
2
2
+ y2 x - c + y2
a - c x + a y = a a - c
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
设 a -P cx xy +y (=xa ， )c 是椭圆上任意一点

x
a2
b2
[二]椭圆的标准方程[1]
y
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示： [1]椭圆的焦点在x轴
F1 0
2
2
M
F2
x
[2]焦点是F1（-C，0）、F2（C，0）
[3]c2= a2 - b2
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[二]椭圆的标准方程[2]
y x 2 1 (a b 0) 2 a b
1
2
[一]椭圆的定义
椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述：
• 平面上到两个定点的 距离的和（2a）等于 定长（大于|F1F2 |） 的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。 • 两焦点之间的距离叫 做焦距（2c）。
MF1 MF2 2a 2c
M
F1
F2
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满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
x y 1 25 16
x2 y2 1 144 169
2 2
答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）
x y 2 1 2 m m 1
2
2
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。
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判断正误
• [1]平面上----这是大前提 • [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之 和是常数 2a • [3]常数 2a 要大于焦距 2c
MF MF 2 a 2 c 1 2
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[二]椭圆方程推导的准备
[1]建系设点 怎样选择坐标系才能使椭圆的 方程简单？ [2]列式
[3]代换
[4]化简 [5]检验
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[1] 椭圆的标准方程有几个？ 答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。 [3] Ax2 By2 C 什么时候表示椭圆？
答：A、B、C同号且AB不相等时。 [4]求一个椭圆的标准方程需求几个量？
答：两个。a、 b或a、c或b、c
• 椭圆m2x2+(m2+1)y2=1的焦点在y轴上。
×
• 到两定点距离之和等于定长的点的轨迹是 × 椭圆。
x2 y 2 • 椭圆 2 2 1(a, b 0) 的焦点坐标为 a b
( a b , 0)
2 2
×
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例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)， (2，0)，并且经过点(5/2，-3/2)，求它的标准 方程。
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2
2
例题与练习的求椭圆方程的方法叫做“定义法”
操作程序:[1]根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆
[2]象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所 在直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平分线为 另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证椭圆的方程是 标准方程。
[3]设椭圆标准方程，即用待定系数法 [4]写出椭圆的标准方程
它表示：
2 2
来自百度文库
y
F2
M F1 0 x
[1]椭圆的焦点在y轴
[2]焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）
[3]c2= a2 - b2
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根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P
y F2
x
O
不 同 点
图
形
F1
O
P x
F2
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x y 答： 1 ( y 0) 变式2：在△ ABC中， B(-3,0)，C(3,0)， 25 16 sin B sin C 2sin A ，求A点的轨迹方程。
2
2
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练习：
[3]将
x y 1 25 16
2
2
所表示的椭圆绕原
点旋转90度，所得轨迹的方程是什么？
y x 答： 1 25 16
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练习：
x y [1]椭圆 1上一点P到一个 25 16
焦
2 2
点的距离等于3，则它到另一个焦点的距
离是（ ）
A.5
B.7
C.8
D.10
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练习：
[2] 已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周 变式1：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB的 长为16，求顶点A的轨迹方程 长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。
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例 平面内有两个定点的距离是8，写出到这 两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。 解：[1]判断：①和是常数；②常数大于两个 定点之间的距离。故，点的轨迹是椭圆。 [2]取过两个定点的直线做 x 轴，它的 线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系， 从而保证方程是标准方程。
[3]根据已知求出a、c，再推出a、b写 出椭圆的标准方程。
写出适合下列条件的椭圆的标准 方程
[1] a=4，b=1，焦点在 x 轴
[2] a=4，c=2，焦点在 y 轴上
[3]两个焦点的坐标是（-2，0）和（2，0）
并且经过点（2.5，-1.5） 求一个椭圆的标准方程需求几个量？ 答：两个。a、b或a、c或b、c
注意：“椭圆的标准方程”是个专有名词，
就是指上述的两个方程。形式是固定的。
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P
设F1 F=2 ，则有 F1(-c，0)、 F2(c，0) F1 F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． x y + = 1 a > b > 0 即：
2 2
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明 a2、b2，写出焦点坐标
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作业
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